Επιμέλεια ασκήσεων: Ιωάννης Σαράφης για το περιοδικό Ευκλείδη (τεύχος: 111). Αναρτώνται στο lisari.blogspot.com

1. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β
ΤΕΥΧΟΣ 111
Αζθήζεηο ζρνιηθνύ βηβιίνπ πεγή επαλαιεπηηθώλ ζεκάηωλ
Γηάλλεο Σαξάθεο
Ειιελνγαιιηθή Σρνιή Καιακαξί Θεζζαινλίθεο
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ
Τν ζρνιηθό βηβιίν πεξηέρεη αζθήζεηο νη νπνίεο αλ εκπινπηηζηνύλ θαη κε άιια εξσηήκαηα απνηεινύλ ζεκαληηθό
εξγαιείν γηα ηελ επαλάιεςε . Οη αζθήζεηο πνπ αθνινπζνύλ έρνπλ σο ζηόρν λα βνεζήζνπλ ηνπο καζεηέο λα
επεμεξγαζηνύλ ζέκαηα πνπ ζπλδπάδνπλ ηκήκαηα ηεο ύιεο αιιά λα απνηειέζνπλ θαη γηα ηνπο ζπλαδέιθνπο
πιηθό γηα επαλάιεςε ζηελ ηάμε.
Άζθεζε 1ε
Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν  
1
, x<0
f x 1 x
εκx 1 , x 0


 
  
i) Να απνδείμεηε όηη νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν Α(0,1).
ii) Να βξείηε ην κέηξν ηεο γωλίαο πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε κε ηνλ άμνλα x΄x.
iii) Να βξείηε ηελ εμηζώζε ηεο αζύκπηωηεο όηαλ x   .
iv) Να βξείηε ηηο πηζαλέο ζέζεηο ηωλ αθξνηάηωλ ηεο ζπλάξηεζεο f ζην δηάζηεκα
[-1,π].
v) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηνλ άμνλα
x΄x θαη ηηο επζείεο x=-2,
π
x
2
 .
vi) Να ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f.
Λύζε
i) Γηα λα νξίδεηαη εθαπηνκέλε ζην ζεκείν Α ζα πξέπεη ε f λα είλαη παξαγσγίζηκε ζην x=0(ε θαηαθόξπθε
εθαπηνκέλε είλαη εθηόο ύιεο). Οπόηε γηα x 0 έρνπκε:
   
 
1
1f x f 0 1 1 x 11 x
x 0 x x 1 x 1 x
    
  
   
x 0 x 0
f x f 0 1
lim lim 1
x 0 1 x 
 

 
 
Γηα x 0 έρνπκε :
   f x f 0 x 1 1 x
x 0 x x
    
 

, νπόηε
   
x 0 x 0
f x f 0 x
lim lim 1
x 0 x 
 
 
 

Επνκέλσο  f 0 1  νπόηε νξίδεηαη εθαπηνκέλε ζην Α.
ii) Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν Α είλαη  f 0 1   , νπόηε 1  . Άξα
4

 
iii) Θα ειέγμνπκε αλ ππάξρεη νξηδόληηα ή πιάγηα αζύκπησηε.
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 12

2.  x x
1
lim f x lim 0
1 x 
 

, νπόηε ε επζεία y 0 δει. ν άμνλαο x΄x είλαη νξηδόληηα αζύκπησηε γηα x   .
iv) Οη πηζαλέο ζέζεηο αθξνηάησλ πξνθύπηνπλ από ηα θξίζηκα ζεκεία θαη ηα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ αλ είλαη
θιεηζηό δηάζηεκα.
Γηα x 0
 
 
2
1
f x
1 x
 

Γηα x 0
 f x x  
 f x 0 x 0 x
2

         , νπόηε x
2

 .
Άξα πηζαλέο ζέζεηο αθξνηάησλ έρνπκε γηα x=-1, x
2

 , x=π.
v) Τν εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ είλαη :
       
