SEMOGA BERMANFAAT

1. MODUL BELAJAR
BAB 5. INTEGRAL TENTU
Subbab 5.1 Notasi Sigma, Jumlah Riemann dan Integral Tentu
• Notasi sigma adalah notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan secara
singkat.
• Dinotasikan dengan ∑ 𝑢 𝑖
𝑛
𝑖=1
dimana, i= bilangan bulat, yang dimulai dari bilangan dibawah notasi sigma dan
berakhir pada bilangan di atas notasi sigma.
Contoh:
1. Tentukan nilai dari ∑ 𝑖4
𝑖=1 !
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶
∑ 𝑖4
𝑖=1 = 1 + 2 + 3 + 4 =....
2. Tentukan nilai dari ∑ 𝑖24
𝑖=1 !
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶
Jika ∑ 𝑖2
= 1 + 22
+ ⋯ + ⋯4
𝑖=1 =
3. Tentukan nilai dari ∑ (2𝑖 + 1)4
𝑖=1 !
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶
4. Tentukan nilai dari ∑ (
𝑖
2
)!5
𝑖=1
Penyelesaian :
5. Nyatakanlah bentuk jumlah berikut ke dalam notasi sigma:
a. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4
b. 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5
c. 1+4+9+16+25+36+49
Penyelesaian:
5.1.1 Notai Sigma5.1.1 Notasi Sigma

2. Mengamati 5.1.2.1
`
Bagaimanakah cara menentukan luas daerah daun?
Sebelum menentukan luas daerah daun, maka amati terlebih dahulu amati dua gambar
berikut.
Gambar a.
Berapakah luas daerah poligon dibawah ini?
Jika poligon diatas dibagi menjadi beberapa segitiga seperti dibawah ini maka luas daerah
poligon (A) tersebut adalah A= A1+A2+...+...+....
KESIMPULAN:Jikamenghitungluasdaerahyangtidakberarturanmakaharus mempartisi/membagi luas
daerahtersebutmenjadi beberapabagianyangdapatdihitungluasnya.
5.1.1 Notai Sigma5.1.2 Jumlah Riemann

3. Gambar b.
Berikut adalah membandingkan luas poligon terhadap luas lingkaran. Bagaimana luas
poligon terhadap luas lingkaran?
Kembali pada menentukan luas daerah daun.
Misalkan batas tinggi pada daun diwakili oleh grafik fungsi f(x) pada interval [0,a]
dengan partisi (bagian) sebanyak 8 persegi panjang, sehingga diperoleh sketsa sebagai
berikut:
KESIMPULAN:Semakinkecil partisi poligonmaka

4. Berdasarkan gambar diatas didapat bahwa luas masing-masing persegi panjang yang
terbentuk adalah
𝐴1 = 𝑓(𝑥1)∆𝑥1
𝐴2 = 𝑓( 𝑥2)….
𝐴3 = ⋯
𝐴4 = ⋯
𝐴5 = ⋯
𝐴6 = ⋯
𝐴7 = ⋯
𝐴8 = ⋯
Berdasarkan konsep sigma terkait luas tiap-tiap persegi panjang dengan panjang 𝑓( 𝑥 𝑖)dan
lebar ∆𝑥 𝑖, maka luas total dari keseluruhan persegi yang terbentuk adalah
A1+A2+...+A8= 𝑓( 𝑥1)∆𝑥1 + 𝑓( 𝑥2)∆𝑥2 + ⋯… . . +⋯ …. . + ⋯… . . +⋯ …+ ⋯… . . + ⋯… ..
= ∑ 𝑓(𝑥 𝑖)∆𝑥 𝑖
8
𝑖=1
LATIHAN
1. Misalkan diketahui suatu fungsi
f(x)=x pada interval [0,3], tentukan jumlah
Riemann dengan menggunakan 6
subinterval sama panjang dan titik ujung
kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-
tiap subinterval.
1. Untuk dapat menetukan jumlah Riemann
fungsi f(x)=x dengan 6 subinterval pada selang
[0,3].
a. Buat grafik f(x)=x.
Interval dari [0,3]
x f(x)=x
0 0
1 1
2 2
3 3
b. Jika selangnya [0,3] maka untuk setiap
KESIMPULAN:
Selanjutnya nilai ∑ 𝑓(𝑥 𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 disebut Jumlah Riemann fungsi f(x), dengan 𝑥 𝑖 adalah titik
wakil (titik yang bersentuhan dengan kurva) pada interval ke-i dan ∆𝑥 𝑖 lebar interval ke-i
dan n banyak subinterval.

