1. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi dan sumbu-sumbu koordinat. Luas tersebut dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luas masing-masing bagian.

1. INTEGRAL TERTENTU
1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar
Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !
Luas daerah kurva tertutup dapat
dicari dengan menutupi daerah
kurva dengan persegi-persegi
sebagai berikut :
Jumlah persegi yang ada di dalam
kurva ada 21, sedangkan jumlah
persegi yang menutupi seluruh kurva
ada 46. misalkan luas kurva adalah
L maka 21 < L < 46. jika ukuran
persegi diperkecil maka akan
diperoleh perhitungan luas L yang
lebih teliti.
next
next
next

2. Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah
tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).
Perhatikan gambar berikut :
X
Y y = f(x)
a b
Luas daerah yang di arsir (L)
dapat dihitung dengan membuat
n persegi panjang dengan lebar
sama pada interval [ a,b ], Sbb :
Δx
Sehingga
n
ab
x
−
=∆
Misalkan banyak persegi
panjang di dalam daerah arsiran
ada K dan yang menutupi daerah
arsiran ada M maka K < L < M
next
next
next

3. Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini :
X
Y y = f(x)
a=xo b=xn
Δx
xixi - 1
f(x1)
f(xi – 1)
A B
CD
f(xi – 1)
f(x1)
FE
Misalkan luas ABFE = Ki, luas
ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.
next
next
next
Maka Ki = f(xi).Δx dan Mi = f(xi + 1). Δx
,jika f(xi) – f(xi – 1) = di maka :
M – K < d1.Δx+d2.Δx+d3 .Δx+...+dn.Δx
Sebanyak n suku
next
∑=
∆<−⇔
n
i
i xdKM
1
Jika n di perbesar (n→∞) maka Δx mendekati nol dan di juga
mendekati nol, sehingga diperoleh :
( ) KMatauKM
xxx 000
limlim....0lim
→∆→∆→∆
==−
Oleh karena K< L< M , maka KML
xx 00
limlim
→∆→∆
==

4. nextOleh karena K< L< M , maka KML
xx 00
limlim
→∆→∆
==
( ) ( ) xxfxxfL
n
i
i
x
n
i
i
x
∆=∆= ∑∑ =
→∆
=
→∆
limlim
1
0
1
0
Bentuk limit jumlah ( ) xxfL
n
i
i
x
∆= ∑=
→∆
lim
1
0
ditulis dalam bentuk integral :
( ) dxxfL
b
a
∫= ( dibaca luas L sama dengan integral f(x) terhdap x
dari a hingga b )
Keterangan :
K = K1 + K2 + K3 +...+Kn = ( ) xxfK
n
i
i
n
i
i ∆= ∑∑ =
−
= 1
1
1
M = M1 + M2 + M3 +...+ Mn = ( ) xxfM
n
i
i
n
i
i ∆= ∑∑ == 11
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxfxfxxfxfxxfxfKM ii ∆−++∆−+∆−=− −... 11201
Jika di → 0, maka : f ( xi ) – f (xi – 1) → 0 ↔ f( xi ) → f (xi – 1)
next
next

5. next2. Menghitung Integral Tertentu
Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b]
maka :
( ) ( )[ ] ( ) ( )bFaFxFdxxf
b
a −==∫
b
a
Sifat-sifat Integral Tertentu :
next
( ) 0.1
a
a
=∫ dxxf
( ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxf
c
a
c
b
∫∫∫ =+.2
b
a
( ) ( ) dxxfdxxf
a
b
.3
b
a
∫∫ −=
( ) ( ) dxxfkdxxfk
a
b
.4
b
a
∫∫ =
( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ ±=±
bb
a
b
a
dxxgdxxfdxxg
a
xf.5
next
next
next
next

