BAB II
HIMPUNAN
2.1 Definisi
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objekobjek yang berbeda dan tidak memperhatikan
urutan penulisan
2.2 Penyajian himpunan
a. Tabulasi atau enumerasi
b. Notasi pembentuk himpunan (set builder)
c. Diagram Venn
a. Tabulasi atau enumerasi
Contoh 2.1
Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang
tidak lebih dari seribu.
B = { 0, 2, 4, … , 1000}
Contoh 2.2
Misal C adalah himpunan bilangan ganjil positif yang
lebih kecil dari 100.
C = { 1, 3, 5, … , 97, 99}

b. Notasi pembentuk himpunan (set builder)
Contoh 2.3
A adalah himpunan bilanganb ril lebih kecil dari 100
dan lebih besar dari 1.
A = { x | x ∈ R, 1 < x < 100}
c. Diagram Venn
Misal A = {1, 2, 3, 4}
B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10}
Diagram Venn
S
1
2
9

A

3
4

B

5 6
7 8
10
2.3 Kardinalitas
Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinalitas A ditulis
n(A) atau |A|
Contoh 2.4
Jika A = { x | x bilangan prima, x ≤ 10}
Maka dapat ditulis A = {2, 3, 5, 7}
Jadi |A| = 4
Contoh 2.5
Jika B = {x|x2 – 6x + 9 = 0 }
Maka dapat ditulis B = { 3 }
Jadi |B| = 1
2.4 Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunya
anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø
atau { }.
Contoh 2.6

K = { x | x bilangan ril, x 2 + 1 = 0 }
Maka |K| = Ø atau { }.
2. 5. Himpunan bagian (subset)

Misal terdapat himpunan A dan B. Jika seluruh anggota
himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka
dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B, dan dit
A ⊆ B.

Jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota himpunan B tid
termasuk anggota himpunan A, maka ditulis
A⊂B

Lambang ⊆ adalah lambang himpunan bagian tak sebenarn
(improper set). Sedangkan lambang ⊂ adalah lambang
himpunan bagian sebenarnya (proper set)
Jika A ⊆ B dan B ⊆ A, maka A = B
2.6 Kesamaan himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan
hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan
himpunan bagian A.

Dengan menggunakan lambang
matematika
kita dapat
menulisnya dalam bentuk A = B ↔ A ⊆ B dan
B ⊆ A.
Contoh 2.7

L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x 2 – 5x + 6
Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut
diatas dalam
bentuk enumerasi.
L = { 2,3}
M = { 2,3}
Jadi L = M
Contoh 2.8

A={2}
B = { x | x2 = 4 }
Karena B = { -2 , 2 }
Maka A ≠ B.

.7. Ekivalensi himpunan
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan
hanya jika kardinal A = kardinal B.
Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis
menjadi
A ~ B ⇔ |A| = |B|
Contoh 2.9
Jika A = { x | x = P , 1 ≤ x ≤ 5} dan
B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena |A| = |B|, maka A ~ B .
2.8. Himpunan saling lepas

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya
tidak mempunyai anggota yang sama.
Dalam bentuk
lambang dapat ditulis dengan
A//B.
Jika digambarkan dengan diagram Venn maka
bentuknya seperti gambar berikut.
S

Contoh 2.10

A

B

A = { x | 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan
anggota B, maka A // B.
2.9. Himpunan kuasa

Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yan
anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A
termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendi
Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan
P(A) atau 2 A .
Contoh 2.11

Jika M = { 1,2,3 }, maka himpunan kuasa dari M adalah
2 A = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}
.10. Operasi himpunan

2.10.1 Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan
anggota
himpunan
A
dan
himpunan B.
Dalam bentuk notasi A ∩ B = { x | x ∈ A dan
x ∈ B}. Venn operasi irisan adalah
Diagram
seperti gambar berikut. Bidang yang
diarsir adalah irisan A dan B atau A ∩ B.
S

A

B
Contoh 2.12

Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 }
B = { 2 , 7 , 9 , 10 }
Maka A ∩ B = { 2 , 7 }

S

A
3
6

B
7
2 9
7 10

Contoh 2.13

Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y ∈ R }
L = { x ,y | x − y = 2, x,y ∈ R }
Maka K ∩ L = { 3 , 1 }
L
S K
3
1
2.10.2
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah
Gabungan
himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota
himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebaga
A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar
berikut. Bidang yang diwarnai adalah gabungan A dan B
atau A ∪ B
S

