Dokumen tersebut membahas tentang hubungan antara primal dan dual dalam linear programming. Secara singkat, dokumen menjelaskan bahwa setiap masalah primal memiliki masalah dual terkait, dan solusi optimum primal memberikan solusi optimum dual. Dokumen juga memberikan contoh untuk memahami bentuk standar primal dan dual.

1. HUBUNGAN
DUALITAS
HELVY | DEBY | JUMRIANI |
RIZKI | ANITA | CAROLINE

2. D U A L I T A S
Ditinjau dari teori dan praktek, maka dualitas merupakan konsep linear programming yang
penting dan menarik. Ide dasar dari teori dualitas adalah bahwa setiap persoalan linear
programming mempunyai suatu linear program yang berkaitan yang disebut “dual”. Sehingga
solusi dari persoalan asli LP (primal), juga memberikan solusi pada dualnya.
“ “
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langsung didefinisikan dari
persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada
primal dalam hal tipe kendala, variable keputusan dan kondisi optimum. Oleh karena itu dalam kenyataannya
teori dualitas secara tegas tidak diharuskan penggunaannya.

3. Bentuk Umum
Berikut di tampilkan bentuk umum dari primal dan dual
Bentuk Primal
Fungsi Tujuan :
Maksimumkan/Minimumkan
𝑧 = ෍
𝑗=1
𝑛
𝐶𝑗𝑋𝑗
Fungsi pembatas:
෍
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗𝑋𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑎𝑡𝑎𝑢 = 𝑏𝑖
𝑋𝑗 ≥ 0; i = 1,2,3, … m
𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛
Bentuk Dual
Fungsi Tujuan :
Minimumkan/Maksimumkan
𝐺 = ෍
𝑖=1
𝑚
𝑏𝑗𝑌𝑗
Fungsi pembatas:
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗𝑌𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑎𝑡𝑎𝑢 = 𝐶𝑗
𝑌𝑗 ≥ 0; i = 1,2,3, … m
𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛

4. PRIMA - DUAL
Menunjukkan hubungan Prima – dual
Primal
Dual

5. PRIMA - DUALMenunjukkan hubungan secara simetris dengan
ketentuan sebagai berikut:
Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta
ruas kanan dual
Konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien
fungsi tujuan dual
Semua kolom primal menjadi kendala dual
01
02
03
Semua kendala primal menjadi variable keputusan
dual
04
Koefisien kendala dari variable primal menjadi
koefisien yang berkorespondensi dengan kendala
dual.
05

6. PRIMA - DUAL
Langkah – langkah dalam menentukan Dual Problem
dari suatu program linear (primal) yaitu:
b. Masalah min yang normal:
semua peubah non negative
dan semua kendala ≥
Lanjutan Empat
Pemrograman semula dinamakan Primal
Problem
Satu
Jika primal kasus maksimal,
maka dual kasus minimal
Dua
Jika primal kasus minimal,
maka dual kasus maksimal
TigaDibedakan dari tipe
permasalahan.
a. Masalah max yang normal:
semua peubah non negative
dan semua kendala ≤
Empat

7. PRIMA - DUAL
Contoh berikut memberikan gambaran yang lebih jelas
untuk memahami bentuk standar primal dual.
A C
Maksimum:
𝑍 = 5𝑥1 + 12 𝑥2 + 10𝑥3
Dengan Kendala:
1). 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 ≤ 10
2). 2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 ≤ 15
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
Bentuk Primal
Maksimum: 𝑍 = 5𝑥1 + 12 𝑥2 + 10𝑥3 + 0S1 + 0S2
Dengan kendala: 1). 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3+ 𝑆1 = 10
2). 2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑆2= 15
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑆1 , 𝑆2 ≥ 0
Bentuk standar Primal
Minimum:
𝑊 = 10𝑦1 + 15 𝑦2
Dengan Kendala:
1) 𝑦1 + 2𝑦2 ≥ 5
2) 4𝑦1 + 𝑦2 ≥ 12
3) 𝑦1 + 3𝑦2 ≥ 10
𝑦1 ≥ 0
𝑦2 ≥ 0
Bentuk Dual
B
Contoh 1:

8. PRIMA - DUALContoh berikut memberikan gambaran yang lebih jelas
untuk memahami bentuk standar primal dual.
A C
Maksimum:
𝑍 = 5𝑥1 + 6 𝑥2
Dengan Kendala:
1) 𝑥1 + 2𝑥2 = 5
2) − 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 3
3) 4𝑥1 + 7x2 ≤ 8
𝑥1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎
𝑥2 ≥ 0
Bentuk Primal
Minimum:
𝑊 = 5𝑦1 + 3 𝑦2 + 8𝑦3
Dengan Kendala:
1) 𝑦1 − 𝑦2 + 4𝑦3 ≥ 5
2) − 𝑦1 + 𝑦2 − 4𝑦3 ≥ −5
3) 2𝑦1 + 5𝑦2 + 𝑦3 ≥ 6
𝑦2 ≥ 0
𝑦3 ≥ 0,
𝑦1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎
Bentuk Dual
B
Contoh 2:
Maksimum: 𝑍 = 5𝑥3 − 5𝑥4 + 6𝑥2 + 0S1 + 0S2
Dengan kendala: 1). 𝑥3 − 𝑥4 + 2𝑥2 + = 5
2). −𝑥3 + 𝑥4 + 5𝑥2 − 𝑆1 = 3
Bentuk standar Primal
3) 4𝑥3 − 4𝑥4 + 7𝑥2 + 𝑆2 = 8
𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥2 , 𝑆1 , 𝑆2 ≥ 0
Oleh karena variable 𝑥1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 (boleh positif atau negative), maka variable
tersebut diganti dengan dua variable yang berlainan, yaitu 𝑥1 = 𝑥3 − 𝑥4, dimana
𝑥3, 𝑥4 ≥ 0. Dengan demikian bentuk standar primal 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒉 𝟐 adalah:

