Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan jenis-jenis fungsi matematika, termasuk fungsi ril dan fungsi kompleks, serta fungsi berdasarkan jumlah dan jenis peubah bebasnya."

1. BAB III
FUNGS
I

2. Definisi
Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa
setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu
anggota himpunan K (lihat Gambar 3.1)
K
D
K
D
•
•
(a)
(b)
Gambar 3.1

3. Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu
pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah
asal (domain).
Anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan
anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range).
Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan
pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut
kodomain.
Kesimpulan
Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat
satu keluaran untuk setiap masukan tertentu.

4. a terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi
perti tersebut diatas maka hubungan tersebut bukan suatu
gsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2).
dangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses
ng menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertent
K
D
•
Gambar 3.2

5. 3.2. Jenis-jenis fungsi
Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan
menjadi dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan
fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi
pada materi kuliah ini hanya mencakup fungsi ril
saja.
3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal adalah
fungsi yang hanya mempunyai satu
peubah bebas.
Contoh 3.1
a) y = 2x + 3
b) y = x 2
c) y = sin x
d) x 2 + y 2 =r 2

6. 3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah
fungsi yang mempunyai lebih dari satu
peubah bebas.
Contoh 3.2
a)
b)
c)
d)
w
u
v
t
= xy
= sin (x+y)
= cos xy
= xy+ z

7. 3.2.2 Menurut cara penyajiannya
3.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana
peubah bebasnya ditulis atau disajikan
pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah
tak bebasnya.
Contoh 3.3
a)y = x – 5
b) y =√x 2 –1
c) y = sin x
d) y = (xSecara umum fungsi
1) 2
dalam bentuk y = f(x)
ekplisit
ditulis

8. 3.2.2.2 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah
bebas dan tak bebasnya ditulis pada ruas
yang sama.
Contoh 3.4
a) x + y = 0
b) x 2 + y 2 = r 2
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk
F(x,y) = 0

9. 3.2.2.3 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:
x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter.
Contoh 3.5
x = t2 – 1
y=t+2
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap
peubah bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 berikut.

10. FUNGSI RIL
Aljabar
Rasion
al
Bula
t
Peca
h
Transende
n
Irrasion
al
Logarit
ma
Ekspone
n
Fungs
i
Hiperboli
Trigonome
k
tri
Invers
Invers
Trigonome
Hiperboli
tri
k

11. 3.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung
sejumlah
operasi
aljabar
yaitu
operasi
penjumlahan,
pengurangan,
perkalian,
pembagian dan operasi pangkar rasional. Fungsi
aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan
irrasional. Selanjutnya fungsi rasional dapat
dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah.
3.2.3.1 Fungsi rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang
mempunyai bentuk P(x)/Q(x) dengan
R(x) dan Q(x) adalah polinomialpolinomial dan Q(x) ≠ 0. Selanjutnya jika
Q(x) ≠ konstan maka fungsi rasional
disebut juga fungsi pecah. Sedangkan jika
Q(x) = konstan maka fungsi rasional
disebut fungsi bulat.

12. A. Fungsi bulat
Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan
Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat
disebut fungsi polinomial karena bentuknya sama
seperti bentuk polinomial.
Suatu fungsi yang mempunyai bentuk
f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a 0
(3.1)
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien
a n , a n-1 , a n-2 ,…,, a 1 , a 0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan
masing-masing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada
fungsi polionomial adalah bilangan bulat tak negatif.

13. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
2
Derajad
kuadrat)
(fungsi

14. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
x 3 + 2x 2 - x + Polinomial
2
Derajad
(fungsi
3 (fungsi kubik)
kuadrat)

15. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
x 3 + 2x 2 - x + Polinomial
x5
Monomial
2
Derajad
(fungsi
3 (fungsi kubik)
5
kuadrat)

16. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
x 3 + 2x 2 - x + Polinomial
x5
–5
Monomial
Monomial
2
Derajad
(fungsi
3 (fungsi kubik)
5
kuadrat) (fungsi
0

17. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
x 3 + 2x 2 - x + Polinomial
x5
–5
Monomial
Monomial
2
Derajad
(fungsi
3 (fungsi kubik)
5
kuadrat) (fungsi
0

18. ngsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
n menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi
polinomial.
x 2Polinomial
–x–6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
x 3 + 2x 2 - x + Polinomial
x5
–5
Monomial
Monomial
2
Derajad
(fungsi
3 (fungsi kubik)
5
kuadrat) (fungsi
0

19. a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi
polinomial
Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dar
ungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan
dalah mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/
aktor-faktor peubah yang sama.
Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy adalah
dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku
tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan
dan/atau pengurangan.
Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut :
Jenis suku
Keterangan
ax 3 dan bx 3 Mempunyai faktor peubah yang sama
ax 2
dan Mempunyai faktor peubah yang tidak
a dan b
Sebetulnya
mempunyai
faktor

