Bab ini membahas integral lipat dua pada berbagai koordinat dan daerah integrasi. Integral lipat dua digunakan untuk menghitung volume, pusat massa, dan momen inersia. Contoh soal mendemonstrasikan teknik penyelesaian integral lipat dua dengan merubah urutan integrasi sesuai bentuk daerah integrasinya.

1. 63
4.1 PENDAHULUAN
Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral
lipat dua dari fungsi dua peubah. Akan dibahas bentuk-bentuk integral lipat
dalam koordinat kartesius, koordinat, kutub, maupun dalam koordinat yang
lebih umum. Penerapan integral lipat diantaranya untuk menghitung
volume, pusat massa dan momen inersia.
Setelah mempelajari bab ini, saudara akan dapat:
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kartesius,
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kutub,
- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat yang lebih umum
melalui penggantian peubah.
4.2. INTEGRAL LIPAT ATAS DAERAH SEGIEMPAT
Pada pembahasan turunan parsial, ketika menurunkan fungsi f(x,y) terhadap
x maka y dianggap konstanta, dan sebaliknya. Hal demikian juga berlaku
untk integral. Misal diketahui fungsi dua variabel ( ) yxyxf 2, += . Fungsi
ini akan kita cari hasil integrasinya terhadap variabel x dan y , yaitu:
+ dxdyyx )2(
Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama
diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi
terhadap y .
Ketika kita mengintegral kan terhadap variabel x , maka kita
menganggap variabel lain sebagai konstanta. Begitu juga sebaliknya, bila
kita integralkan terlebih dahulu terhadap variabel y , maka variabel yang
lain dianggap sebagi konstanta.
Dengan demikian, untuk persoalan diatas, misalkan kita integralkan
terlebih dahulu terhadap x , maka

2. 64
( ){ }dydxyxdxdyyx +=+ 2)2(
{ }dyydxxdx += 2
= + dyxyx }2
2
1
{ 2
= dyyxdyx + 2
2
1 2
= 22
2
1
xyyx +
= )
2
1
( yxxy + .
Berikutnya akan dibahas integral lipat atas daerah segiempat.
Misalkan ( ),z f x y= terdefinisi pada R, suatu daerah persegi panjang
tertutup, yaitu : R =[a,b] x [c,d] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} di bidang
XY.
Tujuan kita adalah menentukan volume benda yang dibatasi oleh
( ),z f x y= di atas daerah R di bidang XY.
Volume ini nantinya akan dinyatakan sebagai integral lipat dua
( ),
R
f x y dA. Untuk

3. 65
memperolehnya, serupa dengan ketika kita mencari luas daerah yang
dibatasi oleh y = f(x) di atas sumbu X.
Bentuk partisi [a,b] menjadi m bagian dan [c,d] menjadi n bagian.
Pilih ( ),ij ijx y∗ ∗
pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
Volume = ( ), .ij ijf x y A∗ ∗
∆
Bentuk jumlah Riemann.

4. 66
( )
1 1
,
m n
ij ij
i j
f x y dA∗ ∗
= =
Jika m,n ∞ (|P| 0) diperoleh integral lipat dua f pada R sebagai
limit jumlah Riemann, yaitu
( ) ( ),
1 1
, lim , ,
m n
ij ij
m n
i jR
f x y dA f x y A∗ ∗
→∞
= =
= ∆
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R
Integrasi dari fungsi dengan dua peubah dinyatakan dengan
Grafik fungsi dengan dua peubah berupa luasan permukaan dalam dimensi
tiga dan integrasinya pada suatu daerah R adalah volume antara grafik
dengan daerah tersebut.
Sifat integral:
1.) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +
2.) Jika c konstanta, ( ) ( ), ,
R R
c f x y dA c f x y dA=
R