A

B
Contoh 2.14

Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 }
B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 }
Maka A ∪ B = { 2 , 3 , 7 , 9 }.
S

A

1
6

2
3
7
9

B
4
10
2.10.3 Komplemen

Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan
semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotan
merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggo
himpunan A.
Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x ∈ S dan x ∉ A}.
Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut.
Bidang yang diarsir adalah Ā.
S

A
S
A
Contoh 2.15

ika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
A ={2,3,4,5}
Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }.
S

A
2

3

4 5

1 6
7 8
8 9
A
2.10.4 Selisih

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B
adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya
merupakan anggota himpunan A saja . Dalam bentuk nota
ditulis sebagai ,
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}.

Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diars
pada gambar berikut.
S

A

B
Contoh 2.16

Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
B = { 3 , 4 , 5, 10 }
Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }.
S

B

A
6

7

3

8

9

5

4

10
.10.5 Beda setangkup
Beda
setangkup
(symmetric
difference)
himpunan A
dan himpunan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya
hanya
merupakan
anggota
himpunan A saja
atau himpunan B saja.
A ⊕ B = (A ∪ B) – ( A ∩B) = ( A – B ) ∪ ( B
–A).
Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang
yang diarsir
pada gambar berikut.
S

A

B
Contoh 2.17

ka A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
Maka A ⊕ B = { 1 , 9 , 10 }.
S

A

1

2
4
6

B

8

3
5
7

9
10
2.10.6 Perkalian Kartesian

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalia
Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotan
merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan
komponen pertama berasal dari himpunan A dan kompon
kedua berasal dari himpunan B.
Dalam bentuk notasi dapat ditulis
sebagai ,
A x B = { (a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}.
Hal yang perlu diingat :

• Jika A dan B ≠ Ø, maka A x B ≠ B x A
• Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø
• |A x B| = |A| . |B|
Contoh 2.18

Misal C = { 1 , 2 , 3 }
D={a,b}
C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) ,
(3,b)}

10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi

| A∪B| = |A| + |B| - |A ∩B|

|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩B| – |B∩C| – |A∩C| + |A∩B
|A ⊕ B| = |A| + |B| - 2|A ∩B|
2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip
dualitas
Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah
himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan
dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan
cara mengganti:
∪
∩
Ø
S

dengan
dengan
dengan
dengan

∩
∪
S
Ø

Berikut disajikan beberapa sifat dari
operasi himpunan dan dualnya.
Hukum

1. Identitas
2. Null

:A ∪Ø=A

:A ∩Ø=Ø

3. Komplemen : A ∪ Ā = S
4. Idempoten

:A ∪A=A

5. Penyerapan : A ∪ ( A ∩ B)
6. Komutatif

7. Asosiatif
=A

Dual

A∩S=A
A∪S=S

A∩Ā=Ø
A∩A=A

A ∩ ( A ∪ B) = A

: A ∪B=B∪ A∩B=B∩A

A∪ B = A ∩ B
:A ∪(B∪

A∩ B = A ∪ B
A∩(B∩C)=
1. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya

Pada himpunan ganda, setidak-tidaknya terdapat
satu
anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain
itu kita
juga mengenal istilah multiplisitas , yaitu jumlah
Sebagai contoh, jika = { 1 , 1 2 , 2 , 2 , , 7 , 8
kemunculan anggotaQdari suatu, himpunan4ganda.
, 8 , 9 },
maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan
multipilisitas 8 adalah 2 dst.
.11.1 Operasi Gabungan

Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan
antara keduanya akan menghasilkan multiset yang
multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan
multiplisitas maksimum anggota-anggota pada
himpunan ganda S dan T.
Contoh 2.19

Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali,
Gani }
S ∪ T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim,
Ali, Ali, Gani }
2.11.2 Operasi Irisan

Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara
keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisit
anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimu
anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.
Contoh 2.20
Jika

S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali,
Ali, Gani }
S ∩ T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }
2.11.3 Operasi selisih

Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih
S – T akan
menghasilkan multiset yang multiplisitas
anggota- Jika anggotanya ditentukan dengan cara:
multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb
besar pada S, maka cari S–T
- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb
besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama
tersebut sama dengan 0.
Contoh 2.21
Jika

S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali,
Gani }
S – T = { Karim, Karim }
2.11.4 Operasi jumlah

Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S +
akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggotaanggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing
masing anggota yang sama.
Contoh 2.21

Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani }
S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim,
Karim, Ali,
Ali, Ali, Gani }

12. Pembuktian pernyataan himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunaka
diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan at
definisi.
2.12.1
Pembuktian dengan menggunakan
diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpun
dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama
Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan
kesamaan.
Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn
tersebut sama maka kesamaan tersebut
terbukti benar.