20. Contoh 3.6
entukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi,
2x 2 + 5x + 7xy dan –3x 3 – 4x 2 + x – 3x 2 y + 3xy – 2
Penyelesaian
Penjumlahan
–2x 2 + 5x + 7xy ) + (–3x 3 – 4x 2 + x – 3x 2 y + 3xy – 2) =
–2x 2 + 5x + 7xy – 3x 3 – 4x 2 + x – 3x 2 y + 3xy – 2 =
– 3x 3 –2x 2 – 4x 2 – 3x 2 y + 5x + x + 7xy +3xy – 2 =
– 3x 3 –6x 2 + 6x – 3x 2 y + 10xy – 2

21. Pengurangan
(–2x 2 + 5x + 7xy ) – (–3x 3 – 4x 2 + x – 3x 2 y + 3xy – 2) =
–2x 2 + 5x + 7xy + 3x 3 + 4x 2 – x + 3x 2 y – 3xy + 2 =
3x 3 –2x 2 + 4x 2 + 3x 2 y + 5x – x + 7xy – 3xy + 2 =
3x 3 +2x 2 + 4x + 3x 2 y + 4xy + 2
. Perkalian monomial
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi
monomial berikut diberikan beberapa hukum
yang berlaku yaitu :
Hukum I : a m . a n = a m+n
( 3.2 )

22. Contoh 3.7
elesaikan perkalian : 5 2 .5 3 ; x a .x b ; xy 2 .x 3 y
enyelesaian :
5 2 .5 3 = 5 2+3 = 5 5 = 3125
x a .x b = x a+b
xy 2 .x 3 y = x.x 3 .y 2 .y = x 4 .y 3
Hukum II : [a m ] n = a mn
( 3.3 )
Contoh 3.8
Selesaikan : [4 2 ] 3 dan [x 3 ] 4
Penyelesaian :
[4 2 ] 3 = 4 6 =4096
[x 3 ] 4 = x 12

23. Hukum III :
( 3.4 )
Contoh 3.9
[a m b n ] k = a mk .b nk
Selesaikan : [{7}{5 2 }] 3 dan [x 3 y 2 ] 2
Penyelesaian :
[{7}{5 2 }] 3 = 7 3 5 6 = 5359375
[x 3 y 2 ] 2 = x 6 y 4
c.
Perkalian
fungsi
polinomial perkalian dua fungsi polinomial dapat
Proses
dilakukan
dengan mengalikan masing-masing monomialnya
Contoh 3.10
dengan
Selesaikan hukum distributif. 2x(x 2
perkalian
:
bantuan
-5x+6)
Penyelesaian :
2x(x 2 -5x+6) = 2x 3 -10x 2 +12x

24. Contoh 3.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x 2 -3x+2)
Penyelesaian
(3x+2)(x 2 –3x+2) = 3x 3 – 9x 2 +6x+2x 2 – 6x+4=3x 3 –7x 2 +4
d. Perkalian istimewa polinomial
ua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika
alah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan,
edangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua bu
onomial. Sebagai contoh (ax m +by n ) dan (ax m –by n ) adalah
inomial-binomial konjugat
(ax m +by n )(ax m – by n ) = (ax m ) 2 – (by) 2
(3.5)
Contoh 3.12
Selesaikan perkalian (5x 2 +6) (5x 2 -6)
Penyelesaian :
(5x 2 +6) (5x 2 –6) = (5x 2 ) 2 –(6) 2 = 25x 4 –36

25. e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjad
entuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
entukan faktor yang sama dari masing-masing monomial da
elanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel
berikut.
Langkah I
Langkah II
ax 2 +ay 2
a
a(x 2 +y 2 )
Polinomial (tentukan faktor
(keluarkan

26. e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjad
entuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
entukan faktor yang sama dari masing-masing monomial da
elanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel
berikut.
Langkah I
Langkah II
ax 2 +ay 2
a
a(x 2 +y 2 )
Polinomial (tentukan faktor x(3x 2 +2x+1)
(keluarkan
3x 3 +2x+x
x

27. e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjad
entuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
entukan faktor yang sama dari masing-masing monomial da
elanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel
berikut.
Langkah I
Langkah II
ax 2 +ay 2
a
a(x 2 +y 2 )
Polinomial (tentukan faktor x(3x 2 +2x+1)
(keluarkan
3x 3 +2x+x
x
3a 2 b+5abb
b(3a 2 +5a-4b)

28. f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
x m m 1–n
Hukum IV = n x =x m – n
x
x
x
Hukum V
y
=
xm
ym
Hukum VI ( Pangkat nol) a 0 =1 ; a / 0
1 –m
Hukum VII=aa
m
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)

29. Contoh 3.13
x 3 –4
Sederhanakan fungsi 2
y
Penyelesaian
x 3 –4
x –12 = y 8
y 2 = y –8
x 12
g. Fungsi konstan
ada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinom
ang mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapa
tulis dalam bentuk
y = f(x) = a 0 atau y = konstan
( 3.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar
3.4 berikut.

