1. 38
. VII. PENDUGAAN PARAMETER
Inferensi statistik , yaitu pengambilan kesimpulan mengenai populasi berdasarkan hukum statis-
tika , berhubungan dengan persoalan pendugaan parameter dan pengujian hipotesis.
Informasi yang relevan dari populasi dapat dinyatakan dengan cara memilih ukuran-ukuran
deskriptif yang bersifat numerik yang disebut : parameter.
VII.1. Pendugaan Titik dan Pendugaan Interval.
Pendugaan Titik.
Parameter populasi yang biasanya tidak diketahui nilainya dapat diduga dengan menggunakan
statistik sampel. Dalam pendugaan titik , kita tentukan suatu nilai tunggal yang mendekati nilai
parameter tersebut. Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat antara lain :
takbias dan paling efisien.
Definisi.
Suatu statistik θ dikatakan penduga tak bias dari parameter θ jika :
$
( )
$
E θ =θ
Contoh :
Misalkan X 1 , X 2 , × × × X n saling bebas , masing-masing mempunyai mean µ dan variansi σ .
× ×, 2
Penduga tak bias untuk µ dan σ 2 adalah X dan S 2 dimana :
1 n 1 n
X= ∑ Xi
n i =1
dan S2 = ∑ ( X i − X )2
n − 1 i =1
Definisi.
Pandang kelas yang terdiri atas semua penduga tak bias bagi parameter θ . Jika dapat dicari suatu
µ µ
penduga ,misalnya θ ∗ sehingga variansi θ ∗ terkecil dibandingkan variansi penduga tak bias
µ
yang lain , maka θ ∗ disebut penduga paling efisien bagi θ .

2. 39
Pendugaan Interval
Pada pendugaan titik, parameter yang tak diketahui hanya diduga dengan satu nilai, sehingga
kecil kemungkinannya untuk menduga parameter secara tepat. Akan lebih baik bila kita dapat
menentukan suatu interval dimana kita berharap bahwa nilai parameter yang sebenarnya akan
terletak di dalam interval tersebut.
Suatu dugaan/taksiran interval bagi parameter θ adalah sebuah interval yang berbentuk
^ ^ ^ ^ ^ ^
θ L< θ < θU θL θU
, dimana dan bergantung pada statistic
Θ dan distribusi sampling dari Θ .
^
Karena sampel-sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai-nilai yang berbeda bagi dan
Θ
^ ^
tentunya juga nilai-nilai dari
θL dan
θ U , sehingga ujung-ujung interval merupakan nilai-nilai
^ ^ ^
dari variable-variabel acak
ΘL dan
ΘU . Berdasarkan distribusi sampling dari
Θ , dapat
^ ^ ^ ^ ^ ^
Θ L< θ < Θ U θ L< θ < θU
) = 1 − α , dimana 0 < α < 1 . Interval
ditentukan
ΘL dan
ΘU sehingga Pr (
yang dihitung dari sampel yang terpilih dinamakan interval kepercayaan (1 − α )100% bagi θ ,
dan 1 − α disebut koefisien kepercayaan atau tingkat kepercayaan.
VII.2. Pendugaan Interval untuk Mean Populasi
Kasus 1 :

3. 40
Misalkan X 1 , X 2 , × × ×, X n suatu sampel acak yang diambil dari populasi berdistribusi normal
× ××
dengan mean µ dan variansi σ maka mean sampel X akan berdistribusi normal dengan mean
2
µ dan variansi σ , sehingga
2
n
X −µ
Z= ~ N(0,1)
σ
n
Kita dapat menyatakan :
(
P − zα 2 < Z < zα 2 = 1 − α )
−
X−µ
Dengan mensubstitusikan Z diperoleh : P(− z α / 2 < < zα / 2 ) = 1 − α
σ/ n
−
Jadi, jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi normal
dengan variansi σ diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % untuk µ adalah :
2
− −
x − zα / 2 σ
n
< µ < x + zα / 2 σ
n
^ ^
Dalam hal ini jelas bahwa nilai-nilai dari variable random
ΘL dan
Θ U yang dijelaskan
sebelumnya, adalah :
^ − σ ^ − σ
θ L = x − zα / 2 dan θ U = x + zα / 2
n n
−
Sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai x yang berbeda sehingga taksiran interval bagi
bagi parameter µ yang dihasilkan juga akan berbeda.
Kasus 2 :
Misalkan X 1 , X 2 , × × ×, X n suatu sampel acak yang diambil dari populasi berdistribusi semba-
× ××
rang dengan mean µ dan variansi σ . Jika ukuran sampel n cukup besar, mean sampel X akan
2
mendekati distribusi normal dengan mean µ dan variansi σ n . Jadi :
2

