oleh neneng Nurwaningsih (06081281520066) Nurwaningsih30@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA INDRALAYA 2017 semoga bermanfaat

1. MATERI
Oleh :
Oktiana Dwi P H
NIM: 20082012012
MATA KULIAH
GEOMETRI ANALITIK BIDANG
DAN RUANG
PERSAMAAN ELIPS DAN GARIS
SINGGUNG ELIPS

2. ELIPS
Definisi elips :
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik
tertentu tetap harganya.
Dua titik tertentu tersebut dinamakan titik fokus ( F 1 dan F 2 ) . Titik C, P dan Q
ada pada elips, maka berdasarkan definisi elips di atas diperoleh :
CF1 + CF 2 = PF1 + PF 2 = QF1 + QF 2
Q
P
C
F1
F 2
LEMBAR KERJA 1

3. PERSAMAAN ELIPS
1. PERSAMAAN ELIPS DENGAN PUSAT O(0,0)
Misal titik F1(-c,0) dan F2 (c,0)
Titik A(-a , 0) ada pada elips maka AF1 + AF2 = ……….. + …………..= …………..
Titik C (0,b) ada pada elips maka CF1 + CF2 = ……………..
CF1 = CF2 =……………
Sesuai definisi elips :
Apabila P ( x , y ) ada pada elips maka PF1 + PF2 = 2a, maka :
Ellips = { P | PF1 + PF2 = 2a }
= { (x,y) | √ (( x+c )² + y²) + √ ((x-c)² + y²) = 2a }
= { (x,y) | √ (( x+c )² + y²) = 2a - √ ((x-c)² + y²) }
= { (x,y) | ………………………………………............................................... }
= { (x,y) | …………………………………………………………………….. ..}
= { (x,y) | ……………………………………………………………………… }
= { (x,y) | ……………………………………………………………………….}
= { (x,y) | ……………………………………………………………………….}
( dari gambar diperoleh a² - c² = b² )
Ellips = { (x,y) | …………………………} atau { (x,y) | 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 1 }
A(-a,0) B(a,0)
C (o,b)
F1(-c,0) F2( c,0)
P(x,y)
Y
X
a a
D(0,-b)
O

4. Jadi Persamaan Elips dengan pusat (0,0) adalah { (x,y) | 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 1 }
Catatan :
1. Titik A, B, C dan D disebut titik puncak elips.
2. A(-a,0) , B(a,0) dan AB disebut sumbu mayor /sumbu panjang (panjangnya = 2a)
3. C(0,b) , D(0,-b) , CD disebut sumbu minor / sumbu pendek ( panjangnya = 2b )
4. Dari gambar terlihat bahwa a 2
= b 2
+ c 2
2. PERSAMAAN ELIPS DENGAN PUSAT (p,q)
Jika pusat elips adalah titik P(p,q) dan melalui titik ini dibuat garis-garis sejajar sb x dan
sb y ( yang dinamakan x’ dan y’), maka terdapat hubungan :
x = p + x’ atau x’ = x - p dan y = q + y’ atau y’ = y – q
Terhadap sistem koordinat bersumbu X’ dan Y’ persamaan elips adalah :
……………………………………..
Dengan substitusi hasil pergeseran sumbu diperoleh persamaan elips berpusat di P(p,q) :
………………………………………
Jadi Persamaan Ellips dengan pusat P(p,q) adalah
x’
y’
Y’Y
T(x,y)
F2(p+c,q)F1(p-c,q) P(p,q)
X’
XO

5. { (x,y) | …………………………………………………. }
LATIHAN
1. Diketahui persamaan elips :
1
9
)4(
25
)2( 22
=
−
+
+ yx
Tentukan :
a. Koordinat pusat.
b. Koordinat fokus.
c. Koordinat ke empat titik ujung sumbu elips
2. Tentukan persamaan elips apabila diketahui koordinat titik fokusnya (-6,2) dan (2,2)
serta salah satu koordinat titik puncaknya adalah (3,2)
3. Kalau sumbu panjang suatu elips berimpit dengan sb x dan panjang kedua sumbunya
berturut-turut 10 dan 6 , sedangkan elips itu menyinggung sb y , tentukan persamaan
elips tersebut!

