ερωτήσεις θεωρίας 2016 2017

1. 2016-17
ΘΕΩΡΙΑ
ΕΡΩΣΗ΢ΕΙ΢
ΕΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΕΙ΢
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝ΢Η΢
Γ ΛΤΚΕΙΟΤ
ΣΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
Βαγγέλης Α Νικολακάκης
Μαθηματικός

2. ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ
Η παρούσα εργασία μου είναι μια αναβάθμιση της αντίστοιχης του 2013
προσαρμοσμένη στην νέα ύλη 2016-2017 με τις κατάλληλες προσθήκες και αφαιρέσεις
ερωτημάτων που είναι εκτός ύλης .
Φιλοδοξεί δε όχι μόνο ο μαθητής να επιτύχει το απόλυτο ,δηλαδή το σύνολο των 25
μονάδων του θέματος Α ,αλλά και να θέσει τις βάσεις της σωστής γνώσης και
επανάληψης της θεωρίας ,που είναι απαραίτητη για την αντιμετώπιση των θεμάτων
Β-Γ-Δ.
Για τον λόγο αυτό έχω προσθέσει και σημαντικές επισημάνσεις θεωρίας ,χωρίς το
κείμενο να πλατιάζει και παράλληλα ο όγκος της εργασίας να είναι σε λογικά
πλαίσια.
Παράλληλα δίνει στον υποψήφιο την δυνατότητα να αυτοαξιολογηθεί είτε
απαντώντας στις ερωτήσεις θεωρίας ,είτε στις ερωτήσεις Σ-Λ που ακολουθούν .
Βαγγέλης Νικολακάκης
σημείωση
● Η σκιαγράφηση πολλών τύπων έγινε για να χρησιμοποιείται το παρών και σαν
τυπολόγιο.
● Οι αποδείξεις θεωρίας είναι σε σκιαγραφημένα πλαίσια.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Ερωτήσεις (με απαντήσεις) και οι αποδείξεις θεωρίας
(ανά κεφάλαιο)
Β. Ερωτήσεις θεωρίας (προς απάντηση)
Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ που έχουν δοθεί στις Πανελλαδικές τα έτη 2000-2016
Δ. Ερωτήσεις Σ-Λ (προς απάντηση)

3. Α ΕΡΩΣΗ΢ΕΙ΢-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ΢ ΘΕΩΡΙΑ΢
΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢
1. Τη νλνκάδνπκε ζπλάξηεζε ;
Έζηω Α έλα ππνζύλνιν ηνπ R. Ολνκάδνπκε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α
κηα δηαδηθαζία
f , κε ηελ νπνία θάζε ζηνηρείν Ax αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα κόλν πξαγκαηηθό αξηζκό y. Τν y
νλνκάδεηαη ηηκή ηεο f ζην x θαη ζπκβνιίδεηαη κε )(xf .
2. Τη νλνκάδνπκε ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλάξηεζεο ;
Τν ζύλνιν πνπ έρεη γηα ζηνηρεία ηνπ ηηο ηηκέο ηεο f ζε όια ηα Ax , ιέγεηαη ζύλνιν ηηκώλ ηεο f
θαη ζπκβνιίδεηαη κε )(Af . Δίλαη δειαδή:  ( ) | ( )f A y y f x  γηα θάπνην }Ax .
3. Τη νλνκάδνπκε γξαθηθή παξάζηαζε ζπλάξηεζεο
Έζηω f ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α θαη Oxy έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλωλ ζην επίπεδν. Τν
ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ),( yxM γηα ηα νπνία ηζρύεη )(xfy  , δειαδή ην ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ
))(,( xfxM , Ax , ιέγεηαη γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ζπκβνιίδεηαη κε fC .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΙ΢ ΓΡΑΦΙΚΔ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΙ΢
- Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ζπκβνιίδεηαη ζπλήζωο κε fC .
- Η εμίζωζε, ινηπόλ, )(xfy  επαιεζεύεηαη κόλν από ηα ζεκεία ηεο fC . Δπνκέλωο, ε
)(xfy  είλαη ε εμίζωζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f.
- ΄Οηαλ δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε fC κηαο ζπλάξηεζεο f, ηόηε:
α) Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην ζύλνιν Α ηωλ ηεηκεκέλωλ ηωλ ζεκείωλ ηεο fC .
β) Τν ζύλνιν ηηκώλ ηεο f είλαη ην ζύλνιν )(Af ηωλ ηεηαγκέλωλ ηωλ ζεκείωλ ηεο fC .
γ) Η ηηκή ηεο f ζην Ax 0 είλαη ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηεο επζείαο 0xx  θαη
ηεο fC (Σρ. 8).
Cf
O
y
x
(α)
Α
Cf
O
y
x
(β)
f(Α)
Cf
O
x=x0
A(x0,f(x0))
x0
y
x
(γ)
f(x0)

4. - Όηαλ δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε fC , κηαο ζπλάξηεζεο f κπνξνύκε, επίζεο, λα
ζρεδηάζνπκε θαη ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ
ζπλαξηήζεωλ f θαη || f .
α)Η γξαθηθή παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη
ζπκκεηξηθή, ωο πξνο ηνλ άμνλα xx , ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f, γηαηί απνηειείηαη από ηα ζεκεία
))(,( xfxM  πνπ είλαη ζπκκεηξηθά ηωλ ))(,( xfxM , ωο πξνο
ηνλ άμνλα xx . (Σρ. 9).
β) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο || f απνηειείηαη από ηα
ηκήκαηα ηεο fC πνπ βξίζθνληαη πάλω από ηνλ άμνλα
xx θαη από ηα ζπκκεηξηθά, ωο πξνο ηνλ άμνλα xx ,
ηωλ ηκεκάηωλ ηεο fC πνπ βξίζθνληαη θάηω από ηνλ
άμνλα απηόλ. (Σρ. 10).
4 Να σαπάξεηε ηιρ γπαθικέρ παπαζηάζειρ ηυν βαζικών ζςναπηήζευν
α) βαxxf )( β) 2
)( αxxf  , 0α γ) 3
)( αxxf  , 0α
δ)
x
α
xf )( , 0α ε) xxf )( , |x|xg )( .
Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαίλνληαη παξαθάηω :
α) Η πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε βαxxf )(
a>0
O x
y
a<0
O x
y
a=0
O x
y
β)Η πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε 2
)( αxxf  , 0α .
O x
y
α>0
xO
y
α<0
O
y
x
Μ΄(x,f(x))
y=f(x)
y=f(x)
Μ(x,f(x))
O
y
x
y=f(x)y=| f(x)|

5. γ) Η πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε 3
)( αxxf  , 0α .
O x
y
α>0
O x
y
α<0
δ) Η ξεηή ζπλάξηεζε
x
α
xf )( , 0α .
O x
y
α>0
O
x
y
α<0
ε) Οη ζπλαξηήζεηο xxf )( , |x|xg )( .
y x
O x
y
y x | |
O x
y
5 Να σαπάξεηε ηιρ γπαθικέρ παπαζηάζειρ ηυν βαζικών ζςναπηήζευν
α)   x
f x α , 10  α γ)   αf x log x ), 10  α
β) f(x) εκx , f(x) ζπλx , f(x) εθx
Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαίλνληαη παξαθάηω :
α) Η εθζεηηθή ζπλάξηεζε x
αxf )( , 10  α .

