Bab VIII membahas tentang integral tentu dan penerapannya. Integral tentu adalah batas dari jumlah Riemann yang digunakan untuk menentukan luas bidang terbatas. Integral tentu memiliki sifat-sifat seperti linearitas dan antiderivatif. Integral tentu juga digunakan untuk menghitung luas bidang dan volume benda putar yang dihasilkan dari rotasi grafik suatu fungsi.

1. BAB VIII
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

2. 8.1 Integral tentu
Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu
kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesi
Menentukan luas bidang tersebut sesederhana
seperti kita
menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi
panjang,
Cara yang sederhana untuk menentukan luas
segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya.
bidang yang
dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x 1 dan x =
x 2 kita
Makin banyak pembagian bidang tersebut akan
harus
menjadi
semakin membagi bidang tersebut
beberapa bagian.
akurat pula hasilnya.

3. f(x)
y
a
b
(a)
Bidang yang terletak
dibawah grafik f
f(x)
y
x
a
b
(b)
x
Sejumlah persegi panjang
yang terletak dibawah grafik f
Gambar 8.1

4. mbagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat
rupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan
mbagi bidang seperti Gambar 8.1(a).
Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada
koordinat
kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b,
sumbu x dan
grafik f yang kontinu
pada untuk
Jika luas bidang R dan tak negatif maka selang
adalah A,
tertutup [a,b].
menentukan luas A
yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan
jalan
membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi
panjang
yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar

5. Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a)
adalah Ai.
Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka
luas Ai ≈ A.
Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n subselang dengan
lebar ∆x maka akan didapat ∆x = (b-a)/n.
Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x 0 ,
x 1 , x 2 , … x n dengan x 0 = a dan x n = b, maka
eperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.

6. 0
y
f(x)
f(u k )
x 0 =a
x1
x2
x k-1 u k
Gambar 8.2
xk
x
x n =b

7. Sehingga,
x 0 =a ; x 1 =a+∆x ; x 2 =a+2∆x ; x 3 =a+3∆x ; x k-1
=a+(k-1)∆x ;
x k =a+k∆x ; x n =a+n∆x
Luas persegi panjang adalah
A i = f(u 1 ) ∆x + f(u 2 ) ∆x + … + f(u k ) ∆x + f(u n )
∆x
Jika menggunakan notasi penjumlahan “ Σ”,
maka
Persamaan 8.2 disebut jumlah Riemann dan
f(uk) adalah
harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk1,xk].
Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar
maka ∆x
menjadi sangat kecil.

8. s bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x 0 = a dan
= b sama dengan luas persegi panjang Ai bila ∆x sangat keci
au n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,
Definisi
isal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang
rtutup [a,b].
Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan
sebagai
limit jumlah Riemann atau,

9. Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat
8.2 Sifat-sifat integral tentu
Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat
utama integral tentu yaitu,
F(x) adalah anti turunan f(x)

10. Sifat-sifat integral tentu lainnya
Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang
bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b].

11. ika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g
juga terintegralkan pada [a,b].
6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c]
dan [c,b],
maka f(x) terintegralkan pada [a,b].

12. ka f terintegralkan pada [a,b] dan f ≥ 0 untuk setiap x yang
erletak pada [a,b], maka
Contoh 8.1
Selesaikan
Penyelesaian

15. 8.3 Luas Bidang
Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius
dibatasi oleh y 1 = f(x), y 2 = g(x), x 1 = a dan x 2 = b.
Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada
Gambar 8.3.
Luasnya bidang adalah

16. f(x)
y
g(x)
0
x 1 =a
Gambar 8.3
x 2 =b
x

17. tuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang
erti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibata
h y 1 = f(x), y 2 = 0, x 1 = a dan x 2 = b. Luas bidang adalah

18. f(x)
y
0
x 1= a
Gambar 8.4
x 2= b
x

19. Contoh 8.2
Penyelesaian
y
0 x=1
x2
¼ x2
x=3
x

20. Contoh 8.3
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh
x 2 +1, ¼x 2 +4 , x = 0 dan x = 3.
Penyelesaian

21. y= x 2 +1
y=¼ 2
x +4
y
0
x=2
x=3
x

22. 8.4 Volume dan luas kulit benda putar
Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, mak
akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume
dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar
mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suat
fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya
akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b.
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara
menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan ∆x.

23. y
0
f(x)
x=a
y
0
x 1 =a
x=b
(a)
f(x)
xi
∆x
(b)
x
x
x n =b
Gambar 8.5

24. Luas kulit elemen ( ∆A) = 2π [f(xi)] ∆x
Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit
benda putar
dapat ditulis menjadi
Volume elemen (∆V) = π[f(x)] 2 .∆x

25. Jadi volume benda putar adalah
Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka
akan terbentuk bangun seperti Gambar 8.6
berikut.
y 2 =b
y
y 1 =a
0
Gambar
8.6
f(y
)
x

26. ngan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit
nda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah
Sedangkan volumenya adalah
ontoh 8.4
entukan luas kulit dan volume benda putar jika y = ¼ x 3
iputar mengelilingi:
a) sumbu x mulai dari x=1 sampai
x=3
b) sumbu y mulai dari y=1 sampai
y=2

27. Penyelesaian
Grafik y = ¼ x 3
y
0
f(x)
x

28. a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1
sampai x=3
y
0
x=1
x
x=3

30. Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2
y=2
y=1
y
0
x