Dokumen tersebut membahas tentang penerapan integral dalam bidang ekonomi, khususnya untuk mendapatkan fungsi-fungsi ekonomi seperti biaya total, penerimaan total, konsumsi, tabungan, dan kapital dari turunan pertamanya. Secara khusus dijelaskan bagaimana fungsi tersebut dapat dihitung melalui integrasi dari fungsi marginalnya, dan beberapa contoh perhitungan fungsi ekonomi disajikan.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Dalam Pembahasan ini akan dipelajari mengenai aplikasi hitung integral dalam bidang ekonomi, yaitu mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya). Seperti mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi biaya total dari biaya marginal. Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal dan fungsi kapital dari fungsi investasi.
penerimaan total dan fungsi produksi.Biaya atau ongkos pengertian secara ekonomis merupakan beban yang harus dibayar produsen untuk menghasilkan barang dan jasa sampai barang tersebut siap untuk dikonsumsi . Biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi, dengan notasi C = f(Q).
C = biaya total
Q = jumlah produksi.
Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang dihasilkan, fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan bsarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Dalam membicarakan biaya ada beberapa macam biaya, yaitu:
a. Biaya Total ( Total Cost = TC = C)
b. Biaya Variabel (Variable Cost = VC)
c. Biaya Tetap (Fixed Cost = FC)
d. Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost = AC)
e. Biaya Variabel Rata Rata ( Average Variable Cost = AVC)
f. Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost = AFC)
g. Biaya Marginal
Rumus :
1. C = AC x Q atau C = FC + VC
2. FC = AFC X Q
3. VC = AVC X Q
Dalam menganalisa biaya umumnya tidak terlepas dari analisa penerimaan atau revenue atau total revenue. Pengertian revenue atau penerimaan adalah seluruh pendapatan yang diterima dari hasil penjualan barang pada tingkat harga tertentu. Secara matematik total revenue dirumuskan sebagai berikut:
* TR = PQ. TR = Penerimaan Total, P = Harga Barang dan Q = Jumlah barang yang dijual.
* Penerimaan Rata-rata (AR) adalah penerimaan rata-rata tiap unit produksi, dapat dirumuskan :
AR = TR/Q
* Penerimaan Marginal atau Marginal Revenue adalah tambahan penerimaan sebagai akibat dari tambahan
produksi, dirumuskan"
MR = ∆TR/∆Q atau turunan dari TR
MR = Marginal Revenue, ∆TR = Tambahan penerimaan, ∆Q = Tambahan Produksi. Berdasarkan konsep penerimaan dan biaya (TR dan TC) dapat diketahui beberapa kemungkinan diantaranya :
TR < TC = keadaan untung / laba
TR= TC = keadaan Break Even Point
TR > TC = Keadaan rugi.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Dalam Pembahasan ini akan dipelajari mengenai aplikasi hitung integral dalam bidang ekonomi, yaitu mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya). Seperti mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi biaya total dari biaya marginal. Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal dan fungsi kapital dari fungsi investasi.
penerimaan total dan fungsi produksi.Biaya atau ongkos pengertian secara ekonomis merupakan beban yang harus dibayar produsen untuk menghasilkan barang dan jasa sampai barang tersebut siap untuk dikonsumsi . Biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi, dengan notasi C = f(Q).
C = biaya total
Q = jumlah produksi.
Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang dihasilkan, fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan bsarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Dalam membicarakan biaya ada beberapa macam biaya, yaitu:
a. Biaya Total ( Total Cost = TC = C)
b. Biaya Variabel (Variable Cost = VC)
c. Biaya Tetap (Fixed Cost = FC)
d. Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost = AC)
e. Biaya Variabel Rata Rata ( Average Variable Cost = AVC)
f. Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost = AFC)
g. Biaya Marginal
Rumus :
1. C = AC x Q atau C = FC + VC
2. FC = AFC X Q
3. VC = AVC X Q
Dalam menganalisa biaya umumnya tidak terlepas dari analisa penerimaan atau revenue atau total revenue. Pengertian revenue atau penerimaan adalah seluruh pendapatan yang diterima dari hasil penjualan barang pada tingkat harga tertentu. Secara matematik total revenue dirumuskan sebagai berikut:
* TR = PQ. TR = Penerimaan Total, P = Harga Barang dan Q = Jumlah barang yang dijual.