6. α
1
1O x
y
(α)α>1
O x
y
(β)0<α<1
α
1
1
β) Οη ηξηγωληθέο ζπλαξηήζεηο : xxf εκ)(  , xxf ζπλ)(  , xxf εθ)( 
O
y=ημx
2ππ
1
1
y
x
O
y=συνx
2ππ
1
1
y
x
3π/2π/2π/2 O
y=εφx
y
x
(γ)
(β)
(α)
Υπελζπκίδνπκε όηη, νη ζπλαξηήζεηο xxf ημ)(  θαη ζυνx)( xf είλαη πεξηνδηθέο κε πεξίνδν
πT 2 , ελώ ε ζπλάξηεζε xxf εθ)(  είλαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν πT  .
6 Να γπάτεηε ηιρ ιδιόηηηερ ηηρ εκθεηικήρ και ηηρ λογαπιθμικήρ ζςνάπηηζηρ
► Ιδηόηεηεο εθζεηηθήο
Υπελζπκίδνπκε όηη:
 Αλ 1α , ηόηε: 1 2x x
1 2α α x x  
 Αλ 10  α , ηόηε: 1 2x x
1 2α α x x  

7. ► Ιδηόηεηεο ινγαξηζκηθήο
Υπελζπκίδνπκε όηη:
1) xαyx y
α log 4) 2121 loglog)(log xxxx ααα 
2) xα x
α log θαη xα xα
log
5) 21
2
1
logloglog xx
x
x
ααα 





3) 1log αα θαη 01log α 6) 11 loglog xκx α
k
α 
7) 1 2 1 2logx logx x x   θαη 1 2 1 2lnx lnx x x  
Πξνζνρή !! ζηελ ύιε ησλ εμεηάζεσλ είλαη κόλν νη ινγάξηζκνη logx , lnx
7. Πόηε δπν ζπλαξηήζεηο ιέγνληαη ίζεο;
Γύν ζπλαξηήζεηο f θαη g ιέγνληαη ίζεο όηαλ έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνύ Α θαη γηα θάζε
Ax ηζρύεη )()( xgxf  .
8. Πσο νξίδνληαη νη πξάμεηο κεηαμύ ζπλαξηήζεσλ ;
Οξίδνπκε ωο άζξνηζκα, δηαθνξά, γηλόκελν θαη πειίθν, αληίζηνηρα , δύν ζπλαξηήζεωλ f, g ηηο
ζπλαξηήζεηο κε ηύπνπο : )()())(( xgxfxgf  , )()())(( xgxfxgf  ,
)()())(( xgxfxfg  ,
)(
)(
)(
xg
xf
x
g
f






. Τν πεδίν νξηζκνύ ηωλ gf  , gf  θαη fg είλαη ε ηνκή
BA ηωλ πεδίωλ νξηζκνύ Α θαη Β ηωλ ζπλαξηήζεωλ f θαη g αληηζηνίρωο, ελώ ην πεδίν
νξηζκνύ ηεο
g
f
είλαη ην ζύλνιν Axx |{ θαη Bx , κε }0)( xg .
9. Τη νλνκάδνπκε ζύλζεζε ζπλαξηήζεσλ ;
Αλ f, g είλαη δύν ζπλαξηήζεηο κε πεδίν νξηζκνύ Α, Β αληηζηνίρωο, ηόηε νλνκάδνπκε ζύλζεζε ηεο f κε
ηελ g, θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε gof , ηε ζπλάξηεζε κε ηύπν: ( )( ) ( ( ))gof x g f x .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΗΝ ΢ΤΝΘΔ΢Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΔΩΝ
g f
g(B)A
g
Bf(A)
f
A1
g( f(x))
f(x)
x
α) Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο g f απνηειείηαη από όια ηα ζηνηρεία x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο f γηα
ηα νπνία ην )(xf αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο g. Γειαδή είλαη ην ζύλνιν
})(|{1 BxfAxA  .
Δίλαη θαλεξό όηη ε gof νξίδεηαη ,αλ 1A , δειαδή αλ  BAf )( .

8. β)  Γεληθά, αλ f, g είλαη δύν ζπλαξηήζεηο θαη νξίδνληαη νη gof θαη fog , ηόηε απηέο
δ ε ν ε ί ν α ι ς π ο σ π ε ω η ι κ ά ίζεο.
 Αλ hgf ,, είλαη ηξεηο ζπλαξηήζεηο θαη νξίδεηαη ε )(gofho , ηόηε νξίδεηαη θαη ε ofhog)( θαη
ηζρύεη
ofhoggofho )()(  .
Τε ζπλάξηεζε απηή ηε ιέκε ζύλζεζε ηωλ f, g θαη h θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε hogof . Η ζύλζεζε
ζπλαξηήζεωλ γεληθεύεηαη θαη γηα πεξηζζόηεξεο από ηξεηο ζπλαξηήζεηο.
10. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη γλεζίσο αύμνπζα θαη πόηε γλεζίσο θζίλνπζα ;
Μηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη :
 γλεζίσο αύμνπζα ζ’ έλα διάζηημα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, όηαλ γηα νπνηαδήπνηε
Γxx 21, κε 21 xx  ηζρύεη: )()( 21 xfxf 
 γλεζίσο θζίλνπζα ζ’ έλα διάζηημα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, όηαλ γηα νπνηαδήπνηε
Γxx 21, κε 21 xx  ηζρύεη: )()( 21 xfxf 
11. Πόηε κηα ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζην θαη πόηε ειάρηζην ;
Μηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ Α ζα ιέκε όηη:
 Παξνπζηάδεη ζην Ax 0 (νιηθό) κέγηζην, ην )( 0xf , όηαλ )()( 0xfxf  γηα θάζε Ax .
 Παξνπζηάδεη ζην Ax 0 (νιηθό) ειάρηζην, ην )( 0xf , όηαλ )()( 0xfxf  γηα θάζε Ax .
12. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη 11 ;
 Μηα ζπλάξηεζε :f A R ιέγεηαη ζπλάξηεζε 11 , όηαλ γηα νπνηαδήπνηε
Axx 21, ηζρύεη ε ζπλεπαγωγή: αλ 21 xx  , ηόηε )()( 21 xfxf  .
 Ιζνδύλακνο νξηζκόο: Μηα ζπλάξηεζε :f A R είλαη ζπλάξηεζε 11 , αλ θαη κόλν
αλ γηα νπνηαδήπνηε Axx 21, ηζρύεη : αλ 1 2( ) ( )f x f x , ηόηε 1 2x x .
13. Τη νλνκάδνπκε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε;
Έζηω κηα 11 ζπλάξηεζε :f A R . Tόηε γηα θάζε ζηνηρείν y ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ, )(Af , ηεο
f ππάξρεη κνλαδηθό ζηνηρείν x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο Α γηα ην νπνίν ηζρύεη yxf )( .
Δπνκέλωο νξίδεηαη κηα ζπλάξηεζε :g A R κε ηελ νπνία θάζε )(Afy αληηζηνηρίδεηαη
ζην κνλαδηθό Ax γηα ην νπνίν ηζρύεη yxf )( . H g ιέγεηαη αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο f
θαη ζπκβνιίδεηαη κε 1
f . Δπνκέλωο έρνπκε
1
( ) ( )f x y f y x
   .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΗΝ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΣΙ΢ΣΡΟΦΗ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η
► Από ηον οπιζμό πποκύπηει όηι μια ζςνάπηηζη f είναι 11 , αν και μόνο αν:
▪ Γηα θάζε ζηνηρείν y ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ ηεο ε εμίζωζε yxf )( έρεη αθξηβώο
κηα ιύζε ωο πξνο x.
▪ Γελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο κε ηελ ίδηα ηεηαγκέλε. Απηό
ζεκαίλεη όηη θάζε νξηδόληηα επζεία ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ην πνιύ
ζε έλα ζεκείν.
▪ Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο κνλόηνλε, ηόηε είλαη ζπλάξηεζε "11"  .
▪Τν αληίζηξνθν γεληθά δελ ηζρύεη. Υπάξρνπλ δειαδή ζπλαξηήζεηο πνπ είλαη 1 1
αιιά δελ είλαη γλεζίωο κνλόηνλεο.
▪ Αλ όκσο ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη 1 1 ,ηόηε δελ είλαη θαη γλήζηα κνλόηνλε.

