Dokumen tersebut membahas tentang penerapan integral dalam bidang ekonomi, khususnya untuk mendapatkan fungsi-fungsi ekonomi seperti biaya total, penerimaan total, konsumsi, tabungan, dan kapital dari turunan pertamanya. Secara khusus dijelaskan bagaimana fungsi tersebut dapat dihitung melalui integrasi dari fungsi marginalnya, dan beberapa contoh perhitungan fungsi ekonomi disajikan.

1. APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI
Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang
merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya
total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,
fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan
marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.
Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya
biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan
sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan
total.
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan
sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan
sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.
Fungsi Model (K)
C=∫ MC dq
R=∫ MC dq
C=∫ MPC dy
S=∫ MPS dy

2. Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan
integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan
turunan pertama dari fungsi kapital.
Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi
marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan
konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam
integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan
dengan K.
Contoh 8.1
Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-80q+10q2. Biaya tetapnya adalah 134.
Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya.
Penyelesaian
Fungsi biaya total,
C = ∫ MC dq
= (150 - 80q + 10q2)dq
= 150q − 40q2 +
10
3
(0)3
+ 𝑘
(K = Konstanta Integrasi)
Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC)
sebagai berikut :
FC = 150(0)+ 40(0)2
+
10
3
(0)3
+ K
134 = K = FC
Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :
Kt=∫ I(t) dt

3. C = 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+ 134
Fungsi biaya rata-ratanya
AC =
C
q
=
150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+ 134
q
= 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
+
134
𝑞
Fungsi biaya variabel
VC = C – FC
= (150q − 40q2
+
10
3
( 𝑞)3
+ 134) − 134
= 150q − 40q2
+
10
3
(𝑞)3
Contoh 8.2
Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 4q
(q = kuantitas barang)
Tentukanlah :
(a) Fungsi penerimaan total
(b) Fungsi permintaan
Penyelesaian
(a) Fungsi penerimaan total
R = ∫ MR dq
= ∫ (20 – 4q) dq
= 20q – 2q2 + C

4. Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan
memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C
sebagai berikut :
R = 20 q – 2q2 + C
0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C
C = 0
Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :
R = f(q)
= 20q – 2q2
(b) Fungsi permintaaan
R = q.p → 𝑝 =
𝑅
𝑞
=
20𝑞−2𝑞2
𝑞
𝑝 = 20 − 2𝑞 → 𝑞 = −
1
2
𝑝 + 10
Jadi, fungsi permintaannya adalah q = 𝑞 = −
1
2
𝑝 + 10
Contoh 8-3
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y =
0) maka besarnya konsumsi adalah 50.
Tentukanlah besar konsumsinya.
Penyelesaian
C = ∫ MPC dy
= ∫ 0,8 dy

5. = ∫ 0,8 y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan
memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat
K sebagai berikut :
C = 0,8 y + K
50 = 0,8 (0) + K
K = 50
Jadi, fungsi konsumsinya
C = f(y)
= 0,8 y + K
= 0,8 y + 50
Contoh 8-4
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah MPC =
0,6 +
0,1
√ 𝑦
. Apabila pendapatan nol (y = 0), konsumsinya sebesar 10.
Tentukanlah fungsi konsumsinya C = f(y).
Penyelesaian
Fungsi konsumsinya
C = ∫ MPC dy
= ∫ (0,6 +
0,1
√ 𝑦
)
= (0,6 + 0,1 𝑦−
1
2)𝑑𝑦
= 0,6y +
0,1
−
1
2
+1
. 𝑦−
1
2
+1
+ 𝐾
= 0,6 y +
0,1
1
2
. 𝑦
1
2 + 𝐾
= 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾

6. Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (K=Konstanta Integrasi) dengan memasukkan
y = 0 dan C (konsumsi) = 10 ke dalam persamaan di atasdi dapat K sebagai berikut :
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾
10 = 0,6(0) + 0,2√0 + 𝐾
𝐾 = 10
Jadi, fungsi konsumsinya,
C = f (y)
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 𝐾
C = 0,6y + 0,2√ 𝑦 + 10
Contoh 8-5
Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,25
Bila pendapatan nasional 100, terjadi tabungan negatif sebesar 10.
Tentukanlah fungsi tabungan, S = f(y) dan tentukanlah pula fungsi konsumsi C =
f(y).
Penyelesaian
MPS = 0,25
S = ∫ MPS dy
= ∫ (0,25) dy
= 0,25y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila K (konstanta Integrasi) dengan memasukkan y
= 100 dan S = -10 ke dalam persamaan di atas di dapat K sebagai berikut :
S = 0,25y + K
-10 = 0,25 (100) + K
-10 = 25 + K
K = -35
Jadi, fungsi tabungannya
S = f (y)
= 0,25y + K