4. 41
X −µ
Z= mendekati distribusi N ( 0,1)
σ
n
( )
Dengan cara yang sama pada kasus 1, P − zα 2 < Z < zα 2 = 1 − α sehingga
−
X−µ
P (− z α / 2 < < zα / 2 ) = 1 − α .
σ/ n
−
Jadi, jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n besar) yang diambil dari populasi
sebarang dengan variansi σ diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % untuk µ
2
adalah :
− −
x − zα / 2 σ
n
< µ < x + zα / 2 σ
n
Kasus 3:
Jika pada kasus 2 σ tidak diketahui, asalkan n besar maka melalui suatu penurunan rumus
2
tertentu, diperoleh :
−
X−µ
Z= mendekati distribusi N ( 0,1) .
S
n
−
Sehingga jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n besar) yang diambil dari
populasi sebarang dengan variansi σ tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 %
2
untuk µ adalah :
− s − s
x − zα / 2 < µ < x + zα / 2
n n
Kasus 4:
Jika sampel berukuran kecil diambil dari populasi normal dimana variansi σ tidak diketahui,
2
maka interval kepercayaan untuk µ dapat diperoleh dengan menggunakan distribusi t.

5. 42
X −µ
t= S : tn −1
n
( )
P −tα 2;n −1 < t < tα 2;n−1 = 1 − α
−
Sehingga jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n kecil) yang diambil dari
populasi normal dengan variansi σ tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 %
2
untuk µ adalah :
−
s −
s
x −tα / 2;n−1 < µ < x + tα / 2;n−1
n n
Contoh.
1.Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan ber-
distribusi normal dengan standar deviasi 1,5 desiliter. Bila suatu sampel acak 36 gelas mem-
punyai isi rata-rata 22,5 desiliter,tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata banyak-
nya minuman yang dikeluarkan oleh mesin tersebut.
Jawab.
X: banyaknya minuman ringan yang dikeluarkan oleh mesin
X~N( µ, (1.5) 2 )
n = 36 ; σ = 1,5 ; x = 22,5
( 1 − α ) = 0.95 → α = 0, 05 ; zα 2 = z0,025 = 1,96
σ 1,5 σ
x − zo ,025 = 22,5 − 1,96 × = 22, 01 ; x + z0,025 = 22,99
n 36 n
Jadi interval kepercayaan 95% untuk µ ialah : 22,01 < µ < 22,99
2. Suatu sampel acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata-rata 3,6 mili
gram dan standar deviasi 0,9 miligram. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk kadar ni –
kotin rata-rata dari rokok merk tersebut bila diasumsikan kadar nikotin berdistribusi normal.

6. 43
Jawab.
X : kadar nikotin dan X~N( µ, σ 2 )
n=8 ; x = 3, 6 ; s = 0,9
1 − α = 0,99 → α = 0, 01 ; d.b = n – 1 = 7 ; t0,005,7 = 3, 499
s 0,9 s
x − t0,005;7 = 3, 6 − 3, 499 × = 2, 49 ; x + t0,005;7 = 4, 71
n 8 8
Jadi interval kepercayaan 99% untuk µ ialah : 2,49 < µ < 4,71
VII.3. Pendugaan Interval untuk Beda Dua Mean Populasi
A. Dua Sampel yang Saling Bebas
Kasus 1 :
Misalkan
gX 11 , X 12 ,K , X 1n1 adalah sampel acak berukuran n1 dari populasi normal yang
mempunyai mean µ1 dan variansi σ 1 .
2
gX 21 , X 22 ,K , X 2 n2 adalah sampel acak berukuran n2 dari populasi normal yang
mempunyai mean µ 2 dan variansi σ 2 .
2
Dalam hal ini µ1 dan µ 2 tidak diketahui, sedangkan σ 1 dan σ 2 diketahui.
2 2
Penduga titik tak bias untuk ( µ1 − µ2 ) adalah ( X 1 − X 2 ) , sehingga
− −
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
Z=
σ 12 σ 2
2 ~ N(0,1)
+
n1 n2
Kita dapat menyatakan bahwa :
(
P − z α < Z < zα = 1 − α
2 2
)
Dengan mensubstitusikan Z diperoleh :
 