5. selang memiliki lebar subinterval ∆𝑥̅ 𝑖 =
3−0
6
= 0,5
c. Perhatikan titik wakil (titik yang mengenai
kurva)
d. Lalu bagi menjadi 6 subinterval
Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari
masing masing subinterval adalah,
1. 𝑓(𝑥1) = 𝑓(0,5) = 0,5
2. 𝑓(𝑥2) = 𝑓(1) =
3. 𝑓(𝑥3) = 𝑓(1,5) =
4. 𝑓(𝑥4) = ⋯
5. 𝑓(𝑥5) = ⋯
6. 𝑓(𝑥6) = ⋯
Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval
[0,3] dengan 6 subinterval adalah nilai
∑ 𝑓(𝑥 𝑖̅)∆𝑥 𝑖
6
𝑖=1
= 𝑓( 𝑥1̅̅̅)∆𝑥1 + 𝑓( 𝑥2̅̅̅)∆𝑥2 + … + …
+ …+ … =
2. Misalkan diketahui jumlah Riemann
fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2
pada interval [0,3],
tentukan jumlah Riemann dengan
menggunakan 6 subinterval sama panjang
dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik
wakil tiap-tiap subinterval.
a. Buat grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥2
.
X 𝑓(𝑥) = 𝑥2
0 0
1 ...
2 4
3 ...
b. Jika selangnya [0,3] maka untuk setiap
selang memiliki lebar subinterval ∆𝑥̅ 𝑖 =
3−0
6
= 0,5
c. Perhatikan titik wakil
d. Lalu bagi menjadi 6 subinterval

6. Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari
masing masing subinterval adalah,
1. 𝑓(𝑥1) = …
2. 𝑓(𝑥2) = …
3. 𝑓(𝑥3) = …
4. 𝑓(𝑥4) = …
5. 𝑓(𝑥5) = …
6. 𝑓(𝑥6) = …
Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval
[0,3] dengan 6 subinterval adalah
∑ 𝑓(𝑥 𝑖)∆𝑥𝑖
6
𝑖=1
= …+ … + … + … + …+ … =
3. Tentukan jumlah Riemann dari fungsi
yang diperlihatkan oleh gambar
berikut.
4. Sketsakan fungsi 𝑔( 𝑥) = 𝑥 − 1 pada
interval [-1,2] memakai 6 subinterval
dan titik tengah subinterval sebagai
titik wakilnya. Tentukan jumlah
Riemannya.
5. Tentukan jumlah Riemann fungsi
𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 𝑥 pada interval [-2,0]
dengan menggunakan 4 subinterval
dengan lebar sama panjang dan titik-
titik ujung kiri subinterval sebagai
titik awalnya.

7. a. Buat grafik 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 1.
X 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 1
-1 -2
0 -1
1 0
2 1
b. Jika selangnya [-1,2] maka untuk setiap selang memiliki lebar subinterval ∆𝑥̅ 𝑖 =
2−(−1)
6
=
3
6
=0,5
c. Perhatikan titik wakil
d. Lalu bagi menjadi 6 subinterval
Dengan demikian didapat bahwa tinggi dari masing masing subinterval adalah,
1. 𝑓(𝑥1) = 𝑓(−0,75) = 0,25
2. 𝑓(𝑥2) = 𝑓(−0,25) = 1
3. 𝑓(𝑥3) = 𝑓(0,25) = 2,25
4. 𝑓(𝑥4) = 𝑓(0,75)=4
5. 𝑓(𝑥5) = 𝑓(1,25) = 6,25
6. 𝑓(𝑥6) = 𝑓(1,75) = 9
Jadi jumlah Riemannn dari f(x)=x pada interval [0,3] dengan 6 subinterval adalah
∑ 𝑓(𝑥 𝑖)∆𝑥𝑖
6
𝑖=1 = 𝑓( 𝑥1)∆𝑥1 + 𝑓( 𝑥2)∆𝑥2 + 𝑓( 𝑥3)∆𝑥3 + 𝑓( 𝑥4)∆𝑥4 + 𝑓( 𝑥5)∆𝑥5 +
𝑓( 𝑥6)∆𝑥6 =0,25.(0,5)+1(0,5)+2,25(0,5)+4(0,5)+6,25(0,5)+9(0,5)
=0,125+0,5+1,125+2+3,125+4,5=11,375satuan luas