6. nextContoh soal menggunakan Sifat-sifat Integral Tertentu :
next
dxx.
3
2
2
1 ∫ 3
2
3
3
1
)( x= ( ) ( )3
3
13
3
1
23 −= )()( 827 3
1
3
1
−= 3
8
3
27
−=
3
19
= 3
1
6=
dxx.
3
2
2
2 ∫
4
2
3
3
1
)( x= ( ) ( )3
3
13
3
1
24 −=
)()( 864 3
1
3
1
−=
3
8
3
64
−=
3
56
=
3
2
18=
dxx
4
3
2
∫+ dxx
4
2
2
∫=

7. next
dxx. ∫
3
3
2
3 3
3
3
3
1
)( x= ( ) ( )3
3
13
3
1
33 −= )()( 2727 3
1
3
1
−=
3
27
3
27
−= 0= next
dxx.
3
2
2
4 ∫
2
3
3
3
1
)( x=
( ) ( )3
3
13
3
1
23 −=
)()( 827 3
1
3
1
−=
3
8
3
27
−=
3
19
=
3
1
6=
dxx-
2
3
2
∫=
dxx
3
2
2
∫ dxx-
2
3
2
∫⇔ 2
3
3
3
1
)( x−=
( ) ( )( )3
3
13
3
1
32 −−=
)()( 278 3
1
3
1
+−=
3
27
3
8
+−=
3
19
=
3
1
6=
next

8. dxx12.
3
1
2
5 ∫
next
dxx12
3
1
2
∫= 3
1)( 3
3
1
x12= ( ) ( ) )(
3
3
13
3
1
13 −= 12
( ) ( ))( 127 3
1
3
1
−= 12 )( 3
1
9 −= 12 )( 4108 −= 410= next
( )dxxx 412.
3
1
6
2
∫ + ∫∫ +=
3
1
3
1
2
dxxdxx 412
3
1)( 3
3
1
x12= 3
1)( 2
2
1
4 x+
3
1
3
)( x4= 3
1
2
)( x2+
( ) ( ) )(
33
1434 −= ( ) ( ) )(
22
1232 −+
( ) ( ))( 14274 −= ( ) ( ))( 1292 −+
)( 4208 −= )( 218 −+
)(204= )(16+
220=

9. next
( )dxxx 2412∫ −+
3
1
2
6. ( ) 3
122
23
xxx4 −+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )34 




 



−+= −+− 12
2
12
3
143232
23
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )4 121214329227 −+−−+=
( )( )224618108 −+−−+=
( )4120 −=
116= next
( ) ( ) dxxx 2+−∫
2
0
27. ( ) dxx∫ +=
2
0
2
4
( ) 2
04
3
3
1
xx +=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )0242
3
3
13
3
1
40 −−+=
( )( ) ( )0883
1
−+= ( )83
8
+= 3
2
10=

10. next
( )dxxx
2
1
∫ −
π
0
3
18 sincos. ( ) π
03
1
2
1
2 xx 3cossin +=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )0302 3
1
2
1
coscossin ++= 2
1
sin- 23 ππ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )13012 2
1
++= 23 -
( ) 3-2
3
2 += 12
3
−= 2
1
=
next
( ) 0
0
9 =∫ dxjikaanilaiCarilah
a
x-1x.
( ) 0
0
=∫ dx
a
x-1x
0
0
=




∫ dxx-x
a
2
( ) 00
3
3
12
2
1
=− a
xx
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0
3
3
12
2
13
3
12
2
1
00 =−−− aa
( ) ( )( ) 0
3
3
12
2
1
=− aa
023 32
=− aa
( ) 023 2
=− aa
( ) 0023 2
=∨=− aa
032 =∨= aa
02
3
=∨= aa

11. next
( ) 109210
1
−=∫ + pdxxjikapnilaiTentukan
p
5.
( ) 1092
1
−=∫ + pdxx
p
5
[ ] 10952
−=+ pxx
p
1
[ ] ( )[ ] 1091515
22
−=+−+ ppp
10965
2
−=−+ ppp
044
2
=+− pp
( p – 2 ) 2
= 0
p – 2 = 0
p = 2
next