Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai analisis sensitivitas pada permasalahan pemrograman linear. Secara singkat, analisis sensitivitas digunakan untuk mengetahui dampak perubahan parameter-parameter pada solusi optimal yang telah dicapai, dengan mengevaluasi bagaimana perubahan tersebut dapat mengubah hasil akhir dan menentukan apakah solusi masih optimal atau tidak. Terdapat beberapa jenis perubahan yang dianalisis seperti perubahan koefisien
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda β₯, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda β=β?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda β=β pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
β
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda β₯, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda β=β?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda β=β pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
β
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan Β sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan Β pengalokasian sumberdaya secara optimal.
2. KELOMPOK 5
Ade Nurlaila (1200635)
Annisa Laras (1203075)
Irfan Muhafidin (1206067)
Kania Diah Puspasari (1205259)
Isa M. Ibrahim (1201748)
Rindy Eka A. (1203073)
Sefiana (1204947)
3. ANALISIS SENSITIVITAS
Dilakukan untuk mengetahui
akibat/pengaruh dari perubahan yang
terjadi pada parameter-parameter PL
terhadap solusi optimal yang telah
dicapai.
4. Prinsip Utama Analisis
Sensitivitas
οMenggunakan notasi matriks.
οMengevaluasi bagaimana perubahan.
parameter LP mengubah rhs dan koefisien
baris nol tabel optimal (pada BV terakhir).
οJika baris koefisien baris nol dan rhs masih
tetap >=, BV tetap optimal. Selainnya BV
tidak lagi optimal.
5. 6 tipe perubahan dalam Analisis Sensitivitas:
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk
variabel nonbasis.
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk
variabel basis.
3. Perubahan pada ruas kanan suatu
pembatas.
4. Perubahan matriks kolom variabel
nonbasis.
5. Penambahan suatu variabel baru.
6. Penambahan kendala baru.
6. Perubahan Matriks Kolom
Variabel Non-Basis
a. Tentukan matriks kolom dari variabel non
basis yang akan diubah, misal aj.
b. Hitung nilai dari πΆπ. Jika πΆπ β₯ 0 maka solusi
tetap optimum, jika πΆπ < 0 solusi tidak lagi
optimum.
πΆπ = πΆ π΅π. π΅β1. ππ β πΆπ
7. c. Jika πΆπ < 0 maka maka solusinya tidak
lagi optimal. Sehingga ππ yang awalnya
variabel non basis akan menjadi
entering variabel dengan kolom ππ yang
baru dan menjadi variabel basis pada
tabel optimal yang baru.
d. Kolom ππ untuk pembatas pada tabel
optimal menjadi:
π΅β1. ππ
Perubahan Matriks Kolom
Variabel Non-Basis
8. Penambahan Suatu Variabel
Baru
a. Tambahkan variabel baru ke fungsi
kendala dan fungsi tujuan, misal: ππ
b. Hitung nilai dari πΆπ.
πΆπ = πΆ π΅π. π΅β1. ππ β πΆπ
9. c. Jika πΆπ β₯ 0 maka solusi tetap optimum,
artinya variabel yang baru tidak perlu
ditambahkan karena tidak memberikan
pengaruh apa-apa.
d. Jika πΆπ < 0, lakukan kembali optimalisasi
dengan menyertakan variabel baru
yang tadi ditambahkan.
Penambahan Suatu Variabel
Baru
10. Penambahan Kendala Baru
ο jika suatu fungsi kendala ditambahkan
maka ada dua kemungkinan:
a. solusi optimal tetap optimal (tidak
terganggu)
b. solusi yang ada menjadi tidak optimal
dan/atau tidak fisibel
ο Jika kemungkinan pertama terjadi, ini
berarti bahwa fungsi kendala baru tidak
terganggu dari fungsi-fungsi yang ada.
11. Penambahan Kendala Baru
ο Jika kemungkinan kedua terjadi, iterasi
tambahan diperlukan karena fungsi
kendala baru terganggu sehingga solusi
yang ada menjadi tidak fisibel lagi.
