Dokumen tersebut membahas tentang integral dan penerapannya untuk menghitung luas daerah dan volume benda. Integral digunakan untuk menghitung luas daerah yang tidak beraturan dengan membagi daerah menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkannya. Integral juga digunakan untuk menghitung volume dengan cara memutar daerah sekitar sumbu x atau y.

1. TELAAH KURIKULUM
MATEMATIKA III
SMA KELAS XII IPA
SEMESTER 1

2. INTEGRAL
Nama Kelompok :
1. Eka Ririn Haryati (112144172)
2. Endah Kusumaningrum (112144173)

3. INSPIRASI
Pernahkan kalian berfikir cara menghitung luas suatu
bidang datar yang tidak beraturan? Atau mungkin
menghitung volume sebuah kaleng atau vas bunga?
Untuk menghitung luas atau volume benda tidak beraturan
yaitu dengan menggunakan integral.

4. MERANCANG ATURAN INTEGRAL TAK TENTU
DARI ATURAN TURUNAN
1. Pengertian Integral
Operasi pendiferensialan adalah proses menentukan
turunan dari suatu fungsi F’(x) = f(x) diketahui.
Invers dari operasi pendiferensialan dan invers dari
operasi pendiferensialan ini dinamakan sebagai operasi
pengintegralan.

5. Untuk memahami hubungan antara operasi
pengintegralan dengan operasi pendiferensialan
digunakan bantuan tabel sebagai berikut.
Pendiferensialan
F(x) F’(x)=f(x)
Pengintegralan
x2 2x
x2 – 1 2x
x2 + 3 2x
x2 – 4 2x
x2 + 10 2x
. .
. .
. .
x2 + C 2x

6. 2. Notasi Integral dan Pengertian Integral Tak Tentu
ʃf(x) dx = F(x) + C
• F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat
F’(x) = f(x)
• f(x) disebut fungsi integran
• C konstanta real sembarang dan sering disebut sebagai
konstanta pengintegralan.

7. Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar
Berikut ini rumus-rumus integral tak tentu dan fungsi
aljabar
1. (i) ʃdx = x + C
(ii) ʃa dx = ax + C
2. (i) ʃ{f(x) + g(x)} dx = ʃf(x) dx + ʃg(x) dx
(ii) ʃ{f(x) – g(x)} dx = ʃf(x) dx - ʃg(x) dx
3. (i) ʃxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
(ii) ʃaxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1

8. CONTOH

9. Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana tertulis dalam
tabel berikut.
No. F(x) F’(x) = f(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sin x
cos x
tan x
cot x
sec x
cosec x
cos x
-sin x
sec2 x
-cosec2 x
tan x . sec x
-cot x . cosec x

10. Dengan menggunakan aturan integral tak tentu
yang mempunyai sifat bahwa F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi
trigonometri dalam tabel maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi
trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

12. Fungsi-fungsi trigonometri dalam veriabel sudut ax + b
(a dan b bilangan real dengan a ≠ 0) sebagai berikut.
No F(x) F’(x) = f(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sin (ax + b)
cos (ax + b)
tan (ax + b)
cot (ax + b)
sec (ax + b)
cosec (ax + b)
a cos (ax + b)
-a sin (ax + b)
a sec2 (ax + b)
-a cosec2 (ax + b)
a tan (ax + b) . sec (ax+b)
-a cot (ax + b) . cosec (ax + b)

13. Berdasarkan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam tabel tersebut,
maka aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam
variable sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut.
Dimana
a dan b
masing-masing
bilangan real
dengan a ≠ 0.

14. CONTOH

15. Integral Tentu Sebagai Luas Daerah
di Bidang Datar
Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit
Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva
y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L
ditentukan oleh hubungan
dinamakan integral tentu.
Gambar hal.10

16. MENGHITUNG INTEGRAL TENTU
1. Luas di Bawah Kurva dan Teorema Dasar Integral
Kalkulus
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a, dan garis x = x (x>a) atau luas daerah AA1P1P
ditentukan oleh:
Gambar hal.15

17. Misalkan kurva f(x) kontinu dalam interval tertutup
[a, b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu X, garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan
rumus
Notasi Kurung Siku
F(b) – F(a) dapat diringkas dengan menggunakan kurung
siku [ ], maka

18. 2. Menghitung Integral Tentu dengan Menggunakan
Teorema Dasar Integral Kalkulus
Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam
interval tertutup [a, b]. Maka integral tentu f(x) terhadap x
dari x = a dampai x = b dinyatakan
dengan F(x) adalah pengintegralan dari f(x).

19. Sifat-sifat Integral Tentu

20. CONTOH
Hal. 19

21. Pengintegralan Dengan Rumus Integral
Substitusi
.
1. Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ʃ f(u) du
Jika f(u) adalah pengintegralan dari f(x), maka
Langkah-langkah menggunakannya:
2. Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F’(du) = f(u).

22. Rumus integral umum yang dikembangkan dengan
menggunakan rumus-rumus integral tak tentu dari fungsi
aljabar atau fungsi trigonometri, dirangkumkan sebagai
berikut:
1. Pengintegralan Fungsi Aljabar

23. 2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

24. CONTOH
Hal. 24

25. PENGINTEGRALAN DENGAN
RUMUS INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u (x) dan v (x) masing- masing adalah fungsi
dalam variable x, maka pengintegralan ʃ u dv ditentukan
oleh hubungan:

26. 2. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), kurva y = g
(x) , garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus:
Dengan catatan f(x) ≥ g (x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b

27. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU
UNTUK MENGHITUNG
LUAS DAERAH
1. Luas Daerah yang dibatasi oleh distribusi Kurva dengan
Sumbu x
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a, dan garis x = b ditentukan oleh :
dan

28. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU
UNTUK MENGHITUNG VOLUME
BENDA PUTAR
1. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap
Sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu X, garis x
= a, dan garis x=b diputar 360ᵒ mengelilingi sumbu X, maka
volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan
rumus :

29. 2. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap
Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g (y), sumbu Y, garis y =
c, dan garis y = d diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu Y,
maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan
rumus :

30. 3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang
Diputar terhadap Sumbu X
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),
garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi
sumbu X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi
ditentukan dengan rumus :
Dengan catatan bahwa y1 = f(x) ≥ y2 = g(x) dalam interval
tertutup a ≤ x ≤ b.

31. 4. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang
Diputar terhadap Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),
garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu
X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan
dengan rumus :
Dengan catatan bahwa x1 = f(y) ≥ x2 = g(y) dalam interval
tertutup c ≤ y≤ d.