1. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Για το άθροισμα και το γινόμενο ριζών ισχύει:
Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α
2
2
ημ2α = 2ημασυνα
συν2α=     
P  1   2 
2

2
συν2α = 2   1
συν2α = 1  2 


Φυσικοί αριθμοί: ℕ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,..}
S  1   2  
Ακέραιοι αριθμοί: ℤ={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}


Ακόμα ισχύουν: Αν ζητούνται δύο αριθμοί με γνωστό
Ρητοί αριθμοί: Q  { , ,   Z,   0}
άθροισμα (S) και γινόμενο (P) τότε οι αριθμοί θα είναι

2
Άρρητοι αριθμοί: Ονομάζονται οι αριθμοί που ρίζες της εξίσωσης   S  P  0
δεν είναι δυνατόν να εκφραστούν ως κλάσμα μ/ν,
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
Το πρόσημο του τριωνύμου
όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί με ν διάφορο του
3
2
μηδενός. (π.χ. √5, √7, e)
f (  )       ,   0 εξαρτάται από το
Πραγματικοί αριθμοί: Είναι το σύνολο που
πρόσημο της διακρίνουσας Δ. Άρα:
περιέχει τους ρητούς και μη ρητούς αριθμούς και 1. . Αν Δ > 0, τότε το τριώνυμο για τις τιμές του χ
συμβολίζεται με ℝ.
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
για τις τιμές του χ έξω από τις ρίζες είναι ομόσημο του α,
για χ =  και χ =  προφανώς το τριώνυμο
1
2
μηδενίζεται.
0
1
τότε    . Αν   0 και ν = 0, τότε α  1 ,. 2. Αν Δ = 0, τότε το τριώνυμο f(x) είναι ομόσημο του α

Ιδιότητες Δυνάμεων
σε όλες τις τιμές του χ εκτός από το   
(τη
 

  
 (  )  



 



 
 


(  )    
( )
( )
( ) 










 
 
*
 ,   Z,   


1




0
1
2



της εξίσωσης 


2
.

 
 



 




 
  


( )
,  0

Ορισμός:  

y


 



y
       ή χ  -θ
        
  y y
χ, y ετερόσημοι
8. Αν λ > 0 : χ > y

 (    )( 
ρίζες 1 ,  2 που τις βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη

 2
  ...  
 2
),   2   1

 (    )( 
1

 2
  ...  
2

1
),
  2
3

1
3

3
2

2
(      )[(    )
0
-




2
2
      )
 (   )
2
2
 (  ) ]
√3
1
 4 .
υποτείνουσα
συνω =
Για το είδος των ριζών της ισχύει:
εφω =
προσκείμενη κάθετη πλευρά
( εφω=
σφω =
(η τετμημένη του Μ)
απέναντι κάθετη πλευρά
f (x)  f (x 0 )

,   R  { /   .  Z} )

(f  g)'  f '  g ' (f  g)'  f '  g  f  g '

1   2
2
ημ  
2
f
f '  g  f  g'
( )' 
g
g2

ημ(-ω) = - ημω
συν(-ω) = συνω
εφ(-ω) = - εφω
σφ(-ω) = - σφω
ημ(π-ω) = ημω
ημ(π+ω)= - ημω
συν(π-ω) = - συνω συν(π+ω)=- συνω
εφ(π-ω) = - εφω εφ(π+ω)= εφω
σφ(π-ω) = - σφω σφ(π+ω)= σφω
2κπ, ω, 2κπ+ω
ω, 𝟐 + 𝛚
π
ημ( +ω) = συνω ημ(2κπ+χ)=ημχ
2
𝜋
Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης
Για τη σύνθετη συνάρτηση φ = g(f(x)), που παράγεται
από τις συναρτήσεις ψ = f(x) και φ = g(ψ) είναι
'
(x) 
συν( + ω) = - ημω συν(2κπ+χ)=συνχ
π
εφ( +ω) = - σφω εφ(2κπ+χ)=εφχ
σφ( - ω)=εφω
σφ( +ω) = - εφω σφ(2κπ+χ)=σφχ
2
2
π
2
π
2
ΠΡΟΟΔΟΙ
α,β,γ διαδοχικοί όροι Α.Π.   
2

2. Αν Δ = 0 υπάρχει μία διπλή ρίζα:   
2
Άθροισμα ν - όρων Α.Π.: S 
3.Αν Δ < 0 δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
ΚΟΥΤΡΑ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
2


