Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear tiga variabel, termasuk definisi, bentuk umum, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan determinan.

1. SISTEM PERSAMAAN
LINEAR TIGA
VARIABEL

2. Perhatikanbentuk-bentukpersamaanberikut:
934 x
2076  p
932 r
Persamaan linear satu
variabel dengan variabel x
Persamaan linear satu
variabel dengan variabel p
Persamaan linear satu
variabel dengan variabel r

3.  Persamaan linear satu variabel (PLSV) adalah kalimat
terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan
(=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.
Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
 Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah kalimat
terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan
(=) dan memiliki dua variabel dengan masing-masing
berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear dua
variabel adalah
ax + b = c, dengan a, b, c R dan a  0
ax + by = c, dengan a, b, c R dan a  0, b  0

4. Perhatikan contoh berikut ini :
427  nm
664  yx
Persamaan linear dua
variabel dengan
variabel x dan y
Persamaan linear dua
variabel dengan
variabel m dan n

5. SistemPersamaanLinearDua Variabel(SPLDV)
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞
Maka, dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan
linear dua variabel. Penyelesaian SPLDV tersebut adalah pasangan
bilangan (𝑥,𝑦) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

6. Metode PenyelesaianSPLDV
 Metode Grafik
 Metode Substitusi
 Metode Eliminasi
 Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)
 Metode Determinan

7. Metode Grafik
metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara
menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian
menentukan titik potongnya.

8. Metode Grafik
 Perhatikan dua sistem
persamaan dua variabel
𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = −𝑥 + 5
 Solusi dari sistem ini adalah
himpunan pasangan terurut yang
merupakan solusi dari kedua
persamaan.
 Grafik garis menunjukkan
himpunan penyelesaian dari
masing-masing persamaan
dalam sistem. Oleh karena itu,
perpotongan kedua garis adalah
gambar dari penyelesaian sistem.

9. Metode Grafik
Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.

10. Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari
masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan
pada tabel berikut.
Sistem Kemiringan Grafik Penyelesaian
Konsisten dan bebas Berbeda
𝑎
𝑐
≠
𝑏
𝑑
Garis
berpotongan di
satu titik
Satu
Inkonsistent dan bebas
atau berlawanan
Sama
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
≠
𝑝
𝑞
Garis sejajar Tidak ada
Konsisten dan
bergantungan
Sama
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
=
𝑝
𝑞
Garis berimpit Tak terhingga
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒑
𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝒒

11. Metode Substitusi
 metode penyelesaian SPLDV dengan cara
menggantikan satu variabel dengan variabel dari
persamaan yang lain
 Langkah-langkah :
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana
kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 atau 𝑦 sebai
fungsi 𝑥
2. Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 pada langkah 1 ke
persamaan yang lainnya

12. Metode Substitusi
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
𝑥 − 10𝑦 = 23
3𝑥 − 5𝑦 = 19
Jawab
 𝑥 − 10𝑦 = 23 ⟹ 𝑥 = 10𝑦 + 23
 3𝑥 − 5𝑦 = 19
⇔ 3 10𝑦 + 23 − 5𝑦 = 19
⇔ 30𝑦 + 69 − 5𝑦 = 19
⇔ 25𝑦 = −50
⇔ 𝑦 = −2
 𝑥 = 10𝑦 + 23 = 10 −2 + 23 = 3
Jadi, penyelesaiannya adalah 3, −2

13. Metode Eliminasi
 metode penyelesaian SPLDV dengan cara
menghilangkan salah satu variabel
 Langkah-langkah :
1. Perhatikan koefisien 𝑥 (atau 𝑦)
a. Jika koefisiennya sama lakukan operasi
pengurangan/penjumlahan
b. Jika koefisiennya berbeda, samakan
koefisiennya dengan cara mengalikan
persaman-persamaannya dengan konstanta
yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a.
2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi
variabel lainnya

14. Metode Eliminasi
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
Jawab
 Mengeliminasi variabel 𝑦
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
× 3
× 2
9𝑥 − 12𝑦 = 9
10𝑥 − 12𝑦 = 12 −
−𝑥 = −3
𝑥 = 3
 Mengeliminasi variabel 𝑥
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
× 5
× 3
15𝑥 − 20𝑦 = 15
15𝑥 − 18𝑦 = 18 −
−2𝑦 = −3
y =
3
2
Jadi, penyelesaiannya adalah 3,
3
2

15. Metode Eliminasi-Substitusi
 metode penyelesaian SPLDV dengan cara
menggabungkan metode eliminasi dan metode
substitusi .
 Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan
variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke
persamaan untuk mendapatkan variabel kedua

