1. ΓΗΖΜΔΡΗΓΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ Θέμα: Σετνικές Ολοκλήρωζης Διζηγηηής: Κσλ/λνο Λ. Κσλζηαληόπνπινο Σρνιηθόο Σύκβνπινο Μαζεκαηηθώλ Ηξάθιεην 7-8 Μαξηίνπ 2014 – ΠΔΚ

2. A. Ολοκλήρωζη ρηηής ζσνάρηηζης
Έζησ κία ξεηή ζπλάξηεζε ( )
( )
( )
A x
R x
B x
 . Δπεηδή ηα A(x),B(x) είλαη
πνιπώλπκα, ε R(x) είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε θάζε δηάζηεκα
εθηόο ηεο ξίδαο ηνπ παξαλνκαζηή. Άξα ζε απηό ην δηάζηεκα
είλαη νινθιεξώζηκε.
Η ξεηή ζπλάξηεζε ( )
( )
( )
A x
R x
B x
 , γξάθεηαη ζαλ άζξνηζκα ελόο
πνιπσλύκνπ (x) θαη κηαο ξεηήο ζπλάξηεζεο ( )
( )
x
B x
 , όπνπ
. ., δειαδή: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A x x
R x x
B x B x

    .

3. Κάζε ηώξα ξεηή ζπλάξηεζε ( )
( )
x
B x
 , όπνπ . ., γξάθεηαη
ζαλ άζξνηζκα ξεηώλ ζπλαξηήζεσλ ηεο κνξθήο:
   
, , , * 2 4 0
2
Bx
n m ό n m
x x x
   
   
  
   
  
,
πνπ νλνκάδνληαη απιά θιάζκαηα.
To B(x) αλαιύεηαη ζε γηλόκελν πξσηνβαζκίσλ θαη
δεπηεξνβαζκίσλ πνιπσλύκσλ κε κηγαδηθέο ξίδεο σο εμήο:
( ) ( ) 1...( ) .( 2 ) 1...( 2 )
1 1 1 1
n n m m
B x a x x k a x x a x x
k
      
  
       , όπνπ
2 , , , , , , , 4 0, , 0. j a R n m a n m
i j j j i j j j i j
          

4. Άξα ην ( )
( )
x
B x
 γξάθεηαη σο εμήο:
( ) 1 2 ... ... 1 2 ...
( ) 2
1 2 ( ) ( )
... 1 1 ... 1 1 ... 1 1 ... .
2 2 1 2 2 1 1 1 ( 1 1 1) ( )
A Tn x A A n T T k
B x nk x x x n x k x k x k
Cm x Dm Em x Zm C x D E x Z
m m
a x x a x x a x x a x x

     
 
              
         
     
   
       
       
Οπόηε θάζε ζπλάξηεζε ( )
( )
( )
A x
R x
B x
 γξάθεηαη σο εμήο:
2
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n m
A x A Bx
R x x
B x x   x  x 

      
  
.

5. Τα νινθιεξώκαηα:
    2
( ) , , n m
x
x dx dx dx
x   x  x 
   

  
   είλαη
ζηνηρεηώδεηο ζπλαξηήζεηο, νπόηε ην  R(x)dx είλαη ζηνηρεηώδεο
ζπλάξηεζε, πνπ βξίζθεηαη αλ γξάςνπκε απηή ηε ξεηή
ζπλάξηεζε ζαλ άζξνηζκα απιώλ θιαζκάησλ θαη
νινθιεξώζνπκε απηά.

