1. Teknik integral parsial digunakan untuk mengintegralkan fungsi produk dengan menggunakan rumus integral u dv = uv - ∫v du. Rumus ini berguna bila integral ruas kanan menghasilkan konstanta. 2. Terdapat beberapa teknik untuk mengintegralkan fungsi trigonometri, yaitu dengan menggunakan identitas trigonometri, membentuk fungsi menjadi jumlah deret trigonometri, dan substitusi variabel. 3. Integral fungsi rasional d

1. 1
TEKNIK PENGINTEGRALAN

2. Integral Parsial (Integration by parts)
Jika f dan g fungsi differensiabel, maka
Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi
 f (x) g(x) f (x) g '(x) g(x) f '(x)
dx
d
 
 d f (x) g(x) dx   f (x) g ' (x) dx   g(x) f ' (x) dx
f (x) g(x) C   f (x) g '(x) dx  g(x) f '(x)dx

3. Integral Parsial (Integration by parts)
Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta
lain, maka dapat dinyatakan
Rumus ini merupakan Integral Parsial.
Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx
v = g(x) dv = g(x) dx
 f (x) g '(x) dx f (x) g(x)  g(x) f '(x)dxC
 f (x) g '(x) dx f (x) g(x)  g(x) f '(x)dx

4. Integral Parsial (Integration by parts)
Sehingga bentuk tersebut menjadi
Integral parsial untuk integral tertentu:
Contoh: Selesaikan integral
a. b.
u dvuv v du
   
b
a
b
a
v du
a
b
u dv uv
 x e dx x   x e dx 2 x

5. 5
Integral Fungsi Trigonometri
• Bentuk :
* Untuk n ganjil, Tuliskan :
dan gunakan identitas
contoh :
* Untuk n genap, Tuliskan :
dan gunakan identitas:
cos & sin
n n
 x dx  x dx
sin sin sin dan 1 x x x n n  x x x n n 1 cos cos cos  
sin cos
2 2
x  x  1
sin sin sin  cos  cos  cos cos 3 2 2 3 1
1
3
 x dx   x x dx    x d x  x  x  C
x x x x x x n 2 n 2 n 2 n 2 sin sin sin dan cos cos cos    
cos 2 2 cos 1 1 2 sin
2 2
x  x    x

6. 6
 Contoh :
 Bentuk
a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan
gunakan identitas
b). Untuk m dan n genap, tuliskan
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
identitas
Contoh :
cos  cos  sin
2 1
2
1 2
1
2
1
4
 x dx    x dx  x  2x  C
sin cos
m n
 x x dx
sin cos
2 2
x  x  1
cos 2 2 cos 1 1 2 sin
2 2
x  x    x
sin cos sin cos sin  cos cos cos 
3 2 2 2 2 2
 x x dx   x x x dx   1 x x d x
  
1
5
1
3
5 3
cos x cos x C
sin cos
2 2 1 cos 2 cos
2
1 2
2
x x dx
x x
 dx
 
 
x x m n sin dan cos

7. 7
• Bentuk
Untuk m=0 atau n=0, keluarkan faktor
sehingga didapat :
contoh :
tan sec 1 dan 2 2 x  x 
cot csc 1 2 2 x  x 
 x xdx  x xdx m n m n tan sec dan cot csc
          xdx x xdx x x dx m m m 1. tan tan tan tan sec 1 2 2 2 2
       xdx x xdx x x dx m m m 2. cot cot cot cot (csc 1) 2 2 2 2
       xdx  x xdx  xd x n n n 3. sec sec sec sec tan 2 2 2
.
tan sec ? 2 4  x xdx 
 tan xsec xdx   tan xsec xsec xdx   u u 1du 2 4 2 2 2 2 2
     
1
5
1
3
1
5
1
3
5 3 5 3
u u C tan x tan x C

8. 8
Substitusi Trigonometri
• Fungsi integran memuat
misalkan
Contoh :  misalkan
2 2 a  x
x  asint
dx
x
x


2
2 25
x  5sint
.
5
sin
25 25 1
2
2
2
C
x
x
x
dx
x
x
 





 
  

9. 9
 Fungsi Integran memuat , misalkan
Contoh:  misalkan
 Fungsi Integran memuat misalkan
Contoh :  misalkan x = 5 sec t
2 2 a  x x  a tant