16. Metode Eliminasi-Substitusi
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
Jawab
 Mengeliminasi variabel 𝑦
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
× 3
× 2
9𝑥 − 12𝑦 = 9
10𝑥 − 12𝑦 = 12 −
−𝑥 = −3
𝑥 = 3
 substitusi 𝑥 = 3 ke persamaan (1)
3𝑥 − 4𝑦 = 3
⟺ 3(3) − 4𝑦 = 3
⟺ 9 − 4𝑦 = 3
⟺ −4𝑦 = −6
⟺ y =
−6
−4
=
3
2
Jadi, penyelesaiannya adalah 3,
3
2

17. Metode Determinan
 Determinan adalah bilangan real yang
direpresentasikan oleh susunan bilangan yang
berbentuk persegi.
 Nilai dari determinan orde dua
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

18. Metode Determinan
Aturan Cramer
 Untuk semua bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝 dan 𝑞
penyelesaian dari sistem
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒑
𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝒒
adalah
𝐷 𝑥
𝐷
,
𝐷 𝑦
𝐷
dengan 𝐷 ≠ 0
 Jika , 𝐷 = 0 sistem tidak memiliki penyelesaian atau
mempunyai penyelesaian banyak tak terhingga
𝐷 𝑥 =
𝑝 𝑏
𝑞 𝑑
= 𝑝𝑑 − 𝑏𝑞
𝐷 𝑦 =
𝑎 𝑝
𝑐 𝑞 = 𝑎𝑞 − 𝑐𝑝
𝐷 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

19. Metode Determinan(Aturan Cramer)
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
3𝑥 − 4𝑦 = 3
5𝑥 − 6𝑦 = 6
Jawab
 𝐷 =
3 −4
5 −6
= 3 −6 − −4 5 = −18 + 20 = 2
𝐷 𝑥 =
3 −4
6 −6
= 3 −6 − −4 6 = −18 + 24 = 6
𝐷 𝑦 =
3 3
5 6
= 3 6 − 3 5 = 18 − 15 = 3
 𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
=
6
2
= 3
y =
𝐷 𝑦
𝐷
=
3
2
Jadi, penyelesaiannya adalah 3,
3
2

20.  Persamaan linear tiga variabel (PLTV) adalah kalimat
terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan
(=) dan memiliki tiga variabel dengan masing-masing
berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear tiga
variabel adalah
ax + by + cz = d, dengan a, b, c R dan a  0

21. SistemPersamaanLinearTigaVariabel(SPLTV)
Apabila terdapat tiga persamaan linear tiga variabel yang berbentuk:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
Maka, tiga persamaan tersebut membentuk sistem persamaan
linear tiga variabel. Penyelesaian SPLTV tersebut adalah pasangan
bilangan (𝑥,𝑦, 𝑧) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

22. Metode PenyelesaianSPLYV
 Metode Substitusi
 Metode Eliminasi
 Metode Determinan

23. Metode Substitusi
 Langkah-langkah :
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana
kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 dan 𝑧 atau 𝑦
sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑧, atau 𝑧 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦
2. Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 yang diperoleh pada
langkah 1 ke dua persamaan lainnya sehingga
diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.
3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel
yang diperoleh pada langkah 2.
4. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh
pada langkah 3 ini ke salah satu persamaan semula
untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

24. Metode Substitusi
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19
5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 21
Jawab
 5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 21
𝑦 = −5𝑥 − 2𝑧 + 21 ... (4)
 Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1)
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22
2𝑥 + 2(−5𝑥 − 2𝑧 + 21) + 3𝑧 = 22
2𝑥 − 10𝑥 − 4𝑧 + 42 + 3𝑧 = 22
−8𝑥 − 𝑧 = −20 ... (5)
 Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2)
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19
3𝑥 − (−5𝑥 − 2𝑧 + 21) + 4𝑧 = 19
3𝑥 + 5𝑥 + 2𝑧 − 21 + 4𝑧 = 19
8𝑥 + 6𝑧 = 40 ... (6)

25.  Persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan sistem persamaan
linear dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel tersebut akan diselesaikan
dengan metode substitusi.
−8𝑥 − 𝑧 = −20
𝑧 = −8𝑥 + 20 ... (7)
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6)
8𝑥 + 6𝑧 = 40
8𝑥 + 6(−8𝑥 + 20) = 40
8𝑥 − 48𝑥 + 120 = 40
−40𝑥 = −80
𝑥 = 2
Substitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan (7)
𝑧 = −8𝑥 + 20 = −8 2 + 20 = 4
Substitusikan 𝑥 = 2 dan 𝑧 = 4 ke persamaan (4)
𝑦 = −5𝑥 − 2𝑧 + 21 = −5 2 − 2 4 + 21 = 3
Jadi, penyelesaiannya adalah 2,3,4

