DIFFERENSIASI Pada Matematika Dasar

1. BAB V
DIFFERENSIASI

2. .1 Garis singgung
aris singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik
ertentu pada suatu kurva.
Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat
pada Gambar 5.1
A
Gambar
5.1
l

3. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada
suatu kurva
maka berkemungkinan garis
singgung yang
menyinggung
Perhatikan Gambar 5.2
salah satu titik akan memotong kurva pada titik
lainnya.
A
Gambar
5.2
B
l

4. tuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai gar
nggung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgun
da titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi.
Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih
suatu titik
B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka
akan terbentuk garis l 1 yang mempunyai
kemiringan ,

5. y
A
B
0
x
h
Gambar
5.3
x1
l1
l
Kemiringan garis l 1 =
m1
Kemiringan garis
m
x
l =

6. a f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatk
ik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan
Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam
menjadi,
(5.2)
rsaman (5.2) adalah kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1 .
Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat
melihat bahwa
kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1 adalah
mendekati
kemiringan garis
l . Dalam bentuk limit dapat
ditulis menjadi
(5.3)

7. rsamaan 5.3 s.d. 5.5 adalah kemiringan garis l
da titik (x, f(x))
ntoh 5.1
ketahui f(x) = 3x2 + 5
ntukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang
lalui titik (a,a2)
nyelesaian

8. Jadi m = 6x (*)
Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)
Karena garis singgung melalui titik (a,a 2 ) ,
maka persamaan (*) menjadi m = 6a
persamaan (**) menjadi a2 = 6a 2 + n.
Sehingga n = – 5a 2
Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a 2

9. .2 Turunan
Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi.
Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan
ifferensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi
apat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses
masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).
f(x
)
Differensiasi
Gambar
5.4
f’(x)
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan gari
yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan
persamaan 5.3 dan Gambar 5.3 maka definisi turunan dapa
ditulis dalam bentuk,

10. (5.6)
ka persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat
differensiasikan (differensiable) pada x.
Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Contoh 4.2
Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan
f’(3)
Penyelesaian
f(x) = 2x2 + 5x – 7
f(x+∆x) = 2(x+∆x)2 + 5(x+∆x) – 7
= 2x2 + 4x∆x +2(∆x)2 + 5x + 5∆x – 7
+∆x) – f(x) = 4x ∆x + 2(∆x)2 + 5∆x

12. 5.3 Notasi turunan
Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan
dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f
yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan
Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716).
Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering
digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat
menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana
x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah
ak bebas.
Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas
adalah sebagai berikut,
ika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka dy/dx = f’(x)

13. Differensiabilitas dan kontinuitas
a f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikataka
ntinu pada x.
kti
da uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f
atakan differensiable jika memenuhi persamaan 5.6 yaitu,

14. Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x,
maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.
Teorema-teorema
5.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan
sebagai,
(5.7
)

15. Bukti
f(x) = c ; f(x+∆x) = c
2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah semba
bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai,
(5.8)
Bukti
Dengan mengunakan teorema binomial didapat,

16. Contoh 5.3
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x 7
Penyelesaian,

17. .5.3 Aturan penjumlahan
ka f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi
ang didefinisikan sebagai,
h(x) = f(x) + g(x)
h(x+∆x) = f(x+∆x) + g(x+∆x)
=
(5.9
)

18. Contoh 5.4

19. 5.5.4 Aturan perkalian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h
adalah fungsi
yang didefinisikan sebagai,
h’(x)
Bukti
f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)
(5.10)

20. Contoh 5.5
Penyelesaian

21. 5 Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah
fungsi yang didefinisikan sebagai,
Bukti
(5.11)

22. Contoh 5.6
Penyelesaian
f(x) = 2x 4 – 3x 2
f’(x) = 8x 3 – 6x
g(x) = 4x 3
g’(x) = 12x 2

23. 5.6 Turunan fungsi komposisi
(5.12)
Bukti
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)).
Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat
ditulis sebagai (f o g)(x).

24. u = g(x)
∆u= g(x+∆x) – g(x) → g(x+∆x) = g(x) + ∆u = u + ∆u
ika ∆u → 0 maka ∆x → 0
y = f(g(x))
∆y = f(g(x+∆x)) – f(g(x))

25. Persamaan 5.12 disebut aturan rantai
Contoh 5.7
Tentuk
an
jika y = (4x 3 + 5x 2 – x +
4) 3
Penyelesai
an
Misal u = 4x 3 + 5x 2 – x + 4 ;
y = u3

26. = 3(12x 2 + 10x – 1)(4x 3 + 5x 2 – x
+ 4) 2
.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
Bukti
(5.13)

27. = (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti)

28. Bukti
(5.14)

29. Bukti
=
(5.15)

30. = (cosx)(0) – (sinx)(1) = – sinx (terbukti)
Bukti
(5.16)

31. Contoh 5.8
enyelesaian
isa u = π–2x
Contoh 5.9
Penyelesaian
;
y = sin u

32. Contoh 5.10
Penyelesaian
Misa u = sin2x
v=cos3x

33. Contoh 5.11
enyelesaian
isal u = sin 3x
v = cos 4x

34. Bukti
u = sin x
(5.17)
v = cos x
(5.18)

35. Bukti
Contoh 5.12
Penyelesaian
Misal u = 3x
y = 5 tan u

36. Bukti
u = cos x
Bukti
(5.19)
v = sin x
(5.20)

37. Contoh 5.13
Penyelesaian

38. Bukti
Bukti
(5.21)
(5.22)

39. Bukti
(5.23)

40. Bukti
(5.24)

41. Contoh 5.15
Penyelesaian

42. Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
sin y = x
y
1
x
(5.25
)

43. Bukti
Contoh 5.16
Penyelesaian
(5.26
)

44. (5.27
)
Bukti
elanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cos y = x
y
1
x

45. Bukti
Contoh 5.17
Penyelesaian
(5.28)

46. (5.29)

47. Bukti
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
y
1
x
tan y = x

48. Bukti
Contoh 5.18
Penyelesaian
(5.30)

49. Bukti
(5.31)

50. Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cot y = x
y
Bukti
x
1
(5.32)

51. Contoh 5.19
Penyelesaian
Bukti
(5.33)

52. Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
y
x
sec y = x
1

53. Bukti
Contoh 5.20
Penyelesaian
(5.34)

54. Bukti
(5.35)

55. elanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
csc y = x
y
x
1

56. Bukti
Contoh 5.21
Penyelesaian
(5.36)

57. 5.8 Turunan fungsi eksponen
Bukti
(5.37)

58. engan menggunakan teorema binomial didapat,
(5.38)
(5.39)

59. Jika y = f(x) = e x
Sehingga

60. Bukti
Contoh 5.22
Penyelesaian
(5.40)

61. Misal
u = a – bx
5.9 Turunan fungsi logaritma
(5.41)

62. Bukti
(5.42)

63. Contoh 5.23
Penyelesaian

64. Bukti
Bukti
(5.43)
(5.44)

65. Contoh 5.24
Penyelesaian
Diketahui a = 7