Dokumen tersebut membahas tentang turunan parsial yang menjelaskan turunan fungsi dua variabel dengan memperlakukan salah satu variabel sebagai konstan. Selanjutnya membahas diferensial total yang merupakan jumlah dari turunan parsial terhadap setiap variabel. Aturan rantai juga dijelaskan untuk menentukan turunan suatu fungsi yang merupakan fungsi dari variabel lain.

1. TURUNAN PARSIAL
MATERI KALKULUS II

2. Turunan Parsial
• Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi
disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah
turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur
kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.
• Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis
didefinisikan sbb.





 





 h
y
x
f
y
h
x
f
y
x
f
y
x
f
x h
x
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
)
,
( y
x
f
y
x
f
x
z
x
x







3. • Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis
didefinisikan sbb.
Contoh:
)
,
(
)
,
( y
x
f
y
x
f
y
z
y
y











 





 k
y
x
f
k
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y k
y
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
0
  .
2
2
lim
2
lim
]
[
]
)
[(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
x
:
Lengkapnya
.
2
maka
)
,
(
0
2
0
2
2
2
2
0
0
2
2
x
h
x
h
h
xh
h
y
x
y
h
x
h
y
x
g
y
h
x
g
y
x
g
x
z
x
y
x
y
x
g
z
h
h
h
h










 








 









 















4. x
f

 adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y
y
f


Lambang lain
y
f


x
f


= fx (x,y) (1.a) = fy (x,y) (1.b)

5. xx
f
x
f
x
f
x














2
2
yy
f
y
f
y
f
y
















2
2 yx
f
y
x
f
y
f
x
















 2
Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan
fungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut,
disebut turunan parsial kedua.

6. Contoh
)
cos(
2
xy
y
y
x
f




)
cos(
2 xy
x
xy
y
f




xy
x
x
xy
x
xy
y
y
f
y
y
f
sin
2
))
cos(
2
( 2
2
2





















  xy
y
xy
y
y
x
x
f
x
x
f
sin
)
cos( 2
2
2
2


















  )
cos(
cos
2
)
cos(
2
xy
xy
xy
y
xy
y
y
y
x
f
y

















  )
cos(
cos
2
)
cos(
2 xy
xy
xy
y
xy
x
xy
x
y
f
x










































x
f
y
y
f
x
Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka ..,

7. SOAL LATIHAN
• Tentukan turunan parsial fungsi-fungsi di bawah
ini:
1. z = ln y
x 
2. z = 36 – x2
– y2
3. z = 3 -
)
sin(
1
y
x 
4. z = xy2
– 2x2
+ 3y3
5. z = arc tan
x
y
6. F(x,y,z) = xy – yz + xz
7. F(x,y,z) = 3 2
2
2
z
y
x 

8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e xy
9. F(x,y,z) = arc sin 





z
xy

8. Differensial Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka
diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-
turut dinotasikan dengan
x
y
x
F
x
z




 )
,
(
------------- (1) dan
y
y
x
F
y
z




 )
,
(
------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dx
x
y
x
F
dz



)
,
(
dan dy
y
y
x
F
dz



)
,
(
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = dx
x
y
x
F

 )
,
(
+ dy
y
y
x
F

 )
,
(
Bentuk di atas disebut diferensial total.

9. Contoh :
Hitunglah diferensial total fungsi pada
f(x,y)=xy2 – sin (xy).
Jawab.
fx = y2 – y cos (xy) dan fy = 2xy - x cos (xy)
Sehingga turunan totalnya :
df = (y2 – y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy

10. Aturan Rantai
• Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial,
terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai
turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t),
y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial
• Contoh:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






?
; 3
2




dt
dw
t
y
t
x
e
w xy

11. • Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi
dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara
dan variabel bebas.
Aturan rantai menghasilkan:
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz






















12. Contoh:
Diketahui u= x2
+ y2
; x= re s
; dan y= re –s
Maka tentukanlah:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
,
𝑑𝑢
𝑑𝑦
,
𝑑𝑥
𝑑𝑟
,
𝑑𝑥
𝑑𝑠
,
𝑑𝑦
𝑑𝑟
,
𝑑𝑦
𝑑𝑠
,
𝑑𝑢
𝑑𝑟
, dan
𝑑𝑢
𝑑𝑠
Jawab:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2x
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 2y
𝑑𝑥
𝑑𝑟
= es 𝑑𝑦
𝑑𝑟
= e-s
𝑑𝑥
𝑑𝑠
= res 𝑑𝑦
𝑑𝑠
= - re-s
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑟
+
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑟
=( 2x)(es
) + (2y)( e-s
) = 2xes
+ 2ye-s
𝑑𝑢
𝑑𝑠
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=(2x)( res
)+ (2y)( - re-s
) = 2x res
- 2y re-s
= r (2xes
- 2ye- s