Vektor

1. STIKOM Artha Buana 1

2. Pertemuan 4
Vektor 2 dan 3 Dimensi

3. 3
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan
Vektor Dimensi 3
– Dapat menghitung perkalian dan jarak
antara 2 vektor
STIKOM Artha Buana

4. 4
Vektor di Ruang-2
Vektor di Ruang-3
STIKOM Artha Buana

5. 3.1) Vektor -> Pengantar
Vektor :
• Besaran skalar yang mempunyai arah
• ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-)
• Secara geometris,
B
• Simbol vektor : v
• Skalar vektor : v
• Vektor : 2 dimensi
3 dimensi
A
v
vektor v = AB
A disebut titik awal/inisial
B disebut titik akhir/terminal
Arah panah = arah vektor
Panjang panah = besar vektor
+
-
*
+
-
*

6. 6
A
B
v
vektor v = AB
A disebut titik awal/inisial
B disebut titik akhir/terminal
Vektor-vektor ekivalen
Dianggap sama
Panjang dan arahnya sama
STIKOM Artha Buana

7. 7
Negasi sebuah vektor v  –v secara geometrik
v
–v
Panjang sama, arah berlawanan
Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik
Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)
u
v
w
u
v
w
u
v
w
Metode segitiga Metode Jajaran Genjang
Ingat ! U - V  V - U
u
v
w
STIKOM Artha Buana

8. 8
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
(2,2)
(8,4)
u
6
2
U=(6,2)
STIKOM Artha Buana

9. 9
Penjumlahan dua vektor: w = u + v
u
v
w
Cara analitik:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3
Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)
w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)
= (u1 + v1, u2 + v2)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
STIKOM Artha Buana

10. 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
Contoh :
U=(4,2)
V=(-1,2)
Dimulai dari titik (1,2)
u
v
w
w= (u1 + v1, u2 + v2)
= (4+(-1),2+2)
= (3,4)
STIKOM Artha Buana

11. 11
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
v
3v
–2v
v
secara geometrik:
STIKOM Artha Buana

12. 12
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
Cara analitik:
Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2)
(w1, w2) = (kv1, kv2)
w1= kv1
w2 = kv2
STIKOM Artha Buana

13. 13
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
v=(2,1) dan k=3
w = kv = (kv1, kv2)
W = 3(2,1)
= (3*2,3*1)
= (6,3)
v
w
2
1
6
3
STIKOM Artha Buana

14. 14
Koordinat Cartesius:
P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)
P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)
atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x1 dan komponen kedua y1
P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)
atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x2 dan komponen kedua y2
Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)
STIKOM Artha Buana

15. 15
Using Coordinat
( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v
Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 2, 3 )
( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 2, 3 )
= ( 1 + 2, -2 + 3 )
= ( 3, 1 )
( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 2, 3 )
= ( 1 - 2, -2 - 3 )
= ( -1, -5 )
( * ) 2 v = 2 ( 1, -2 )
= ( 2, -4 )
y
x
v
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
v
w
STIKOM Artha Buana

16. 16
Vektor 3 dimensi
v = ( v1, v2, v3 )
Misal:
v = ( 4, 5, 6 )
Mis : v = ( 1, -3, 2 )
w = ( 4, 2, 1 )
x
( + ) v + w = ( 5, -1, 3 )
( - ) v – w = ( -3, -5, 1 )
( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 )
y
z
4
5
6
v
v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
P1
P2
v
STIKOM Artha Buana

17. 17
Example
The component of the vector v = P1 P2 with the initial point P1 ( 2, -1, 4 )
and terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are
v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 )
in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal point
P2( x2, y2 ) is
P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 )
P2 ( 7, 5, -8 )
P1 ( 2, -1, 4 ) -
v (5, 6, -12)
P2 ( x2, y2 )
P1 ( x1, y1 ) -
v (x, y )
STIKOM Artha Buana

18. Translasi
Translasi adalah Transformasi yang memindahkan titik –titik dengan jarak
dan arah tertentu (http://www.scribd.com/doc/85196343/TRANSLASI-MATEMATIKA)
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis
lurus dengan arah dan jarak tertentu. (http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-transformasi-
translasi-matematika/)
a
T


   




P(x, y) P (x a, y b) b
………..1
………..2
STIKOM Artha Buana 18

19. 19
Translasi
pers.Translasi :
x’ = x - k
y’ = y – l
x = x’ + k
y = y’ + l
sumbu-x’
Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah
koordinat Translasinya ( x’ , y’ )?
Jwb : x’ = x – k y’ = y – l
= 2 – 4 = 0 - 1
= -2 = -1
(0, 0)
(k, l)
(x, y)
(x’, y’)
sumbu-y
sumbu-x
l
k
x
sumbu-y’ P
(0, 0)
x’
y’
STIKOM Artha Buana