Contoh 2.21

Buktikan bahwa : A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Penyelesaian
A ∪ ( B ∩ C)

=

S

( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
S

A

A

B

B

=
C
Terbuktikan bahwa
(A ∪ C)

C
A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩
2.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan

Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan
tabel
keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari
pernyataan himpunan.
Contoh 2.22
Buktikan bahwa A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩
(A ∪ C)
Bukti
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)
A
0

B
0

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0

0

0

0

0
)

(A∪B) ∩
0

( A∪C)
A
0
0

B
0
0

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1

0
0

0
1

0
0

0
0
)

(A∪B) ∩
0
0

( A∪C)
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0

0
0

0
1

0
0
1

0
1
0

0
0
0

0
0
0
)

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0

0
0
1

0
1
1

0
0
1
1

0
1
0
1

0
0
0
1

0
0
0
)
1

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
1
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0
1

0
0
1
0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1
1

0
1
1

1
0
1

0
0
1

0
0
)
1

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
1
1
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0
1
1

0
0
1
0
0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1
1
1

0
1
1
1

1
0
1
1

0
0
1
0

0
0
)
1
1

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
1
1
1
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0
1
1
1

0
0
1
0
0
1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1
1
1
0

0
1
1
1
1

1
0
1
1
1

0
0
1
0
0

0
0
)
1
1
1

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
1
1
1
1
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
0
0
1
1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1
1
1
0
1

0
1
1
1
1
1

1
0
1
1
1
1

0
0
1
0
0
1

0

(A∪B) ∩
0
0

0
)
1

0
( A∪C)
1

1

1

1
1

1
1
1
A

B

C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

0

1

0

0
0
0
1
1

0
0
1
0
0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1
1
1

0
1
1
1

1
0
1
1

0
0
1
0

0
0
)
1
1

1 1 0
1
1
Perhatikan bahwa kolom 0 dan 81sama,
7
artinya 1
A∪(B∩C) 1 = 1
(A∪B)∩(A∪C)
1 1
1
1
(terbukti).

(A∪B) ∩
0
0

0
( A∪C)
1
1
1
1
1
2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi
himpunan
Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan
himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi
himpunan.
Contoh 2.23

Buktikan bahwa : (Ā ∪ B) ∩ (A ∪ B)
=B
Bukti
(Ā ∪ B) ∩ (A ∪
distributif
B ∪ (Ā ∩ A)
komplemen
B ∪ ∅
identitas
B

B)

