Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan ordinat. Secara khusus dijelaskan tentang pengertian luas daerah, rumus integral untuk menghitung luas daerah, contoh soal, serta penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

1. PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Pengertian Luasan
Tujuannya adalah mencari luas
daerah yang diarsir yang
dibatasi oleh kurva y=f(x),
sumbu x dan ordinat di x=a
dan x=b.
Misalkan P(x,y) adalah sebuah
titik pada kurva y=f(x) dan
misalkan Ax menyatakan luas
dibawah kurva yang
dibatasinya diukur dari sebuah
titik di kiri kurva
Jika pita dipotong setinggi P,
maka dapat dilihat bahwa
luasan pita secara pendekatan
sama dengan luas segi empat
dimana segitiga PQR dianggap
kecil jadi diabaikan.
Luas pita = δ Ax ≈ y.δ x
atau y
x
Ax
≈
δ
δ

2. (a) (b)
Jika ruas kanan dan kiri diintegrasi maka
didapat sbb :
Jika Ax = ∫ dxy menyatakan luas daerah sampai ke titik P(x,y).
`
Jika proses diteruskan bidang
gb. a dipenggal sebanyaknya
menjadi gb. b sehingga
0→xδ akhirnya kesalahan
daerah yang diarsir ini hilang
maka
dx
dA
x
A xx
→
δ
δ
y
dx
dAx
=∴ (bukan pende-
katan lagi)
dapat diabaikan
a) Jika subsitusikan x=b,
diperoleh luas daerah
sampai ke titik L yaitu
Ab = ∫ dxy dgn x=b.
b) Jika subsitusikan x=a,
diperoleh luas daerah
sampai ke titik K yaitu
Aa = ∫ dxy dgn x=a.
cxF
dxxfdxyAx
+=
== ∫∫
)(
)(

3. Jika hasil pertama kurangi dengan hasil kedua, akan diperoleh luas kurva
diantara ordinat x = a dan x=b.
a dan b adalah harga batas integral.
2. Luas Bidang Datar
a. Luas di atas sumbu x misalkan
)(xfy = adalah grafik diatas sumbu
x dan f kontinu dan tidak negatif
pada selang bxa ≤≤ , maka
∫=
b
a
dxxfRA )()(
Dimana daerah R dibatasi grafik
0,,),( ==== YbXaXxfy
b. Luas di bawah sumbu x misalkan
)(xfy = adalah grafik diatas sumbu
x dan ∫
b
a
dxxf )( = bil negatif maka,
∫−=
b
a
dxxfRA )()(
yaitu :
A=∫ ∫ == − )()( axbx dxydxy
bentuk ini ditulis sbb :
∫=
b
a
dxyA
a b
y
x
y=f(x)
a b
y
x
y=f(x)

4. Contoh :
Tentukan luas daerah R dibawah kurva 22 34
+−= xxy antara x = -1
dan x = 2
Jawab :
luassatuan
x
xx
dxxxRA
7,14
2
2
1
5
1
4
2
16
2
32
2
25
)22()(
2
1
45
2
1
34
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
+−=
−
−∫
3. Daerah Antara Dua Kurva
Kurva-kurva )(xfy = dan )(xfg = dengan )()( xfxg ≤ pada
selang bxa ≤≤
Contoh Soal ke-1
Tentukan luas daerah antara kurva 4
1 xy = dan 2
2 2 xxy −= dan sketsa
gambar tersebut serta harga batasnya pada sumbu x.
a. menentukan harga batas.
⇔ y1 = y2
⇔ 022 2424
=+−⇒−= xxxxxx
⇔ 0)2)(1)(( 2
=++− xxxx
⇔ 1,0 == xx , x yang lain imaginer (tidak dipakai)
[ ]
[ ]dxxgxfA
xxgxfA
b
a∫ −=
∆−=∆
)()(
)()(

5. b. Menentukan bentuk kurva maka nilai x disubsitusi kepersamaan
y1 dan dan y2
x y1 y1
0 0 0
0.25 0.0039 0.4375
0.50 0.0625 0.7500
0.75 0.3164 0.9375
0.90 0.6561 0.9900
1 1 1
Dari tabel di atas bila range dirapatkan dan dihubungkan titiknya
akan didapat gambar sbb :
c. Luas daerah yang dicari adalah pengurangan dari kurva atas
dikurangi kurva bawah.
( ) ( )dxxxxA 41
0
2
2∫ −−=⇔
dxxxxA 421
0
2 −−=⇔ ∫
2
1
0
53
2
15
7
5
1
3
1
1
53
satuan
xx
xA
=−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=⇔