5. 67
3.) Jika ( ) ( ), ,f x y g x y≥ untuk setiap ( ),x y di dalam ,R maka
( ) ( ), ,
R R
f x y dA g x y dA≥ .
Jika ),( yxf = 1, maka nilai dari volume sama dengan luas daerah R.
{ }
xddyyxfdxdyyxf
dydxyxfdxdyyxf
dycbxayxR
x,yf
b
a
d
c
b
a
d
c
d
c
b
a
d
c
b
a
=
=
≤≤≤≤=
),(),(
),(),(
maka
,:),(
segiempatdaerahsuatupadakontinu)(Jika
−
+
2
1
1
1
2
)23(
integralSelesaikan:4.1Contoh
dydxxyx
Penyelesaian .
Menggunakan denfinisi diperoleh:
[ ]
{ }
[ ]
14
)1(2)2(226
])1()1(3[])1()1(3[
3)23(
332
1
3
2
1
2
2
1
2222
2
1
1
1
22
2
1
1
1
2
=
−===
−+−−+=
+=+
=
−=
−
xdxx
dxxxxx
dxxyyxdydxxyx
y
y

6. 68
Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari
suatu fungsi kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang.
Selanjutnya teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini.
Teorema Fubini pada daerah segiempat
Jika f kontinu pada daerah segi empat { },:),( dycbxayxR ≤≤≤≤=
maka
Contoh 4.2:
Selesaikan −
R
dAyx )( , dengan R=[0,1] x [0,2]
Penyelesiaan:
−=−=−
2
0
1
0
2
2
0
1
0
2
1
)()( dyxyxdxdyyxdAyx
R
= −−
2
0
2
0).11.
2
1
( dyy
= −
2
0 2
1
dyy
d
c
a b
x
y
==
b
a
d
c
d
c
b
a
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
R

7. 69
= 1
2
1
2
1
2
0
2
−=− yy .
Atau
−=−=−
1
0
2
0
2
1
0
2
0 2
1
)()( dxyxydydxyxdAyx
R
= −
1
0
2
2.
2
1
2. dxx
= ( )−
1
0
22 dxx
= [ ] 12
1
0
2
−=− xx .
Terlihat dengan urutan intergral berbeda diperoleh hasil yang sama.
Pada kasus ( ) ( ) ( ), ,f x y g x h y= maka ( ) ( ) ( )( )
b d
a c
R
g x h y dA g x dx h y dy=
, dengan [ ] [ ], , .R a b c d= ×
Contoh 4.3 : Jika 0, 0, ,
2 2
R
π π
= × tentukan sin cos
R
x y dA.
Penyelesaian:
Teorema Fubini untuk daerah sembarang
Ada dua tipe , seperti pada dua gambar berikut:

8. 70
=
b
a
y
yR
dydxyxfdAyxf
2
1
),(),( =
d
c
x
xR
dxdyyxfdAyxf
2
1
),(),(
Contoh 4.4: Cari
1
0 2
30
x
x
ydydx
Penyelesaian:
[ ]
[ ]
2
3535
)1515(
1530
1
0
53
1
0
42
1
0
2
1
0
2
2
=
−=−=
−=
=
=
=
xx
dxxx
dxyydydx
xy
xy
x
x
Contoh 4.5 : Hitung +
R
y)dA(x 3 dimana
}1211){( 22
xyx,x|-x,yR +≤≤≤≤=
Type II
)(22 yhx =)(11 yhx =
d
c
x
y
Type I
)(11 xgy =
)(22 xgy =
a b x
y

9. 71
Penyelesaian.
.-
-
)x-xxx-x(
dxx-xxx-xx
)dx)x-()x(()x-xx(
y)dydx(xy)dA(x
-
-
R
-
x
x
2
2
1
1
2
3
1
1
2
1
2
3
4
1
2
1
4
2
3
3
2
3
2
21
2
3
21
33
5342
1
1
44233
1
1
222222
1
1
1
2
2
2
=+=++=
++++=
+++=
+=+
+
Contoh 4.6 : Tentukan
R
dAyxf ),( jika:
{ }
(-2,1)and(3,1)(0,0),suduttitik-ikdengan titsegitiga;),((iii)
sindan0,,0olehdibatasiyangdaerah;),((ii)
20,2:),(;4),((i)
2
2
Rxyyxf
xyyxxRyyxf
yyxyyxRyxyxf
=
=====
≤≤≤≤=−=
π
Penyelesaian.
(i). Daerah R adalah sebagai berikut
x
y
2=y
0=y
yx 2=
2
yx =