26. Metode Eliminasi
 Langkah-langkah :
1. Eliminasi salah satu variabel, 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧
sehingga diperoleh sistem persamaan dua variabel.
2. Selesaikan sistem persamaan dua variabel pada
langkah 1 sehingga diperoleh nilai 2 variabel, 𝑥 dan
𝑦 atau 𝑥 dan 𝑧 atau 𝑦 dan 𝑧.
3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh
pada langkah 2 ini ke salah satu persamaan semula
untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

27. Metode Eliminasi
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22 … (1)
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19 … (2)
5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 21 … (3)
Jawab
 Eliminasi 𝑦 dari persamaan (1) dan (2) kemudian persamaan (2)
dan (3)
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19
× 1
× 2
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 22
6𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 38 +
8𝑥 + 11𝑧 = 60 … (4)
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19
5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 21 +
8𝑥 + 6𝑧 = 40 … (5)

28.  Persamaan (4) dan (5) merupakan sistem persamaan linear dua
variabel.
Eliminasi 𝑥 dari persamaan (4) dan (5)
8𝑥 + 11𝑧 = 60
8𝑥 + 6𝑧 = 40 −
5𝑧 = 20
𝑧 = 4
Eliminasi 𝑧 dari persamaan (4) dan (5)
8𝑥 + 11𝑧 = 60
8𝑥 + 6𝑧 = 40
× 6
× 11
48𝑥 + 66𝑧 = 360
88𝑥 + 66𝑧 = 440 −
−40𝑥 = −80
𝑥 = 2
 Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑧 = 4 ke persamaan (2)
3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 19
⟺ 3(2) − 𝑦 + 4(4) = 19
⟺ 6 − 𝑦 + 16 = 19
⟺ −𝑦 = −3
⟺ 𝑦 = 3
Jadi, penyelesaiannya adalah 2,3,4

29. Metode Determinan
 Nilai dari determinan orde tiga
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑎𝑓ℎ + 𝑏𝑑𝑖 + 𝑐𝑒𝑔

30. Metode Determinan
Aturan Cramer
 Untuk semua bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑝, 𝑞
dan 𝑟 penyelesaian dari sistem
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒑
𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 + 𝒇𝒛 = 𝒒
𝒈𝒙 + 𝒉𝒚 + 𝒊𝒛 = 𝒓
adalah
𝐷 𝑥
𝐷
,
𝐷 𝑦
𝐷
,
𝐷 𝑧
𝐷
dengan 𝐷 ≠ 0
𝐷 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
; 𝐷 𝑥 =
𝑝 𝑏 𝑐
𝑞 𝑒 𝑓
𝑟 ℎ 𝑖
𝐷 𝑦 =
𝑎 𝑝 𝑐
𝑑 𝑞 𝑓
𝑔 𝑟 𝑖
; 𝐷𝑧 =
𝑎 𝑏 𝑝
𝑑 𝑒 𝑞
𝑔 ℎ 𝑟
;

31. Metode Determinan
Contoh
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10
Jawab
𝐷 =
1 2 −3
2 −1 1
3 2 1
1 2
2 −1
3 2
= −1 + 6 − 12 − 9 + 2 + 4 = −22
𝐷 𝑥 =
−4 2 −3
3 −1 1
10 2 1
−4 2
3 −1
10 2
= 4 + 20 − 18 − 30 − 8 + 6 = −22
𝐷 𝑦 =
1 −4 −3
2 3 1
3 10 1
1 −4
2 3
3 10
= 3 − 12 − 60 − −27 + 10 − 8 = −44
𝐷𝑧 =
1 2 −4
2 −1 3
3 2 10
1 2
2 −1
3 2
= −10 + 18 − 16 − 12 + 6 + 40 = −66

32. Metode Determinan
𝐷 = −22; 𝐷 𝑥 = −22; 𝐷 𝑦 = −44; 𝐷𝑧 = −66
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
=
−22
−22
= 1
𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
=
−44
−22
= 2
𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
−66
−22
= 3
Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2, 3)

33. LATIHAN
Selesaikan setiap persamaan linear berikut :
1.
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −4
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −4
2.
3
𝑥
−
4
𝑦
+
6
𝑧
= 1
9
𝑥
+
8
𝑦
−
12
𝑧
= 3
9
𝑥
−
4
𝑦
+
12
𝑧
= 4