9. ► Από ηον οπιζμό πποκύπηει όηι   
1
f f x x θαη   
1
f f x x
► ΢ημεία ηομήρ – ΢ςμμεηπίερ ,ηυν γπαθικών παπαζηάζευν 1, Cf f
C
▪ Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ 1, f f
C C ,είλαη ζπκκεηξηθέο ωο πξνο ηελ επζεία y x .
▪ Τα ζεκεία ηνκήο (αλ ππάξρνπλ),ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ 1, f f
C C ,είλαη είηε
πάλω ζηελ επζεία y x ,είηε ζπκκεηξηθά ωο πξνο απηήλ.
▪ Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα,ηόηε θαη ε 1
f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη
ηα ζεκεία ηνκήο (αλ ππάξρνπλ),ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ 1, f f
C C ,είλαη
πάλω ζηελ επζεία y x .
▪ Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα,ηόηε θαη ε 1
f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα
θαη αλ αθόκε ε f είλαη πεξηηηή,ηόηε ηα ζεκεία ηνκήο (αλ ππάξρνπλ),ηωλ γξαθηθώλ
παξαζηάζεωλ 1, f f
C C ,είλαη πάλω ζηελ επζεία  y x
ΟΡΙΑ - ΢ΤΝΕΧΕΙΑ
14. Πνηεο είλαη νη άκεζεο ζπλέπεηεο ηνπ νξηζκνύ ηνπ νξίνπ ;
(α) 

)(lim
0
xf
xx
 0))((lim
0


xf
xx
(β) 

)(lim
0
xf
xx
 

)(lim 0
0
hxf
h
15. Πσο ζπλδέεηαη ην όξην κε ηα πιεπξηθά όξηα ;
Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζε έλα ζύλνιν ηεο κνξθήο ),(),( 00 βxxα  , ηόηε ηζρύεη ε
ηζνδπλακία: 

)(lim
0
xf
xx
 

)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
16. Πνηεο αληζόηεηεο ηζρύνπλ ζηα όξηα ; (όξην θαη δηάηαμε)
 Αλ 0)(lim
0


xf
xx
, ηόηε 0)( xf ελώ αλ 0)(lim
0


xf
xx
, ηόηε 0)( xf , θνληά ζην 0x
 Αλ νη ζπλαξηήζεηο gf , έρνπλ όξην ζην 0x θαη ηζρύεη )()( xgxf  θνληά ζην 0x , ηόηε
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx 

17. Πνηεο είλαη νη ηδηόηεηεο ησλ νξίσλ αλ ην ρ ηείλεη ζην ρ0 ;
Αλ ππάξρνπλ ηα όξηα ηωλ ζπλαξηήζεωλ f θαη g ζην 0x , ηόηε:
1. )(lim)(lim))()((lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx 
 2. )(lim))((lim
00
xfκxκf
xxxx 
 , γηα θάζε κ R
3. )(lim)(lim))()((lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx 
 4.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0 xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx



 , εθόζνλ 0)(lim
0


xg
xx
5. )(lim|)(|lim
00
xfxf
xxxx 
 6. k
xx
k
xx
xfxf )(lim)(lim
00 
 , όηαλ 0)( xf θνληά ζην 0x .
7.
ν
xx
ν
xx
xfxf





)(lim)]([lim
00
,
*
ν N

10. 18. Έστω το πολυώνυμο P(x)=αvxv+…α1x+α0 και x0R. Να δείξετε ότι
0
0lim ( ) ( )
x x
P x P x


Απόδεημε
Έζηω ην πνιπώλπκν 01
1
1)( αxαxαxαxP ν
ν
ν
ν  
  θαη 0x R .
Σύκθωλα κε ηηο ηδηόηεηεο ηωλ νξίωλ έρνπκε:
)(lim)(lim 0
1
1
00
αxαxαxP ν
ν
ν
ν
xxxx
 


 0
0
1
1
00
lim)(lim)(lim αxαxα
xx
ν
ν
xx
ν
ν
xx 



 
0
0
1
0
1
0
limlimlim αxαxα
xx
ν
xx
ν
ν
xx
ν





 
)( 00
1
010 xPαxαxα ν
ν
ν
ν  
  .
19. Δείξετε ότι :
0
0
0
( )( )
lim
( ) ( )x x
P xP x
Q x Q x
 , όπου  , ( )x Q x πολυώνυμα και 0( ) 0Q x 
Απόδεημε
Έζηω ε ξεηή ζπλάξηεζε
)(
)(
)(
xQ
xP
xf  , όπνπ )(xP , )(xQ πνιπώλπκα ηνπ x θαη 0x R κε
0)( 0 xQ . Τόηε,
)(
)(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim)(lim
0
0
0
0
00 xQ
xP
xQ
xP
xQ
xP
xf
xx
xx
xxxx




.
20. Να δηαηππώζεηε ην θξηηήξην παξεκβνιήο .
Έζηω νη ζπλαξηήζεηο hgf ,, . Αλ )()()( xgxfxh  θνληά ζην 0x θαη 

)(lim)(lim
00
xgxh
xxxx
,
ηόηε 

)(lim
0
xf
xx
.
21. Πνηα είλαη ηα βαζηθά ηξηγσλνκεηξηθά όξηα ;
α)
0
εκ
lim 1
x
x
x
 β)
0
ζπλ 1
lim 0
x
x
x