6. Contoh Soal ke-2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42
= dan garis
434 =− yx , sketsa serta harga batasnya pada sumbu y.
a. menentukan harga batas.
Pers. 1) xy 42
= atau
4
2
y
x = ,
Pers. 2) 434 += yx atau
4
43 +
=
y
x
Pers.1 = Pers.2
Maka : 432
+= yy
⇔ 0432
=−− yy
0)1()4( =−−⇔ yy
1,4 −=⇔ y
b. Menentukan bentuk kurva maka nilai x disubsitusi kepersamaan
y1 dan dan y2
y 4
2
y
x =
4
43 +
=
y
x
4 4 4
3 2.25 3.25
2 1 2.50
1 0.25 1.75
0 0 1
-1 0.25 0.25

7. Dari tabel di atas bila range dirapatkan dan dihubungkan titiknya
akan didapat gambar sbb :
c. Luas daerah yang dicari adalah pengurangan dari kurva atas
dikurangi kurva bawah.
dy
yy
A ∫− ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=⇔
4
1
2
44
43
( )dyyyA ∫−
−+=⇔
4
1
2
43
4
1
4
1
32
3
4
2
3
4
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
y
y
y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
3
1
4
2
3
3
64
1624
4
1
= 21.5
24
125
≈ satuan2

8. Persamaan Parametrik.
Persamaan selalu dengan cara yang sama dimana adalah lebih dari dua
variabel. Caranya selalu sama yaitu :
1) Nyatakan x dan y dalam parameter.
2) Ubah variabelnya.
3) Sisipkan batas-batas parameternya.
Contoh:
Suatu kurva memiliki persamaan pametrik atyatx 2,2
== . Tentukan
luas luas daerah yang dibatasi oleh kurva tesebut, sumbu x, dan ordinat
pada t=1 dan t=2.
Jawab :
∫=
b
a
dxyA , a dan b adalah batas variabelnya.
Dengan menggantikan y dengan 2 at , didapatkan
∫=
b
a
dxatA 2
Tidak dapat diintegrasi langsung fungsi t terhadap x, maka harus dirubah
variabel integrasinya sbb:
2
atx = dtatdxat
dt
dx
22 =∴=∴
didapatkan :
∫ ∫==
2
1
2
1
22
42.2 dttadtatatA
=
2
1
3
2
3
4 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡t
a =
3
28
3
1
3
8
4
2
2 a
a =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
3. Harga mean (harga rata-rata)
Harga mean adalah rata-rata (average) harga (tinggi) yang ditinjau.
Dalam mencari harga mean suatu fungsi )(xfy = diantara x=a dan x=b
yang dapat dilihat pada gambar di bawah. Jika memperkirakan tinggi dari
gambar dalam diagram maka didapat suatu harga M.

9. dan diberikan sbb : M
ab
A
Alas
Luas
−
==
∴ M ∫−
=
b
a
dxy
ab
1
4. Harga RMS.
RMS = Root Mean Square kadang-kadang harga akar dari harga rata-
rata.
rms = √(harga mean dari y2
atau
(rms)2
∫−
=
b
a
dxy
ab
21
Contoh :
Hitung harga mean dan rms dari fungsi 32
+= xy di antara x=1 dan x=3.
a) Mean.
M ∫ +
−
=
3
1
2
)3(
13
1
dxx
2
3
1
3
3
2
14
3
3
1
9
3
27
2
1
3
32
1
satuan
x
x
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=

10. b) RMS.
(rms)2
∫−
=
3
1
2
13
1
dxy
( )∫ ++=
3
1
24
96
2
1
dxxx
3
1
3
5
92
52
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++= xx
x
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++= 92
5
1
2754
5
243
2
1
x
[ ] 2,592.11816.48
2
1
=−+=
rms 694.72.59 == satuan2
5. Volume Benda Putar
Benda Putar, dibentuk dengan memutar suatu bidang datar disekeliling
sebuah garis, disebut sumbu putar pada bidang datar dapat diketahui
melalu cara berikut :
a. Metode Cakram.
Dibentuk dengan memutar suatu bidang datar sekeliling sebuah garis,
disebut sumbu putar pada bidang datar.