 ÷
 − z < ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) < z ÷ = 1 − α
P α
2 ÷
α

2
σ 12 σ 2 2
÷
 + ÷
 n1 n2 

7. 44
− −
Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang salin bebas yang berukuran n1
dan n2 yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas dengan variansi σ 1 dan σ 2 , maka
2 2
interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah :
( x1 − x2 ) − z σ12
+ σ 22 < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z α
2
σ12 2
α n1 n n1 + σ 22
n
2 2
Kasus 2 :
Misalkan
gX 11 , X 12 ,K , X 1n1 adalah sampel acak berukuran n1 dari populasi sebarang yang
mempunyai mean µ1 dan variansi σ 1 .
2
gX 21 , X 22 ,K , X 2 n2 adalah sampel acak berukuran n2 dari populasi sebarang yang
mempunyai mean µ 2 dan variansi σ 2 .
2
Jika n1 dan n2 besar,maka :
Z=
(X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 )
→ N ( 0,1)
σ 12 σ 22
+
n1 n2
Kita dapat menyatakan bahwa :
(
P − z α < Z < zα = 1 − α
2 2
)
Dengan mensubstitusikan Z diperoleh :
 
 ÷
 − z < ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) < z ÷ = 1 − α
P α
2 ÷
α

2
σ 12 σ 2 2
÷
 + ÷
 n1 n2 

8. 45
− −
Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1
dan n2 ( n1 dan n2 besar) yang diperoleh dari 2 populasi sebarang yang saling bebas dengan
variansi σ 1 dan σ 2 diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 )
2 2
adalah :
( x1 − x2 ) − z σ12
+ σ 22 < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z α
2
σ 12 2
α n1 n n1 + σ 22
n
2 2
Kasus 3 :
Jika pada kasus 2, σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tetapi ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar ,
2 2
melalui suatu penurunan rumus tertentu,
− −
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
Z=
S12 S 2
2 → N (0,1)
+
n1 n2
− −
Sehinnga jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang
berukuran n1 dan n2 ( n1 dan n2 besar) yang diperoleh dari 2 populasi sebarang yang saling bebas
dengan variansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk
2 2
( µ1 − µ2 ) adalah :
− − s12 s 2
2 − − s12 s 2
2
( x 1 − x 2 ) − zα / 2 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + zα / 2 +
n1 n 2 n1 n2
Kasus 4 :
Misalkan :
X 11 , X 12 ,K , X 1n1 : sampel acak dari populasi normal dengan mean µ1 dan variansi σ 12 .
X 21 , X 22 ,K , X 2 n2 : sampel acak dari populasi normal dengan mean µ 2 dan variansi σ 2 .
2

9. 46
Ukuran sampel n1 dan n2 kecil, σ 1 dan σ 2 tidak diketahui dan kedua sampel saling
2 2
bebas.
Kasus 4.1 : Bila diasumsikan σ 12 = σ 22 = σ 2 , maka
t=
(X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 )
2 1 1 berdistribusi t dengan d.b = n1 + n2 − 2
Sp  + ÷
 n1 n2 
dimana :
S 2
=
( n1 − 1) S12 + ( n2 − 1) S22
p
n1 + n2 − 2
adalah variansi rata-rata kedua sampel dan merupakan dugaan titik untuk σ .
2
Kita dapat menyatakan :
(
P −t α < t < t α = 1 − α
2 2
)
Dengan mensubstitusikan t , diperoleh :
 
P  −t α <
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) < t ÷= 1 − α
 2 ÷
( )
α
 S p n11 + n12
2
÷
2
 
− −
Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1
dan n2 ( n1 dan n2 kecil) yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas dengan
variansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tapi diasumsikan sama, maka interval kepercayaan
2 2
( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah :
( x1 − x2 ) − t α
2
s2
p ( 1
n1 )
+ n12 < µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + t α s 2
2
p ( 1
n1 + n12 )
t α : nilai distribusi t dengan d.b = n1 + n2 − 2
2