 γ)


0
0limεκx εκx
x x
δ)


0
0lim ζπλx ζπλx
x x
22. Πσο ππνινγίδνπκε ην όξην ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο ;
Γηα λα ππνινγίζνπκε ην ))((lim
0
xgf
xx
, ηεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο gf  ζην ζεκείν 0x , ηόηε
εξγαδόκαζηε
ωο εμήο:
Θέηνπκε )(xgu  θαη ππνινγίδνπκε ην )(lim
0
0 xgu
xx
 θαη ην )(lim
0
uf
uu
 (αλ ππάξρνπλ) .
Απνδεηθλύεηαη όηη, αλ 0)( uxg  θνληά ζην 0x , ηόηε ην δεηνύκελν όξην είλαη ίζν κε  , δειαδή
ηζρύεη: )(lim))((lim
00
ufxgf
uuxx 
 .
23. Πνηεο είλαη νη ηδηόηεηεο ησλ νξίσλ αλ ην x ηείλεη ζην  ;
 Αλ 

)(lim
0
xf
xx
, ηόηε 0)( xf , ελώ αλ 

)(lim
0
xf
xx
, ηόηε 0)( xf θνληά ζην 0x .
 Αλ 

)(lim
0
xf
xx
, ηόηε 

))((lim
0
xf
xx
, ελώ αλ 

)(lim
0
xf
xx
, ηόηε 

))((lim
0
xf
xx
.

11.  Αλ 

)(lim
0
xf
xx
ή  , ηόηε 0
)(
1
lim
0

 xfxx
.
 Αλ 0)(lim
0


xf
xx
θαη 0)( xf θνληά ζην 0x , ηόηε 
 )(
1
lim
0 xfxx
, ελώ αλ 0)( xf θνληά ζην
0x , ηόηε 
 )(
1
lim
0 xfxx
.
 Αλ 

)(lim
0
xf
xx
ή  , ηόηε 

|)(|lim
0
xf
xx
θαη αλ 

)(lim
0
xf
xx
, ηόηε 

k
xx
xf )(lim
0
.
 
 20
1
lim
xx
θαη γεληθά 
 ν20
1
lim
xx
,
*
 
 
 xx
1
lim
0
θαη γεληθά 
12
0
1
lim ν
x x
, ελώ 
 xx
1
lim
0
θαη 
12
0
1
lim ν
xx
,
*
 
 δελ ππάξρεη ζην κεδέλ ην όξην ηεο 12
1
)( 
 ν
x
xf ,
*
  .
 Οξην αζξνίζκαηνο θαη γηλνκέλνπ
ην όξην ηεο f είλαη: αR αR  -  -
θαη ην όξην ηεο g είλαη:  -  - - 
ηόηε ην όξην ηεο gf  είλαη:  -  - ; ;
ην όξην ηεο f είλαη:
α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + + - -
θαη ην όξην ηεο g είλαη:
+ + - - + - + - + -
ηόηε ην όξην ηεο f·g είλαη:
+ - - + ; ; + - - +
 

ν
x
xlim θαη 0
1
lim 
 νx x
,






 πεξηηηόοαλ,-
άξηηνοαλ,
lim
ν
ν
xν
x
θαη 0
1
lim 
 νx x
,
*
  , )(lim)(lim ν
ν
xx
xαxP

 θαη )(lim)(lim ν
ν
xx
xαxP


 

x
x
αlim , 0lim 

x
x
α , 

xα
x
loglim
0
, 

xα
x
loglim
24. Πόηε ε f ιέγεηαη ζπλερήο ζην 0 ;x
΄Δζηω κηα ζπλάξηεζε f θαη 0x έλα ζεκείν 0x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο. Θα ιέκε όηη ε f είλαη
ζπλερήο ζην 0x , όηαλ :


0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
25. Πόηε ε f ιέγεηαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο ;
 Όηαλ ε f είλαη ζπλερήο ζε όια ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο . Δηδηθόηεξα :
 Μηα ζπλάξηεζε f ζα ιέκε όηη είλαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα ),( βα , όηαλ είλαη
ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ ),( βα .
 Μηα ζπλάξηεζε f ζα ιέκε όηη είλαη ζπλερήο ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα , όηαλ είλαη
ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ ),( βα θαη επηπιένλ :
)()(lim αfxf
αx


θαη )()(lim βfxf
βx



12. 26. Τη γλσξίδεηε γηα ηηο πξάμεηο κεηαμύ ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ;
 Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη ζπλερείο ζην 0x , ηόηε είλαη ζπλερείο ζην 0x θαη νη
ζπλαξηήζεηο: gf  , fc , όπνπ c R , gf  ,
g
f
, || f θαη ν f
κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη νξίδνληαη ζε έλα δηάζηεκα πνπ πεξηέρεη ην 0x .
 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0x θαη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην )( 0xf , ηόηε
ε ζύλζεζή ηνπο gof είλαη ζπλερήο ζην 0x .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΟΤ΢ ΟΡΙ΢ΜΟΤ΢ ΢ΤΝΔΥΔΙΑ΢
α) Σύκθωλα κε ηνλ παξαπάλω νξηζκό, κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζε έλα
ζεκείν 0x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο όηαλ:
i) Γελ ππάξρεη ην όξηό ηεο ζην 0x ή
ii) Υπάξρεη ην όξηό ηεο ζην 0x , αιιά είλαη δηαθνξεηηθό από ηελ ηηκή ηεο, 0( )f x , ζην
ζεκείν 0x .
β) Μία ζπλάξηεζε f πνπ είλαη ζπλερήο ζε όια ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, ζα
ιέγεηαη,
ζπλερήο ζπλάξηεζε.
γ) — Κάζε πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε Ρ είλαη ζπλερήο, αθνύ γηα θάζε 0 x R ηζρύεη
0
0lim ( ) ( )


x x
P x P x .
— Κάζε ξεηή ζπλάξηεζε
 
 
P x
Q x
είλαη ζπλερήο, αθνύ γηα θάζε 0x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ
ηεο ηζρύεη
0
0
0
( )( )
lim
( ) ( )

x x
P xP x
Q x Q x
.
— Οη ζπλαξηήζεηο   ημf x x θαη   ζυνf x x είλαη ζπλερείο, αθνύ γηα θάζε 0 x R ηζρύεη
0
0lim ημ ημ


x x
x x θαη
0
0lim ζυν ζυν


x x
x x .
— Οη ζπλαξηήζεηο   α x
f x θαη   αlogf x x , 0 α 1  είλαη ζπλερείο.
27. Να δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα Bolzano
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f , νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα . Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην
],[ βα θαη, επηπιένλ, ηζρύεη 0)()(  βfαf , ηόηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, ),(0 βαx  ηέηνην,
ώζηε 0)( 0 xf .
28. Να δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα ελδηακέζσλ ηηκώλ
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα . Αλ:
 ε f είλαη ζπλερήο ζην ],[ βα θαη
 )()( βfαf 
ηόηε, γηα θάζε αξηζκό ε κεηαμύ ηωλ )(αf θαη )(βf ππάξρεη έλαο, ηνπιάρηζηνλ
),(0 βαx  ηέηνηνο, ώζηε
ηxf )( 0
29. Να δηαηππώζεηε ην Θεώξεκα Μέγηζηεο - Διάρηζηεο ηηκήο
Αλ f είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην ],[ βα , ηόηε ε f παίξλεη ζην ],[ βα κηα κέγηζηε ηηκή Μ θαη κηα
ειάρηζηε ηηκή m.