* Penerimaan Rata-rata (AR) adalah penerimaan rata-rata tiap unit produksi, dapat dirumuskan :
AR = TR/Q
* Penerimaan Marginal atau Marginal Revenue adalah tambahan penerimaan sebagai akibat dari tambahan
produksi, dirumuskan"
MR = ∆TR/∆Q atau turunan dari TR
MR = Marginal Revenue, ∆TR = Tambahan penerimaan, ∆Q = Tambahan Produksi. Berdasarkan konsep penerimaan dan biaya (TR dan TC) dapat diketahui beberapa kemungkinan diantaranya :
TR < TC = keadaan untung / laba
TR= TC = keadaan Break Even Point
TR > TC = Keadaan rugi.
KONSEP BIAYA EKONOMI: Dalam teori ekonomi mikro, konsep opportunity cost merupakan konsep yang sangat mendasar. Seringkali opportunity cost tidak diperhitungkan dalam pengambilan keputusan-keputusan bisnis, karena diabaikannya implicit cost. Implicit cost adalah nilai dari opportunities yang dikorbankan tetapi tidak terlibat dalam an actual cash payment. Explicit costs adalah biaya-biaya yang terlibat dalam actual payment kepada pihak-pihak lain.
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
1. APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI
Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang
merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya
total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,
fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan
marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.
Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya
biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan
sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan
total.
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan
sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan
sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.
Fungsi Model (K)
C=∫ MC dq
R=∫ MC dq
C=∫ MPC dy
S=∫ MPS dy
2. Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan
integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan
turunan pertama dari fungsi kapital.
Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi
marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan
konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam
integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan
dengan K.
Contoh 8.1
Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-80q+10q2. Biaya tetapnya adalah 134.
Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya.
Penyelesaian
Fungsi biaya total,
C = ∫ MC dq
= (150 - 80q + 10q2)dq
= 150q − 40q2 +
10
3
(0)3
+ 𝑘
(K = Konstanta Integrasi)
Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC)
sebagai berikut :
FC = 150(0)+ 40(0)2
+
10
3
(0)3
+ K
134 = K = FC
Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :
Kt=∫ I(t) dt
3. C = 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+ 134
Fungsi biaya rata-ratanya
AC =
C
q
=
150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+ 134
q
= 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+
134
𝑞
Fungsi biaya variabel
VC = C – FC
= (150q − 40q2
+
10
3
( 𝑞)3
+ 134) − 134
= 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
Contoh 8.2
Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 4q
(q = kuantitas barang)
Tentukanlah :
(a) Fungsi penerimaan total
(b) Fungsi permintaan
Penyelesaian
(a) Fungsi penerimaan total
R = ∫ MR dq
= ∫ (20 – 4q) dq
= 20q – 2q2 + C
4. Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan
memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C
sebagai berikut :
R = 20 q – 2q2 + C
0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C
C = 0
Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :
R = f(q)
= 20q – 2q2
(b) Fungsi permintaaan
R = q.p → 𝑝 =
𝑅
𝑞
=
20𝑞−2𝑞2
𝑞
𝑝 = 20 − 2𝑞 → 𝑞 = −
1
2
𝑝 + 10
Jadi, fungsi permintaannya adalah q = 𝑞 = −
1
2
𝑝 + 10
Contoh 8-3
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y =
0) maka besarnya konsumsi adalah 50.
Tentukanlah besar konsumsinya.
Penyelesaian
C = ∫ MPC dy
= ∫ 0,8 dy
5. = ∫ 0,8 y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan
memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat
K sebagai berikut :
C = 0,8 y + K
50 = 0,8 (0) + K
K = 50
Jadi, fungsi konsumsinya
C = f(y)
= 0,8 y + K
= 0,8 y + 50
Contoh 8-4
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah MPC =
0,6 +
0,1
√ 𝑦
. Apabila pendapatan nol (y = 0), konsumsinya sebesar 10.
Tentukanlah fungsi konsumsinya C = f(y).
Penyelesaian
Fungsi konsumsinya
C = ∫ MPC dy
= ∫ (0,6 +
0,1
√ 𝑦
)
= (0,6 + 0,1 𝑦−
1
2)𝑑𝑦
= 0,6y +
0,1
−
1
2
+1
. 𝑦−
1
2
+1
+ 𝐾
= 0,6 y +
0,1
1
2
. 𝑦
1
2 + 𝐾
= 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾
6. Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (K=Konstanta Integrasi) dengan memasukkan
y = 0 dan C (konsumsi) = 10 ke dalam persamaan di atasdi dapat K sebagai berikut :
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾
10 = 0,6(0) + 0,2√0 + 𝐾
𝐾 = 10
Jadi, fungsi konsumsinya,
C = f (y)
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 10
Contoh 8-5
Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,25
Bila pendapatan nasional 100, terjadi tabungan negatif sebesar 10.