2
 x
x '
x
(a )  a  ln a
1
2
 
'
( x)  
1
'
( x) 
για κάθε x>0
2 x
1
'
(ln x)  , x  0
x
1
'
(ln x ) 
x
t '
t 1
(x )  tx
, t  R, x  0
 '
1 '
([f (x)] )  [f (x)]
 f (x)
'
f (x)
'
( f (x) ) 
, f (x)  0
2 f (x)
'
'
(f (x))  f (x)  f (x)
'
'
(f (x))  f (x)  f (x)
1
'
(ln f (x)) 
'
 f (x), f (x)  0
f (x)
'
(ln f (x) ) 
1
'
 f (x)
'
( f (x)) 
f (x)
'
( f (x)) 
1
'
 f (x)
2
 f (x)
(f (x) )'  f (x)  ln  f ' (x)
(e
1
'
 f (x)
2
 f (x)
f (x) '
f (x) '
) e
 f (x)
([f (x)]t )'  t[f (x)]t 1  f ' (x),f (x)  0
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Γεωμετρική Πρόοδος:  1     
α   1  
1


 cdx  c[x]

x

 
x
]
  dx  [

ln 

1

dx  [x]

  2 x
 1

dx  [ x]

2
  x
 1

dx  [2 x ]

 x


 xdx  [ x]



 xdx  [ x]


x
x 
 e dx  [e ]

,
( 1    )
[21  (   1) ]
Ο νιοστός όρος :
2
1

 dx  [ln x ]
x
2
( Ο β είναι αριθμητικός μέσος των α,γ )

1
u 1

x

u
] , u  R  {1}
 x dx  [

u 1
Αριθμητική Πρόοδος:  1     
S 
'
x '
x
(ημx)  x (e )  e
'
(x)  x (x  )'  x 1
*
N
π
συν( - ω)=ημω
2
π
1
g'
( )'   2
g
g
d
d d
'
'
'
)


 x      x ( τύπος του Leibniz:
dx
d dx
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Αντίθετα ω, -ω Παραπληρωματ Με διαφορά π
ικά ω,π-ω
ω,π+ω
  
.
x  x0
  1
προσκείμενη κάθετη πλευρά
απέναντι κάθετη πλευρά
f (x)  f (x 0 )
 R και παραγωγίσιμες στο Δ (δηλαδή σε κάθε
σημείο του Δ), τότε ισχύουν:

ημχ=ημθ⟺ χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ + π − θ,
'

κ∈ℤ
(c)  0

συνχ=συνθ⟺ χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ − θ, κ ∈ ℤ
'

εφχ=εφθ⟺ χ = 2κπ + θ, κ ∈ ℤ
(x)  1

σφχ=σφθ⟺ χ = 2κπ + θ, κ ∈ ℤ
Νόμος ημιτόνων
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
2
lim
x x0
  


,   R  { /     .  Z} ) Διαφορά Α.Π.:    1   

2
Ο νιοστός όρος :   1  (  1)
1. Αν Δ > 0 υπάρχουν δύο άνισες πραγματικές ρίζες :
ΜΑΡΙΑ
1
= log α 1 − log α  2
2
Κανόνες παραγώγισης
Αν f, g είναι συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού Δ
  1
π
υποτείνουσα
,  1
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ
Δηλαδή, f '(x0)=
1  
ημ( -ω)=συνω
προσκειμενη καθετη πλευρα
 1
και είναι πραγματικός αριθμός.
x  x0
Το όριο ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 και
συμβολίζεται με f '(x0) .
1   2
2
εφ  
1   2
Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
2
1
Ορισμός: Αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0 τότε :
log α θ = χ ⟺ αχ = θ
Ιδιότητες Λογαρίθμων
𝟏. log α 1 = 0
6. log a θκ = κ log α θ
𝟐. log α α = 1
log θ
𝟑. log α αχ = χ
7. log α θ = β , β > 0, 𝛽 ≠ 1
lim
x x0
  
ά ω, 𝟐 − 𝛚
(η τεταγμένη του Μ)

Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα
σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το
π
(Ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες σε rad Συμπληρωματικ Με διαφορά 2 Με διαφορά
𝛑
𝛑
απέναντι κάθετη πλευρά