13. 30. Πνην είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο νξηζκέλεο ζε
δηάζηεκα ;
 Aλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα θαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα
),( βα , ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκα απηό είλαη ην δηάζηεκα ),( ΒΑ , όπνπ
)(lim xfΑ
αx 

 θαη )(lim xfB
βx 

 .
 Αλ, όκωο, ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα θαη ζπλερήο ζην ),( βα , ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο
ζην δηάζηεκα απηό είλαη ην δηάζηεκα ),( AB
 Αλάινγα ζπκπεξάζκαηα έρνπκε θαη όηαλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο
κνλόηνλε ζε δηαζηήκαηα ηεο κνξθήο ],[ βα , ),[ βα θαη ],( βα .
31.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα
[ , ]  . Αν: η f είναι συνεχής στο[ , ]  και ( ) ( )f f   δείξετε ότι, για κάθε
αριθμό η μεταξύ των ( )f  και ( )f  υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 ( , )x    , ώστε
0( )f x  
Απόδεημε
Αο ππνζέζνπκε όηη )()( βfαf  . Τόηε ζα ηζρύεη )()( βfηαf  . Αλ ζεωξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε
ηxfxg  )()( , ],[ βαx , παξαηεξνύκε όηη:
 ε g είλαη ζπλερήο ζην ],[ βα θαη
 0)()( βgαg , αθνύ 0)()(  ηαfαg θαη 0)()(  ηβfβg .
Δπνκέλωο, ζύκθωλα κε ην ζεώξεκα ηνπ Bolzano, ππάξρεη ),(0 βαx  ηέηνην, ώζηε
0)()( 00  ηxfxg , νπόηε ηxf )( 0 .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢-΢ΤΝΔΠΔΙΔ΢ ΢ΣΑ ΒΑ΢ΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ
΢ΤΝΔΥΔΙΑ΢
Α.
Β. ζπλέπεηεο ηνπ Θ.Bolzano είλαη ηα παξαθάηω
 Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη δε κεδελίδεηαη ζ’ απηό, ηόηε
απηή ή είλαη ζεηηθή γηα θάζε Γx ή είλαη αξλεηηθή γηα θάζε Γx , δειαδή δηαηεξεί
πξόζεκν ζην δηάζηεκα Δ.
 Μηα ζπλερήο ζπλάξηεζε f δηαηεξεί πξόζεκν ζε θαζέλα από ην δηαζηήκαηα ζηα νπνία
νη δηαδνρηθέο ξίδεο ηεο f ρωξίδνπλ ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.

14. Γ. ζπλέπεηεο ηνπ Θ.Δλδηακέζωλ Τηκώλ είλαη ηα παξαθάηω
α) Η εηθόλα )(Γf ελόο δηαζηήκαηνο Δ κέζω κηαο ζπλερνύο θαη κε ζηαζεξήο ζπλάξηεζεο f
είλαη δηάζηεκα.
β) Aλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα
),( βα , ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκα απηό είλαη ην δηάζηεκα ),( ΒΑ , όπνπ
)(lim xfΑ
αx 

 θαη )(lim xfB
βx 

 .
γ) Αλ, όκωο, ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα θαη ζπλερήο ζην ),( βα , ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ
ηεο ζην δηάζηεκα απηό είλαη ην δηάζηεκα ),( AB .
Γ.
Δ.
ΣΤ. Από ην παξαπάλω ζεώξεκα (ΘΜΔΤ) θαη ην ΘΔΤ
πξνθύπηεη όηη ην ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f κε πεδίν νξηζκνύ ην ],[ βα
είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα ],[ Mm , όπνπ m ε ειάρηζηε ηηκή θαη Μ ε κέγηζηε ηηκή ηεο.
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
32. Πσο νξίδεηαη ε εθαπηνκέλε ζην ζεκείν 0 0( , ( ))A x f x ηεο fC ;
Έζηω f κηα ζπλάξηεζε θαη ))(,( 00 xfxA έλα ζεκείν ηεο fC . Αλ ππάξρεη ην
0
0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx 


θαη είλαη ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο f΄(x0) , ηόηε νξίδνπκε ωο εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν ηεο
Α, ηελ επζεία ε πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ι= f΄(x0).
Δπνκέλωο, ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν ))(,( 00 xfxA είλαη
0'( )y f x f x x x  0 0( ) ( )
33. Πόηε κηα ζπλάξηεζε ιέγεηαη παξαγσγίζηκε ζην ρ0 θαη ηη νλνκάδνπκε
παξάγσγν ηεο f ζην ρ0 ;

15.  Μηα ζπλάξηεζε f ιέκε όηη είλαη παξαγσγίζηκε ζ’ έλα ζεκείν 0x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο,
αλ ππάξρεη ην
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx 


θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
 Τν όξην απηό νλνκάδεηαη παξάγσγνο ηεο f ζην 0x θαη ζπκβνιίδεηαη κε )( 0xf  . Γειαδή:
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 



.
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢-΢ΥΟΛΙΑ ΢ΣΟΤ΢ ΟΡΙ΢ΜΟΤ΢ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ
α)Η ύπαξμε εθαπηόκελεο ηεο fC ζην ζεκείν ηεο ))(,( 00 xfxA ,εμαξηάηαη από ηελ ύπαξμε ηεο
παξαγώγνπ 0( )f x
β) Αν, τϊρα, ςτθν ιςότθτα
0
0
0
0
)()(
lim)(
xx
xfxf
xf
xx 



κζςουμε hxx  0 , τότε ζχουμε
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)( 00
0
0



.
γ) Αν το 0x είναι εςωτερικό ςθμείο ενόσ διαςτιματοσ του πεδίου οριςμοφ τθσ f, τότε:
Η f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x , αν και μόνο αν υπάρχουν ςτο R τα όρια
0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x



,
0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x



και είναι ίςα.
34. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x , τότε είναι και συνεχής
σ΄αυτό.
Απόδεημε
Γηα 0xx  έρνπκε )(
)()(
)()( 0
0
0
0 xx
xx
xfxf
xfxf 


 ,
Οπόηε 










)(
)()(
lim)]()([lim 0
0
0
0
0
0
xx
xx
xfxf
xfxf
xxxx
)(lim
)()(
lim 0
00
0
0
xx
xx
xfxf
xxxx





00)( 0  xf ,
αθνύ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x . Αξα , )()(lim 0
0
xfxf
xx


, δειαδή ε f είλαη ζπλερήο ζην
0x .
Σρόιηα
Τν αληίζηξνθν ηνπ παξαπάλω ζεωξήκαηνο δελ ηζρύεη. Ιζρύεη όκωο όηη :
Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζ’ έλα ζεκείν 0x , ηόηε, ζύκθωλα κε ην πξνεγνύκελν
ζεώξεκα, δελ κπνξεί λα είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x .
35. Πόηε κηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη παξαγσγίζηκε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο ;
 Έζηω f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ έλα ζύλνιν Α. Θα ιέκε όηη:
— H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην Α ή, απιά, παξαγσγίζηκε, όηαλ είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε
ζεκείν Ax 0 .
— Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα ),( βα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, όηαλ
είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν ),(0 βαx  .
— Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, όηαλ είλαη
παξαγωγίζηκε ζην ),( βα θαη επηπιένλ ηζρύεη
( ) ( )
lim
x
f x f
R
x






θαη
( ) ( )
lim
x
f x f
R
x






.

