Daerah Antara Kurva

1. DAERAH ANTARA KURVA

3. Misalkan daerah S terletak di antara dua kurva,
yaitu f(x) dan g(x), dan diapit dua garis vertikal,
di x = a dan x = b
Fungsi-fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi yang
kontinu, dan f(x)  g(x) untuk semua nilai x dalam
interval [a, b]
Misalkan S dibagi atas n segmen yang sama
lebarnya.
Segmen ke-i dapat dianggap sebagai suatu
persegi panjang yang lebarnya x dan tingginya
f(xi
*) – g(xi
*)
Jika semua segmen daerah S sehingga ujung
pita paling kanan adalah xi
* = xi

4. Pendekatan tersebut di atas akan semakin
mendekati luas S yang sebenarnya jika dapat
dibuat jumlah segmen n  
dimana
Karena itu luas A dari daerah S didefinisikan
sebagai jumlah
Semua luas masing-masing segmen
Adalah jumlahan Riemann untuk
semua segmen persegi panjang

5. Persamaan
Adalah integral
tak tentu dari
fungsi f - g
Sehingga luas A dari daerah yang dibatasi oleh
kurva
y = f(x) dan y = g(x) dengan garis-garis x = a dan
x = b, dimana fungsi f dan g kontinu dan f(x) 
g(x) untuk semua x pada interval [a,b] adalah

7. Untuk kasus dimana fungsi, f(x) dan g(x) kedua-
duanya bernilai positif,
b b b
a a a
A [daerah di bawah y = f(x)]-[daerah di bawah y = g(x)]
f (x)dx g(x)dx [f (x) g(x)]

     

8. Contoh
Carilah luas
daerah
yang dibatasi oleh
y = ex dan
y = x, serta garis-
garis x = 0
dan x = 1

10. Carilah luas
daerah yang
dibatasi oleh
y = x2 dan
y = 2x-x2,
Contoh

11. Carilah luas
daerah yang
dibatasi oleh
y = sin x,
y = cos x,
x = 0,
x = /2
Contoh

12. Penyelesaian
Titik-titik perpotongan kurva terjadi jika sin x = cos x,
yaitu pada titik x = /4. Perhatikan bahwa cos x  sin x
pada interval 0  x  /4
Tetapi sin x  cos x pada interval /4  x  /2.Karena itu daerah yang akan ditentukan luasnya adalah
   
π/2
1 2
0
π/4 π/2
0 π/4
π/4 π/2
0 π/4
A cos x sin x dx A A
(cos x sin x)dx (sin x cos x)dx
sin x cos x cos x sin x
1 1 1 1
0 1 0 1
2 2 2 2
2 2 2
   
   
    
   
          
   
 

 

13. Beberapa luasan dibatasi oleh fungsi-fungsi tertentu
yang lebih sederhana jika x dinyatakan sebagai
fungsi dari y.
Jika suatu daerah dibatasi oleh fungsi-fungsi
x = f(y), x = g(y), y = c, y = d, dimana f dan g
kontinu dan f(y)  g(y) dalam interval c  y  d, maka
 
d
c
A f (y) g(y) dy 

15. Contoh
Carilah luas daerah
yang dibatasi oleh garis
y = x – 1
dan parabola
y2 = 2x + 6

16. Penyelesaian
Dengan menyelesaikan kedua persamaan,
dapat diketahui titik potong kedua kurva
tersebut adalah
(-1,-2) dan (5,4).Persamaan parabola dapat diselesaikan
untuk x, dan berdasarkan gambar dapat
dilihat bahwa batas kiri dan kanan adalah
21
L R2x y 3 dan x y 1   

17. Batas-batas integral harus
disesuaikan: y = -2 dan y
= 44 4
21
R L 2
2 2
4
21
2
2
4
3 2
2
1 4
6 3
A (x x )dy (y 1) ( y 3) dy
( y y 4)dy
1 y y
4y
2 2 2
(64) 8 16 ( 2 8) 8
 


       
   
 
    
 
       
 