6. ΜΔΘΟΓΟΗ ΤΠΟΛΟΓΗ΢ΜΟΤ ΣΩΝ ΢ΤΝΣΔΛΔ΢ΣΩΝ
 « Κλαζική μέθοδος»
Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα:
2 11
( 1)( 2)( 3)
x
dx
x x x

    .
Απάνηηζη Η ζπλάξηεζε
2 11
( )
( 1)( 2)( 3)
x
f x
x x x


  
γξάθεηαη σο εμήο:
 
2 11
1
( 1)( 2)( 3) 1 2 3
x
x x x x x x
   
  
     
θάλνληαο απαινηθή παξαλνκαζηώλ, έρνπκε

7.    
2 2 2 2
2 2
11 ( 5 6) ( 3) ( 2 3)
11 5 2 (6 3 3 )
x x x x x x x
x x x
             
                  
Η ηειεπηαία ηζόηεηα καο δίλεη: Α=1, Β=-5 θαη Γ=5.
Άξα
2 11 1 5 5
ln 1 5ln 2 5ln 3
( 1)( 2)( 3) 1 2 3
x
dx dx dx dx x x x c
x x x x x x
 
         
         

8.  (Άλλη ηετνική).Αλ έρνπκε ( )
( )
( )
h x
f x
g x
 θαη
1 2 1 2 ( ) ( )( g x  x  x  )...(x k )      ...  k , i R ηόηε
1 2
1 2
( )
( ) ...
( )
k
k
h x
f x
g x x  x  x 
  
    
  
θαζέλαο από ηνπο ζπληειεζηέο , 1,2,..., m  m  k ππνινγίδνληαη σο
εμήο: ( )
lim ( ) , 1,2,...,
m ( )
m m
x
h x
x m k
 g x


   
δειαδή ( )
, 1,2,...,
( )
m
m
m
h
m k
g


  


9. Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα:
2 11
( 1)( 2)( 3)
x
dx
x x x

    .
Απάνηηζη Η ζπλάξηεζε
2 11
( )
( 1)( 2)( 3)
x
f x
x x x


  
γξάθεηαη σο
εμήο:  
2 11
1
( 1)( 2)( 3) 1 2 3
x
x x x x x x
   
  
     
 
2
1
11 12
lim 1 1
x ( 1)( 2)( 3) 12
x
x
 x x x
  
      
    
 
2
2
11 15
lim 2 5
x ( 1)( 2)( 3) 3
x
x
 x x x
  
       
     
 
2
3
11 20
lim 3 5
x ( 1)( 2)( 3) 4
x
x
 x x x
  
      
    

10. ή αλ 2 h(x)  x 11 θαη g(x)   x  2 x  3   x 1x  3  x 1x  2
ηόηε έρνπκε ( ( )
, 1,2,...,
( )
m
m
m
h
m k
g


  

):
2 (1) 1 11 12
1
(1) 3.4 12
h
g

    

 2
( 2) 2 11 15
5
( 2) 3 1 3
h
g
  
     
    
 
 
2
( 3) 3 11 20
5
( 3) 4 1 4
h
g
  
    
    
Άξα
2 11 1 5 5
ln 1 5ln 2 5ln 3
( 1)( 2)( 3) 1 2 3
x
dx dx dx dx x x x c
x x x x x x
 
         
         

11.  Αλ έρνπκε ( )
( )
( )
h x
f x
g x
 θαη
1 2 1 2 ( ) ( ) ( )...( ) ... , p
g x  x  x  x k       k i R ηόηε
11 12 1 2
1
1 1 1 2
( )
( ) ... ...
( ) ( ) ( )
p k
p p
k
h x
f x
g x x  x  x  x  x  
    
       
    
Οη ζπληειεζηέο ππνινγίδνληαη σο εμήο:
 
 
1
11 1
1 2
( )
( )...( )
p
p
k x
h x
x
x x x


  

 
    
    
 
1
12 1 ( )
p
x
d
x f x
dx 


    
  ………….
………………  
1
1
1 1 1
1
[ ( )]
( 1)!
p
p
p p
x
d
x f x
p dx 




 
    
  

12. Παράδειγμα: Nα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα:
4 3 2
2 3
3 2 17 109
( 3) ( 2)
x x x x
dx
x x
   
   .
Απάνηηζη H ζπλάξηεζε γξάθεηαη:
4 3 2
2 3 2 2 3
3 2 17 109
, (1)
( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)
x x x x
x x x x x x x
        
    
      
 Πνιιαπιαζηάδνληαο θαη ηα δύν κέιε κε (x  3)2 θαη
ζέηνληαο x=-3, έρνπκε:
4 3 2
2
3 3
3 3
3 2 17 109
( 3) ( 3) ............(2)
( 2) 2 x
x x
x x x x
x x
x x 
 
    
      
 
243 54 153 3 109
2
125
   
      

.