16. 36. Τη είλαη ε παξάγσγνο ζπλάξηεζε ;
Έζηω f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ Α θαη 1A ηo ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ηνπ Α ζηα νπνία
απηή είλαη παξαγωγίζηκε. Αληηζηνηρίδνληαο θάζε 1Ax ζην )(xf  , νξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε
1: , ωζηε : ( )f A R x f x   ε νπνία νλνκάδεηαη παξάγσγνο ηεο f.
37. Τη νλνκάδνπκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ y σο πξνο ην x ;
Αλ δύν κεηαβιεηά κεγέζε yx, ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε )(xfy  , όηαλ f είλαη κηα ζπλάξηεζε
παξαγωγίζηκε ζην 0x , ηόηε νλνκάδνπκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ y σο πξνο ην x ζην ζεκείν
0x ηελ παξάγωγν )( 0xf 
38. Πσο παξαγσγίδεηαη κηα ζύλζεηε ζπλάξηεζε ;
Αλ ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην )( 0xg , ηόηε ε
ζπλάξηεζε gf  είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x θαη ηζρύεη 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x   
39. Να γξάςεηε ηνπο ηύπνπο παξαγώγσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ θαη ηα ζύλνια πνπ
νξίδνληαη
 . f x c   . f x x   . f x x
   
1
. f x
x
   . f x x 
   . f x x 
 . f x x    . f x x    . f x x    . f x x    . x
f x e 
 . lnf x x 
 . 0 ,x Rf x    . 1 ,x Rf x     1
. ,x Rf x x
   
    11
. ,x Rf x x f x x
x
 

          
1
. ,x 0,
2
f x
x
   
 . ,x Rf x x   
 . ,x Rf x x      2
1
. ,x R- /
2
f x x x
x
 
      
  
   2
1
. ,x R- /f x x x
x
     

 . ,x Rx
f x e      
1
. ,x 0,f x
x
   
40. Εστω η σταθερή συνάρτηση ( ) ,f x c c R  ,. Δείξετε ότι η συνάρτηση f
είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ) 0f x  , δηλαδή  c 0ϋ 
Απόδεημε

17. Πξάγκαηη, αλ 0x είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηόηε γηα 0xx  ηζρύεη: 0
)()(
00
0






xx
cc
xx
xfxf
.
Δπνκέλωο, 0
)()(
lim
0
0
0



 xx
xfxf
xx
, δειαδή 0)( c .
41. Έστω η συνάρτηση ( )f x x . Δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι
παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ) 1f x  , δηλαδή ( ) 1x   .
Απόδεημε
Πξάγκαηη, αλ 0x είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηόηε γηα 0xx  ηζρύεη: 1
)()(
0
0
0
0






xx
xx
xx
xfxf
.
Δπνκέλωο, 11lim
)()(
lim
00
0
0



 xxxx xx
xfxf
, δειαδή 1)( x .
42. Έστω η συνάρτηση ( )f x x
 ,  0,1R   . Δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι
παραγωγίσιμη στο R και ισχύει 1
( )f x x
   , δηλαδή 1
( )x x 
  
Απόδεημε
Πξάγκαηη, αλ 0x είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηόηε γηα 0xx  ηζρύεη:
1
00
21
0
1
00
21
0
0
0
0
0 ))(()()( 









 ννν
ννννν
xxxx
xx
xxxxxx
xx
xx
xx
xfxf


, νπόηε:
1
0
1
0
1
0
1
0
1
00
21
00
0
0
)(lim
)()(
lim 



 ννννννν
xxxx
xνxxxxxxx
xx
xfxf
 , δειαδή
1
)( 
 νν
xνx .
43 . Έστω ( )f x x . Δείξετε ότι για κάθε (0, )x   ισχύει
1
( )
2
f x
x
  , δηλαδή
1
( )
2
x
x
 
Απόδεημε
Πξάγκαηη, αλ 0x είλαη έλα ζεκείν ηνπ ),0(  , ηόηε γηα 0xx  ηζρύεη:
  
    000
0
00
00
0
0
0
0 1
)()(
)()(
xxxxxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xfxf













,
Οπόηε
00
00
0
0 2
11
lim
)()(
lim
xxxxx
xfxf
xxxx






, δειαδή  
x
x
2
1


.
xxx
h
xfhxf
h
ζυν1ζυν0ημ
)()(
lim
0



. Γειαδή, xx ζυν)ημ(  .
44. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η συνάρτηση
f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει: 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x    
Απόδεημε

18. Γηα 0xx  ,ηζρύεη:
0
0
0
0
0
00
0
0 )()()()()()()()())(())((
xx
xgxg
xx
xfxf
xx
xgxfxgxf
xx
xgfxgf











.
Δπεηδή νη ζπλαξηήζεηο gf , είλαη παξαγωγίζηκεο ζην 0x , έρνπκε:
),()(
)()(
lim
)()(
lim
))(())((
lim 00
0
0
00
0
00
0
0
xgxf
xx
xgxg
xx
xfxf
xx
xgfxgf
xxxxxx










Γειαδή : )()()()( 000 xgxfxgf  .
45. Έστω η συνάρτηση ( )f x x
 , *
   . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη
στοR * και ισχύει 1
( )f x x
   , δηλαδή 1
( )x x 
  
Απόδεημε
Πξάγκαηη, γηα θάζε
*
x R έρνπκε: 1
2
1
2
)(
)(1)1(1
)( 














 ν
ν
ν
ν
νν
ν
ν
xν
x
xν
x
xx
x
x .
Δίδακε, όκωο, πην πξηλ όηη 1
)( 
 νν
xνx , γηα θάζε θπζηθό 1ν . Δπνκέλωο, αλ {0, 1}N   ,
ηόηε : 1
)( 
 κκ
κxx .
46. Έστω η συνάρτήση ( ) εθf x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο f
και ισχύει { / ζπλ 0}fD R x x   2
1
( )
ζπλ
f x
x
  , δηλαδή : 2
1
(εθ )
ζπλ
x
x
 