gunakan hukum

gunakan hukum

gunakan hukum

Himpunan

  • 1.
  • 2.
    2.1 Definisi Himpunan didefinisikansebagai kumpulan objekobjek yang berbeda dan tidak memperhatikan urutan penulisan 2.2 Penyajian himpunan a. Tabulasi atau enumerasi b. Notasi pembentuk himpunan (set builder) c. Diagram Venn
  • 3.
    a. Tabulasi atauenumerasi Contoh 2.1 Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari seribu. B = { 0, 2, 4, … , 1000} Contoh 2.2 Misal C adalah himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 100. C = { 1, 3, 5, … , 97, 99} b. Notasi pembentuk himpunan (set builder) Contoh 2.3 A adalah himpunan bilanganb ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1. A = { x | x ∈ R, 1 < x < 100}
  • 4.
    c. Diagram Venn MisalA = {1, 2, 3, 4} B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10} Diagram Venn S 1 2 9 A 3 4 B 5 6 7 8 10
  • 5.
    2.3 Kardinalitas Kardinalitas menunjukkanjumlah anggota himpunan. Jika terdapat himpunan A, maka kardinalitas A ditulis n(A) atau |A| Contoh 2.4 Jika A = { x | x bilangan prima, x ≤ 10} Maka dapat ditulis A = {2, 3, 5, 7} Jadi |A| = 4 Contoh 2.5 Jika B = {x|x2 – 6x + 9 = 0 } Maka dapat ditulis B = { 3 } Jadi |B| = 1
  • 6.
    2.4 Himpunan kosong Himpunankosong adalah himpunan yang tidak mempunya anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { }. Contoh 2.6 K = { x | x bilangan ril, x 2 + 1 = 0 } Maka |K| = Ø atau { }.
  • 7.
    2. 5. Himpunanbagian (subset) Misal terdapat himpunan A dan B. Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B, dan dit A ⊆ B. Jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota himpunan B tid termasuk anggota himpunan A, maka ditulis A⊂B Lambang ⊆ adalah lambang himpunan bagian tak sebenarn (improper set). Sedangkan lambang ⊂ adalah lambang himpunan bagian sebenarnya (proper set) Jika A ⊆ B dan B ⊆ A, maka A = B
  • 8.
    2.6 Kesamaan himpunan HimpunanA dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika kita dapat menulisnya dalam bentuk A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A. Contoh 2.7 L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x 2 – 5x + 6 Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi. L = { 2,3} M = { 2,3} Jadi L = M
  • 9.
    Contoh 2.8 A={2} B ={ x | x2 = 4 } Karena B = { -2 , 2 } Maka A ≠ B. .7. Ekivalensi himpunan Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B ⇔ |A| = |B| Contoh 2.9 Jika A = { x | x = P , 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena |A| = |B|, maka A ~ B .
  • 10.
    2.8. Himpunan salinglepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut. S Contoh 2.10 A B A = { x | 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B.
  • 11.
    2.9. Himpunan kuasa Himpunankuasa (power set) adalah suatu himpunan A yan anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendi Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan P(A) atau 2 A . Contoh 2.11 Jika M = { 1,2,3 }, maka himpunan kuasa dari M adalah 2 A = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}
  • 12.
    .10. Operasi himpunan 2.10.1Irisan Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk notasi A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B}. Venn operasi irisan adalah Diagram seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A ∩ B. S A B
  • 13.
    Contoh 2.12 Jika A= { 2 , 3 , 6 , 7 } B = { 2 , 7 , 9 , 10 } Maka A ∩ B = { 2 , 7 } S A 3 6 B 7 2 9 7 10 Contoh 2.13 Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y ∈ R } L = { x ,y | x − y = 2, x,y ∈ R } Maka K ∩ L = { 3 , 1 } L S K 3 1
  • 14.
    2.10.2 Gabungan (union) darihimpunan A dan B adalah Gabungan himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebaga A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}. Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diwarnai adalah gabungan A dan B atau A ∪ B S A B
  • 15.
    Contoh 2.14 Jika A= { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 } Maka A ∪ B = { 2 , 3 , 7 , 9 }. S A 1 6 2 3 7 9 B 4 10
  • 16.
    2.10.3 Komplemen Komplemen suatuhimpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotan merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggo himpunan A. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x ∈ S dan x ∉ A}. Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā. S A S A
  • 17.
    Contoh 2.15 ika S= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } A ={2,3,4,5} Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }. S A 2 3 4 5 1 6 7 8 8 9 A
  • 18.
    2.10.4 Selisih Jika terdapathimpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja . Dalam bentuk nota ditulis sebagai , A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}. Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diars pada gambar berikut. S A B
  • 19.
    Contoh 2.16 Jika A= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } B = { 3 , 4 , 5, 10 } Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }. S B A 6 7 3 8 9 5 4 10
  • 20.
    .10.5 Beda setangkup Beda setangkup (symmetric difference) himpunanA dan himpunan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau himpunan B saja. A ⊕ B = (A ∪ B) – ( A ∩B) = ( A – B ) ∪ ( B –A). Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut. S A B
  • 21.
    Contoh 2.17 ka A= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Maka A ⊕ B = { 1 , 9 , 10 }. S A 1 2 4 6 B 8 3 5 7 9 10
  • 22.