0
2 2
2 2 0
| f x |dx | f x |dx | f x |dx
 
 
           
0
2
2 0
f x dx f x dx


    
0
2
2 0
1
dx x 1 dx
1 x


   
 
 
 
0
2
02
1 x
dx x x
1 x



    
  
0
2
ln |1 x | 1 ln1 ln3 1
2 2
 
         
ln3 1
2

  .η.κ.
vi) Γηα x 0
Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f πξνθύπηεη από ηελ νξηδόληηα κεηαηόπηζε ηεο ππεξβνιήο
1
x
 θαηά 1 πξνο ηα δεμηά.
Γηα x 0
Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f πξνθύπηεη από ηελ θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε ηνπ εκx θαηά 1 πξνο ηα πάλσ.
Άζθεζε 2ε
Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν   3
f x x .
i) Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζηα νπνία νη εθαπηόκελεο είλαη
κεηαμύ ηνπο παξάιιειεο.
Έζηω ζεκείν  3
,   , 0  ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην νπνίν θέξνπκε εθαπηόκελε επζεία.
ii) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηόκελε ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ζε άιιν ζεκείν Ν εθηόο ηνπ
Μ.
iii) Να απνδείμεηε όηη ε θιίζε ζην ζεκέην Ν ηεο fC είλαη ηεηξαπιάζηα από ηελ θιίζε ζην ζεκείν Μ.
iv) Η εθαπηνκέλε ζην ζεκείν Μ ηέκλεη ηνλ άμνλα x΄x ζην ζεκείν Δ. Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο
ηνπ ζεκείνπ Μ δίλεηαη από ηνλ ηύπν    t t   . Να βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ
ζεκείνπ Δ ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ην ζεκείν Μ έρεη ηεηκεκέλε -3.
v) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηελ
εθαπηνκέλε ζην ζεκείν Μ θαη ηνλ άμνλα x΄x.
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 12

3. Λύζε
i) Έζησ όηη ππάξρνπλ δύν ηνπιάρηζηνλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f , ηα
   3 3
1 1 1 2 2 2x ,x , x ,x  ζηα νπνία νη εθαπηόκελεο είλαη παξάιιειεο. Τόηε ζα ηζρύεη:
    2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2
f x f x 3x 3x x x
x x x xx x
       
   
     
νπόηε 1 2x x 0   .
Άξα ζηα ζεκεία    3 3
1 1 1 2 1 1x ,x , x , x    κε 1x 0 νη εθαπηνκέλεο είλαη παξάιιειεο.
ii) Έρνπκε   2
f x 3x  , νπόηε   2
f 3    .
Η εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην ζεκείν Μ είλαη  3 2
y 3 x     2 3
y 3 x 2   
Γηα λα βξνύκε ην άιιν θνηλό ζεκείν εθηόο από ην ζεκείν επαθήο, ιύλνπκε ην ζύζηεκα:
3 3
2 3 3 2 3
y x y x
y 3 x 2 x 3 x 2 0
   
  
              
3
2 2 2
y x
x x 2 x x 0
 

      
  
3 3
2 2
y x y x
x x x 2 0 x ή x 2
   
 
           
3 3
y y
ή
x x 2
    
 
     
Άξα ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν Μ έρεη θαη άιιν θνηλό ζεκείν κε ηελ fC ην ζεκείν  3
2 , 8     .
iii) Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη    f 2 4f    
     
2 2 2
f 2 3 2 12 4 3 4f            
iv) Η ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ Δ ζα πξνθύςεη από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο:
 22 3
y 0y 0
3x 2 03 x 2 0
  
 
        
κε 0  , νπόηε
2
x
3
  .Άξα
2
,0
3
 
  
 
.
Η ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ Δ σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ είλαη    
2
x t t
3
  νπόηε      
2 2
x t t t
3 3
      .
Έζησ 0t ε ρξνληθή ζηηγκή όπνπ ην ζεκείν Μ έρεη ηεηκεκέλε -3 δει.  0t 3  
Γηα 0t t      0 0
2 2
x t t 3 2
3 3
       
v) Έζησ α<0
Από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ηνλ άμνλα x΄x ζα
αθαηξέζνπκε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΖΔ.
 
