Bab VI membahas penerapan diferensiasi, termasuk persamaan garis singgung dan normal, jari-jari kelengkungan, dan nilai ekstrim suatu fungsi. Metode yang dibahas digunakan untuk menentukan garis singgung, garis normal, dan kelengkungan suatu kurva di titik tertentu. Bab ini juga memperkenalkan konsep nilai maksimum dan minimum lokal serta mutlak suatu fungsi.

1. BAB VI
PENERAPAN DIFFERENSIASI

2. 6.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana
adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah
penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.
y
f(x + ∆x)
f(x)
0
∆
y
l1
l
f(x)
∆x=dx
x
x+∆x
dy
x
Gambar 6.1

3. adi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang
menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah
ka garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka
emiringannya adalah

4. Contoh 6.1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian
Kemiringan garis singgung yang menyinggung
titik P(2,3) adalah
Persamaan garis : y = mx + n.
Karena menyinggung titik P(2,3) maka 3 = 5(2) +
n → n = –7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3)
adalah
y = 5x – 7

5. 6.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis
singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui
bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian
kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rum
dapat ditulis menjadi,
imana m 1 adalah kemiringan garis singgung dan m 2 adalah
emiringan garis normalnya.

6. Contoh
6.2
ntukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (
da kurva y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian
Jadi,

7. Contoh 6.3
entukan persamaan garis singgung, garis normal dan
ik singgung pada t = 2
Penyelesaian
Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)

8. Persamaan garis singgung y = 12x + 36
3 Kelengkungan (Curvature)
esarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipenga
eberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebu
Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu
terjadi secara
berangsur-angsur perubahan arah kurva terjadi
maka harga kelengkungannya
Sebaliknya jika
besar. mendadak
secara
maka kelengkungannya kecil.

9. 6.3.1 Jari-jari kelengkungan
y
0
C
θ
R
∆θ
R
P
∆S
θ
∆θ
+
Gambar
6.2
Q
x

10. ada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP
an CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = ∆s.
Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP
= CQ = R
dan panjang busur ∆s → 0. Telah diketahui bahwa
panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh
Sehingga panjang busur,
sudut θ adalah Rθ.

11. θ
Perhatikan Gambar 6.3
∆s
∆y
Gambar
6.3
∆x
→

12. adi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
edangkan jari-jari kelengkungan di titik (x 1 ,y 1 ) adalah

13. Contoh 6.4
Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9
di titik (3,3)
Penyelesaian

14. 5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of
Curvature )
Dari Gambar 6.4 didapat
y
k
0
h
C
θ
L
x1
R
θ
Gambar 6.4
P(x,y)
LC = R cos θ
LP = R sin θ
h = x1 – LP
k = y1 + LC
x
(6.7)

15. Contoh 6.5
ntukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4
Penyelesaian
Jadi pusat kelengkungan adalah

16. 6.4 Nilai ekstrim
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjuk
pada Gambar 6.5.
Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran
temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu
jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran
lainnya.
Jika kita perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran
meningkat pada [x 0 ,x 1 ], menurun pada [x 1 ,x 2 ] dan
seterusnya hingga
konstan pada selang [x 6 , x 7 ]
Definisi 6.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2
adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap

17. Definisi 6.4.1
isal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2
alah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) < f(x2)
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) > f(x2)
i) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap
harga x1 dan x2

18. y
0
x5
x 0 =a
x1
x6 x7
Teorema 5.4.2
x2
Gambar 6.5
x3
x4
x
ka suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidakdaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].

19. Contoh 6.6
Jika diketahui f(x) = x 2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim
f untuk
selang-selang berikut a) [-2,0] ; b) (-3, 1) ; c) [-3,2)
; d) (-1,1]
Penyelesaian
y
a
Pada selang [-2,0]
• Maksimum
–2
•
=f(0)=6
Minimum = f(-2)
=0
Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada
(tak kontinu pada x=3)
Minimum tidak ada
x (f tak kontinu pada x
–3
0
= 1)
b
y
0 1
x

20. y
c
–3
•
–2
0
y
d
x
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
–1
•
1
x
0
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada
(f tak kontinu pada
x=-1)
Minimum = f(1) = 12

21. .4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapa
suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemik
rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau
terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga
maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.
Definisi 6.4.3
Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah
definisi
(domain) fungsi, maka
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat
suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian
rupa
sehingga f(x) ≤ f(c) untuk setiap x pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat
suatu selang

22. y
0
c
a
Maksimu
m
lokal
x
Minimum
lokal
Gambar
6.7
b
x1
x

23. rema 6.4.4
al c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b)
tu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c
f’(c) = 0.
rema 6.4.5
al c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b)
tu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada
k c jika f’(c) ada dan tidak sama dengan 0.
rema 6.4.6
al c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]
tu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c
f’(c) = 0.
rema 6.4.7
c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kriti
ka f’(c)= 0

24. Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, mak
kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan
titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minim
mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik
terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimu
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 6.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril
Jika c terletak pada S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) ≤ f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) ≤ f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.

25. tunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
tinu pada selang tertutup [a,b]:
ntukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
entukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik
ujungnya adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tid
mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b]
maka titik ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) m
titik ujungnya adalah a.

26. 3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang
didapat dari
nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah
nilai terbesar
dan terkecil yang dihitung ekstrim fungsi yang
tunan untuk medapatkan nilai-nilai pada nomor 3 fdan 4
diatas.
tinu pada selang terbuka (a,b):
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
itung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
ilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbe
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.

27. ntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
ntinu pada selang setengah terbuka [a,b) :
entukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
Hitung nilai f(a)
Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terb
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
ntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
ntinu pada selang setengah terbuka (a,b] :
entukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
Hitung nilai f(b)
Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terb
dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.

28. ontoh 5.7
ka diketahui f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 10, tentukan nilai
aksimum dan minimum f pada selang tertutup [ – 4,3]
enyelesaian:
enentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 10
f’(x) = 6x 2 – 6x – 12 = 0
6x 2 – 6x – 12 = 0 → 6(x 2 – x – 2) = 0 → 6(x–2)(x+1) = 0
x 1 = 2 ; x 2 = –1
f(x 1 ) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = –10
f(x 2 ) = f(–1) = –2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : – 4 dan 3
f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54
f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1

29. i : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
y
-4
-3
2 3
-2
17
-1
0
Gambar 6.8
1
x

30. 5 Kecekungan dan kecembungan
ika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, mak
ersamaan tersebut dapat ditulis menjadi,
atau

31. y

32. Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan
terlihat bahwa garis singgung yang menyinggung
kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian
atas kurva pada selang terbuka (–r,r).
Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang
menyinggung kurva selalu berada bagian bawah
kurva pada selang terbuka (–r,r).
Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung
keatas atau cekung kebawah dan Gambar 6.7 (b)
biasanya disebut cembung kebawah atau cekung
keatas.

33. Definisi 6.5.1
rva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada
ang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada
mbarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian
wah kurva f.
Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas
(cekung kebawah)
jika garis singgung yang menyinggung kurva pada
sembarang
Kurva f pada Gambar selalu terletak pada pada
titik pada selang (a,b) 6.10 cembung keatasbagian
selang (a,b)
atas kurva f.
dan cembung kebawah pada selang (b,c).

34. y
0
c
a
Definisi 6.5.2
cembung
keatas
cembung ke
bawah
b
Gambar 6.10
x
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang
bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x
= xo atau f’’(xo) < 0 maka kurva f pada selang
tersebut cekung kebawah atau cembung keatas.
Jika pada selang (a,b) harga f’’(xo) > 0, maka

35. Definisi 6.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x)
dan kontinu di titik x = xo. Jika f’’(xo) = 0 dan
disekitar x = xo berlaku f’’(x)>0 untuk x<xo
dan f’’(x) < 0 untuk x>xo atau berlaku f’’(x)<0
untuk x<xo dan f’’(x) > 0 untuk x>xo, maka
titik (xo,f(xo)) merupakan titik
belok dari
kurva tersebut.
ntoh 6.8
ntukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika
etahui :
) = 6 – 5x + x2.
nyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2
rena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva
embung kebawah.

36. ntoh 6.9
a diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan
erah pada kurva f yang merupakan daerah cembung
bawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva
ng dimaksud !
nyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
f’(x) = 1 + 6x – 3x2
f’’(x) = 6 – 6x
erah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0 → x>1
erah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0 → x<1
ik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0 → x=1

37. Kecepatan dan percepatan sesaat
6.6.1 Kecepatan
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan
sesaat, kiranya k ita perlu mengetahui apa yang
dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-ra
Kecepatan rata-rata
pada bidang datar didefini
sebagai
dimana s 2 dan s 1 adalah masing-masing posisi akhir
dan awal terhadap titik acuan. Sedangkan t 2 dan t 1
adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai posis
akhir dan posisi awal.

38. Untuk selisih waktu ( ∆t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8
hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan
rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung
Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk
kecepatan untuk
menentukan kecepatan untuk suatu saat tertentu,
suatu saat tertentu.
dengan catatan ∆t sangat kecil atau dalam bentuk
rumus,
mana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan
rtama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau
pat ditulis dalam bentuk s = s(t).

39. mana v 2 dan v 1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal
hadap titik acuan. Sedangkan t 2 dan t 1 adalah waktu yang
butuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal.
Untuk selisih waktu ( ∆t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8
hanya
dapat
digunakan
untuk
menentukan
percepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung
Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk
percepatan untuk suatu saat tertentu.
menentukan percepatan untuk suatu saat tertentu,
dengan catatan ∆t sangat kecil atau dalam bentuk
rumus,
mana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan
ertama dari kecepatan.

40. ntoh 6.10
tasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan
3t 2 – 5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan mete
tukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saa
15 detik.
yelesaian
Untuk t = 15 detik
Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2