Tentukanlah fungsi tabungan, S = f(y) dan tentukanlah pula fungsi konsumsi C =
f(y).
Penyelesaian
MPS = 0,25
S = ∫ MPS dy
= ∫ (0,25) dy
= 0,25y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila K (konstanta Integrasi) dengan memasukkan y
= 100 dan S = -10 ke dalam persamaan di atas di dapat K sebagai berikut :
S = 0,25y + K
-10 = 0,25 (100) + K
-10 = 25 + K
K = -35
Jadi, fungsi tabungannya
S = f (y)
= 0,25y + K
7. = 0,25y - 35
= -35 + 0,25y
Fungsi konsumsinya
Y = C + S
C = y – S
= y – (-35 + 0,25y)
= y + 35 – o,25y
= 35 + 0,75y
Jadi, fungsi konsumsinya,
C = f (y)
= 35+ 0,75y
Contoh 8- 6
Tingkat investasi bersih, l = 20 t2/5 dan stok kapital (modal) pada awal tahun,
t = 0 adalah 75 .
Tentukanlah fungsi kapitalnya
Penyelesaian
l(t) = 20 t2/5
Kt = ∫ l(t) dt = 20 ∫ t2/5 dt
=
20
1 +
2
5
𝑡
7
5
+ 𝐶
=
100
7
𝑡
7
5 + 𝐶
Selanjutnyadicari terlebih dahulu nilai C(konstantaintegrasi) dengan memasukkan
nilai t = 0 dan Kt = 75, kedalam persamaan diatas didapat nilai C sebagai berikut :
8. Kt =
100
7
𝑡
7
5 + 𝐶
75 =
100
7
(0)
7
5 + 𝐶
75 = C
Jadi fungsi kapitalnya
Kt = f(t)
=
100
7
𝑡
7
5 + 75
Contoh 8 – 7
Tingkat investasi bersih adalah l = 50 t2/3 dan stok kapital pada tahun pertama ( t = 1)
adalah 150.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun
ke empat.
Penyelesaian
I = 50 t2/3
K
t = ∫I(t) dt
= ∫(50t2/3) dt = 50 ∫ t2/3 dt
=
50
2
3
+ 1
𝑡
2
3
+1
+ 𝐶
=
50
5
3
𝑡
5
3 + 𝐶
= 30𝑡
5
3 + 𝐶
Dicari terlebih dahulu nilai C (konstanta integrasi) dengan memasukkan t = 1 dan
Kt = 150 ke dalam persamaan di atas, didapat nilai C sebagai berikut :
Kt = 30𝑡
5
3 + 𝐶
9. 150 = 30 (1)
5/3+C
150 = 30(1) + C
C = 120
Jadi, fungsi kapitalnya
Kt = f(t)
= 30𝑡
5
3 + 𝐶
= 30𝑡
5
3 + 120
Besarnya capital pada tahun keempat ( t = 4)
Kt = 30𝑡
5
3 + 120
= 30(4)
5
3 + 120
= 30(10.07) + 120
= 422,1
Contoh 8 – 8
Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang
MC = 3q2 – 24q + 45
Jika untuk memproduksi 1 unit barang tersebut diperlukan biaya 44
tentukanlah :
(a) Fungsi biaya totalnya
(b) Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output
2 unit
Penyelesaian
(a) Fungsi biaya total, → C = ∫ (MC) dq
10. = ∫ (3q2 – 24q + 45) dq
= q3 – 12q2 + 45q + K
SELANJUTNYA NILAI K (KONSTANTA INTEGRASI) DICARI TERLEBIH
DAHULU DENGAN MEMASUKKAN Q = 1 DAN C (BIAYA) = 44 KE DALAM
PERSAMAAN DI ATAS DI DAPAT :
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K
44= (1)3 – 12(1)2 + 45(1) + K
K = 44 – 34
= 10
JADI FUNGSI BIAYA TOTALNYA
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K
= Q3 – 12Q2 + 45Q + 10
(b) Besarnya biaya total, bila q = 2
C = q3 – 12q2 + 45q + 10
= (2)3 – 12(2)2 + 45(2) + 10
= 60
Besarnya biaya rata-rata, bila q = 2
𝐴𝐶 =
𝐶
𝑞
=
𝑞3 − 12𝑞2 + 45𝑞 + 10
𝑞
= 𝑞2 − 12𝑞 + 45 +
10
𝑞
𝑞 = 2 → 𝐴𝐶 = (22) − 12(2) + 45 +
10
2
Besarnya biaya marginal, bila q = 2
MC = 3q2- 24q +45