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
1   2
2
  
2

 ο γεωμετρικός μέσος)
Άθροισμα ν - όρων Γ.Π. S  
1
𝟓. log α
2
εφ( - ω)=σφω
ημω =
(σφω =


1,2
1
  (  
𝟒. log α( 1   2 ) = log α 1 + log α  2
    1
2
 
  
2
1   
2
α,β,γ διαδοχικοί όροι Γ.Π. 

logβ α
  
Τύποι αποτετραγωνισμού
180
λχ > λy και αντίστροφα).
     0,   0 έχει γενικά δύο
διακρίνουσα   


*Δεν αφαιρούμε και δεν διαιρούμε ανισότητες κατά
μέλη
ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ
2
2
1   
(  ) 
0
√3 0
3
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Τριγωνομετρικός Κύκλος-Τριγωνομετρικές
συναρτήσεις
1
1

12. Αν α > β και α,β < 0 τότε
 
2

1
σφω
9. Αν λ < 0 : χ > y
λχ < λy
10. Αν χ > y και α > β,
τότε χ + α > y +β 11. Αν α > β και α,β > 0 τότε
Η εξίσωση 
1


 2R , όπου α, β, γ οι πλευρές,



  0    0 (1   )  1   ,   1,   
Α, Β, Γ οι γωνίες του τριγώνου και R η ακτίνα του
περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
(Ανισότητα Bernoulli)
Νόμος συνημιτόνων
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
   ω
0
3𝜋 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
π
2π
4
2
6
3
2  2  2   2  2
ημω
1
0
1
0
-1
√2 √3
2
2
2
 0
      2
2
2
2
2
2
2
1
συνω 1
0
-1
0
√3 √2
      2
2
2
2
Όπου α, β, γ οι πλευρές και Α, Β, Γ οι γωνίες του
εφω
0
0
√3 √3 1
τριγώνου.
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
3
χ, y ομόσημοι
χ+z>y+z
2
  
 

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
7. χ > y



 (      )( 
1. χ > y
χ-y>0
2. χ > y
y<χ
3. Για κάθε χ,y  R : χ > y ή χ = y ή χ < y
4. Αν χ > y και y > z, τότε χ > z
6. χy < 0



 

2

 1
2
 y    y
5. χy > 0



  
 y    y
2
(  ) 
(      )        3(   )(   )(   )

 , χ  0

 , χ < 0
y   y
Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
(   ) 

ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
2
2
1   
Τύποι αθροίσματος – διαφοράς γωνιών
συν(α - β) = συνασυνβ + ημαημβ
συν(α + β) = συνασυνβ – ημαημβ
ημ(α - β) = ημασυνβ - συναημβ
2
Αν Δ > 0, τότε       (   )(   ) ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ
1
2
  
 2
2
(   ) 
)
Αν Δ = 0. τότε        ( 
1  
2

*Οι παρονομαστές διάφοροι του μηδενός.
ΡΙΖΕΣ
𝜈
Αν α≥ 0, η √ 𝛼 παριστάνει τη μη αρνητική λύση

 2 
διπλή ρίζα) όπου το f(x) μηδενίζεται.
3. Aν Δ < 0, τότε το τριώνυμο f(x) είναι πάντα ομόσημο
του α (για κάθε   R )
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
(α + β )2 = α2 + 2αβ + β2
     
 

(α - β)2 = α2 - 2αβ + β2






(α + β )3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3



 (α - β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3




 

 

  α2 - β2 = ( α + β ) · ( α - β )






α3 + β3 =(α + β ) · (α2 - αβ + β2)
α3 - β3 =( α - β ) · ( α2 + αβ + β2)




(α + β + γ )2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα
 





3
3
3
3

21
2 
Αν Δ < 0, τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται στο R
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

 2 
1   
 2 
2
1   
ανάμεσα στις ρίζες  ,  γίνεται ετερόσημο του α και       1
1 2
Ορισμός: Για κάθε α ∈ ℝ και ν φυσικό με
ν ≥ 2, ορίζουμε ότι : α * α * α * … * α = α ν, όπου α
είναι η βάση και ν ο εκθέτης της δύναμης α. Αν ν = 1,

2
 2 
2
1   
2



1
xu1 
 dx   xudx [ u 1 ],uR {1}
 xu

 1
1 
  2 dx  [ ]
 


Υπενθυμίζουμε ότι: [g(x)]  g()  g(  )

2. ΜΑΡΙΑ
ΚΟΥΤΡΑ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