11. Jika bentuk bidang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x , dan ordinat
pada x=a dan x=b diputarkan sutu putaran penuh mengelilingi sumbu
x, maka akan diperoleh sebuah benda putaran yang simetris terhadap
OX seperti gambar di atas.
Untuk mendapatkan V, pertama-tama tinjau dahulu sebuah pita sempit
dalam bentuk bidang semula.
Volume yang dibentuk pita tsb ≈ volume yang dibentuk oleh pita
persegi panjang yaitu xyV δπδ .. 2
≈ berupa selinder pipih.
Jika seluruh bentuk selinder dibagi-bagi menjadi sejumlah pita, maka
setiap pita akan menghasilkan selindernya sendiri, masing-masing
dengan volume xy δπ .. 2
lihat gambar berikut :
∴ Volume total , ∑
=
=
≈
bx
ax
xyV δπ .. 2

12. Bila 0→xδ maka kesalahan yang ditimbulkan oleh bagian atas luas
persegi panjang dapat dihilangkan menjadi :
∫=
b
a
dxyV .. 2
π
Contoh soal :
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi
oleh kurva xy =2
, sumbu x dan garis x = 4, dimima R diputar
mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian :
∫=
b
a
dxyV .. 2
π , dimana xy =
Maka : ( )∫=
4
0
2
.. dxxV π
=
4
0
2
4
0 2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∫
x
dxx ππ
=
2
16
π
= 13.258 ≈π satuan3

13. b. Metode Cincin
Contoh 1 :
Tentukan volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabola-
parabola 2
xy = dan xy 82
= diputar mengelilingi sum-bu-x. Sketsa
gambar tersebut serta harga batasnya.
a. menentukan harga batas.
⇔ y1 = y2
⇔ xx 82
=
⇔ 084
=− xx
⇔ 0)8( 3
=−xx
⇔ ,0=x dan 2)8( 3
=⇒= xx
b. Menentukan bentuk kurva maka nilai x disubsitusi kepersamaan
y1 dan dan y2
y 2
xy = xy 8=
2 4 4
1.5 2.25 3.464
1 1 2.828
0.5 0.25 2
0 0 0
Sebuah benda putar dipotong-
potong tegak lurus pada sum-bu
putarnya, maka diperoleh sebuah
cakram yang ditengah-tengah ada
lubangnya. Daerah ini disebut
Cincin.

14. Dari tabel di atas bila range dirapatkan dan dihubungkan
titiknya akan didapat gambar sbb :
Contoh 2 :
Hitung Volume benda putar daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh
kurva 2
4 yx −= dan sumbu y diputar mengelilingi garis x = -1
Penyelesaian :
Jari-jari luar cincin adalah 14 2
+− y , sedangkan jari-jari dalam adalah
1. hasilnya bila disketsa melalui pentabelan adalah sbb:
( ) ( )[ ]
( )
( ) 3
2
0
52
2
0
4
222
6.94.616
5
1
4
8
8
satuan
xx
dxxxV
xxxV
ππ
π
π
π
=−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−=
−=
∆−≈∆
∫
c. Luas daerah yang dicari :

15. ( )
[ ]
( )
( )
3
2
0
3
2
3
2
2
0
2
0
22
0
2
3
2
2
0
22
2
2
2
2
51.33
3
8
802
3
44
3
2
2
4422
4422
141
satuan
y
yy
y
dyydydyy
dyyy
dyyV
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−=
−+−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−+=
∫ ∫∫
∫
∫−
ππ
π
π
π
c. Metode Kulit Tabung.
Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda
yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran
tegak yang sumbu simetrinya berimpit,
gbr. disamping.
r1= jari-jari tabung dalam
r2= jari-jari tabung luar
h = tinggi tabung

16. maka volume tabung adalah :
V = ( luas alas ) . ( tinggi)
( )
)(
2
2
.)()(.
12
12
1212
2
1
2
2
rrh
rr
hrrrrhrr
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
−+=−=
π
πππ
∴ V = 2π x (jari-jari rata-rata)x(tinggi)(tebal)
rrhV ∆= π2
atau untuk lebih mudahnya perhatikan gambar dibawah ini :
Dari proses ini dapat dihitung sebuah benda putar kulit tabung. Gb.
dibawah menunjukkan proses tersebut potongan jalur-jalur vertikal
diputar mengelilingi sumbu y.