10. 47
Kasus 4.2 : Bila diasumsikan σ 12 ≠ σ 22 .
t=
(X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
S12 2
S2 mempunyai distribusi yang mendekati distribusi t dengan d.b = k
+
n1 n2
dimana :
2
 s12 s2 
 n + 2 ÷
 1 n2 
2
k =  s2   s2 
1 2
 n÷  n ÷
 1
+  2
n1 − 1 n2 − 1
− −
Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1
dan n2 ( n1 dan n2 kecil) yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas dengan
variansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tapi diasumsikan tidak sama, maka interval kepercayaan
2 2
( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah :
( x1 − x2 ) − t + n22 < µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + t α ; k
2 2 2 2
α ;k
s1
n1
s s1
n1 + n22
s
2 2
B. Dua Sampel Berpasangan
Misalkan kita ingin menguji keefektifan suatu diet dengan menggunakan 7 individu yang diamati
bobot badannya (dalam kilogram) sebelum dan sesudah mengikuti program diet itu selama 2
minggu. Datanya adalah sebagai berikut :
1 2 3 4 5 6 7
Bobot Sebelum ( X 1i ) 58,5 60,3 61,7 69,0 64,0 62,6 56,7

11. 48
Bobot Sesudah ( X 2i ) 60,0 54,9 58,1 62,1 58,5 59,9 54,4
Kedua sampel diatas tidak bebas karena pengukuran X 1i dan X 2i ; i = 1, 2, × × × diambil dari
× ×7
individu yang sama. Prosedur inferensi untuk persoalan ini adalah sebagai berikut:
Misalkan dua kelompok variabel acak berdistribusi normal { X 11 , X 12 , ××××× X 1n }
, dan
{ X 21 , X 22 , ××××× X 2n } berelemen sama atau berpasangan. Definisikan n variabel acak baru,yaitu :
,
Di = X 1i − X 2 i ; i = 1, 2, × × ×n
× ×.
Karena X 1 dan X 2 berdistribusi normal, maka Di juga berdistribusi normal. Jadi
{ D1 , D2 , ××××× Dn } merupakan sampel acak berukuran n dari suatu populasi normal dengan mean
,
µ D = µ1 − µ2 dan variansi σ D .
2
1 n 1 n
∑ Di ∑ ( Di − D )
2
g D= ; SD =
2
n i =1 n − 1 i =1
D − µD
g t = SD : tn −1
n
Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk µ D dapat diperoleh dengan menyatakan :
( )
P −t α < t < t α = 1 − α
2 2
 S S 
Dengan mensubstitusikan t , diperoleh : P  D − tα D < µ D < D + tα D ÷ = 1 − α
 2
n 2
n
Jadi interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk µ D adalah :
sd s
d − tα < µ D < d + tα d
2
n 2
n
Contoh:

12. 49
Lihat data diatas.
1 2 3 4 5 6 7
Sebelum ( x1i ) 58,5 60,3 61,7 69,0 64,0 62,6 56,7
Sesudah ( x2i ) 60,0 54,9 58,1 62,1 58,5 59,9 54,4
di = x1i − x2i - 1,5 5,4 3,6 6,9 5,5 2,7 2,3
7
∑( d −d )
2
1 7
d = ∑ di = 3,5 ; i
: sd = 2, 77
7 i =1 sd =
2 i =1
= 7, 7
7 −1
Dengan α = 0, 05 diperoleh : t0,025:6 = 2, 447
Jadi interval kepercayaan 95% untuk µ D adalah :
2, 77 2, 77
3,5 − ( 2, 447 ) < µ D < 3,5 + ( 2, 447 )
7 7
0,94 < µ D < 6, 06
VII.4. Pendugaan Proporsi
X suatu variabel binomial ( n,p ) dengan p tidak diketahui. Penduga titik bagi proporsi popu-
X X
lasi p adalah statistik . Jika ukuran sampel n cukup besar , maka distribusi dari mendekati
n n
distribusi normal dengan mean dan variansi :
µX = p p ( 1− p)
dan σ2 =
X
n
n
n
Jadi :
X
−p
Z= n
p (1− p) → N ( 0,1)
n
Kita dapat menyatakan bahwa :
(
P − z α < Z < zα = 1 − α
2 2
)

13. 50
X
−p
Substitusikan Z =
n
p ( 1− p ) , maka :
n
X p ( 1− p) X p (1− p) 
P  − zα < p < + zα ÷= 1− α
n 2
n n 2
n ÷
 