13.  Γηα λα βξνύκε ην Α παξαγσγίδνπκε κία θνξά ηελ (2)
θαη ζέηνπκε x=-3, δειαδή:
    
 
4 3 2
3
3
3 2 4 3 2
4
3
3 2 17 109
( 2)
12 6 34 1 2 3 3 2 17 109
2
275 ( 5) 3 250
1
625
x
x
d x x x x
dx x
x x x x x x x x
x


     
   
  
        
   

    
     
 Τν Δ βξίζθεηαη όπσο ην Β, δειαδή:
 
4 3 2
2
2
3 2 17 109
3
3
x
x x x x
x

   
    

.

14.  Όκνηα:
4 3 2
2
2
3 2 17 109
....... 1.
( 3) x
d x x x x
dx x 
     
       
  

2 4 3 2 4 3 2
2 3
2 2
3 2 17 109 6 34 18 103 215
4
( 3) ( 3) x x
d x x x x d x x x x
dx x dx x  
           
        
     
Άξα
4 3 2
2 3 2 2 3
3 2 17 109 1 2 4 1 3
( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)
x x x x
x x x x x x x
   
    
      
Οπόηε:
4 3 2
2 3 2 2 3
1 1 2
3 2 17 109 1 2 4 1 3
( 3) ( 2) 3 ( 3) 2 ( 2) ( 2)
3
ln 3 2( 3) 4ln 2 ( 2) ( 2)
2
x x x x
dx dx dx dx dx dx
x x x x x x x
x x x x x c   
   
     
      
          
     

15.  « Ανηικαηάζηαζη»
Παράδειγμα 1:
2
4
1
( )
( 2)
x
f x
x



Απάνηηζη: Έρνπκε
2
1 2 3 4
4 2 3 4
1
(1)
( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)
x
x x x x x
    
   
    
Θέηνπκε x  2  x   2, νπόηε ε (1) γίλεηαη:
 2
1 2 3 4
4 2 3 4
2 1
(2)

    
     
   
Αιιά  2 2 2
4 4 4 2 3 4
2 1 4 4 1 4 3 1 4 3
(3)
    
     
       
    

16. Από (2) θαη (3) έρνπκε: 1 2 3 4   0,  1,   4,   3 Οπόηε:
2
4 2 3 4
1 1 4 3
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
x
x x x x
 
  
   
Παράδειγμα 2:
    3 2
5
1 1
x
dx
x x

  
Απάνηηζη:
       
1 2 3
3 2 2 3 2
5
(1)
1 1 1 1 1 1
x x
x x x x x x
      
   
     
Θέηνπκε x 1 x  1, νπόηε ε (1) γίλεηαη:

17.  
   
1 2 3
3 2 2 3 2
2 3
2 1 2 3 2
6 ( )
2 2 2 2
6 ( )
2
2 2 2 2
 
       
 
  
   
       
    
   
     
        
   
Παξαηεξνύκε όηη ην 2
1 2 3       είλαη ην δεπηεξνβάζκην
πειίθν ηεο δηαίξεζεο ηνπ 6  δηα ηνπ 2 2  2  δηαηεηαγκέλα
θαηά ηηο αληνύζεο δπλάκεηο ηνπ σ .
Η δηαίξεζε καο δίλεη:
2 3
2 2
1
6 5 2 3
2 2 2 2 2


  
   

  
      
     
(3)

18. Έρνληαο ππ΄ όςηλ θαη ηελ (2):
  2 3
2 1 2 3 2
6 ( )
2 2 2 2
 
  
   
     
       
   
, έρνπκε:
1 2 3
5 1
1, , 3, 1,
2 2
             
Οπόηε:
        3 2 2 3 2
5 3
5 1 2 3 2
1 1 1 1 1 1
x x
x x x x x x
   
   
     