10. 72
Maka diperoleh
[ ]
5
36
5
2
4
2
)26(
]})(2[]2)2(2{[
2)4()4(
2
0
54
3
2
0
432
2
0
32222
2
0
22
2
0
2
2
2
=−+=
−+=
−−−=
−=−=−
=
=
=
=
=
=
yy
y
dyyyy
dyyyyy
dyxyxdxdyyxdAyx
yx
yx
y
y
yx
yxR
(ii) Daerah R adalah sebagai berikut:
Diperoleh
.
42
2sin
4
1
)2cos1(
4
1
2
sin
2
0
0
0
2
0
sin
0
2
0
sin
0
π
π
π
π
ππ
=−=
−=
=
==
=
=
=
=
x
x
dxx
dx
x
dx
y
dydxydAy
x
x
x
xy
yR
x
y
xy sin=
0=y
0=x
π=x

11. 73
(iii). Daerah R adalah
Maka
.
2
1
22
5
)49(
2
2
1
0
51
0
41
0
22
2
1
0
3
2
221
0
3
2
22
===−=
==
=
−=
=
=
=
−=
y
dy
y
dyyy
y
dy
yx
dxdyxydAxy
yx
yx
y
y
yx
yxR
Catatan`:
Aturan integrasi:
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari
bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan
pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan
pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan
daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi
dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
x
y
1
0=y
yx 2−=
1=y
yx 3=
2− 3

12. Contoh
dan sumbu
Penyelesaian:
2( ye
R
Atau dibalik urutan integralnya:
2( ye
R
Contoh 4.7 : Hitung , R daerah yang dibatasi oleh
dan sumbu y.
Penyelesaian:
)
1
0
1
0
1
0
=
=
=
=
e
dAyex
Atau dibalik urutan integralnya:
)
1
0
=
=
=
=dAyex
: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh
( )
(2
2
2
1
0
2
1
0
1
0
0
1
0 0
2
2
2
2
−
−
ye
ey
dyey
dxey
y
y
yx
y
x
Atau dibalik urutan integralnya:
( )2
1
0
1
0
12
1
0
1
+−
−
xee
dxxee
ye
dyey
xx
xx
x
x
x
x
(
R
y2: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh
11
)1
−−=
−
e
dy
dy
dydx
Atau dibalik urutan integralnya:
(
1
0
−=+ ee
dx
dx
dxdy
x
)x
dAey: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh
.21 −= e
1() −+− ee
: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh
)101 =+−
: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh x = y
.2−e
74
x = y2
, y =1,

13. 75
LATIHAN 4.2 :
Untuk soal no. 1 – 5 , hitung
R
dAyxf ),( , jika:
1. }21,21:),{(;812),( 32
≤≤−≤≤=−= yxyxRxxyyxf
2. Rxyyxf ;2),( += daerah segiempat yang dibatasi oleh (-1,-1), (2,-1),
(2,4) dan (-1,4).
3. }1,21:),{(;),( 2
xyxxyxRyxyxf ≤≤−≤≤==
4. }20,2:),{();4(),( 2
≤≤≤≤=−= yyxyyxRyxyxf
5. 2
),( xyyxf = ; R daerah segitiga yang dibatasi oleh (0,0), (3,1) and (-
2,1).
Untuk soal no. 6 – 9, sketsakan daerah integrasi R, kemudian tulis kembali
integral dengan menukar urutan integrasi
6.
−1
0
24
2
),(
x
dydxyxf 7.
1
0
),(
y
y
dxdyyxf
8.
1
0 1
),(
x
e
dydxyxf 9.
−
−−
1
0
1
1
2
2
),(
y
y
dxdyyxf .
Untuk soal no. 10 – 12, hitung integral lipat :
1.
1 2
0 1
x
xe
dy dx
y
2.
2
2
1
1R
x
dA
y
+
+
dengan [ ] [ ]0,1 0,1 .R = ×
3. ( )
1 1
2
0
sin ,
x
y dy dx