7. = 0,25y - 35
= -35 + 0,25y
Fungsi konsumsinya
Y = C + S
C = y – S
= y – (-35 + 0,25y)
= y + 35 – o,25y
= 35 + 0,75y
Jadi, fungsi konsumsinya,
C = f (y)
= 35+ 0,75y
Contoh 8- 6
Tingkat investasi bersih, l = 20 t2/5 dan stok kapital (modal) pada awal tahun,
t = 0 adalah 75 .
Tentukanlah fungsi kapitalnya
Penyelesaian
l(t) = 20 t2/5
Kt = ∫ l(t) dt = 20 ∫ t2/5 dt
=
20
1 +
2
5
𝑡
7
5
+ 𝐶
=
100
7
𝑡
7
5 + 𝐶
Selanjutnyadicari terlebih dahulu nilai C(konstantaintegrasi) dengan memasukkan
nilai t = 0 dan Kt = 75, kedalam persamaan diatas didapat nilai C sebagai berikut :

8. Kt =
100
7
𝑡
7
5 + 𝐶
75 =
100
7
(0)
7
5 + 𝐶
75 = C
Jadi fungsi kapitalnya
Kt = f(t)
=
100
7
𝑡
7
5 + 75
Contoh 8 – 7
Tingkat investasi bersih adalah l = 50 t2/3 dan stok kapital pada tahun pertama ( t = 1)
adalah 150.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun
ke empat.
Penyelesaian
I = 50 t2/3
K
t = ∫I(t) dt
= ∫(50t2/3) dt = 50 ∫ t2/3 dt
=
50
2
3
+ 1
𝑡
2
3
+1
+ 𝐶
=
50
5
3
𝑡
5
3 + 𝐶
= 30𝑡
5
3 + 𝐶
Dicari terlebih dahulu nilai C (konstanta integrasi) dengan memasukkan t = 1 dan
Kt = 150 ke dalam persamaan di atas, didapat nilai C sebagai berikut :
Kt = 30𝑡
5
3 + 𝐶

9. 150 = 30 (1)
5/3+C
150 = 30(1) + C
C = 120
Jadi, fungsi kapitalnya
Kt = f(t)
= 30𝑡
5
3 + 𝐶
= 30𝑡
5
3 + 120
Besarnya capital pada tahun keempat ( t = 4)
Kt = 30𝑡
5
3 + 120
= 30(4)
5
3 + 120
= 30(10.07) + 120
= 422,1
Contoh 8 – 8
Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang
MC = 3q2 – 24q + 45
Jika untuk memproduksi 1 unit barang tersebut diperlukan biaya 44
tentukanlah :
(a) Fungsi biaya totalnya
(b) Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output
2 unit
Penyelesaian
(a) Fungsi biaya total, → C = ∫ (MC) dq

10. = ∫ (3q2 – 24q + 45) dq
= q3 – 12q2 + 45q + K
SELANJUTNYA NILAI K (KONSTANTA INTEGRASI) DICARI TERLEBIH
DAHULU DENGAN MEMASUKKAN Q = 1 DAN C (BIAYA) = 44 KE DALAM
PERSAMAAN DI ATAS DI DAPAT :
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K
44= (1)3 – 12(1)2 + 45(1) + K
K = 44 – 34
= 10
JADI FUNGSI BIAYA TOTALNYA
C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K
= Q3 – 12Q2 + 45Q + 10
(b) Besarnya biaya total, bila q = 2
C = q3 – 12q2 + 45q + 10
= (2)3 – 12(2)2 + 45(2) + 10
= 60
Besarnya biaya rata-rata, bila q = 2
𝐴𝐶 =
𝐶
𝑞
=
𝑞3 − 12𝑞2 + 45𝑞 + 10
𝑞
= 𝑞2 − 12𝑞 + 45 +
10
𝑞
𝑞 = 2 → 𝐴𝐶 = (22) − 12(2) + 45 +
10
2
Besarnya biaya marginal, bila q = 2
MC = 3q2- 24q +45

11. = 3(2)2 – 24(2) + 45
= 9