The document discusses Stokes' theorem, which relates the line integral of a vector field F around a closed oriented curve C to a surface integral of the curl of F over any surface S whose boundary is C. It provides the mathematical definition of Stokes' theorem, an analogy to Green's theorem, and an example proof for a special case where the surface S is the graph of a function z=g(x,y). It also gives two examples of using Stokes' theorem to calculate line integrals.

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ada sebuah kasus dimana seorang Ibu dan Bapak sedang mendorong
mobil mereka. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti
mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa
untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral
garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada saatnya kita kesulitan
untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi tiga.
Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan
menggunakan Teorema Stokes. (Rahima dkk, 2010).
Teorema Stokes dapat dipandang sebagai versi Teorema Green dengan
dimensi yang lebih tinggi. Sementara Teorema Green menghubungkan
integral lipat dua pada daerah bidang D ke integral garis sekeliling kurva
perbatasan bidangnya, sedangkan Teorema Stokes menghubungkan integral
permukaan pada permukaan S ke integral garis sekeliling kurva perbatasan S.
(James Stewart, 1998).
Gambar 1. Teorema Stokes Gambar 2. Teorema Green
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini sebagi berikut :
1. Memudahkan dalam penyederhanaan integral pada dimensi yang lebih
tinggi (dimensi tiga),
2. Memudahkan perhitungan besar usaha pada bidang tiga dimensi.

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Teorema Stokes
Menurut James Stewart (1998), misalkan S adalah permukaan yang
dibatasi oleh kurva perbatasan C yang tertutup dan sederhana dengan
orientasi positif. Dan F adalah medan vektor yang komponennya mempunyai
turunan parsial kontinu pada daerah terbuka R3 yang mengandung S. Maka :
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭.𝑑𝑺
𝑆
𝐶
Karena :
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∫ 𝑭. 𝑻 𝑑𝑠 𝑑𝑎𝑛 ∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺 = ∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝒏 𝑑𝑆
𝑆
𝑆
𝐶
𝐶
Teorema Stokes merupakan integral garis sekeliling kurva perbatasan S
dari komponen singgung F adalah sama dengan integral permukaan dari
komponen normal dari curl F.
Kurva perbatasan yang terorientasikan secara positif dari kurva
teorintasikan S biasanya ditulis 𝜕𝑆, sehingga Teorema Stokes dapat
dinyatakan sebagai :
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺
𝑆
= ∫ 𝑭. 𝑑𝒓
𝜕𝑆
Terdapat analogi diantara Teorema Stokes, Teorema Green dan Teorema
Dasar Kalkulus. Seperti persamaan diatas, terdapat integral yang melibatkan
turunan F (curl F adalah semacam turunan F) dan ruas kanan melibatkan nilai
F pada perbatasan S.
Dalam kasus khusus dimana permukaan S datar dan terletak di bidang xy
dengan orientasi ke atas, vektor normal satuan adalah k, integral permukaan
menjadi integral lipat dua, dan Teorema Stokes menjadi :

3. 3
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭.𝑑𝑺 = ∬(𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭). 𝒌.𝑑𝐴
𝑆
𝑆
𝐶
Persamaan diatas sama dengan bentuk vektor dari Teorema Green. Jadi
dapat dilihat bahwa Teorema Green benar-benar merupakan kasus khusus
dari Teorema Stokes.
Bukti Kasus Khusus Teorema Stokes
Gambar 3. z = g (x, y)
Misalkan persamaan S adalah z = g (x, y), (x, y) ∈ D, dengan g
mempunyai turunan parsial orde dua kontinu dan D adalah daerah bidang
sederhana yang kurva perbatasan C1-nya berkaita C. Jika orientasi S adalah
ke atas, maka orientasi positif dari C berkaitan dengan orientasi positif dari
C1 (lihat gambar 4). Kita diberi F= P i + Q j + R k, dengan turunan parsial
dari P, Q, dan R kontinu.
Karena S adalah grafik fungsi, dapat diterapkan rumus :
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺 =
𝑆
∬[−[(
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)] 𝑑𝐴
𝐷
dengan turunan parsial dari P, Q, dan R dihitung di (x, y,g (x, y)).
𝑗𝑖𝑘𝑎 ∶ 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
adalah representasi parametrik untuk C1 maka persamaan parametrik untuk C
yaitu :
𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Dengan bantuan Aturan Rantai, integral garis tersebut dapat dihitung
sebagai berikut :

4. 4
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∫ (𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑡
) 𝒅𝒕
𝒃
𝒂
𝐶
= ∫[𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑅 (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)]𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫[(𝑃 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ (𝑄 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
]𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫ (𝑃 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑥
) 𝑑𝑥 + (𝑄 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
𝐶1
𝑑𝑦
= ∬ [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑄 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑦
) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑃 + 𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)]
𝐷
𝑑𝐴
Dengan mengingat P, Q, dan R adalah fungsi x, y dan z serta bahwa z
sendiri adalah fungsi x dan y, diperoleh :
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∬ [(
𝜕𝑄
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑅
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
)
𝐷
𝐶
− (
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑅
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
)] 𝑑𝐴
Empat diantara suku-suku dalam integral lipat dua saling meniadakan dan
enam suku sisanya dapat disusun untuk berimpit dengan ruas kanan
persamaan
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺 =
𝑆
∬[−[(
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)]𝑑𝐴
𝐷
sehingga diperoleh :
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 =
𝐶
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺
𝑆
Jadi jelas terbukti bahwa Teorema Green merupakan kasus khusus dari
Teorema Stokes.