17. Contoh 1 :
Tentukan volume benda yang terbentuk pada daerah yang dibatasi oleh
kurva
x
y 1= , sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 4 diputar
mengelilingi sumbu y .
Penyelesaian :
Harga y dari persamaan
x
y 1= bila dihitung dan ditabelkan maka
akan menghasilkan grafik seperti gambar di atas. Sehingga :
∫=
b
a
dxxfxV )(2π
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
1
32.29
3
28
1.
3
2
8.
3
2
2
3
2
2
2
1
2
satuan
x
dxx
dx
x
xV
≈
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
=
∫
∫
π
π
π
π
π

18. Contoh 2
Daerah yang dibatasi oleh garis xhry )/(= , sumbu x dan garis x=h
diputar mengelilingi sumbu x. Diperoleh sebuah kerucut (diandaikan
0,0 >> hr ). Tentukan volume kerucut itu dengan menggunakan
metode cakram dan metode kulit tabung.
Penyelesaian :
1. Metode Cakram :
32
2
32
0
3
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
3
1
3
3
satuanhr
h
hr
x
h
r
dxx
h
r
dxx
h
r
V
xx
h
r
V
h
h
h
π
π
π
π
π
π
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
∆⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≈∆
∫
∫

19. 2. Metode Kulit tabung.
32
22
0
32
0
2
0
3
1
32
2
32
2
1
22
2
satuanhr
rr
h
r
yy
h
dyy
r
yhdyy
r
h
hyV
yy
r
h
hyV
r
rr
π
ππ
ππ
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∆⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≈∆
∫∫
6. Volume benda dengan Penampang Lintang yang diketahui:
Metode ini membahas benda yang memiliki daerah-daerah lingkaran
sebagai penampang-penampang tegak yang berbentuk bujur sangkar atau
segitiga.
Jika luas penampang silang ABC, yang
terjadi oleh suatu bidang tegak lurus
pada sumbu-x dan berjarak x satuan dari
titik asal, dapat dinyatakan sebagi fungsi
x, A(x), maka volume benda diberikan
oleh
∫=
b
a
dxxAV )(

20. Contoh 1 :
Sebuah benda mempunyai lingkaran alas yang berjari-jari 4 satuan. Cari
volume benda itu, jika setiap bidang irisan tegak lurus pada garis tengah
yang tetap, merupakan segitiga sama sisi.
Penyelesaian :
Ambil lingkaran seperti gambar di bawah dengan sumbu-x sebagai garis
tengah tetap.
Persamaan lingkarannya : .1622
=+ yx
Penampang melintang ABC merupakan segitiga sama sisi dengan sisi 2y
dan luas )16(33)( 22
xyxA −== .
Maka :
3
4
0
2
4
0
2
4
4
2
3
3
256
3
16
4832
3
1632)16(32
)16(3)(
satuan
x
xdxx
dxxdxxAV
b
a
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−=
−==
∫
∫∫ −

21. Contoh 2 :
Alas sebuah benda adalah suatu daerah rata pada kuadran pertama yang
dibatasi oleh 4/1 2
xy −= , sumbu-x dan sumbu-y. Andaikan
penampang-penampang yang tegak lurus pada sumbu x berbentuk bujur
sangkar. Tentukan volume benda ini.
Penyelesaian.
Bila dipotong-potong benda tegak lurus pada sumbu-x akan diperoleh
lempengan tipis sbb:
3
2
0
53
2
0
42
07.1
15
16
80
32
6
8
2
806
162
1
satuan
xx
x
dx
xx
V
≈=
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= ∫

22. 7. Panjang Kurva
Misalkan P adalah titik (x, y) dan Q adalah titik pada kurva di dekat P.
Misalkan pula sδ = panjang busur kecil PQ.
Dari rumus phitagoras diberikan :
( ) ( ) ( )222
yxs δδδ +≈
Jika masing-masing ruas dibagi dengan
2
xδ , maka
( )
( )
( )
( )2
2
2
2
1
x
y
x
s
δ
δ
δ
δ
+≈∴
22
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∴
x
y
x
s
δ
δ
δ
δ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≈∴
2
1
x
y
x
s
δ
δ
δ
δ
jika δx→0
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
dx
dy
dx
ds
∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∴
b
a
dx
dx
dy
s
2
1