04 4
0 0
3 x
| f x | dx x dx
4 4 

  
       
 
  η.κ.
  3 31 2 1 1
| | | | | | | |
2 3 2 3
             
4
6

η.κ.
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 12

4.    
4 4
41
4 6 12
 
          η.κ.
Έζησ α>0
 
4 4
3
0 0
0
x
| f x | dx x dx
4 4

    
     
 
  η.κ.
  3 31 2 1 1
| | | | | | | |
2 3 2 3
             
4
6

η.κ.
   
4 4
41
4 6 12
 
          η.κ.
Άζθεζε 3ε
Έζηω ε ζπλάξηεζε f :   , κε  f 0 1 ώζηε λα ηζρύεη      
2x y
| e f y e f x | x y   , γηα θάζε
x,y .
i) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε     x
g x f x e
 είλαη ζηαζεξή ζην  .
ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f.
Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε   2
h x x 1  , x .
iii) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε    h x f x έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην  .
iv) Να βξείηε,αλ ππάξρνπλ, ηηο αζύκπηωηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο
  2 x
x x 1 e   
v) Να απνδείμεηε όηη  
1
1
1 1
2 e x dx 2
2 e
     γηα θάζε  x 1,1  .
Λύζε
i) Έρνπκε        x x
g x f x e f x g x e
   , νπόηε      
2x y y x
| e g y e e g x e | x y   
     
2x y x y
| e g y e g x | x y 
          
2x y
| e g x g y | x y
   .
Θέηνπκε όπνπ y ην 0x , νπόηε
      
0
0
|x x | 0
2x x
0 0| e g x g x | x x
 

   
      0
2x x
0 0
0 0
| e g x g x | x x
| x x | | x x |

 
 
 
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 12

5.    0
2
0x x 0
0 0
g x g x | x x |
e
x x | x x |
  
 
 
   0 0x x
0
0
g x g x
e | x x |
x x
 
  

   0 0x x
0 0
0
g x g x
| x x | e | x x |
x x
 
     

   
0 0
00 0
x x x x
0
g x g x| x x | | x x |
x xe e 
 
   
 0
0
0
x xx x
| x x |
lim 0
e 

  θαη
0
0
0
x xx x
| x x |
lim 0
e 


Από ην θξηηήξην παξεκβνιήο έρνπκε
   
 0
0
0
x x
0
g x g x
lim 0 g x 0
x x

  

, γηα θάζε 0x .
Είλαη  g x 0  , άξα  g x c , δειαδή ε g είλαη ζηαζεξή ζην  .
ii) Έρνπκε     x
g x c f x e c
  
γηα x=0  f 0 c c 1   .
Άξα  g x 1 , x  .
     x x
g x 1 f x e 1 f x e
     γηα θάζε x
iii) Η εμίζσζε γξάθεηαη    h x f x 0  .
Έζησ       2 x
x h x f x x 1 e      .
Θα απνδείμνπκε όηη ε εμίζσζε  x 0  έρεη ην πνιύ κηα ιύζε βξίζθνληαο ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο θ.
  x
2
x
x e
x 1
  

