integral

1. Integral

2. Pengertian Integral
Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
maka F(x) merupakan antiturunan
atau integral dari f(x).

3. Pengintegralan fungsi f(x) terhadap
x dinotasikan sebagai berikut :
 notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
 f(x) fungsi integran
 F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x)
f(x)
 c konstanta pengintegralan
    c
x
F
dx
x
f 




4. Jika f ‘(x) = xn, maka
, n ≠ -1, dengan c
sebagai konstanta
  c
x
n
x
f n


 1
1
1

6. Integral Tak Tentu
 apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval
sedemikian hingga maka antiturunan
dari f(x) adalah F(x) + c
 Secara matematis, ditulis
    c
x
F
dx
x
f 



7. di mana
 Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi
yang dicari antiturunannya
c Konstanta
dx

8. ATURAN ATURAN INTEGRAL

9. Aturan 1
 Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.
Contoh :
c
x
n
dx
x n
n


 

1
1
1

10. Aturan 2
 Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
 Contoh :
∫5xdx = 5∫xdx = 5
𝑥2
2
+ k =
5𝑥2
2
+ k
   
 
 dx
x
f
k
dx
x
kf

11. Aturan 3
 Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
 Contoh:
 ∫(4x – 5)dx = ∫4xdx - ∫5dx
 =
4𝑥2
2
+ 𝑘1- 5x + 𝑘2
 = 2𝑥2
- 5x + 𝑘1+ 𝑘2
 = 2𝑥2
- 5x + 𝑘
   
     
  


 dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f

12. Aturan 4
 Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
 Contoh:
 ∫(X² + 3x + 7)dx = ∫x²dx + ∫3xdx +
∫7dx
 = [
𝑥3
3
+ 𝑘1]+[
3𝑥2
2
+𝑘2] + (7x+𝑘3)
 = 1/3𝑥3
+ 3/2𝑥2
+ 7x + k

   
     
  


 dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f

13. Aturan 5
 Aturan integral substitusi
 Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional
tak nol maka
, dimana c
adalah konstanta dan r ≠ -1.
 
     
 
 



c
x
u
r
dx
x
u
x
u
t
r 1
1
1
'

14. Contoh Aturan 5
 Carilah ∫(3𝑥 − 8)5
dx
 Penyelesaian :
 Misalkan U = 3x-8, maka
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 3 atau
 dx =
1
3
du
 ∫ 𝑢5 1
3
𝑑u =
1
5+1
𝑢5+1 .
1
3
+ c

1
6
𝑢6.
1
3
+ c

1
18
𝑢6 + c

𝟏
𝟏𝟖
(𝟑𝒙 − 𝟖)𝟔
+ c

15. Teorema 6
Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan, maka

 
 vdu
uv
udv

16. Teorema 7
 Aturan integral trigonometri
 dimana c adalah konstanta.
c
x
x
c
x
xdx
c
x
xdx










tan
cos
1
cos
sin
sin
cos
2

17. Integral dengan bentuk
 Pengintegralan bentuk
dilakukan dengan menggunakan subtisusi
dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t.
Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti
ini
2
2
2
2
2
2
,
, a
x
x
a
x
a 


2
2
2
2
2
2
,
, a
x
x
a
x
a 



18.  
x
a
x
a
t
a
t
a
a
x
a
cos
cos
sin
1
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2







 
x
a
x
a
t
a
t
a
a
x
a
sec
sec
tan
1
tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2







 
x
a
x
a
t
a
a
t
a
a
x
tan
tan
1
sec
sec
2
2
2
2
2
2
2
2
2








19. Ingat :
  c
b
ax
a
dx
b
ax 



 sin
1
)
cos(
  c
b
ax
a
dx
b
ax 




 cos
1
)
sin(
  c
b
ax
a
dx
b
ax 



 tan
1
)
(
sec2

20. Integral Tertentu
 Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a,
b], maka

adalah integral tertentu terhadap fungsi
f dari a ke b. Pengintegralannya
dituliskan sebagai berikut.
 