    2.10.6 Perkalian Kartesian Jikaterdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalia Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotan merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan kompon kedua berasal dari himpunan B. Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai , A x B = { (a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}. Hal yang perlu diingat : • Jika A dan B ≠ Ø, maka A x B ≠ B x A • Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø • |A x B| = |A| . |B|
  • 23.
    Contoh 2.18 Misal C= { 1 , 2 , 3 } D={a,b} C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)} 10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi | A∪B| = |A| + |B| - |A ∩B| |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩B| – |B∩C| – |A∩C| + |A∩B |A ⊕ B| = |A| + |B| - 2|A ∩B|
  • 24.
    2.10.8 Sifat-sifat operasihimpunan dan prinsip dualitas Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan cara mengganti: ∪ ∩ Ø S dengan dengan dengan dengan ∩ ∪ S Ø Berikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya.
  • 25.
    Hukum 1. Identitas 2. Null :A∪Ø=A :A ∩Ø=Ø 3. Komplemen : A ∪ Ā = S 4. Idempoten :A ∪A=A 5. Penyerapan : A ∪ ( A ∩ B) 6. Komutatif 7. Asosiatif =A Dual A∩S=A A∪S=S A∩Ā=Ø A∩A=A A ∩ ( A ∪ B) = A : A ∪B=B∪ A∩B=B∩A A∪ B = A ∩ B :A ∪(B∪ A∩ B = A ∪ B A∩(B∩C)=
  • 26.
    1. Himpunan ganda(multiset) dan operasinya Pada himpunan ganda, setidak-tidaknya terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain itu kita juga mengenal istilah multiplisitas , yaitu jumlah Sebagai contoh, jika = { 1 , 1 2 , 2 , 2 , , 7 , 8 kemunculan anggotaQdari suatu, himpunan4ganda. , 8 , 9 }, maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst.
  • 27.
    .11.1 Operasi Gabungan MisalS dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh 2.19 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S ∪ T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }
  • 28.
    2.11.2 Operasi Irisan MisalS dan T adalah multiset. Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisit anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimu anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. Contoh 2.20 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S ∩ T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }
  • 29.
    2.11.3 Operasi selisih MisalS dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota- Jika anggotanya ditentukan dengan cara: multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb besar pada S, maka cari S–T - Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0. Contoh 2.21 Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } S – T = { Karim, Karim }
  • 30.
    2.11.4 Operasi jumlah MisalS dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggotaanggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing masing anggota yang sama. Contoh 2.21 Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani } S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Ali, Gani } 12. Pembuktian pernyataan himpunan Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunaka diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan at definisi.
  • 31.
    2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagramVenn Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpun dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar. Contoh 2.21 Buktikan bahwa : A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Penyelesaian
  • 32.
    A ∪ (B ∩ C) = S ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) S A A B B = C Terbuktikan bahwa (A ∪ C) C A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩
  • 33.
    2.2 Pembuktian denganmenggunakan tabel keanggotaan Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan. Contoh 2.22 Buktikan bahwa A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Bukti
  • 34.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C ) (A∪B) ∩ ( A∪C)
  • 35.
    A 0 B 0 C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 0 0 0 0 ) (A∪B) ∩ 0 ( A∪C)
  • 36.
    A 0 0 B 0 0 C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) (A∪B) ∩ 0 0 ( A∪C)
  • 37.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C)
  • 38.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) 1 (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C) 1
  • 39.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 ) 1 (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C) 1 1
  • 40.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ) 1 1 (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C) 1 1 1
  • 41.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 ) 1 1 1 (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C) 1 1 1 1
  • 42.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 (A∪B) ∩ 0 0 0 ) 1 0 ( A∪C) 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 43.
    A B C A∪B A∪CB∩C A∪(B∩C 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ) 1 1 1 1 0 1 1 Perhatikan bahwa kolom 0 dan 81sama, 7 artinya 1 A∪(B∩C) 1 = 1 (A∪B)∩(A∪C) 1 1 1 1 (terbukti). (A∪B) ∩ 0 0 0 ( A∪C) 1 1 1 1 1
  • 44.
    2.12.3 Pembuktian denganmenggunakan sifat operasi himpunan Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi himpunan. Contoh 2.23 Buktikan bahwa : (Ā ∪ B) ∩ (A ∪ B) =B Bukti (Ā ∪ B) ∩ (A ∪ distributif B ∪ (Ā ∩ A) komplemen B ∪ ∅ identitas B B) gunakan hukum gunakan hukum gunakan hukum