5. 5
2.2 Contoh Soal dan Penyelesaiannya
1. Diketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = 3y i – xz j + yz2 k dan S
permukaan paraboloida 2 z = x2+ y2 dibatasi oleh z = 2 dengan lintasan
C merupakan kelilingnya. Gunakan teorema Stokes untuk menghitung
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭.𝒏 𝑑𝐴
𝑆
!
Jawab :
Lintasan C x2 + y2 = 4, z = 2 atau x = 2 Cos t, y = 2 Sin t, z = 2
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝒏 𝑑𝐴
𝑆
= ∫ 𝑭. 𝑑𝒓
𝐶
= ∫(3𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑦𝑧2
𝑑𝑧)
𝐶
= ∫ [3(2 𝑆𝑖𝑛 𝑡) − 2 𝐶𝑜𝑠 𝑡(2) + (2 𝑆𝑖𝑛 𝑡)(2)2]𝑑𝑡
2𝜋
0
= ∫ [6 𝑆𝑖𝑛 𝑡 − 4 𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 8 𝑆𝑖𝑛 𝑡]𝑑𝑡
2𝜋
0
= −6 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 4𝑆𝑖𝑛 𝑡 − 8 𝐶𝑜𝑠 𝑡 ]
2𝜋
0
= (−6 𝐶𝑜𝑠 2𝜋 − 4 𝑆𝑖𝑛 2𝜋 − 8 𝐶𝑜𝑠 2𝜋)—
(−6𝐶𝑜𝑠 [0] − 4 𝑆𝑖𝑛[0] − 8 𝐶𝑜𝑠[0])
= (−6 .1− 4.0 − 8 .1) − (−6 .1 − 4 .0 − 8.1)
= 0
2. Hitunglah ∫ 𝑭. 𝑑𝒓
𝐶
, dengan 𝑭(𝑥,𝑦, 𝑧) = −𝑦2
𝒊 + 𝑥 𝒋 + 𝑧2
𝒌 dan C
adalah kurva perpotongan dari bidang 𝑦 + 𝑧 = 2 dan silinder 𝑥2
+
𝑦2
= 1. (Orientasikan C berlawanan dengan arah putaran jarum jam
ketika dipandang dari atas).
Jawab :
Walaupun ∫ 𝑭. 𝑑𝒓
𝐶
dapat dihitung secara langsung, tapi lebih mudah
menggunakan Teorema Stokes. Adapun caranya sebagai berikut :

6. 6
Curl 𝐅 = |
|
𝒊 𝒋 𝒌
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
−𝑦2
𝑥 𝑧2
|
|
= |
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
x 𝑧2
| 𝐢 − |
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
−𝑦2
𝑧2
| 𝐣 + |
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
−𝑦2
𝑥
| 𝐤
= 0 − 0 + (1 + 2y)𝐤
= (1 + 2y)𝐤
Jika diorientasikan S ke atas maka C mempunyai orientasi
terinduksi positif. Proyeksi D dari S pada bidang xy adalah cakram
𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1, sehingga dengan menggunakan persamaan
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 =
𝐶
∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭. 𝑑𝑺
𝑆
dengan 𝑧 = 𝑔(𝑥,𝑦) = 2 − 𝑦 yang berasal dari perpotongan bidang
𝑦 + 𝑧 = 2. Maka dapat diselesaikan :
∫ 𝑭. 𝑑𝒓 = ∬ 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑭.𝑑𝑺
𝑆
𝐶
= ∬(1 + 2𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫(1 + 2𝑟 𝑆𝑖𝑛 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
= ∫ ∫(𝑟 + 2𝑟2
𝑆𝑖𝑛 𝜃) 𝑑𝑟 𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
= ∫
𝑟2
2
+ 2
𝑟3
3
𝑆𝑖𝑛 𝜃
2𝜋
0
]
1
0
𝑑𝜃
= ∫ (
1
2
+
2
3
𝑆𝑖𝑛𝜃) 𝑑𝜃
2𝜋
0
= 𝜋 + 0 ]2𝜋
0
= 𝜋
Jadi ∫ 𝑭. 𝑑𝒓
𝐶
, dengan 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦2
𝒊+ 𝑥 𝒋 + 𝑧2
𝒌 adalah 𝜋.

7. 7
BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Dari uraian materi diatas dapat diambil kesimpulan bahwa Teorema
Stokes terbukti dapat menyederhanakan pengintegralan pada permukaan tiga
dimensi. Tidak memerlukan jawaban yang panjang tetapi singkat dan jelas.
Teorema Stokes juga membuktikan bahwa Teorema Green merupakan
kasus Khusus dari teorema Stokes dengan penggunaan Aturan Rantai.
3.2 Saran
1. Pengetahuan yang diperoleh dari sekolah maupun universitas pasti secara
tidak langsung ada kaitannya dengan kehidupan sehari-hari,
2. Semoga makalah mengenai Teorema Stokes ini dapat bermanfaat bagi
semua pembaca.

8. 8
DAFTAR PUSTAKA
Stewart, J. 1998. Kalkulus. Jakarta : Erlangga.
Rahma, Anny. 2010. Teorema Divergensi, Stokes, dan Green.
februl.files.wordpress.com/.../bahan-ajar-6. Download pada tanggal 14
Desember 2012.
Mursita, D. 2010. Integral Permukaan.
www.geocities.ws/dmursita/matdas/xi-3.pdf. Download pada tanggal 14
Desember 2012.