b
a
dx
x
f

21.  dengan:
f(x)fungsi integran
a batas bawah
b batas atas
   
     
a
F
b
F
x
f
dx
x
f
b
a
b
a





22. Teorema Dasar Kalkulus
 Jika f kontinu pada interval dan
andaikan F sembarang
antiturunan dari f pada interval
tersebut, maka
 
     
a
F
b
F
x
f
b
a 


23. Teorema 1
Kelinearan
 Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,
maka
   
   
     
   
     















b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
f
k
dx
x
kf

24. Teorema 2
 Perubahan batas
 Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:
 
 
a
a
dx
x
f 0
   

 

b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f

25. Teorema 3
Teorema penambahan interval
 Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b,
dan c,
Maka
     
 
 

c
a
c
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f

26. Teorema 4
 Kesimetrian
 Jika f fungsi genap, maka
 Jika f fungsi ganjil, maka
   
 


a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
2
  0



a
a
dx
x
f

27. Menentukan Luas Daerah
1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0
pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut.
   


b
a
dx
x
f
R
L

28. y = f(x)
L(R)
a
b
Grafik kurva di atas sumbu -
x

29. 2. Menentukan Luas Daerah di
Bawah Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0
pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1,
maka luas daerah S adalah
   



b
a
dx
x
f
S
L

30. Grafik kurva di bawah
sumbu-x
y = f(x)
a b
Luas daerah di bawah sumbu
S

31. 3. Menentukan Luas Daerah yang
Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan
sumbu-x
 Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) ≥ 0
pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b, c], maka luas daerah T
adalah
     

 

b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
T
L

32.  Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi
T1 dan T2 masing- masing pada interval [a, b] dan [b,
c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas
darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2
sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x.

33. Grafik kurva y = f(x) dan sumbu-x
y = f(x)
a c
b
T1
T2
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu x

34. 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di
Antara Dua Kurva
 Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
 L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD
b
a
U

35.  ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x = a, x = b,
dan y = 0 sehingga
Luas ABEF
 Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x =
a, x = b, dan y = 0 sehingga
Luas ABEF
 


b
a
dx
x
f
 


b
a
dx
x
g

36.  Dengan demikian, luas daerah U adalah
         
 


 



b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
U
L

37. Menentukan volume Benda
Putar
 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar
Mengelilingi Sumbu-x
 Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas
dikali tinggi. Secara matematis, ditulis
V = A . h

38.  perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-
penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas
tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas
penampang di x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a, b]
dengan titik-titik bagi a = x0 < x1< x2< ... < xn = b.

39.  Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada
sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda
menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu
lempengan ini dapat dianggap sebagai volume
tabung, yaitu
, dengan .
  i
i x
x
A
V 


i
i
i x
x
x 

1

40. Kita dapatkan
kemudian akan menjadi
 




n
t
i
i x
x
A
V
1
 


b
a
dx
x
A
V

41.  A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini
berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah
fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar
dapat dinyatakan sebagai
 
 


b
a
dx
x
f
V
2


42.  Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x,
garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar
yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x
adalah
 
 

 dx
x
f
V
2


43. 2. Menentukan Volume Benda Putar
yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
 Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x
f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x = b, dengan a < b,
maka volume benda putar yang diperoleh dengan
memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.
 


b
a
dy
y
f
V 

44. Grafik Volume Benda Putar yang Diputar
Mengelilingi Sumbu-y
Volume benda putar mengelilingi
sumbu y

45. 3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi
Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-x
 Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan ,
pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x
seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka
volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai
berikut.
   
   
 
 
 
 dx
x
g
x
f
T
V
2
2


46. Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi
Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-x
Volume benda putar yang dibatasi kueva f(x) dan g(x) jika diputar
mengelilingi sumbu x

47. 4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi
Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-y
 Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y)
dengan pada interval [a, b] diputar mengelilingi
sumbu-y. Seperti yang telah
 dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar
yang diperoleh adalah sebagai berikut.
   
   
 
 
 

b
a
dx
x
g
x
f
U
V
2
2


48. Grafik Volume Benda Putar yang
Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar
Mengelilingi Sumbu-y