23. Contoh :
Tentukan panjang kurva 32
xy = di antara x = 0 dan x = 4, untuk cabang
y > 0.
Penyelesaian :
∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∴
b
a
dx
dx
dy
s
2
1
32
xy =∴ 2
3
xy =→ , 2
3
2
3
x
dx
dy
=∴ ,
4
9
11
2
x
dx
dy
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∴
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∴
4
0
2
1
4
9
1 dx
x
s =
4
0
2
3
4
9
1
9
4
.
3
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
[ ] [ ] 07.9162.31
27
8
11010
27
8
=−=−= satuan
Panjang Kurva - persamaan parametrik.
δt→0, bentuk ini menjadi :
222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∴
dt
dy
dt
dx
dt
ds
→
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
22
dt
dy
dt
dx
dt
ds
∫
=
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
2
1
22
tt
tt dt
dy
dt
dx
s dt
Misalkan )(),( tFxtfy ==
Dari rumus sebelumnya :
( ) ( ) ( )222
yxs δδδ +≈ bila kedua ruas
dibagi dengan
2
xδ didapat,
222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∴
t
y
t
x
t
s
δ
δ
δ
δ
δ
δ

24. Contoh :
Tentukan panjang kurva θθ 33
sin2,cos2 == yx diantara titik-titik yang
bersesuaian dengan θ = 0 dan θ = π/2.
Penyelesaian:
Menggunakan rumus yang sesuai dengan parameter,
θ
θθ
π
d
d
dy
d
dx
s ∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
2/
0
22
Bila,
θ3
cos2=x θθθθ
θ
sincos6)sin(cos6 22
−=−=→
d
dx
θθ
θ
θ cossin6sin2 23
=→=
d
dy
y
∴
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θθ d
dy
d
dx
= θθθθ 2424
cossin36sincos36 +
= ( )θθθθ 2222
sincoscossin36 +
= θθ 22
cossin36
θθθ
θθ
2sin3cossin6
22
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∴
d
dy
d
dx
maka didapatkan :
satuan
ds
3
2
1
2
1
3
2
2cos
3
2sin3
2
2
0
0
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
=
=∴ ∫
π
π
θ
θθ

25. 8. Luas Permukaan Benda Putar.
Luas Permukaan yang terbentuk oleh perputaran busur y=f(x), suatu
kurva kontinu, sekeliling sebuah garis yang sebidang (sumbu). Bila
kurva diputar pada sumbu x diantara x=x1 dan x=x2
maka luas permukaan dapat ditentukan dengan rumusan sbb:
Untuk menghitung luas pemukaan ini maka perlu dipenggal-penggal
seperti gambar berikut :
jika δx 0→ , maka
dx
ds
y
dx
dA
π2≈
Sebagaimana diketahui pada perhitungan panjang kurva, dimana
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
dx
dy
dx
ds
, maka
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+π=
2
12
dx
dy
y
dx
dA
Maka,
dx
dx
dy
yA
x
x∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
2
12π
Jika sebuah elemen busur se-panjang δs
satuan diputarkan, maka akan diperoleh
sebuah pita tipis seluas δA. Didapat
syA δπδ .2≈
Dengan membagi kedua rumus di atas
dengan δx, didapatkan
x
s
y
x
A
δ
δ
π
δ
δ
2≈

26. Contoh :
Tentukan luas permukaan yang terjadi jika busur parabola xy 82
= ,
dengan 0>y , di antara x = 0 dan x = 2 diputarkan mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian :
∴ dx
dx
dy
yA ∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
0
2
12π
∴ xy 82
= 2
1
22 xy =⇒ ⇒
xdx
dy
x
dx
dy 2
2
2
2
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒=
−
∴
x
x
xdx
dy 22
11
2
+
=+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∴ dx
x
x
xA ∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
2
0
2
2
222 2
1
π
dx
x
x
x∫
+
=
2
0 2
1
2
1
2
1 )2(
..24 π
dxx∫ +=
2
0
2
1
)2(.24 π
2
0
2/3
)2(
.24
2
3
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
x
π
= ( ) ( )[ ]228
3
28
−
π
[ ] [ ]312.7
3
8
428
3
8 π
=−
π
=
= 61.3 satuan3