Jika ukuran sampel n cukup besar , harga
X
n (1− X )
n
mendekati
p ( 1− p)
.
n n
Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk p adalah :
x
− zα
x
n (1− x n) < p < x + z α
x
n (1− x n)
n 2
n n 2
n
Contoh:
Dari suatu sampel acak 900 petani disuatu daerah,ternyata 610 orang diantaranya adalah buruh
tani. Tentukan interval kepercayaan 90% untuk proporsi buruh tani diantara semua petani dida-
erah tersebut.
Jawab
X : banyak buruh tani
n = 900 ; X : b( x ,900, p ) ; x = 610
1 − α = 0,90 → α = 0,10 , zα2 = z0,05 = 1, 645
x
− zα
x
n ( 1 − x n ) = 0, 65 ; x
+ zα
x
n ( 1 − x n ) = 0, 71
n 2
n n 2
n
∴ interval kepercayaan 90% untuk p adalah : 0,65 < p < 0,71
VII.5. Pendugaan Beda Dua Proporsi Populasi

14. 51
Misalkan ada dua populasi binomial dengan proporsi masing-masing p1 dan p2 .
X1
Dari populasi I diambil sampel acak berukuran n1 dengan proporsi sampel .
n1
X2
Dari populasi II diambil sampel acak berukuran n2 dengan proporsi sampel
n2
( X 1 dan X 2 : banyak “sukses” )
Sampel acak yang diambil dari kedua populasi cukup besar dan saling bebas.
X1 X 2
Penduga titik untuk beda dua proporsi populasi p1 − p2 adalah − .
n1 n2
X1 X 2
Ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar,maka distribusi dari − mendekati normal dengan
n1 n2
mean dan variansi :
µ X1 − X 2 = p1 − p2 p1 ( 1 − p1 ) p2 ( 1 − p2 )
dan σ 21 − X 2 =
X +
n1 n2
n1 n2 n1 n2
Jadi :
Z=
( p1 − p2 ) − ( p1 − p2 )
ˆ ˆ
 N ( 0,1)
→ X1 X2
p1q1 p2 q2 p1 =
ˆ , p2 =
ˆ
+ n1 n2
n1 n2
q1 = 1 − p1 , q2 = 1 − p2
Kita dapat menyatakan bahwa :
(
P − z α < Z < zα = 1 − α
2 2
)
Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( p1 − p2 ) adalah :
ˆ ˆ ˆ ˆ
p1q1 p2 q2 ˆ ˆ ˆ ˆ
p1q1 p2 q2
( p1 − p2 ) − z
ˆ ˆ α + < p1 − p2 < ( p1 − p2 ) + z α
ˆ ˆ +
2
n1 n2 2
n1 n2
Contoh

15. 52
Disuatu Universitas,diantara 2000 lulusan mahasiswa pria terdapat 114 orang yang lulus dengan
IPK ≥ 2,75 , sedangkan diantara 1000 lulusan mahasiswa wanita terdapat 61 orang lulus dengan
IPK ≥ 2,75. Tentukan interval kepercayaan 98% untuk beda proporsi lulusan dengan IPK ≥ 2,75
antara mahasiswa pria dan wanita.
Jawab
X : banyaknya mahasiswa yang lulus dengan IPK ≥ 2,75
x1 = 114 , n1 = 2000 , p1 = 0, 057
ˆ , q1 = 0,943
ˆ
x2 = 61 , n2 = 1000 , p2 = 0, 061
ˆ , q2 = 0,939
ˆ
1 − α = 0,98 → z α = z0,01 = 2,33 , p1 − p2 = −0, 004
ˆ ˆ
2
Interval kepercayaan 98% untuk p1 − p2 :
−0, 0254 < p1 − p2 < 0, 0174
VII.6. Pendugaan Variansi Populasi
Sampel acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ . Dari sampel acak
2
dapat dihitung variansi sampel S 2 .
Interval kepercayaan untuk σ dapat diperoleh dengan menggunakan :
2
χ2 =
( n − 1) S 2
yang berdistribusi χ 2 dengan d.b = n-1
σ2
( )
g P χ12− α < χ 2 < χ α2 = 1 − α
2 2
Dengan mensubstitusikan χ 2 diperoleh :
 ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2  = 1 − α
P <σ2 < 
 χ α2 χ12− α 
2
 2 
Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk σ adalah :
2