, x.
Αλ x<0 , ηόηε
2
x
0
x 1


θαη x
e 0  , νπόηε  x 0  δειαδή ε θ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  ,0 .
Αλ x>0 έρνπκε:
2 2 2 2
x +1>x x +1 x  
2
2
x
x +1 x 1
x +1
     x x x
2
x
e 1 e x 1 e
x +1
       (1)
Έρνπκε x 0 x
x>0 e e 1 e 0     .
Από ηε ζρέζε (1) πξνθύπηεη  x 0  άξα ε θ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  0, .
Επεηδή ε θ είλαη ζπλερήο ζην x=0 ε θ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  .
Άξα ε εμίζσζε  x 0  έρεη ην πνιύ κηα ιύζε ζην  .
Πξνθαλήο ιύζε είλαη ε ηηκή x=0,   0
0 0 1 e 0     .
Άξα ε εμίζσζε  x 0  έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ x=0.
iv) Καηαθόξπθεο αζύκπησηεο δελ ππάξρνπλ δηόηη ε θ είλαη ζπλερήο ζην  .
Ειέγρνπκε αλ ππάξρεη πιάγηα αζύκπησηε γηα x  . Η εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο y=ιx+β.
  2 x
x x
x x 1 e
lim lim
x x x 
  
  
 
 
(1)
Γηα x θνληά ζην 
2 x 02
2
1
| x | 1
x 1 1x 1
x x x



   
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 12

6. 2
2x x
x 1 1
lim lim 1 1
x x 

    
x
x
x x
e 1
lim lim e 0
x x 
 
Άξα
 
x
x
lim 1
x

  , νπόηε ι=-1
    2 x
x x
lim x x lim x 1 e x
 
      (2)
Γηα x θνληά ζην 
  2 2
2
2
x 1 x x 1 x
x 1 x
x 1 x
   
   
 
2 2
2 2
x 1 x 1
x 1 x x 1 x
 

   
2x
1
lim 0
x 1 x

 
x
x
lim e 0


Από ηε ζρέζε (2) έρνπκε :
  x
lim x x 0

  
Η πιάγηα αζύκπησηε γηα x   είλαη y x 
Ειέγρνπκε αλ ππάξρεη πιάγηα αζύκπησηε γηα x  . Η εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο y=ιx+β.
  2 x
x x
x x 1 e
lim lim
x x x 
  
  
 
 
Γηα x θνληά ζην 
2 x 02
2
1
| x | 1
x 1 1x 1
x x x



  
2
2x x
x 1 1
lim lim 1 1
x x 

  
 
 
xx
x
x x x
ee
lim lim lim e
x x
  

   

Άξα
 
x
x
lim
x

  , νπόηε δελ ππάξρεη πιάγηα αζύκπησηε γηα x  .
Ειέγρνπκε αλ ππάξρεη νξηδόληηα αζύκπησηε γηα
x  . Η εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο y=ι.
   2 x
x x
lim x lim x 1 e
 
    (3)
Γηα x θνληά ζην 
2
2 x x
x
x 1
x 1 e e 1
e
 
    
 
 
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 12

7.  
 
2
2
xx x x
x 1x 1
lim lim
e e
 
 
 
 


 

2
x x 2x x
x
xx 1lim lim
e e x 1 
  

x 0
x 2x x
x
2
x x
lim lim
1e x 1 xe 1
x

 
 
 
x
x
2
1
lim 0
1
e 1
x



Έρνπκε
x
x
lim e

 
Από ηε ζρέζε (3) έρνπκε:
   2 x
x x
lim x lim x 1 e
 
      ,
Οπόηε δελ ππάξρεη θαη νξηδόληηα αζύκπησηε γηα x  .
v) Απνδείμακε όηη ε θ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  , άξα είλαη θαη ζην δηάζηεκα [-1,1].
Έρνπκε      1 x 1 1 x 1

         . Η ζπλάξηεζε θ είλαη ζπλερήο ζην  , νπόηε θαη ζην [-1,1].
     