 9 2 x x
dx
x  3tant
2 2 x  a
x  asect
x
x
dx
2
 25

C
x x
x
x x
dx
 




9 3
ln
3
1
9
2
2
C
x
x  



   
5
25 5sec 2 1

10. 10
Substitusi Bentuk Akar
 Fungsi Integran memuat bentuk
misalkan
contoh :  misalkan
n ax  b
n u  ax  b
dx
2  2 x 
u  x dan 2u du  dx 2
 
dx
x
u
u
du
u
du u u C
2 2
2
2 2
1
1
1
1



 


 

 
     ln  
 x  ln1 x  C

11. 11
Integral Fungsi Rasional
 Fungsi Integran berbentuk rasional : , der (P)< der(Q)
 Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear dan tidak berulang.
2. Faktor linear dan berulang.
3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.
4. Faktor kuadratik dan berulang.
 Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari.
 
 
 
f x
P x
Q x

Qx   a1 x  b1  a2 x  b2 ...  an x  bn
 
 
P x
Q x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
n
n n




 

1
1 1
2
2 2
...
A1, A2 , ... , An

12. 12
contoh :
Sehingga,
 Kasus 2 ( linier berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari
1
4 9 2 x
dx


4 9 2 3 2 3
1
2 



 x
B
x
A
x
1A2x3B2x3
1 2A2Bx 3A3B
6
1
dan
6
1
2A2B0 dan 3A3B1sehingga diperoleh A B
       





dx
x
dx
x
dx
x 2 3
6
1
2 3
6
1
4 9
1
2
Q x  ai x bi 
p  
 
         p
i i
p
p
i i
p
i i i i a x b
A
a x b
A
a x b
A
a x b
A
Q x
P x



 



 

1
1
2
1 2 ...
p p A ,A ,...,A ,A 1 2 1
 x   ln 2x 3 C
12
1
ln 2 3
12
1


13. 13
• Contoh :
• Kasus 3 ( kuadratik tidak berulang )
Misal
dengan konstanta yang dicari
   
1
2 1
2
x x
dx
 

 2  1  2  2  1
1
2 2 





  x
C
x
B
x
A
x x
9
1
dan
9
1
,
3
1
diperoleh A  B  C
         
1
2 1
1
3
2
1
9
2
1
9
2 2 1
x x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
 








   
Qx  a1 x  b x  c   a x  b x  c   an x  bn x  cn
2
1 1 2
2
2 2
2 ...
 
 
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n


 


 
 

 
1 1
1
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
...
n n A ,A ,...,A , dan B ,B ,...,B 1 2 1 2

ln | 1) .
9
1
ln | 2)
9
1
3( 2)
1
x x C
x
    



14. 14
 Contoh : 
sehingga,
 Kasus 4 ( kuadratik berulang)
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari
    1 2 x x
dx
 1  1
1
2 2 

 
 x
Bx C
x
A
x x
diperoleh A1, B 1dan C0
       

 

dx
x
x
dx
x
dx
x x 1
1
1
1
2 2
ln | 1| .
2
1
ln | | 2  x  x  C
Q x  ai x bi x ci 
p
   2
 
         p
i i i
p p
p
i i i
p p
i i i i i i a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
Q x
P x
 


 

 
 


 

 
 
2 1 2
1 1
2 2
2 2
2
1 1 ...
p p p p A ,A ,...,A ,A danB ,B ,...,B ,B 1 2 1 1 2 1

15. 15
 Contoh :
Sehingga,
  
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
 
 

  2 2    2   2 2
2
3 2 3 2 2
6 15 22








 
 
x
Dx E
x
Bx C
x
A
x x
x x
diperoleh A1, B 1,C3, D 5 dan E0
            







 
 
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
x x
2 2 2 2 2
2
2
5
2
3
3
1
3 2
6 15 22
6  15  22    2      3  2      3 2 2 2 2 x x A x Bx C x x Dx E x
    






 dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
2 2 2 2 ( 2)
2
2
5
2
3
2
2
2
1
3
.
2( 2)
5
2
tan
2
3
ln( 2)
2
1
ln | 3 | 2
2 1 C
x
x
x x 

 





     