Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu merupakan proses untuk menentukan fungsi F(x) jika turunannya F'(x) diketahui, sedangkan integral tertentu digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan rumus integral. Dokumen ini juga berisi contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. [/ringkasan]

1. INTEGRAL TAK TENTU &
PENGGUNAANNYA
OLEH : WASIS SUROSO

2. Hal.: 2 Integral
INTINTEEGRAL TAK TENTUGRAL TAK TENTU
Misal : y = F(x) maka turunannya adalah y’ = F’(x) = f(x)
F(x) = X4
turunannya
F(x) = X4
- 5 turunannya
F(x) = X4
+ 1 turunannya
F(x) = X4
+ 50 turunannya
F(x) = X4
+ c turunannya
Proses untuk menentukan fungsi F(x) jika F’(x) diketahui disebut
ANTI TURUNAN atau ANTI DEFERENSIAL atau INTEGRAL
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3

3. INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTU
Pengertian Hitung Integral
Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
Misal : y = F(x) = x4
maka
==
dx
xdF
dx
dy )(
)(
)(
xf
dx
xdF
=
Hal.: 3 Integral
4x3
= f(x)
dF(x) = f(x) dx
Untuk menyatakan f(x) kembali, digunakan INTEGRAL dengan lambang
""∫
Sehingga dF(x) = f(x)dx F(x) =
∫ dxxf )(
Secara Umum dituliskan bahwa cxFdxxf +=∫ )()(

4. INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
a.
b.
c.
d.
e.
1,
1
1
−≠+
+
=∫
+
nc
n
x
dxx
n
n
1, −≠= ∫∫ ndxxadxax nn
Hal.: 4 Integral
cxdx
x
dxx +==∫∫
−
ln
11
caxadx +=∫
dxxgdxxfdxxgxf∫ ∫ ∫±=± )()()]()([

5. Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan
Penyelesaian
c
x
+
+
+
13
2 13
Hal.: 5 Integral
∫ dxx3
2
=
c
x
+
4
2 4
=
=
cx +4
2
1
2. Integralkanlah
Penyelesaian
∫ dxx3
2
=
= cxxx ++− 23
2
12
3
36
12x3
– 6x2
+ x + c
dxxx∫ +− )11236( 2
dxxx∫ +− )11236( 2

6. Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
3. Tentukan
Penyelesaian
∫
−
−++ dxxxx )510420( 14
cxxxx +−++ ln510
2
4
5
20 25
Hal.: 6 Integral
∫
−
−++ dxxxx )510420( 14
=
= 4x5
+ 2x2
+ 10x – 5 lnx + c
4. Tentukan dxX
X
)
1
( +∫
=
dxX
X
)
1
( +∫ dxxx )( 2
1
2
1
+∫
−
cxx ++ 2
3
2
1
3
2
2
=
=
cxxx ++
3
2
2
Penyelesaian

7. Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
5. Tentukan
Penyelesaian
∫ − dxx 2
)13( dxxx )169( 2
+−∫
Hal.: 7 Integral
∫ − dxx 2
)13(
=
= 3x3
- 3x2
+ x + c
6. Tentukan dxxX
x
2
3
)
1
( −∫
7. Tentukan dxxx )1)(3( 23
−−∫
PR halaman 182 no 6 dan 7

8. PENGGUNAANPENGGUNAAN INTEGRAL TAKINTEGRAL TAK
TENTUTENTU
Contoh :
1. Tentukan fungsi y = F(x) apabila diketahui:
a. F’(x) = x² - 4 dan F(3) = 5
b. F’(x) = 6x² + 1/x² dan F(1) = 7
2. Tentukan persamaan kurva y = F(x) yang
gradien garis singgungnya pada titik (x,y) adalah
3x² +2 dan kurva melalui titik (1,-1)
Hal.: 8 Integral

9. Hal.: 9 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Integral Tak Tentu & Penggunaannya
Selesai
Terima Kasih

10. INTEGRAL TERTENTU
OLEH : WASIS SUROSO

11. Hal.: 11 Integral
=
= 2(2)3
– 2(2)2
– [2(-1)3
– 2(-1)2
]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx [ ]2
1
23
22 −− xx
Hitunglah nilai dari ( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBackHome
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxf
b
a
−=∫
[ ] b
ax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

12. INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
[ ] )()()( )( xfbfdxxf
b
a
b
a
xF −==∫
Hal.: 12 Integral
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

13. INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat intergral tertentu
1.
2.
3.
4.
∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
∫ ∫ ∫ ∠∠==
c
a
b
a
c
b
cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(
Hal.: 13 Integral
∫ =
a
a
dxxf 0)(
∫ ∫=
b
a
b
a
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(

14. INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Contoh :
1.Tentukan nilai dari ∫
2
1
3
dxx
2
1
4
2
1




x
Hal.: 14 Integral
Penyelesaian
∫
2
1
3
dxx =






−




 44
1
4
1
2.
4
1
=
4 - 4
1
=
=
4
3
3
2. Tentukan nilai dari
Penyelesaian
dxxx )32(
1
0
2
∫ +
dxxx )32(
1
0
2
∫ + = [ ]1
0
32
xx +
=
=
= ( ) ( )3232
00311 +−+
( ) 011 −+
2

15. LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

16. Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Hal.: 16 Integral
9
2
xy =

17. Hal.: 17 Integral
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah
dan volume benda putar.
KompetensiKompetensi DasarDasar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan menggunakan
limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan
menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume benda
putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu
koordinat dan menghitungnya.
Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar
Penggunaan Integral

18. Hal.: 18 Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat
bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan
68 km/jam.
NextBack

19. Hal.: 19 Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan
kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan
menggunakan integral.
NextBack
Penggunaan Integral

20. Hal.: 20 Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar jika
kurva di atasnya diputar menurut
garis horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari juga
penggunaan integral untuk
menghitung volume benda putar.
Penggunaan Integral

21. Hal.: 21 Integral
X
Y
xy sin=
Menentukan luas daerah dengan
limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping. Langkah
utama yang dilakukan adalah
memartisi, mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan menghitung
limitnya.
Home NextBack
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

22. Hal.: 22 Integral
Langkah menghitung luas daerah
dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
2. Partisilah daerah tersebut.
3. Masing-masing partisi buatlah
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang
pada interval [xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
∆x
xi
)(xfy =
)( ixf
NextBackHome
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

23. Hal.: 23 Integral
Langkah menghitung luas
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit jumlahnya
y
a
x
0
Li
∆x
xi
)(xfy =
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) ∆x
Jumlah luas persegi panjang :L ≈ Σ f(xi) ∆x
Limit jumlah : L = lim Σ f(xi) ∆x ( n → ∞ )
NextBackHome
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

24. Hal.: 24 Integral
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2
, sumbu X, dan garis x = 3 dengan
menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.Contoh 1.
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0
x
3
Li
3/n
2
1+ix
2
)( xxf =
xi+1
xix1 x2
x3
( )2
3i 1
27
L += i
n
( ) nn
i
nix 3
2)1(332
1iL ×=×=
+
+
JawabJawab
NextBackHome
Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah

25. Hal.: 25 Integral
4. Jumlahkan luas semua partisi
( )∑
−
=
+≈
1
0
2
3
1
27
L
n
i
i
n
( )222
3
...21
27
L n
n
+++≈
)12)(1(
6
127
L 3
++×≈ nnn
n
)2)(1(
2
9
L 11
nn
++≈
5. Tentukan limitnya
)2)(1(
2
9
L 11
lim nn
n
++=
∞→
9)02)(01(
2
9
L =++=
Jadi luas daerah = 9 satuan
6
)12)(1(
1
2 ++
=
=∑
nnnn
k
k
0
x
3
Li
3/n
2
1+ix
2
)( xxf =
xi+1
xix1 x2
x3
y
NextBackHome
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

26. Hal.: 26 Integral
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n
bagian (lebar tidak harus sama) dengan
lebar selang ke-i adalah ∆xi = xi – xi-1.
Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel
xk maka jumlah Riemann dituliskan
sebagai :
k
n
k
k xxf Δ)(
1
∑
=
y
a
x
0 b
xi-1 xi
xk
∆ xi
NextBackHome
Selanjutnya didefinisikan bahwa: k
n
k
k
n
xxfdxxf Δ)(lim)(
1
b
a
∑∫
=∞→
=
Bentuk ∫
b
a
)( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

27. Hal.: 27 Integral
=
= 2(2)3
– 2(2)2
– [2(-1)3
– 2(-1)2
]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx [ ]2
1
23
22 −− xx
Hitunglah nilai dari ( )∫
−
−
2
1
2
dx46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBackHome
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxf
b
a
−=∫
[ ] b
ax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