16. 53
( n − 1) s 2 <σ2 <
( n − 1) s 2
χ α2 χ12− α
2 2
Contoh
Kita ingin menduga variansi IQ suatu populasi pelajar SMA disuatu daerah M dengan interval
kepercayaan 90%. Dari sampel acak 20 orang pelajar, diperoleh variansinya adalah 214,1.
Diasumsikan bahwa IQ berdistribusi normal.
Jawab
X : IQ pelajar SMA didaerah M
n = 20 , s 2 = 214,1
α = 0,10 ; d.b = 20 – 1 = 19 ; χ α2 ;19 = χ 0,05;19 = 30,144 ; χ1− α2 ;19 = χ 0,95;19 = 10,117
2 2 2 2
( n − 1) s 2 ( 19 ) ( 214,1) ( n − 1) s 2 ( 19 ) ( 214,1)
= = 134,95 ; = = 402,09
χ 0,05;19
2
30,144 χ 0,95;19
2
10,117
Jadi interval kepercayaan 90% untuk σ 2 adalah : 134,95 < σ 2 < 402,09
VII.7. Pendugaan Ratio Dua Variansi Populasi
Misalkan ada dua populasi normal,masing-masing mempunyai variansi σ 1 dan σ 2 .
2 2
S12 adalah variansi sampel acak berukuran n1 yang diambil dari populasi I.
2
S 2 adalah variansi sampel acak berukuran n2 yang dianbil dari populasi II.
Kedua sampel acak saling bebas.
σ 12 S2
Penduga titik untuk ratio variansi adalah 12 .
σ2 2
S2
σ 12
Untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk 2 kita menggunakan :
σ2
S12
σ 12
F= 2 yang berdistribusi F dengan derajat bebas υ1 = n1 − 1 dan υ2 = n2 − 1
S2
σ2
2

17. 54
( )
P F1− α < F < Fα = 1 − α
2 2
Dengan mensubstitusikan F diperoleh :
 S2 1 σ 12 S12 1  1
P  12 < 2 < 2 ÷= 1− α ; = Fα ;υ2 ,υ1
 S 2 Fα ;υ ,υ σ 2 S 2 F1− α ;υ ,υ ÷ F1− α ;υ1 ,υ2 2
 2 1 2 2 1 2  2
σ 12
Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk 2 adalah :
σ2
s12 1 σ 2 s2
< 12 < 12 Fα ;υ2 ,υ1 ; υ1 = n1 − 1 , υ2 = n2 − 1
s2 Fα ;υ1 ,υ2 σ 2 s2 2
2
2
Contoh
Suatu eksperimen dilakukan untuk membandingkan kecermatan dua merek detektor merkuri
dalam mengukur konsentrasi merkuri diudara. Pada suatu siang hari disuatu daerah tertentu dila-
kukan pengukuran konsentrasi merkuri , 7 pengukuran dengan detektor merek A dan 6 pengu –
kuran dengan detektor merek B. Diasumsikan bahwa hasil pengukuran berdistribusi normal.
Diperoleh data :
Merek A 0,95 0,96 0,82 0,78 0,71 0,86 0.99
Merek B 0,89 0,91 0,94 0,91 0,90 0,89
σ 12
Tentukan interval kepercayaan 90% untuk 2 dimana
σ 12 dan σ 2 masing-masing adalah
2
σ2
variansi populasi semua hasil pengukuran dengan detektor merek A dan merek B.
Jawab
X 1 : hasil pengukuran konsentrasi merkuri dengan menggunakan detektor merek A.
X 2 : hasil pengukuran konsentrasi merkuri dengan menggunakan detektor merek B .
Dari data dapat dihitung :
x1 = 0,867 ; s1 = 0, 010858 ; υ1 = 7 − 1 = 6
2
x2 = 0,907 ; s2 = 0, 000346 ; υ2 = 6 − 1 = 5
2

18. 55
1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39
σ 12
Interval kepercayaan 90% untuk 2 :
σ2
0, 010858  1  σ 12 0, 010858
< 2< ( 4,39 )
0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346
 
σ 12
6,3397 < < 137, 7648
σ2 2

19. 55
1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39
σ 12
Interval kepercayaan 90% untuk 2 :
σ2
0, 010858  1  σ 12 0, 010858
< 2< ( 4,39 )
0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346
 
σ 12
6,3397 < < 137, 7648
σ2 2

20. 55
1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39
σ 12
Interval kepercayaan 90% untuk 2 :
σ2
0, 010858  1  σ 12 0, 010858
< 2< ( 4,39 )
0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346
 
σ 12
6,3397 < < 137, 7648
σ2 2

21. 55
1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39
σ 12
Interval kepercayaan 90% untuk 2 :
σ2
0, 010858  1  σ 12 0, 010858
< 2< ( 4,39 )
0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346
 
σ 12
6,3397 < < 137, 7648
σ2 2