Άξα         3 2 2 3 2
2
2
5 3
5 1 2 3 2
1 1 1 1 1 1
5 3
2 2 1 3 ln 1 ln(1 )
1 ( 1) 2 2
x x
dx dx dx dx dx
x x x x x x
x x x c
x x

   
    
     

       
 
    

19. Β. ΜΟΡΦΔ΢ ΟΛΟΚΛΖΡΩΜΑΣΩΝ ΤΠΟΛΟΓΗΕΟΜΔΝΑ
ΜΔ ΠΑΡΑΓΟΝΣΗΚΖ ΟΛΟΚΛΖΡΩ΢Ζ
Η. ( ) ax  x  e dx
ΗΗ. ( ) , ( ) x x x e dx x e dx          
ΗΗΗ. (x) ( x  )dx, (x)  ( x  )dx , (x) ώ
IV. ( ) ( ) , ( ) ( ) ax ax  x   x  e dx  x   x   e dx
V.  R(x)  ln (x)dx, R(x), (x)   ή ά
VI.  R(x)  xdx θαη VII.  R(x)  (x)dx

20. ΤΠΟΛΟΓΗ΢ΜΟ΢ ΣΩΝ ΑΝΩΣΔΡΩ ΟΛΟΚΛΖΡΩΜΑΣΩΝ
I. 1η Περίπηωζη.    
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ax ax ax ax x e dx x e dx x e x e dx
a a a
        
Τν (x) είλαη πνιπώλπκν κε βαζκό θαηά κία κνλάδα
κηθξόηεξν ηνπ βαζκνύ ηνπ (x) .
Με δηαδνρηθέο νινθιεξώζεηο θαηά παξάγνληεο ζα έρνπκε:

21.  
2 2
2 2
2 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
..... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...
1 1 1
( ( ) ( ) ... ) ( )
ax ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax ax ax ax
ax ax
x e dx x e dx x e x e dx
a a a
x e x e x e dx
a a a
x e x e e dx x e x e e
a a a a a
e x x x e
a a a
          
      
             
        
  


Άξα 1 ( ) ( ) ax ax  x  e dx  x  e , όπνπ 1 (x) πνιπώλπκν ίζνπ βαζκνύ
κε ην (x) . Οη ζπληειεζηέο ηνπ 1 (x) ππνινγίδνληαη κε
παξαγώγηζε ησλ 2 κειώλ, εμηζώλνληαο ηνπο ζπληειεζηέο
ησλ ίζσλ δπλάκεσλ ηνπ x θαη ιύλνληαο ην ζρεκαηηδόκελν
ζύζηεκα.

22. Παράδειγμα 1:     3 3 2 1 x x  x  e dx  ax  e θαη παξαγσγίδνληαο
     
   
3 3 3
3 3
2 1 ( )
2 1 3 3
2
3 2 3
3 1 1
9
x x x
x x
x e ax e ax e
x e ax a e
a a
a
 

 
        
     
    
 
    
Άξα  3 3 2 1
2 1
3 9
x x x e dx x e c
 
       
  

23. Παράδειγμα 2:   2 5 2 5 (5 8 13)x x  x  x  e dx  ax  x  e
θαη παξαγσγίδνληαο:
   
   
2 5 5 2 5
2 5 2 5
(5 8 13) 2 5
... (5 8 13) 5 2 5
5 5 1
2 5 8 2
5 13 3
x x x
x x
x x e ax e ax x e
x x e ax a x e
a a
a
  
  
 
  
       
           
   
 
      
      
Άξα   2 5 2 5 (5 8 13) 2 3 x x  x  x  e dx  x  x  e  c

24.  ΢τημαηική μέθοδος
Μία ζρεκαηηθή κέζνδνο γηα ηελ νινθιήξσζε θαηά
παξάγνληεο ηνπ γηλνκέλνπ 2 ζπλαξηήζεσλ ηνπ x ζα
παξνπζηάζνπκε ζηα επόκελα παξαδείγκαηα.
Παράδειγμα 1: To γηλόκελν δύλακεο ηνπ x κε κία
ηξηγσλνκεηξηθή ζπλάξηεζε ηνπ x κπνξεί λα ππνινγηζηεί
αθξηβώο.
5
1    x  xdx
Έζησ 5 f (x)  x  g(x)  x.
Γξάθνπκε ηηο παξαγώγνπο ηεο f σο πξνο x ζε κία
ζηήιε θαη ηα νινθιεξώκαηα ηεο g σο πξνο x ζε