6. DIREKTRIX DAN EKSENTRISITET
Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak ke
suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu tetap harganya yaitu antara 0 – 1
Titik tertentu disebut titik fokus dan garis tertentu disebut direktrix.
Titik fokusnya adalah titik F (-c,0) dan G (c,0) serta garis f dan g disebut garis direktrix
Dari gambar di atas maka diperoleh :
p 2
= ………………………….. = ………………………………………..
q 2
= ……………………………= ………………………………………..
p 2
- q 2
= …………………..
( p – q ) ( p + q ) = ………………
( p – q ) (……..) =………………
( p – q ) = ………………
( p – q ) = …………………………….
( p + q ) =…………………………...... +
………. =…………………………….
( p – q ) = ……………………………
( p + q ) =…………………………...... -
Y
X
g
X
f
p q
F G
P(X0,Y0)
O
LEMBAR KERJA 2

7. ……… = ……………………………...
Diperoleh :
P =……………
q = ……………
Jadi :
p : (……………..) = ………... ( perbandingan jarak dari titik P ke titik fokus F
dengan jarak dari titik P ke garis f =
a
c
)
q : (……………..) = ……....... ( perbandingan jarak dari titik P ke titik fokus G
dengan jarak dari titik P ke garis g =
a
c
)
Artinya :
1. Jarak dari titik P ke garis f adalah …………
Jadi f : x = ……
2. Jarak dari titik P ke garis g adalah …………
Jadi g : x = …….
Jadi :
Perbandingan jarak dari titik P ke titik F dan jarak dari titik P ke garis f = perbandingan
jarak dari titik P ke titik G dan jarak dari titik P ke garis g =
a
c
Catatan :
Garis f dan garis g disebut garis direktrix dan harga
a
c
disebut eksentrisitet
SOAL LATIHAN :
1. Diketahui persamaan elips :
1
9
)4(
25
)2( 22
=
−
+
+ yx
Tentukan :
a. Persamaan direktrix elips
2. Tentukan persamaan elips dengan pusat
(1,2) dan eksentrisitet 4/5 , sedangkan
direktrixnya 4x = 25

8. b. Eksentrisitet
GARIS SINGGUNG PADA ELIPS
1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS DENGAN GRADIEN TERTENTU
Misal ada garis g : y = mx + n…………………………(1)
Dan elips : 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 1 ……………………….(2)
Maka jika garis g (1) dipotongkan terhadap elips (2) maka diperoleh :
…………………………………………………………….
…………………………………………………………….
…………………………………………………………….
…………………………………………………………….
Dari persamaan di atas didapat :
D = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
Jika garis g menyinggung elips maka D = 0
……………………………………. = 0
…………………………………… = 0
n 2
=……………………………
n = ……………………………
LEMBAR KERJA 3

9. Jadi diperoleh persamaan garis singgung elips 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 1 dengan gradien m adalah:
y = ………………………..
2. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS DI TITIK S ( X 1 , Y 1 )
Titik S ( X1 , Y1 ) pada elips, maka :
12
2
1
2
2
1
=+
b
Y
a
X
⇔ 222
1
22
1
2
baYaXb =+ ………………..(1)
Titik ( X2 , Y2 ) pada elips maka :
12
2
2
2
2
2
=+
b
Y
a
X
⇔ 222
2
22
2
2
baYaXb =+ ………………(2)
Titik ( X3 , Y3 ) pada elips maka :
12
2
3
2
2
3
=+
b
Y
a
X
⇔ 222
3
22
3
2
baYaXb =+ ………………(3)
Jika (2) dikurangi (3) maka diperoleh :
………………………………………………..
…………………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………………
X
Y
S
S’
S(X1,Y1)
O
(X2.Y2)
(X3,Y3)

10. …………………………………………………
32
32
XX
YY
−
−
=
)(
)(
32
2
32
2
YYa
XXb
+−
+
Jadi gradien garis s’ adalah:
)(
)(
32
2
32
2
YYa
XXb
+−
+
Karena s // s’ maka gradien garis s adalah :
)(
)(
32
2
32
2
YYa
XXb
+−
+
Pada saat s merupakan garis singgung maka ( X2 , Y2 ) = ( X3 , Y3 ) = ( X1 , Y1 )
sehingga gradien garis s = …………….. = ………………… = …………………
Jadi persamaan garis singgung di S ( X1 , Y1 ) adalah :
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
Sehingga diperoleh :
……………………………………………
……………………………………………
Atau
………………………………………….
Jadi persamaan garis singgung elips 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 1 di titik S ( X1 , Y1 ) adalah :
……………………………………………
Dengan cara yang sama maka persamaan garis singgung pada elips

11. 2
2
2
2
)()(
b
qy
a
px −
+
−
= 1 di titik ( X1 , Y1 ) adalah :
…………………………………………………………..
SOAL LATIHAN :
1. Tentukan persamaan kedua garis singgung pada elips 16x 2
+25y 2
= 400
yang sejajar dengan garis 3x + y +1 = 0
2. Tentukan persamaan garis singgung elips 16x 2
+ 25y 2
+ 160x – 150y +
225 = 0 di titik yang berabsis 0.

