Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang integral garis, integral lipat dua dan tiga, serta metode penghitungan integral garis menggunakan metode Riemann. Metode Riemann melibatkan partisi interval dan penjumlahan Riemann untuk mendekati integral garis. Teorema integral garis memberikan hubungan antara kerja medan gaya konservatif dengan perbedaan fungsi potensial di titik awal dan akhir kurva.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor, subruang, basis dan dimensi, serta beberapa contoh aplikasi ruang vektor seperti metode optimasi, sistem kontrol, dan operation research.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linear dari satu himpunan ke himpunan lain. Secara singkat, dibahas mengenai definisi fungsi dan transformasi linear, jenis-jenis transformasi linear seperti rotasi, refleksi, ekspansi, dan komposisi dari beberapa transformasi linear. Representasi geometris dan matriks standar dari berbagai transformasi linear pun dijelaskan.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang integral garis, integral lipat dua dan tiga, serta metode penghitungan integral garis menggunakan metode Riemann. Metode Riemann melibatkan partisi interval dan penjumlahan Riemann untuk mendekati integral garis. Teorema integral garis memberikan hubungan antara kerja medan gaya konservatif dengan perbedaan fungsi potensial di titik awal dan akhir kurva.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor, subruang, basis dan dimensi, serta beberapa contoh aplikasi ruang vektor seperti metode optimasi, sistem kontrol, dan operation research.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linear dari satu himpunan ke himpunan lain. Secara singkat, dibahas mengenai definisi fungsi dan transformasi linear, jenis-jenis transformasi linear seperti rotasi, refleksi, ekspansi, dan komposisi dari beberapa transformasi linear. Representasi geometris dan matriks standar dari berbagai transformasi linear pun dijelaskan.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan ruang eigen. Silabus mencakup delapan bab yang mendiskusikan topik-topik tersebut beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Modul ini membahas tentang vektor eigen dan nilai eigen dari suatu matriks, serta cara mendiagonalisasi suatu matriks menggunakan vektor eigen dan nilai eigen-nya. Persamaan karakteristik digunakan untuk menemukan nilai eigen suatu matriks. Vektor eigen dari suatu matriks adalah vektor yang ketika dikalikan dengan matriks hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor itu sendiri.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kompleks yang mencakup fungsi elementer seperti fungsi linear, bilinear, eksponen, dan trigonometri. Dokumen ini ditulis oleh Irena Adiba dari Fakultas Pendidikan Matematika dan IPA Universitas Pendidikan Indonesia.
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, dan penyelesaian persamaan diferensial. Dibahas pula contoh-contoh soal dan aplikasi persamaan diferensial dalam pemodelan matematis.
Operator del memiliki sifat yang analog dengan vektor biasa dan digunakan untuk mendefinisikan besaran gradien, divergensi, dan curl yang muncul dalam aplikasi praktis. Gradien suatu medan skalar mendefinisikan medan vektor yang menunjukkan laju perubahan medan tersebut pada setiap arah.
Dokumen tersebut membahas tentang Aljabar Boolean dan Gerbang Logika. Ia menjelaskan tentang ekspresi Boolean, fungsi-fungsi Boolean seperti AND, OR, NOT, tabel kebenaran, bentuk kanonikal, minterm, maxterm, gerbang logika dasar seperti AND, OR, NOT, dan implementasi hukum De Morgan dalam rangkaian logika.
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan ruang eigen. Silabus mencakup delapan bab yang mendiskusikan topik-topik tersebut beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Modul ini membahas tentang vektor eigen dan nilai eigen dari suatu matriks, serta cara mendiagonalisasi suatu matriks menggunakan vektor eigen dan nilai eigen-nya. Persamaan karakteristik digunakan untuk menemukan nilai eigen suatu matriks. Vektor eigen dari suatu matriks adalah vektor yang ketika dikalikan dengan matriks hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor itu sendiri.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kompleks yang mencakup fungsi elementer seperti fungsi linear, bilinear, eksponen, dan trigonometri. Dokumen ini ditulis oleh Irena Adiba dari Fakultas Pendidikan Matematika dan IPA Universitas Pendidikan Indonesia.
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial, meliputi definisi, klasifikasi, dan penyelesaian persamaan diferensial. Dibahas pula contoh-contoh soal dan aplikasi persamaan diferensial dalam pemodelan matematis.
Operator del memiliki sifat yang analog dengan vektor biasa dan digunakan untuk mendefinisikan besaran gradien, divergensi, dan curl yang muncul dalam aplikasi praktis. Gradien suatu medan skalar mendefinisikan medan vektor yang menunjukkan laju perubahan medan tersebut pada setiap arah.
Dokumen tersebut membahas tentang Aljabar Boolean dan Gerbang Logika. Ia menjelaskan tentang ekspresi Boolean, fungsi-fungsi Boolean seperti AND, OR, NOT, tabel kebenaran, bentuk kanonikal, minterm, maxterm, gerbang logika dasar seperti AND, OR, NOT, dan implementasi hukum De Morgan dalam rangkaian logika.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Sistem Persamaan linier dua variabel dan tiga variabelnurindah_nurisa
Kelompok 2 terdiri dari 4 anggota yang mengerjakan soal matriks dan sistem persamaan linear. Dokumen ini menjelaskan penyelesaian SPL menggunakan matriks, seperti menggunakan invers matriks dan determinan matriks. [/ringkuman]
Dokumen tersebut membahas tentang nilai dan vektor eigen dari suatu matriks persegi. Secara singkat, nilai eigen adalah skalar λ yang memenuhi persamaan Ax = λx, sedangkan vektor eigen adalah vektor x yang memenuhi persamaan tersebut.