1 1 1
1 1 1
1 dx x dx 1 dx
  
              
1 1 1
1 1 1
1 dx x dx 1 dx
  
        
      
11 1
1 11
1
2 e x x dx 2 x
e 
 
      
 
    
1
1
1
2 2 e x dx 2 2
e
 
      
 

 
1
1
1 1
2 e x dx 2
2 e
    
Άζθεζε 4ε
Δίλεηαη ζπλάξηεζε f κε ηύπν   3 2
f x 2x x 6x 5     .
i). Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ α γηα ηηο νπνίεο ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην  .
Γηα α=-1
ii) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 4 3 2
2x 3x 7x x 5 0     έρεη αθξηβώο κηα ξίδα ζην (-1,1).
iii) Να κειεηήζεηε ηελ θπξηόηεηα ηεο f θαη λα βξείηε ην ζεκείν θακπήο.
iv) Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ β ώζηε ε επζεία y=10x+β λα εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .
v) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηνλ άμνλα
x΄x θαη ηηο επζείεο x=-1,x=1 ζπλαξηήζεη ηεο ηηκήο ηνπ εξωηήκαηνο (βi).
Λύζε
i) Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην  σο πνιπσλπκηθή.
   2 2
f x 6x 2 x 6 2 3x x 3         γηα θάζε x.
Η f είλαη δεπηεξνβάζκην ηξηώλπκν κε 2
36   
•Αλ Δ>0 δει. 2
36 0 6 ή >6        , ε f έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο θαη άξα αιιάδεη
πξόζεκν ζην  . Επνκέλσο ε f δελ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  .
•Αλ Δ=0 δει. 2
36 0 6 ή 6         γηα α=-6 ε f έρεη δηπιή ξίδα ηελ ηηκή 1.
Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο γηα x=1 θαη ηζρύεη  f x 0  γηα θάζε x 1 , ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα γηα θάζε
x
γηα α=6 ε f έρεη δηπιή ξίδα ηελ ηηκή -1.
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 12

8. Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο γηα x=-1 θαη ηζρύεη  f x 0  γηα θάζε x 1  , ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα γηα θάζε
x.
•Αλ Δ<0 δει. 2
36 0 6 6        , ε f δελ έρεη ξίδεο ζην  θαη επεηδή ν ζπληειεζηήο ηνπ
κεγηζηνβάζκηνπ όξνπ είλαη ζεηηθόο ζα ηζρύεη  f x 0  γηα θάζε x. Επνκέλσο γηα 6 6    ε f είλαη
γλεζίσο αύμνπζα ζην  .
Άξα ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  όηαλ  6,6  .
ii) Έζησ   4 3 2
g x 2x 3x 7x x 5    
Από ην ζρήκα Horner έρνπκε
2 -3 7 -1 -5 1
2 -1 6 5
2 -1 6 5 0
νπόηε     3 2
g x x 1 2x x 6x 5     .
Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη ε εμίζσζε 3 2
2x x 6x 5 0    έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην (-1,1).
Η εμίζσζε είλαη  f x 0 γηα α=-1. Από ην εξώηεκα i) ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα νπόηε ε εμίζσζε  f x 0
έρεη ην πνιύ κηα ιύζε ζην δηάζηεκα (-1,1).
Η f σο πνιπσλπκηθή ζην [-1,1] είλαη ζπλερήο θαη  f 1 4   ,  f 1 12 νπόηε    f 1 f 1 48    .
Από ην ζ. Bolzano ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ  0x 1,1  ηέηνην ώζηε  0f x 0 .
Άξα ε εμίζσζε εμίζσζε  f x 0 έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην δηάζηεκα (-1,1).
iii) Έρνπκε  f x 12x 2  
 
1
f x 0 12x 2 0 x
6
      
x –  1/6 +
f - 0 +
f Σ.Κ.
Η f είλαη θνίιε ζην
1
,
6
 
  
, θαη θπξηή ζην
1
,
6
 
 
.
Παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο ην
1 1
,f
6 6
  
  
  