30. y
O
y = a0 ; a0 > 0
y = a0 ; a0 < 0
Gambar 3.4
Grafik fungsi konstan
x

31. h. Fungsi linier
ungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fun
nier disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk
y = a 1 x + a 0 atau y = mx + n
(3.11)
Pers. 3.11 adalah pers. garis yang memotong sumbu
x pada
saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0.
Perhatikan pers. 3.11. Jika x = 0 maka y = n dan
jika y = 0
maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa
pers. 3.11
menunjukkan sebuah garis yang melalui titikBiasanya persamaan 3.11 disebut
pers.
titik
“Perpotongan-Kemiringan
sebuah
Garis
(0,n) dan (-n/m,0).
(Slope-Intercept
Equation of a Line)”.

32. Grafik persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5
berikut
(–n/m , 0)
x
O
(0 , n)
Gambar 3.5
Grafik fungsi linier
y

33. a persamaan garis pada pers. 3.11 melalui titik (x 1 ,y 1 ) maka
y 1 = mx 1 + n → n = y 1 – mx 1
(
3.12 )
ngan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11
dapat :
– y 1 = m(x – x 1 ) atau y = m(x – x 1 ) + y 1
( 3.1
sanya persamaan 3.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik
uah Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persama
3 ditunjukkan pada Gambar 3.6.

34. x
O
(x 1 , y 1 )
(x , y)
y
Gambar 3.6
Grafik Persamaan 3.13

35. ka persamaan garis 3.11 melalui titik (x 2 ,y 2 ), maka :
y 2 = m(x – x 2 ) atau y = m(x – x 2 ) + y 2
(3.14
ka persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat,
y 1– y 2 y 2– y 1
=
y 1 – y 2 = m (x 1 – x 2 ) atau
(3.15)
x 1– x 2 x 2– x 1
ngan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 did
y 2– y 1
y 2– y 1
(x – x 1 ) + y 1 (3.16)
(x– x 1 ) atau y =
y – y1 =
x 2– x 1
x 2– x 1
samaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x 1 ,y
n (x 2 ,y 2 ) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis
o point equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada
mbar 3.7.

36. x
O
(x 1 , y 1 )
Gambar 3.7
Grafik Persamaan 3.16
(x 2 , y 2 )
y

37. Kesimpulan :
ri uraian diatas padat disimpulkan bahwa :
ka kemiringan dan titik potong suatu garis dengan
umbu x atau sumbu y diketahui maka gunakan adalah
ersamaan 3.11.
ka kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut
melalui titik tertentu, misal (x 1 ,y 1 ), maka gunakan pers. 3.13
ka suatu garis melalui titik-titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) maka
unakan persaman 3.16.

38. Cara menggambar garis
Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n
Buat tabel sebagai berikut :
Jika n ≠ 0
x
y
0
n
-n/m
0
Jika n = 0
x
y
0
0
a adalah sembarang
a
m.a
bilangan ril

39. ontoh 3.14
ebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3
an memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan
aris tersebut!
enyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
ersamaan garis y = mx + n
arena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x
tik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0.
engan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11
aka didapat n=1/3. Dengan demikian persamaan garis
enjadi: y = -1/3 x+1/3
ara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
y
1/3

40. Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah
(0,1/3) dan (1,0)
y
O
(0,1/3)
Gambar 3.8
(1,0)
x

41. ntoh 3.15
buah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan
emotong sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis t
nyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
rsamaan garis y = mx + n
rena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n
ik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0.
ngan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11,
dapat n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi:
= 2x+3/2
ra menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
-3/4
y
3/2
0

42. Jadi titik-titik koordinat garis tsb adalah (0,3/2)
dan (-3/4,0).
y
(1,0)
O
(0,3/2)
Gambar 3.9
x

43. ntoh 3.16
buah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) – 1 dan
lalui titik (–2,3). Tentukan persamaan garis tersebut!
nyelesaian (gunakan persamaan 3.13)
= m(x – x 1 ) + y 1 → m = -1 ; x 1 = –2 ; y 1 = 3
Persamaan garis yang dimaksud adalah :y =
-1(x+2)+3= -x + 1
x
0
1
y
1
0

44. Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1)
dan (1,0)
y
(0,1)
O
Gambar 3.10
(1,0)
x

45. ontoh 3.17
ebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).
entukan persamaan garis tsb.!
enyelesaian (gunakan persamaan 3.16):
2– 4
y 2– y 1
1
(x + 3) + 4= –(x + 3) + 4
=
(x – x 1 ) + y 1
y=
5 +3
4
x 2– x 1
1
= – (x –
4 13)

46. y
(0,13/4)
O
Gambar 3.11
(13,0)
x