Bab ini membahas beberapa metode interpolasi untuk menentukan titik-titik antara dari beberapa titik acuan, yaitu interpolasi linier, kuadratik, polinomial, dan Lagrange. Interpolasi linier menggunakan garis lurus, kuadratik menggunakan fungsi kuadrat, polinomial menggunakan fungsi polinomial, dan Lagrange menggunakan kombinasi deret titik acuan.
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa (PDB), yang didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi satu peubah bebas yang tidak diketahui. PDB dibedakan berdasarkan orde dan derajat turunan tertinggi yang terlibat. Ada beberapa jenis PDB dan cara penyelesaiannya, seperti PDB dengan variabel terpisah, PDB dengan koefisien fungsi homogen, dan PDB linear.
Dokumen tersebut membahas tentang polinomial dan operasi-operasi dasarnya, termasuk pembagian sukubanyak, teorema sisa, dan teorema faktor. Secara khusus, dibahas tentang algoritma pembagian sukubanyak, penentuan derajat hasil bagi dan sisa, serta penggunaan teorema untuk menentukan hasil bagi, sisa, dan akar-akar suatu persamaan polinomial.
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Sistem persamaan linier satu, dua, dan tiga variabel beserta penyelesaiannya menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan gabungan kedua metode tersebut.
2. Contoh soal dan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel.
3. Sistem persamaan linier dan kuadrat beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
1. Dokumen menjelaskan berbagai jenis transformasi geometri dua dimensi seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
2. Translasi adalah perpindahan titik tanpa merubah bentuk dengan menambahkan vektor translasi. Refleksi memproyeksikan titik ke cermin.
3. Rotasi memutar titik di sekitar pusat putar dengan sudut tertentu. Dilatasi memperbesar atau memperkecil ukuran dengan faktor sk
Dokumen tersebut berisi soal-soal ujian matematika IPA beserta pembahasannya. Terdapat 16 soal yang mencakup materi logika, persamaan, garis singgung lingkaran, vektor, dan transformasi geometri.
1. Materi ini membahas persamaan dan pertidaksamaan eksponen beserta solusinya, yang dibedakan menjadi tiga jenis yaitu berbasis konstanta, berbasis fungsi, dan berbentuk penjumlahan.
2. Ada beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai penentuan solusi dari masing-masing jenis persamaan eksponen.
3. Solusi dari persamaan eksponen dapat ditentukan dengan menyamakan basis pada kedua
2. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn
dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa
sehingga,
Ax = x
disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan .
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
18
03
A
yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena :
2
1
3
6
3
2
1
18
03
3. Prayudi STT PLN3
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x
sebagai,
Ax = Ix
(I – A)x = 0
0
...
0
0
0
...
...
............
...
...
...
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
nnnnnn
ij
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa
Agar supaya menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem
persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :
0...
0)det(
1
1
1
nn
nn
ccc
AI
4. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen4
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terakhir adalah polinomial berderajad n yang
disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai
eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A
(akar-akar polinomial dalam ).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen
matrik A adalah :
(1) Bentuk matrik (I – A)
(2) Hitung determinan, det(I – A)=0
(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0
(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)
(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0
5. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
11
53
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
11
53
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah
nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
11
53
2
1
x
x
0
0
Untuk = 4, diperoleh SPL
51
51
2
1
x
x
0
0
Solusi SPL diatas adalah :
1
5
t
t
t5
x
x
2
1
Jadi vektor eigen untuk = 4,
adalah x = [5,1]. Sedangkan
vektor eigen yang bersesuaian
dengan = –2 adalah, x = [1,–1].
6. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
313
043
241
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
313
043
241
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
313
043
241
Untuk = 1, diperoleh SPL
213
033
242
0
0
0
x
x
x
3
2
1
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL diatas adalah :
1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
Jadi vektor eigen yang
bersesuaian dengan :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].
7. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P
yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik
diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,
(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1
(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n
Contoh :
313
043
241
A
Vektor eigen dan nilai eigennya :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].
431
331
121
P
110
231
353
P
1
D = P–1AP =
300
020
001
8. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen8
Contoh
Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik
P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana
521
251
222
A
Jawab
Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-
akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari
: (I – A)x = 0
0
521
251
222
Untuk = 3, SPL-nya
0
0
0
x
x
x
3
2
1
221
221
221
1
0
2
s
0
1
2
t
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
p1 = [–2 ,1,0]
p2 = [–2 ,0,1]
9. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen9
Untuk = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
121
211
224
0
0
0
x
x
x
3
2
1
1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
p3 = [–1,1,1]
Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :
P = [p1 p2 p3] =
110
101
122
3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1
P
1
D = P–1AP =
Matrik diagonal
3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1
521
251
222
110
101
122
600
030
003
10. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen10
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal
jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP
(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik
A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis pada langkah (1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]
11. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11
Contoh
Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan
matrik A, secara ortogonal bilamana
122
221
212
A
Jawab
Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0 0
122
221
212
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar
atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0
Untuk = 3, SPL-nya
422
211
211
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah :
1
0
2
s
0
1
1
t
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x1 = [1,1,0]
x2 = [–2 ,0,1]
14. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14
baaa
abaa
aaba
A
11
11
11
1
1
1
baaa
abaa
aaba
A
SOAL-SOAL LATIHAN
a. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A
b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai
dengan nilai eigen A.
c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan
rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP.
d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P
mendiagonalisasikan A secara ortonormal,
P= [p1 p2 … pn], D=PTAP.
143
404
341
A
502
032
224
A
321
262
123
A
221
212
122
A