28. Hal.: 28 Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a b∆x
y
a
x
0 b
∫
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n → ∞
)(xf
∑
=
n
i
ii xxf
1
)( ∆
)(xf
i
n
i
i
n
b
a
xxfdxxfL ∆== ∑∫
=∞→ 1
)()( lim
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

29. Hal.: 29 Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li ≈ f(xi) ∆xi
4. Jumlahkan luas partisi
L ≈ ∑ f(xi) ∆xi
5. Ambil limitnya L = lim ∑ f(xi) ∆xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y
)(xfy =
a
∆xi
xi
)( ixf
Li
∫=
a
dxxf
0
)(L
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

30. Hal.: 30 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2
, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 3.Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li ≈ xi
2
∆xi
4. Jumlahkan luasnya L ≈ ∑ xi
2
∆xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim ∑ xi
2
∆xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2
)( xxf =
dxx∫=
3
0
2
L
903
33
3
0
3
3
L =−=



= x
Li
∆xi
xi
2
ix
JawabJawab
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

31. Hal.: 31 Integral
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li ≈ (4xi - xi
2
)∆xi dan
Aj ≈ -(4xj - xj
2
)∆xj
4. Jumlahkan : L ≈ ∑(4xi - xi
2
)∆xi dan
A ≈ ∑ -(4xj - xj
2
)∆xj
5. Ambil limitnya L = lim ∑ (4xi - xi
2
)∆xi
dan A = lim ∑ -(4xj - xj
2
)∆xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0
x54
2
4)( xxxf −=
dxxx∫ −=
4
0
2
)4(L dxxx∫ −−=
5
4
2
)4(A
∆xi
Li
xi
xj
Aj
∆xj
2
4 ii xx −
)4(0 2
xx −−
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2
, sumbu x,
dan garis x = 5
ContohContoh 44..
JawabJawab
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

32. Hal.: 32 Integral
dxxx∫ −=
4
0
2
)4(L
dxxx∫ −−=
5
4
2
)4(A
y
0
x54
2
4)( xxxf −=
∆xi
Li
xi
xj
Aj
∆xj
2
4 ii xx −
)4(0 2
xx −−
[ ]4
0
3
3
12
2L xx −=
3
643
3
12
320)4()4(2L −=−−=
[ ]5
4
3
3
12
2A xx +−=
( )3
3
123
3
12
)4()4(2)5()5(2A +−−+−=
3
64
3
125
3250A −++−=
18A 3
61
−=
1832daerahLuas 3
61
3
64
−+−=
13daerahLuas =
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

33. Hal.: 33 Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li ≈ [ f(x) – g(x) ] ∆x
4. Jumlahkan : L ≈ ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x
5. Ambil limitnya :
L = lim ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
[ ]dxxgxf
b
a
∫ −= )()(L
)(xfy =
)(xgy =
0
x
Li
∆x
x
)()( xgxf −
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

34. Hal.: 34 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2
dan garis y = 2 - x
Contoh 5.Contoh 5.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2
= 2 – x → x2
+ x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li ≈ (2 - x - x2
)∆x
4. Jumlahkan luasnya
L ≈ ∑ (2 - x - x2
)∆x
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim ∑ (2 - x - x2
)∆x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx∫
−
−−=
1
2
2
)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2
xy =
xy −= 2
y
1
2
3
4
5
Li
∆x
x
2
)2( xx −−
JawabJawab
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

35. Hal.: 35 Integral
dxxx∫
−
−−=
1
2
2
)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2
xy =
xy −= 2
y
1
2
3
4
5
Li
∆x
x
2
)2( xx −−
1
2
3
3
2
2L
−


 −−= xx
x






−−−−



 −−=
−−
3
3)2(
2
2)2(
3
31
2
21
)2(2)1(2L
( ) ( )3
8
3
1
2
1
242L +−−−−−=
3
8
3
1
2
1
242L −++−−=
2
1
2
1
45L =−=
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

36. Hal.: 36 Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy =
y
a b
Li∆x
∆x
)()( xgxf −
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy =
Luas daerah = ∫
a
dxxf
0
)(2 ( )∫+ −
b
a
dxxgxf )()(
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

37. Hal.: 37 Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy =⇔=
y
0
x
)()( ygxxgy =⇔=
Luas daerah = ( )∫ −
d
c
dyyfyg )()(
Li ∆y
c
d
)()( yfyg −
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