25. δεύηεξε ζηήιε, ζπλερίδνληαο κέρξη ηελ γξακκή όπνπ ε
(n) f γίλεηαη 0.
x5 ζπλx
5x4 εκx
20x3 -ζπλx
60x2 -εκx
120x ζπλx
120 εκx
0 -ζπλx Οπόηε:
I1=x5εκx+5x4ζπλx-20x3εκx-60x2ζπλx+120xεκx+120ζπλx+c
+
-
+
-
+
-

26. Παράδειγμα 2: Τν γηλόκελν κηαο εθζεηηθήο ζπλάξηεζεο κε
κία ηξηγσλνκεηξηθή
2
ax   e bxdx
Έζησ ( ) ax f x  e θαη g(x) bx. Γνπιεύνπκε όπσο ζην
παξάδεηγκα 1, αιιά ζπλερίδνπκε σο ηε γξακκή όπνπ ην
γηλόκελν (n)
n f  g είλαη ζηαζεξό πνιιαπιάζην ηνπ δνζέληνο.
eαx εκbx
αeαx 1
bx
b
 
α2eαx 2
1
bx
b
 
+
-
+

27. 2
2 2 2
1 ax ax ax ax a
e bxdx e bx e bx
b b
a
e bxdx
b
            
 
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1
1
ax ax ax
ax
ax
a a
e bxdx e bx e bx
b b b
a a e b bx a bx
e bx bx c
b b b a b
  
 
 
       
   
         
  

Παράδειγμα 3: 3 2 x    xe  xdx
xex εκ2x
(x+1)ex 1
2
2
  x
(x+2)ex 1
2
4
  x
+
-
+

28. 3
1 1 1
2 ( 1) 2 ( 2) 2
2 4 4
x x x    xe  x  e x   x   x  e  xdx
3
1 1 1 1
2 ( 1) 2 2 2
2 4 4 2
x x x x    xe  x  e x   x   xe  xdx  e  xdx
I3
3 3
1 1 1 1
2 ( 1) 2 2
4 2 4 2
x x x      xe  x  e x   x  e  xdx
3
2 1 2
2 ( 1) 2 2 (1)
5 5 5
x x x    xe  x  e x   x  e  xdx
I
Έζησ 2 x    e xdx

29. ex εκ2x
ex 1
2
2
  x
ex 1
2
4
  x
1 1 1
2 2 2 2
2 4 4
x x x x    e  xdx   e  x  e  x  e  xdx
1 1 1
2 2
2 4 4
x x    e  x  e  x   2 1
2 2
5 5
x x    e  x  e  x (2)
(1) (2)
 3
2 1 4 2
2 ( 1) 2 2 2
5 5 25 25
x x x x    xe  x  e x   x  e  x  e  x
  3 3 5 2 (4 10 ) 2
25
x e
    x  x   x  x  c
+
-
+

30. Βιβλιογραθία: [1] J.B.Reynolds, Undetermined coefficients in integration, American Mathematical Monthly, vol. 54 (1947), pp. 37-38. [2] K.W.Folley, Integration by parts, American Mathematical Monthly, vol. 54 (1947), pp. 542-543. [3] M.R.Spiegel, Partial fractions with repeated linear or quadratic factors, American Mathematical Monthly, vol. 57 (1950), pp. 180-181.
[4] Γ. ΢ηραηηγόποσλος, Ανώηερα Μαθημαηικά, Κλαζζική Ανάλσζη, Εκδόζεις Πανεπιζηημίοσ Παηρών, Πάηξα 1989.

31. ΢Α΢ ΔΤΥΑΡΗ΢ΣΩ ΠΟΛΤ