27. Persamaan Parametrik Permukaan Putaran
Jika busur kecil diputarkan sepanjang δs, maka luas δA pita kecil yang
terbentuk diberikan oleh,
syA δπδ .2≈
Kedua ruas dibagi dengan δt, diperoleh
t
s
y
t
A
δ
δ
π
δ
δ
.2≈
Jika δt→0, hubungan ini menjadi
dt
ds
y
dt
dA
.2π≈
tinjau lagi persamaan panjang kurva parametrik,
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
22
dt
dy
dt
dx
dt
ds
maka,
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
22
2
dt
dy
dt
dx
y
dt
dA
π
dt
dt
dy
dt
dx
yA ∫ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∴
2
1
22
2
θ
θ
π
Contoh :
Tentukan luas pemukaan yang terbentuk jika busur kurva
22
3,3 ttxty −== di antara 0=t dan 1=t diputarkan mengelilingi
sumbu OX sebanyak 2π radian.
Penyelesaian :
2
2
2
3663 t
dt
dy
t
dt
dy
ty =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→=→=∴
( )223
13333 tt
dt
dx
ttx −=−=→−=∴
( )42
2
219 tt
dt
dx
+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∴

28. 242
22
369189 ttt
dt
dy
dt
dx
++−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
( ) dtttA ∫ ++=∴
1
0
222
1932π
( ) ( )∫ ∫ +=+=
1
0
1
0
4222
18118 dtttdttt ππ
5
48
15
8
18
5
1
3
1
18
53
18
1
0
52
π
πππ ==⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
tt
satuan2
9. Momen, Pusat Masa (Titik Berat)
Dua massa, masing-masing sebesar m1 dan m2 yang diletakkan pada
papan seimbang dan berjarak d1 dan d2 dari titik penyangga pada bagian-
bagian berbeda (lihat gambar)
m1 m2
d1 d2
m1 m2
0
m
x
Syarat keseimbangan adalah M = 0.
m1 m2 m3 m4 mn-1 mn
x1 x2 0 x3 x4 xn-1 xn
Jika koordinat titik seimbang x, dimana momen sistem terhadap titik ini
harus nol, berapa koordinat x titik seimbang ?
( ) ( ) ( ) 0...2211 =−++−+− nn mxxmxxmxx
Rumus seimbang :
2211 mdmd =
Jika bandmil berimpit dengan titik asal
maka, koordinat x1 dari m1 ada-lah x1=-d1
dan dari m2 adalah 22 dx = maka
diberikan, 02211 =+ mxmx
Hasilkali massa m dan jarak berarah dari
suatu titik tertentu dinamakan momen.
∑
=
=+++=
n
i
iinn mxmxmxmxM
1
2211 ...

29. atau
nnn mxmxmxmxmxmx +++=+++ ...... 212211
maka diperoleh
∑
∑
=
=
== n
i
i
n
i
ii
m
mx
m
M
x
1
1
Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis
∆x
0 a b
Maka momen M terhadap titik asal :
∫
∫== b
a
b
a
x
xx
m
M
x
)(
)(
δ
δ
Distribusi massa pada Bidang
Perhatikan n massa titik nmmm ,...,, 21 yang terletak pada titik-titik
( ) ( ) ( )nn yxyxyx ,,...,,,, 2211 pada bidang yang memiliki sebuah sistem
koordinat pada gambar di bawah.
1m
),( 33 yx
3m
),( nn yx
),( 33 yx
),( 22 yx
2m
),( 11 yx
Ini dinamakan pusat masa, titik dengan
koordinat x ini adalah titik seimbang
yang diperoleh sebagai hasil bagi momen
sistem terhadap titik asal dan jumlah
massa.
Jika kepadatan di x adalah δ(x) dgn
aturan “potong,hampiri, integral” maka,
xxm ∆≈∆ )(δ xxxM ∆≈∆ )(δ
∫=
b
a
dxxm )(δ ∫=
b
a
dxxxM )(δ
4m
),( 44 yx
Jumlah momen yM dan xM masing-
masing terhadap sumbu x dan sumbu y
ditentukan sbb:
∑
=
=
n
i
iiy mxM
1
∑
=
=
n
i
iix myM
1