38. Hal.: 38 Integral
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2
= x, garis x + y = 6, dan sumbu x
ContohContoh 66..
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2
= 6 – y → y2
+ y – 6 = 0 → (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li ≈ (6 - y - y2
)∆y
4. Jumlahkan luasnya
L ≈ ∑ (6 - y - y2
)∆y
5. Tentukan limitnya
L = lim ∑ (6 - y - y2
)∆y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah = ( )∫ −−
2
0
2
6 dyyy
2
yx =
yx −= 6
2
y
6
x
0
6
Li
∆y
y
2
)6( yy −−
JawabJawab
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral

39. Hal.: 39 Integral
Luas daerah = ( )∫ −−
2
0
2
6 dyyy
2
yx =
yx −= 6
2
y
6
x
0
6
Li ∆y
y
2
)6( yy −−
Luas daerah =
2
0
3
3
2
6










−−
yy
y
Luas daerah = 0
3
32
2
2)2(6 −−− 







Luas daerah = 





−−
3
8112
Luas daerah = 3
25
Home Back Next
Menghitung Luas dengan Integral

40. Hal.: 40 Integral
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Home NextBack
Volume Benda Putar

41. Hal.: 41 Integral
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4
NextBackHome
Volume Benda Putar

42. Hal.: 42 Integral
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

43. Hal.: 43 Integral
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
∆V ≈ πr2
h atau ∆V ≈ π f(x)2
∆x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V ≈ ∑ π f(x)2
∆x
V = lim ∑ π f(x)2
∆x
dxxf
a
∫=
0
2
)]([v π
∆x
h=∆x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfr =
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

44. Hal.: 44 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
+ 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2x
12
+x
∆x
12
+= xy
1
y
h=∆x
x
x
12
+= xr
x
JawabJawab
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

45. Hal.: 45 Integral
y
h=∆x
x
x
12
+= xr
∆V ≈ πr2
h
∆V ≈ π(x2
+ 1)2
∆x
V ≈ ∑ π(x2
+ 1)2
∆x
V = lim ∑ π(x2
+ 1)2
∆x
dxxV ∫ +=
2
0
22
)1(π
dxxxV ∫ ++=
2
0
24
)12(π
[ ]2
0
3
3
25
5
1 xxxV ++=π
ππ 15
11
3
16
5
32 13)02( =−++=V
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

46. Hal.: 46 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2
,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 8.Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
∆y
2
xy =
x
y
y
x
y
h=∆y
y
yr =
JawabJawab
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

47. Hal.: 47 Integral
∆V ≈ πr2
h
∆V ≈ π(√y)2
∆y
V ≈ ∑ πy ∆y
V = lim ∑ πy ∆y
dyyV ∫=
2
0
π
[ ]2
0
2
2
1
yV π=
)04(2
1
−×= πV
x
y
h=∆y
y
yr =
2
dyyV ∫=
2
0
π
π2=V
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cakram

48. Hal.: 48 Integral
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cincin

49. Hal.: 49 Integral
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= π(R2
– r2
)h
h
r
R
Gb. 5
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cincin

50. Hal.: 50 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cincin

51. Hal.: 51 Integral
y
x
4
y
y = 2x
2
2
xy =
x
∆x
x
r=x2
R=2x
∆V ≈ π(R2
– r2
) h
∆V ≈ π [ (2x)2
– (x2
)2
] ∆x
∆V ≈ π (4x2
– x4
) ∆x
V ≈ ∑ π (4x2
– x4
) ∆x
V = lim ∑ π (4x2
– x4
) ∆x
dxxxV ∫ −=
2
0
42
)4(π
[ ]2
0
5
5
13
3
4 xxV −=π
)(
5
32
3
32 −=πV
)(
15
96160−= πV
π15
64=V
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Cincin

52. Hal.: 52 Integral
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

53. Hal.: 53 Integral
∆r
r
h
h
2πr
Δr
V = 2πrhΔr
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

54. Hal.: 54 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2
, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.Contoh 10.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

55. Hal.: 55 Integral
0
x
1 2
x
∆x
2
xy =
x2
y
1
2
3
4
r = x
∆x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
∆V ≈ 2πrh∆x
∆V ≈ 2π(x)(x2
)∆x
V ≈ ∑ 2πx3
∆x
V = lim ∑ 2πx3
∆x
dxxV ∫=
2
0
3
2π
[ ]
2
0
4
4
12 xV π=
π8=V
NextBackHome
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