20. STIKOM Artha Buana 20

21. STIKOM Artha Buana 21

22. Contoh :
• Sebuah titik A(2,3) akan ditranslasikan
terhadap vektor T(5,2). Maka posisi titik
hasil translasi adalah :
a
T


   




5


T
   




• Sehingga titik baru hasil translasi adalah
A’(7,5)
22
P(x, y) P (x a, y b) b
(2,3) (2 5,3 2) 2
A A
STIKOM Artha Buana

23. 23
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5


T
   


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
A(2,3)
A’(7,5)
5
2
Ini adalah translasi
untuk 1 titik saja,
sedangkan
apabila gambar,
perlu melakukan
translasi semua
titiknya
(2,3) (2 5,3 2) 2
A A
STIKOM Artha Buana

24. 24
Example :
Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-coordinate
system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1)
a. Find the x’y’-translation vector of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 )
b. Find the x’y’-translation vector of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1, 5 )
Solutions (a): the translations equations are
x’ = x – 4 y’ = y – 1
So the x’y’-coordinates of P (2, 0) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = - 1
Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as
x = x’ + 4 y = y’ + 1
So the xy-coordinates of Q (-1,5) are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6
STIKOM Artha Buana

25. 25
Contoh :
Carilah titik akhir P’ yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang
mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P
Jawab :
v = ( 4, 5 ) dari titik P
so, x’ = 4
y’ = 5
x’
v
P ( 2, 3 )
y’
x
y
Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang
kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat
mula-mula ( 0, 0 )
x = k + x’ y = l + y’
= 2 + 4 = 3 + 5
= 6 = 8
Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 )
STIKOM Artha Buana

26. 26
9
8
7
6
5
4
3
2
1
v 5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
-2
-3
P(2,3)
4
Q(6,8)
STIKOM Artha Buana

27. 27
Aritmatika vektor
Norma sebuah vektor
STIKOM Artha Buana

28. 28
Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3
Teorema : u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3
k, l adalah skalar (bilangan real)
• u+v = v+u
• (u+v)+w = u+(v+w)
• u+0 = 0+u = u
• u+(-u) = (-u)+u = 0
• k(lu) = (kl)u
• k(u+v) = ku + kv
• (k+l)u = ku + lu
• 1u = u
STIKOM Artha Buana

29. 29
Bukti teorema :
Secara analitik (dijabarkan)
Bukti secara analitik untuk teorema di Ruang-3
u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)
u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)
= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)
= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)
= v + u = 0 + u
= (u1, u2, u3)
= u
STIKOM Artha Buana

30. 30
k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))
= (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)
= kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )
= klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )
= ku + kv
(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)
= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)
= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)
= ku + lu
STIKOM Artha Buana

31. Norma sebuah vektor:
(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor)
Diambil dari teorima Phytagoras
31
Ruang-2 : norma vektor u =
Ruang-3 : norma vektor u =
2
2
2
|| u || u1 u
2
1 || u || u u u
2
3
2
2
Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1
STIKOM Artha Buana

32. 32
Jarak antara dua titik:
Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)
jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2)
   2
2 1 d  x  x  y  y
2 1
2
Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2)
     2
2 1
2
2 1
2
2 1 d  x  x  y  y  z  z
STIKOM Artha Buana

33. 33
Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka
norma ku = | k | || u ||
STIKOM Artha Buana

34. 34
• Vektor bisa dinyatakan secara grafik
analitik (diuraikan mjd komponennya)
• Norma v = panjang vektor v
= || v || =
2
v1  v
2
2
• v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2
Ex:
• Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + (2) 2 + (1) 2 = 14
• Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah
d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2
= 44
= 2 11
STIKOM Artha Buana

35. 35
Contoh (1):
Cari norma dari v = (0, 6, 0)
Penyelesaian :
Contoh (2):
0 6 0 36 6 2 2 2 v     
Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4
Penyelesaian :
||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ]
4 = | k |30  | k | = 4 / 30  k =  4 / 30
STIKOM Artha Buana

36. 36
Contoh (3):
Carilah jarak antara
2 1 d  x  x  y  y
a. P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7)
b. P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3)
Penyelesaian :
  2
 2
a. d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 =  4 + 9 = 13
2 1
b. d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 =  9 + 9 + 0 = 18
STIKOM Artha Buana