Απόδεημε
x
xxxx
x
xxxx
x
x
x 22
ζυν
ημημζυνζυν
ζυν
)ζυν(ημζυν)ημ(
ζυν
ημ
)εθ(












xx
xx
22
22
ζυν
1
ζυν
ημζυν


 .
47. Η συνάρτηση ( )f x x
 , R Q  είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει
1
( )f x x
   ,
δηλαδή 1
( )x x 
  
Απόδεημε
Πξάγκαηη, αλ xαα
exy ln
 θαη ζέζνπκε xαu ln , ηόηε έρνπκε u
ey  . Δπνκέλωο,
1ln 1
)( 
 ααxαuu
xα
x
α
x
x
αeueey .
48. Η συνάρτηση ( ) x
f x   , 0  είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει
( ) lnx
f x    ,
δηλαδή : ( ) lnx x
   
Απόδεημε
Πξάγκαηη, αλ αxx
eαy ln
 θαη ζέζνπκε αxu ln , ηόηε έρνπκε u
ey  . Δπνκέλωο,
αααeueey xαxuu
lnln)( ln
 .

19. 49. Η συνάρτηση ( ) ln| |f x x , *
x R είναι παρ/μη στο *
R και ισχύει
1
(ln| |)x
x
 
Απόδεημε
Πξάγκαηη :
.
αλ 0x , ηόηε
x
xx
1
)(ln)||(ln  , ελώ αλ 0x , ηόηε :
)ln(||ln xx  , νπόηε, αλ ζέζνπκε )ln( xy  θαη xu  , έρνπκε uy ln . Δπνκέλωο,
xx
u
u
uy
1
)1(
11
)(ln 

 θαη άξα
x
x
1
)||(ln  .
50. Να δηαηππώζεηε ην Θεώξεκα Rolle
Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα , παξαγωγίζηκε ζην αλνηθηό
),( βα θαη )()( βfαf  ηόηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, ),( βαξ  ηέηνην, ώζηε: 0)(  ξf
51. Να εξκελεύζεηε γεσκεηξηθά ην Θεώξεκα Rolle
Τν Θ.R. γεωκεηξηθά, ζεκαίλεη όηη ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ,
),( βαξ  ηέηνην, ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ))(,( ξfξM λα είλαη
παξάιιειε ζηνλ άμνλα ηωλ x.
52. Να δηαηππώζεηε ην Θεώξεκα Μέζεο Τηκήο Γηαθνξηθνύ Λνγηζκνύ (Θ.Μ.Τ.)
Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη: ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα ],[ βα θαη παξαγωγίζηκε ζην
αλνηθηό δηάζηεκα ),( βα ηόηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, ),( βαξ  ηέηνην, ώζηε:
αβ
αfβf
ξf



)()(
)(
53. Να εξκελεύζεηε γεσκεηξηθά ην Θεώξεκα Μέζεο
Τηκήο
Γεωκεηξηθά, ην ΘΜΤ ζεκαίλεη όηη ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ,
),( βαξ  ηέηνην, ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο
ηεο f ζην ζεκείν ))(,( ξfξM λα είλαη παξάιιειε ηεο επζείαο ΑΒ.
54. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα  . Αν η f είναι
συνεχής στο  και ( ) 0f x  για κάθε εσωτερικό σημείο x του  , τότε η f
είναι σταθερή σε όλο το διάστημα  .
Απόδεημε
Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη γηα νπνηαδήπνηε Γxx 21, ηζρύεη )()( 21 xfxf  . Πξάγκαηη
 Αλ 21 xx  , ηόηε πξνθαλώο )()( 21 xfxf  .
 Αλ 21 xx  , ηόηε ζην δηάζηεκα ],[ 21 xx ε f ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο κέζεο
ηηκήο. Δπνκέλωο, ππάξρεη ),( 21 xxξ  ηέηνην, ώζηε
Β(β,f(β))
βξ΄ξa x
y
Ο
M(ξ,f(ξ))
A(α,f(α))
y
O xβξ΄ξα
Μ(ξ,f(ξ))
Β(β,f(β))
Α(α,f(α))

20. 12
12 )()(
)(
xx
xfxf
ξf


 (1) Δπεηδή ην ξ είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ, ηζρύεη 0)(  ξf , νπόηε ,
ιόγω ηεο (1), είλαη )()( 21 xfxf  . Αλ 12 xx  , ηόηε νκνίωο απνδεηθλύεηαη όηη )()( 21 xfxf  . Σε
όιεο, ινηπόλ, ηηο πεξηπηώζεηο είλαη )()( 21 xfxf  .
55. Έστω δυο συναρτήσεις ,f g ορισμένες σε ένα διάστημα  . Αν οι ,f g είναι
συνεχείς στο  και ( ) ( )f x g x  για κάθε εσωτερικό σημείο x του  , τότε
υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x   να ισχύει: ( ) ( )f x g x c 
Απόδεημε
Η ζπλάξηεζε gf  είλαη ζπλερήο ζην Γ θαη γηα θάζε εζωηεξηθό
ζεκείν Γx ηζρύεη
0)()()()(  xgxfxgf .
Δπνκέλωο, ζύκθωλα κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα, ε
ζπλάξηεζε gf  είλαη ζηαζεξή ζην Γ. Άξα, ππάξρεη
ζηαζεξά C ηέηνηα, ώζηε γηα θάζε Γx λα ηζρύεη cxgxf  )()(
,
νπόηε cxgxf  )()( .
56 ζεκαληηθή πξόηαζε (ρσξίο απόδεημε)
Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη όηη
    f x f x γηα θάζε x R ,
ηόηε ( )  x
f x ce γηα θάζε x R .
57. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα  .
Αν ( ) 0f x  σε κάθε εσωτερικό σημείο x του  , τότε η f είναι γν. αύξουσα σε
όλο το  .
Αν ( ) 0f x  σε κάθε εσωτερικό σημείο x του  , τότε η f είναι γν. φθίνουσα
σε όλο το  .
Απόδεημε
 Απνδεηθλύνπκε ην ζεώξεκα ζηελ πεξίπηωζε πνπ είλαη 0)(  xf .
Έζηω Γxx 21, κε 21 xx  . Θα δείμνπκε όηη )()( 21 xfxf  . Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα ],[ 21 xx ε f
ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. Δπνκέλωο, ππάξρεη ),( 21 xxξ  ηέηνην, ώζηε
12
12 )()(
)(
xx
xfxf
ξf


 , νπόηε έρνπκε ))(()()( 1212 xxξfxfxf 
Δπεηδή 0)(  ξf θαη 012  xx , έρνπκε 0)()( 12  xfxf , νπόηε )()( 21 xfxf  .
 Σηελ πεξίπηωζε πνπ είλαη 0)(  xf εξγαδόκαζηε αλαιόγωο.
y
O x
y=g(x)+c
y=g(x)
   ( ) 0 ( )f x f x c
        ( ) ( )f x g x f x g x c
    ( ) ( ) x
f x f x f x ce