56. Hal.: 56 Integral
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2-2 -1
y
1
2
3
4
∆V ≈ π(R2
– r2
)∆y
∆V ≈ π(4 - x2
)∆y
V ≈ ∑ π(4 – y)∆y
V = lim ∑ π(4 – y)∆y
( ) dxyV ∫ −=
4
0
4π
[ ]
4
0
2
2
14 yyV −=π
π)816( −=V
π8=V
0
x
1 2
x
2
xy =
y
1
2
3
4
∆y
r=x
R = 2
Home Back Next
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

57. Hal.: 57 Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

58. Hal.: 58 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
0
X
Y 2xy =
2
4
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
Soal 1.Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

59. Hal.: 59 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
0
X
Y 2xy =
2
4
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
A
B
C
D
E
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
0
2
∫ −= ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

60. Hal.: 60 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
dxx∫
2
0
2
dyy∫
4
0
dxx∫
4
0
2
dxx∫ −
2
0
2
)4(
dxx∫ −
4
0
2
)4(
A
B
C
D
E
0
X
Y 2xy =
2
4
∆x
x
4 - x2
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
0
2
∫ −= ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

61. Hal.: 61 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

62. Hal.: 62 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
2
2
∫
−
−=
( Jawaban E )
[ ]
2
2
3
3
1
4L −
−= xx
)8()8(L 3
8
3
8
+−−−=
3
2
10L
3
32
==
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

63. Hal.: 63 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0
X
Y
2
4 xy −=
2-2
∆x
x
∆ L ≈ (4 – x2
) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2
) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2
) ∆x
dxx )4(L
2
2
2
∫
−
−=
( Jawaban E )
[ ]
2
2
3
3
1
4L −
−= xx
)8()8(L 3
8
3
8
+−−−=
3
2
10L
3
32
==
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

64. Hal.: 64 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

65. Hal.: 65 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
∆ L ≈ (8 – x2
-2x) ∆x
dxxx )28(L
2
0
2
∫ −−=
( Jawaban D )3
1
9L
3
28
==
[ ]
2
0
23
3
1
8L xxx −−=
416L 3
8
−−=
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

66. Hal.: 66 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0
X
Y
2
8 xy −=
xy 2=
2
∆ L ≈ (8 – x2
-2x) ∆x
dxxx )28(L
2
0
2
∫ −−=
( Jawaban D )3
1
9L
3
28
==
[ ]
2
0
23
3
1
8L xxx −−=
416L 3
8
−−=
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

67. Hal.: 67 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

68. Hal.: 68 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2
] ∆y
dyxy )2(L
1
2
2
∫
−
−−= 5,4
2
9
L ==
[ ]
1
2
3
3
12
2
1
2L −
−−= yyy
)24()2(L 3
8
3
1
2
1
+−−−−−=
0
X
Y
2
yx =
yx −= 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

69. Hal.: 69 Integral
( Jawaban B )
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2
] ∆y
dyxy )2(L
1
2
2
∫
−
−−= 5,4
2
9
L ==
[ ]
1
2
3
3
12
2
1
2L −
−−= yyy
)24()2(L 3
8
3
1
2
1
+−−−−−=
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2
dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas 0
X
Y
2
yx =
yx −= 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

70. Hal.: 70 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

71. Hal.: 71 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
( Jawaban D )
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
dxxx∫=
4
0
2V π
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

72. Hal.: 72 Integral
( Jawaban D )
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
dxxx∫=
4
0
2V π
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
SoalSoal 55..
∫=
4
0
dxxv π
∫=
4
0
2
dxxv π
∫=
4
0
2 dxxxv π
∫ −=
2
0
)16(2 dyyv π
∫=
2
0
dyyv π
0 X
Y
Xy =
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan

73. Hal.: 73 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

74. Hal.: 74 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
( Jawaban C )
∆ V ≈ π(√x)2
∆x
∫=
4
0
V dxxπ
[ ]
4
0
2
2
1
V xπ=
π8V =
Jawaban Anda Benar
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

75. Hal.: 75 Integral
( Jawaban C )
∆ V ≈ π(√x)2
∆x
∫=
4
0
V dxxπ
[ ]
4
0
2
2
1
V xπ=
π8V =
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4π satuan volum
6π satuan volum
8π satuan volum
12π satuan volum
15π satuan volum
0 X
Y
Xy =
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan

76. Hal.: 76 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Selesai
Terima Kasih