12. PERSAMAAN GARIS NORMAL PADA ELIPS
Persamaan garis singgung elips di titik (X1,Y1) adalah:
12
1
2
1
=+
b
YY
a
XX
Maka :
X
Ya
Xb
Y
1
2
1
2
−=
Jadi gradien garis singgung elips di (X1,Y1) adalah :
1
2
1
2
Ya
Xb
−
Maka gradien garis normal (garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus garis
singgung) adalah :
1
2
1
2
Xb
Ya
Jadi persamaan garis normal elips di titik (X1,Y1) adalah :
)( 1
1
2
1
2
1 XX
Xb
Ya
YY −=−

13. M
A
T
E
R
I
TITIK DAN GARIS POLAR
ELIPS
MATA KULIAH
GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN
RUANG

14. TITIK DAN GARIS POLAR
Garis g disebut garis polar titik P(X1.Y1) terhadap elips sedangkan titik P disebut titik
polar. Persamaan garis polar titik P(X1,Y1) terhadap elips 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
adalah
12
1
2
1
=+
b
YY
a
XX
BUKTI :
PQ : 12
2
2
2
=+
b
YY
a
XX
…………………………………(1)
PR : ……………………………………………………(2
LEMBAR KERJA 4
Y
X
R(X3,Y3)
Q(X2,Y2)
P(X1,Y1)
g

15. P ( X 1 ,Y 1 ) pada PQ maka : ………………………………………..(3)
P ( X 1 ,Y 1 ) pada PR maka : ………………………………………...(4)
Perhatikan (3) dan (4) ternyata titik Q(X2,Y2) dan R(X3,Y3) terletak pada garis :
………………………………………
Maka persamaan garis polar titik P (garis g) adalah :
…………………………………………
…………………………………………
SOAL LATIHAN :
1. Buktikan, bahwa ketiga garis polar
titik-titik (2,5/2) , (-4 , 10), dan (8,-5)
terhadap elips 5x 2
+ 4y 2
= 20
melalui sebuah titik tertentu. Titik
manakah itu?
3. Diketahui elips dengan persamaan 25x
2
+ 16y 2
- 50x - 32y – 359 = 0
Tentukan =
a. Koordinat pusat
2. Tentukan titik polarnya garis
2x – 3y = 12 terhadap elips
1
46
22
=+
yx
4. Diketahui elips
yxyx 284 22
−++ +1 = 0.
Tentukan koordinat titik potong garis
y = x dengan elips tersebut.

16. b. Koordinat kedua titik fokus
c. Koordinat titik puncak
d. Panjang sumbu mayor dan
panjang sumbu minor
DUA GARIS TENGAH SEKAWAN
k : y = m x
garis-garis yang sejajar k mempunyai persamaan
y = m x + n …………………(1)
garis (1) memotong elips 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
maka diperoleh :
……………………………………………..
Sehingga :
S
X
Y
R
Q(X2,Y2)
P(X1,Y1)
B A
T
M
l
k=mx

17. X1 + X2 = ………………..
Jika titik T merupakan titik tengah talibusur antara kedua titik potong maka :
XT = …………………………………………………………………
Dan
YT = ………………………………………………………………..
= ………………………………………………………………..
Jadi garis yang melalui T ( XT , YT ) adalah :
y = ……………………………………………… …………..(2)
Garis tersebut merupakan garis lurus dan dinamakan garis l yang melalui titik O(0,0)
Garis-garis k dan l disebut dua garis tengah sekawan suatu elips, yang satu merupakan
tempat kedudukan titik-titik tengah semua tali busur yang sejajar dengan garis lainnya.
k : y = mx
l : y = - x
ma
b
2
2
hasilkali kedua koefisien arah dari dua garis tengah sekawan adalah tetap yaitu :
m . 





−
ma
b
2
2
= 2
2
a
b
−

18. Misal kedua garis tengah sekawan elips adalah PQ dan RS dengan P(X1,Y1)
P(X1,Y1) ada pada elips maka :
222
1
22
1
2
2
2
1
2
2
1
1
bayaxb
b
y
a
x
=+
=+
Koefisien arah PQ adalah :
1
1
x
y
mPQ . mRS = - 2
2
a
b
mRS = - 2
2
a
b
1
1
y
x
maka persamaan garis RS adalah :
Q
S
R
P(X1,Y1)l
k

19. Y = - X
ya
xb
1
2
1
2
Perpotongan RS dengan elips menghasilkan :
22
2
1
2
1
2
222
bax
ya
xb
axb =




 −
+
( ) 2
1
422
1
22
1
2
yaxxbya =+
Maka diperoleh :
b
y
a
x
yaxba
1
2
1
4222
±=
=
Dengan jalan yang sama maka diperoleh:
a
x
b
y
dan
a
x
b
y
b
y
a
x
dan
b
y
a
x
jadi
a
x
b
y
sr
sr
11
11
1
:
−==
=−=
±=
SOAL LATIHAN :

20. 1. Buktikan, bahwa ketiga garis polar titik-titik (2,5/2) , (-4 , 10), dan (8,-5) terhadap
elips 5x 2
+ 4y 2
= 20 melalui sebuah titik tertentu. Titik manakah itu?
2. Tentukan titik polarnya garis
2x – 3y = 12 terhadap elips 1
46
22
=+
yx