9. PRIMA - DUAL
Contoh berikut memberikan gambaran yang lebih jelas
untuk memahami bentuk standar primal dual.
Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa karakteristik dasar dari standar primal-dual adalah sebgai
berikut:
*) ketentuan dalam bentuk standar primal adalah semua konstanta ruas kanan kendala non-negative dan se
mua variable keputusan non negative.
Standar primal *) Dual
Fungsi tujuan Fungsi tujuan Kendala
Maksimum minimum ≥
Minimum Maksimum ≤

10. PRIMA - DUAL
Contoh soal
Untuk membahas hubungan antara prima – dual, akan digunakan contoh berikut:
Bentuk Primal
Minimum 𝑍 = 25𝑥1 + 168𝑥2
dengan kendala 1) 𝑥1 + 8𝑥2 ≥ 12.000
2) 𝑥1 + 6𝑥2 ≥ 10.000
𝑥1, 𝑥2, ≥ 0
Ubahdalambentukmatrix
Z=
1 8 12.000
1 6 10.000
25 168 1
Tranposematriksz
𝑍 𝑇
=
1 1 25
8 6 168
12.000 10.000 1
Bentuk Dual
Maximum 𝑊 = 12.000𝑦1 + 10.000𝑦2
dengan kendala 1) 𝑦1 + 𝑦2 ≤ 25
2) 8𝑦1 + 6𝑦2 ≤ 168
𝑦1, 𝑦2 ≥ 0
Dibuatbentukstandar
Bentuk standar:
𝑤 − 12.000𝑦1 − 10.000𝑦2 = 0
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑆1 = 25
8𝑦1 + 6𝑦2 + 𝑆2 = 168
𝑦1, 𝑦2 ≥ 0

11. PRIMA - DUAL
Pembahasan soal
B W 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 𝑺 𝟏 𝑺 𝟐 NK
Indek
s
Ket
W 1 -12.000 −10.000 0 0 0
𝑆1 0 1 1 1 0 25 25
𝑆2 0 8 6 0 1 168 21
W 1 0 -1.000 0 1.500 252.000 12.000𝑟3 + 𝑟1
𝑆1 0 0 1/4 1 -1/8 4 16 −𝑟3 + 𝑟2
𝑌1 0 1 6/8 0 1/8 21 28
W 1 0 0 4.000 1.000 268.000 1.000𝑟2 + 𝑟1
𝑌2 0 0 1 4 -1/2 16
𝑌1 0 1 0 -3 1/2 9 −
6
8
𝑟2 + 𝑟3
Solusi optimum primal-dual dalam tabel adalah: 𝑦1 = 9 dan 𝑦2 = 16, dengan total W= 268.000
✓

12. PRIMA - DUAL
soal
Minimumkan : 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2
Fungsi kendala : 𝑥1 + 5𝑥2 ≥ 10
𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 6
2𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Maksimumkan 𝑊 = 10𝑦1 + 6𝑦2 + 8𝑦3
Fungsi kendala : 𝑦1+ 𝑦2 + 2𝑦3 ≤ 2
5𝑦1 + 3𝑦2 + 2𝑦3 ≤ 1
Standar = 𝑊 − 10𝑦1 − 6𝑦2 − 8𝑦3
= 𝑦1 + 𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑆1 = 2
= 5𝑦1 + 3𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑆2 = 1

13. PRIMA - DUALsoal
Basis 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑆1 𝑆2 NK Indeks Ket.
𝑊 1 -10 -6 -8 0 0 0 0
𝑆1 0 1 1 2 1 0 2 2
𝑆2 0 5 3 2 0 1 1 Τ1 5
𝑊 1 0 0 -4 0 2 2 𝑟1 + 10𝑟3
𝑆1 0 0 Τ2 5 Τ8 5 1 Τ−1 5 Τ9 5 Τ9 8 𝑟2 − 𝑟3
𝑦2 0 1 Τ3 5 Τ2 5 0 Τ1 5 Τ1 5 Τ1 2
𝑊 1 10 6 0 0 4 4 𝑟1 + 4𝑟3
𝑆1 0 -4 -2 0 1 -1 1 𝑟2 − Τ8 5 𝑟3
𝑦3 0 Τ5 2 Τ3 2 1 0 Τ1 2 Τ1 2
Solusi optimum primal-dual dalam tabel adalah: 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑦3 = 1/2, dengan total W= 4

14. Primal-
Dual
Setelah model dual didefinisikan secara lengkap, dapat dikatakan bahwa
model dual dikembangkan dari model primal sepenuhnya. Hal tersebut
dapat berarti bahwa operasi simpleks tidak perlu dilakukan untuk
mengetahui informasi tentang dual karena solusi dual dapat ditentukan
dari solusi primal.
Solusi optimum primal memberikan informasi mengenai banyaknya
jumlah laba yang diperoleh, sedangkan solusi optimum dual yang juga
didapat dari solusi terhadap suatu masalah primal memberikan
informasi yang tidak kalah penting dalam pengambilan keputusan.
Bentuk dual akan memberikan informasi mengenai nilai-nilai sumber
yang biasanya merupakan pembatas dari suatu model sehingga dapat
membantu pengambilan keputusan dalam menentukan harga dari
sumber daya yang menjadi pembatas bagi tercapainya laba tersebut.
Kesimpulan

15. Thank you