.
iv) Έζησ όηη ε επζεία εθάπηεηαη ζηε fC  ζην ζεκείν   0 0x ,f x , ηόηε ζα ηζρύεη  0f x 10  δει.
0 012x 2 10 x 1    νπόηε  1,10 . Τν ζεκείν Δ ζα επαιεζεύεη ηελ επζεία , άξα 10 10 0    
v) Σην δηάζηεκα (-1,1) ε ζπλάξηεζε f κεδελίδεηαη ζηελ ηηκή 0x ηελ νπνία βξήθακε ζην εξώηεκα (ii).
Οπόηε γηα    
f
0 01 x x f x f x

     άξα  f x 0
Οπόηε γηα    
f
0 0x x 1 f x f x

    άξα  f x 0
Τν εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηνλ άμνλα x΄x θαη ηηο επζείεο
x=-1,x=1 δίλεηαη από ηνλ ηύπν    
1
1
| f x | dx

   
     
0
0
x 1
1 x
f x dx f x dx

      
0x
4 3 2
1
1 1
x x 3x 5x
2 3 
 
       0
1
4 3 2
x
1 1
x x 3x 5x
2 3
 
     
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 12

9. 4 3 2
0 0 0 0
2 19
x x 6x 10x η.κ.
3 3
    
Άζθεζε 5ε
Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f,g κε   2
g x 1 x  .
i) Να βξείηε όιεο ηηο ζπλερείο ζπλαξηήζεηο f : ,
2 2
  
  
 
 πνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε
  g f x | x |  γηα θάζε x ,
2 2
  
  
 
θαη λα αηηηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο.
ii) Αλ  f x x , x 0   .Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε
   f x f x
x x
     
 
 
κε α>0 έρεη
ηνπιάρηζηνλ κηα ιύζε ζην  0, .
iii) Αλ ηζρύεη   g f x | x |  γηα θάζε x,λα ππνινγίζεηε ην
  
x
g f x x
lim
x 2

 

iv) α)Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο απόζηαζεο d(x) ηνπ ζεκείν   x,g x από ηελ
εμίζωζε ηεο επζείαο x+y+2=0 γηα θάζε  x 1,1  .
β) Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα,ηνπιάρηζηνλ, ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο g πνπ απέρεη
ιηγόηεξν από όηη απέρνπλ ηα ππόινηπα ζεκεία από ηελ επζεία θαη έλα,ηνπιάρηζηνλ ζεκείν ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο g πνπ απέρεη πεξηζζόηεξν από όηη απέρνπλ ηα ππόινηπα ζεκεία από ηελ επζεία
v) Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα.
vi) Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξωκα
 
6
0
1
dx
f x

 , όπνπ  f x x  .
Λύζε
i) Από ηε ζρέζε   g f x | x |  έρνπκε   g f x | x |  νπόηε
   2 2 2
1 f x | x | 1 f x x          2 2 2 2
f x 1 x f x x      
 | f x | | x | 
Έζησ    2
f x 0 f x 0    2
x 0 x 0 x 0       .
Η f είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα ,0
2
 
  
θαη  f x 0 ζην ,0
2
 
 
 
άξα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην
,0
2
 
 
 
. Από ηε ζρέζε    | f x | | x | | f x | x     νπόηε:
αλ  f x 0 ηόηε    f x x f x x     
αλ  f x 0 ηόηε  f x x 
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 12

10. Η f είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα 0,
2
 
 
θαη  f x 0 ζην 0,
2
 
 
 
άξα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην 0,
2
 
 
 
.
Από ηε ζρέζε    | f x | | x | | f x | x     νπόηε:
αλ  f x 0 ηόηε    f x x f x x     
αλ  f x 0 ηόηε  f x x 
Άξα ν ηύπνο ηεο f ζην δηάζηεκα ,
2 2
  
 
 
είλαη:
 
x - x 0
2f x
x 0<x<
2

  
 


ή
 f x x  , x ,
2 2
  
  
 
ή
 
x - x 0
2f x
x 0<x<
2

  
 