30. Koordinat-koordinat yx, titik berat sistem tersebut adalah
∑
∑
=
=
== n
i
i
n
i
ii
y
m
mx
m
M
x
1
1
∑
∑
=
=
== n
i
i
n
i
ii
x
m
my
m
M
y
1
1
Mencari pusat massa (titik berat) sepotong lempeng tipis yang rata
dengan menganggap lempengan tipis (lamina) homogen, berarti
kepadatan δ adalah konstan. Untuk suatu lempengan homogen siku
empat pusat masa berimpit dengan pusat geometrinya seperti gambar di
bawah ini.
Sepotongan lamina(lempengan tipis) homogen yang dibatasi oleh
)(,, xfybxax === dan )(xgy = , dengan )()( xfxg ≤ .
Potonglah lamina ini menjadi jalur-jalur yang sejajar dengan sumbu y
seperti gambar di bawah. Jalur ini dapat dianggap berbentuk segi empat,
sehingga massa masing-masing jalur dapat dianggap terpusat pada
geometri padanya.

31. Kemudian hapirilah dan akhirnya jika 0→∆x maka dapat
dintegralkan.
[ ] xxgxfm ∆−≈∆ )()(δ [ ]dxxgxfm
b
a∫ −= )()(δ
[ ] xxgxfxM y ∆−≈∆ )()(δ [ ]dxxgxfxM
b
ay ∫ −= )()(δ
[ ] xxgxf
xgxf
Mx ∆−
+
≈∆ )()(
2
)()(
δ
[ ]dxxgxfxM
b
ax ∫ −= )()(
2
22δ
Dengan cara ini akan dihasilkan koordinat titik berat yx, yaitu
m
M
x
y
= ,
m
M
y x
=
Maka,
m
M
x
y
=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]dxxgxf
dxxgxfx
dxxgxf
dxxgxfx
b
a
b
a
b
a
b
a
∫
∫
∫
∫
−
−
=
−
−
=
)()(
)()(
)()(
)()(
δ
δ
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]dxxgxf
dxxgxf
dxxgxf
dxxgxf
m
M
y b
a
b
a
b
a
b
ax
∫
∫
∫
∫
−
−
=
−
−
==
)()(
)()(
2
1
)()(
)()(
2
2222
δ
δ

32. Contoh :
Tentukan sentroid (titik berat) daerah yang dibatasi 3
xy = dan xy = .
Penyelesaian :
1. Mencari batas integral :
∴ xx =3
⇒ 03
=− xx ⇒ 06
=− xx ∴ 1;0 21 == xx
Dengan memasukkan nilai x pada persamaan 3
xy = dan xy =
sehingga sketsa grafik didapat sebagai berikut :
2. Titik sentroid
x
[ ]
[ ]dxx
dxxxx
∫
∫
−
−
= 1
0
3
1
0
3
3
= 1
0
4
2/3
1
0
5
2/5
43
2
55
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
x
x
x
x
=
12
5
5
1
=
25
12
( ) ( )[ ]
[ ]dxx
dxx
y
∫
∫
−
−
= 1
0
3
1
0
232
3
3
2
1
=
[ ]
[ ]dxx
dxxx
∫
∫
−
−
1
0
3
1
0
6
3
2
1
7
3
12
5
28
5
12
5
722
1
1
0
72
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
xx
Titik centroidnya : );( 7
3
25
12C
C

33. 10. Pusat Gravitas suatu benda putaran
Untuk mencari posisi pusat gravitasi suatu benda yang terbentuk jika
bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva )(xfy = , sumbu x , dan ordinat
pada ax = dan bx = diputarkan mengelilingi sumbu x.
Contoh :
Tentukan posisi pusat gravitasi dari benda yang terbentuk jika bidang
yang dibatasi oleh kurva 1622
=+ yx , sumbu x, dan ordinat pada x =
1dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian :
∫
∫=∴ 3
1
2
3
1
2
dxy
dxxy
x , 0=y
∫∫∫ −=−=∴
3
1
33
1
23
1
2
)16()16( dxxxdxxxdxxy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
4
1
8
4
81
72
4
8
3
1
4
2 x
x 442064 =−=
∫∫ −=∴
3
1
23
1
2
)16( dxxdxy
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
3
1
16948
3
16
3
1
3
x
x
3
1
23=
89.1
3
1
23
44
==∴ x ;
koordinatnya pusat gravitasi adalah : ( )0;89.1
Dari piringan-piringan elementer
dijumlahkan momen volumenya
(massanya) terhadap sumbu OY, maka
dapat dihitung x , yaitu
∫
∫= b
a
b
a
dxy
dxxy
x
2
2
, 0=y