14. 76
4.3 PENGGANTIAN VARIABEL DALAM INTEGRAL LIPAT
Dari transformasi T yang diberikan oleh x = g(u, v) dan y = h(u, v)
didefinisikan jacobian :
Misalkan T adalah Transformasi C1
satu ke satu yang Jacobiannya tidak nol
dan yang memetakan daerah S di bidang uv pada daerah R di bidang xy.
Andaikan bahwa f kontinu pada R dan bahwa R serta S adalah daerah-
daerah bidang jenis I atau II, maka:
Dalam hal ini kita mengubah dari integral dalam x dan y ke integral dalam
u dan v dengan cara mengekspresikan x dan y dalam suku u dan v dan
menuliskan :
Sebagai ilustrasi, perhatikan koordinat polar. Di sini transformasi T
dari bidang r ke bidang xy diberikan oleh:
x = g(r, ) = r cos y = h(r, ) = r sin
Dan geometri transformasi, T memetakan persegi panjang biasa
dalam bidang r ke persegi panjang polar di bidang xy. Jacobian T adalah:
! " #
Jadi diperoleh:

15. 77
$ $
%
&
'
(
Contoh 4.8 : Gunakan penggantian variabel x = u2
-v2
, y = 2uv untuk
menghitung integral ) , dengan R adalah daerah yang dibatasi oleh
sumbu x dan parabola-parabola y2
= 4 – 4x dan y2
= 4 + 4x.
Penyelesaian:
Pertama kita perlu menghitung Jacobain.
* *
* *
+ + " #
Karena itu :
* $ $ * + , ,-
.
-
.
/ 0
-
.
0 1 1-
.
/ 0 23
4
5 3
6
, 1
7
-
. 89.
89-
$ * + 1
-
.
: , 5
;
89.
89-
*
Contoh 4.9:
Hitung integral ) < =>? @ =A?
, dengan R adalah daerah trapesium
dengan titik sudut (1,0),(2,0),(0,-2), dan (0,-1).

16. 78
Penyelesaian:
-
,
-
,
Jacobian T adalah
B
*
B
*
B
*
B
*
B
*
# x-y=2 x=0 x-y=1
* B
Jadi daerah S adalah daerah trapesium dengan titik sudut (1,1), (2,2), (-2,2)
dan (-1,1).
C DE FB G G * G G H
Sehingga:
<
=>?
=A? <
8
I J J
$ $ <8@I
K
B
*
L
I
AI
B
*
$ 2 <8@I
7
89I
89AI
,
-
,
-
=
-
,
0 < <A-,
-
=
1
5
< <A-

17. 79
Contoh 4.10: Hitung ) dengan R adalah daerah trapesium yang
dibatasi oleh titik – titik # # M # N
O
,
O
,
P Q! N
O
,
O
,
P dengan
transformasi
* R Q! * R
Penyelesaian :
Untuk y = x untuk y = -x
* R * R * R * R
S # + #
# #
Untuk M untuk M
* R * R M * R * R M
+ M S M
O
5
O
T
# G G
M
+
# G G
M
S
U
*
R
E E
R
R
U S S B*
$ $ * R * R F B*F
O
5
.
O
T
.

18. 80
$ $ +/
O
5
.
O
T
.
$ *+ ,
J
O
5
#
E
O
T
.
$
VM
*
O
T
.
VM
*
W
O
T
#
E
B*M
+
X
LATIHAN 4.3 :
1. Hitung )
YZ[4
?>,=
, jika R adalah daerah yang dibatasi oleh +
* + M R * B * .
2. Hitung
jika R adalah daerah yang dibatasi oleh :
# # R B .
3. Gambarkan daerah integrasi berikut, kemudian selesaikan
menggunakan transformasi koordinat yang sesuai.
+
+− +
−1
0
2
2
x
x
dydx
yx
xy
+
+−
+
−2
1
4x
x
dydx
yx
xy
.