ή
 f x x  , x ,
2 2
  
  
 
ή
ii) Η εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη        x f x x f x 0          ή
    x x x x 0            .
Έζησ       h x x x x x            ,  x 0,  .
Η h ζπλερήο ζην [0,π] σο πξάμε ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ.
   h 0 0      δηόηη | |   κε α>0 νπόηε     , άξα 0 
 h 0    , νπόηε    h 0 h 0  
Από ην ζ. Bolzano ε εμίζσζε h(x)=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ιύζε ζην (0,π) νπόηε ηζνδύλακα θαη ε εμίζσζε
   f x f x
x x
     
 
 
.
iii) Γηα x θνληά ζην 
  g f x x | x | x
x 2 x 2
  
 
   

| x |
1
x
x 2
x x




•
x | x | 1
x | x | x
 
  δηόηη x   νπόηε
1 x 1
x x x

  
x x
1 1
lim lim 0
x x 
 
   
 
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 12

11. από ην θξηηήξην παξεκβνιήο πξνθύπηεη όηη
x
x
lim 0
x

 .
Άξα
x
| x |
lim 0
x


•
x
2
lim 0
x

•
x 0 1 x 1
1 x 1
x x x
 
        νπόηε
x x
1 1
lim lim 0
x x 
 
   
 
από ην θξηηήξην παξεκβνιήο πξνθύπηεη όηη
x
x
lim 0
x

 .
Οπόηε :
x
| x |
lim 1 1
x
 
   
 
x
| x |
lim 1 1
x
 
   
 
x
x 2
lim 0
x x
 
  
 
Επεηδή
x 2
0
x x

  θνληά ζην 
x
1
lim
x 2
x x

 


Άξα:
  
x
g f x x
lim
x 2


 

x
1 | x |
lim 1
x 2 x
x x

 
      
iv)α)    
 x g x 2
d x d ,
2
 
   
β) Η ζπλάξηεζε d είλαη ζπλερήο ζην [-1,1] σο πξάμε ζπλερώλ. Από ην ζεώξεκα κέγηζηεο θαη ειάρηζηεο ηηκήο,
ζα ππάξρεη θάπνην  1x 1,1  γηα ην νπνίν ε d ζα πάξεη ηε κέγηζηε ηηκή ηεο θαη θάπνην  2x 1,1  γηα ην
νπνίν ε d ζα πάξεη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο.
v) Έρνπκε  gD 1,1  ζην νπνίν ε g είλαη ζπλερήο.
Γηα  x 1,1    2
x
g x
1 x
  

 
2
2
2
x
1 x x
1 xg x
1 x

 
   
    
2 2
2 2 2 2
1 x x 1
0
1 x 1 x 1 x 1 x
 
   
   
Άξα ε g είλαη θνίιε ζην  1,1 .
vi) 6 6
20 0
1 x
dx dx
x x
 

 
   6
20
x
dx
1 x




22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 12

12. Θέηνπκε u x  , νπόηε du xdx 
1u 0 0   , 2
1
u
6 2

   .
Επνκέλσο
1
6 2
2 20 0
x 1
dx du
1 x u 1


 
  
Αλαδεηνύκε α,β ηέηνηα ώζηε 2
1
u 1 u 1 u 1
 
 
  
ή  1 x      , γηα θάζε  u 1,1   .
Η ζρέζε ηζρύεη γηα θάζε  u 1,1   , αλ θαη κόλν αλ
0 1
1 2
  
  
  
θαη
1
2
  
1 1 1
2 2 2
20 0 0
1 1 1 1 1
du du du
u 1 2 u 1 2 u 1
   
        
1 1
2 2
0 0
1 1
ln | u 1 ln | u 1
2 2
     
1 1 3 3 1 3 3
ln ln ln 2 ln3 ln 2
2 2 2 2 2 2 2
     
3
ln3 ln 2
2

22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 12