ο Cara untuk mengidentifikasi apakah fungsi
kendala yang ada terganggu atau tidak
yaitu dengan mensubstitusikan nilai
variabel basis pada tabel optimal pada
fungsi kendala baru.
12. Diberikan MPL sebagai berikut
Maksimum z = 2π₯1 + 4π₯2 + π₯3
πΎππππππ βΆ π₯1 + π₯2 + 3π₯3 β€ 12
3π₯1 + π₯2 + π₯3 β€ 9
2π₯1+ π₯3β€ 20
π₯1, π₯2, π₯3 β₯ 0
Dik: Zmaks = 36, π₯1 = π₯3 = 0, π₯2 = 9
a. Tentukan matriks CBV, CNBV, XBV, XNBV, B, dan N.
b. AS untuk perubahan matriks kolom variabel
non-basis
c. AS penambahan variabel baru
d. AS penambahan kendala baru
15. b. AS untuk perubahan matriks
kolom variabel non-basis
Variabel yang kita pilih adalah X1, dengan
matriks kolom:
π1 =
1
3
2
Kita ubah menjadi:
π1 =
6
0
3
16. πΆ1 = πΆ π΅π. π΅β1
. π1 β πΆ1
= 0 4 0
1 β1 0
0 1 0
0 0 1
6
0
3
-2
= 0 4 0
6
0
3
-2
= 0 β 2 = β2 < 0
Karena πΆ1 < 0 maka solusi tidak lagi optimum. Kolom π1
untuk pembatas pada tabel optimal menjadi :
π΅β1. π1 =
1 β1 0
0 1 0
0 0 1
6
0
3
=
6
0
3
Karena πΆ1 < 0 maka x1 akan menjadi variabel basis
pada solusi optimal yang baru.
17. c. AS penambahan variabel baru
Kita tambahkan variabel baru misalkan π4
Maksimum z = 2π₯1 + 4π₯2 + π₯3 + 10π₯4
πΎππππππ βΆ π₯1 + π₯2 + 3π₯3 + π₯4 β€ 12
3π₯1 + π₯2 + π₯3 + π₯4 β€ 9
2π₯1 + π₯3 +π₯4 β€ 20
π₯1, π₯2, π₯3, π₯4 β₯ 0
π4 =
1
1
1
18. πΆ4 = πΆ π΅π. π΅β1
. π4 β πΆ4
= 0 4 0
1 β1 0
0 1 0
0 0 1
1
1
1
-10
= 0 4 0
1
1
1
-10
= 4-10 = β6 < 0
Karena πΆ4 < 0 maka solusi tidak lagi optimum. Kolom
π4 untuk pembatas pada tabel optimal menjadi :
π΅β1
. π4 =
1 β1 0
0 1 0
0 β1 1
1
1
1
=
0
1
0
Karena πΆ4 < 0 maka π₯4 akan menjadi variabel basis
pada solusi optimal yang baru.
19. d. AS penambahan kendala baru
Kita tambahkan pertidaksamaan sebagai kendala
baru misalkan pertidaksamaannya adalah
π₯1 + π₯2 + π₯3 β€ 8
Maka MPL menjadi:
Maksimum z = 2π₯1 + 4π₯2 + π₯3
πΎππππππ βΆ π₯1 + π₯2 + 3π₯3 β€ 12
3π₯1 + π₯2 + π₯3 β€ 9
2π₯1+ π₯3β€ 20
π₯1 + π₯2 + π₯3 β€ 8
π₯1, π₯2, π₯3 β₯ 0
20. Substitusikan nilai X1=X3=0 dan X2=9 ke
fungsi kendala yang baru, diperoleh:
π₯1 + π₯2 + π₯3 β€ 8
0 + 9 + 0 β€ 8
9 β° 8
Karena substitusi mengakibatkan fungsi
kendala yang baru terganggu, berarti
solusinya tidak lagi optimum. Langkah
selanjutnya adalah melakukan iterasi
tambahan.