21. Τν αληίζηξνθν ηνπ παξαπάλω ζεωξήκαηνο δελ ηζρύεη. Γειαδή, αλ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα
(αληηζηνίρωο γλεζίωο θζίλνπζα) ζην Γ, ε παξάγωγόο ηεο δελ είλαη ππνρξεσηηθά ζεηηθή
(αληηζηνίρωο αξλεηηθή) ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ.
58. Τη νλνκάδνπκε ηνπηθό κέγηζην θαη ηη ηνπηθό ειάρηζην ηεο f ;
 Μηα ζπλάξηεζε f, κε πεδίν νξηζκνύ Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ζην Ax 0 ηνπηθό
κέγηζην, όηαλ ππάξρεη 0δ , ηέηνην ώζηε : )()( 0xfxf  γηα θάζε ),( 00 δxδxAx  .
Τν 0x ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ κεγίζηνπ, ελώ ην )( 0xf ηνπηθό κέγηζην ηεο f.
 Μία ζπλάξηεζε f, κε πεδίν νξηζκνύ Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ζην Ax 0 ηνπηθό
ειάρηζην, όηαλ ππάξρεη 0δ , ηέηνην ώζηε : )()( 0xfxf  , γηα θάζε ),( 00 δxδxAx  .
Τν 0x ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ ειαρίζηνπ, ελώ ην )( 0xf ηνπηθό ειάρηζην ηεο f.
 Αλ κηα ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη κέγηζην, ηόηε απηό ζα είλαη ην κεγαιύηεξν από ηα ηνπηθά
κέγηζηα, ελώ αλ παξνπζηάδεη, ειάρηζην, ηόηε απηό ζα είλαη ην κηθξόηεξν από ηα ηνπηθά ειάρηζηα.
 Τν κεγαιύηεξν όκωο από ηα ηνπηθά κέγηζηα κίαο ζπλάξηεζεο δελ είλαη πάληνηε κέγηζην
απηήο. Δπίζεο ην κηθξόηεξν από ηα ηνπηθά ειάρηζηα κίαο ζπλάξηεζεο δελ είλαη πάληνηε
ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο.
Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη έρεη έλα ηνπηθό αθξόηαην ,ηόηε ζα είλαη θαη νιηθό.
59. Να δηαηππώζεηε ην Θεώξεκα Fermat
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζ’ έλα δηάζηεκα Γ θαη 0x έλα εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ. Αλ
ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην 0x θαη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηό, ηόηε:
0)( 0  xf
60. Πνηεο είλαη νη πηζαλέο ζέζεηο ησλ ηνπηθώλ αθξνηάησλ κηαο ζπλάξηεζεο
f ;
 Τα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε παξάγωγνο ηεο f κεδελίδεηαη.
 Τα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε f δελ παξαγωγίδεηαη.
 Τα άθξα ηνπ Γ (αλ αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο).
Τα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε f δελ παξαγωγίδεηαη ή ε παξάγωγόο ηεο είλαη ίζε
κε ην κεδέλ, ιέγνληαη θξίζηκα ζεκεία ηεο f ζην δηάζηεκα Γ.
61. Τη γλσξίδεηε γηα ηελ παξάγσγν ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν πνπ παξνπζηάδεη
αθξόηαην ;
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζ’ έλα δηάζηεκα Γ θαη 0x εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ. Αλ ε f
παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην 0x θαη είλαη παξαγωγίζηκε ζ΄ απηό, ηόηε: 0)( 0  xf
62. Πσο ζρεηίδεηαη ην πξόζεκν ηεο f΄ κε ηα ηνπηθά αθξόηαηα;
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζ’ έλα δηάζηεκα ),( βα , κε εμαίξεζε ίζωο έλα ζεκείν
ηνπ 0x , ζην νπνίν όκωο ε f είλαη ζπλερήο.
Αλ 0)(  xf ζην ),( 0xα θαη 0)(  xf ζην ),( 0 βx , ηόηε ην )( 0xf είλαη ηνπ. κέγηζην ηεο f.
Αλ 0)(  xf ζην ),( 0xα θαη 0)(  xf ζην ),( 0 βx , ηόηε ην )( 0xf είλαη ηνπ. ειάρηζην ηεο f.
Aλ ε )(xf  δηαηεξεί πξόζεκν ζην ),(),( 00 βxxα  , ηόηε ην )( 0xf δελ είλαη ηνπηθό αθξόηαην θαη
ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην ),( βα .

22. 63. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα  και 0x εσωτερικό
σημείο του  . Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι
παραγωγίσιμη σ΄ αυτό, τότε: 0( ) 0f x 
Απόδεημε
Αο ππνζέζνπκε όηη ε f παξνπζηάδεη ζην 0x ηνπηθό κέγηζην. Δπεηδή ην 0x είλαη εζωηεξηθό
ζεκείν ηνπ Γ θαη ε f παξνπζηάδεη ζ’ απηό ηνπηθό κέγηζην, ππάξρεη 0δ ηέηνην, ώζηε
Γδxδx  ),( 00 θαη )()( 0xfxf  , γηα θάζε ),( 00 δxδxx  . (1)
Δπεηδή, επηπιένλ, ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0x , ηζρύεη
0
0
00
0
0
0
)()(
lim
)()(
lim)(
xx
xfxf
xx
xfxf
xf
xxxx 






. Δπνκέλωο,
— αλ ),( 00 xδxx  , ηόηε, ιόγω ηεο (1), ζα είλαη 0
)()(
0
0



xx
xfxf
, νπόηε ζα έρνπκε
0
)()(
lim)(
0
0
0
0 



 xx
xfxf
xf
xx
(2)
— αλ ),( 00 δxxx  , ηόηε, ιόγω ηεο (1), ζα είλαη 0
)()(
0
0



xx
xfxf
, νπόηε ζα έρνπκε
0
)()(
lim)(
0
0
0
0 



 xx
xfxf
xf
xx
. (3) Έηζη , από ηηο (2) θαη (3) έρνπκε 0)( 0  xf .
Η απόδεημε γηα ηνπηθό ειάρηζην είλαη αλάινγε.
64. Πώο βξίζθνπκε ηα νιηθά αθξόηαηα ζε κηα ζπλερή ζπλάξηεζε f ζε έλα
θιεηζηό δηάζηεκα
Γηα ηελ εύξεζε ηνπ κέγηζηνπ θαη ειάρηζηνπ ηεο ζπλάξηεζεο f ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα
εξγαδόκαζηε ωο εμήο:
 Βξίζθνπκε ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο f.
 Υπνινγίδνπκε ηηο ηηκέο ηεο f ζηα ζεκεία απηά θαη ζηα άθξα ησλ δηαζηεκάησλ.
 Από απηέο ηηο ηηκέο ε κεγαιύηεξε είλαη ην κέγηζην θαη ε κηθξόηεξε ην ειάρηζην ηεο f.
65. Η συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα
( , )  , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι
συνεχής.
i) Αν ( ) 0f x  στο 0( , )x και ( ) 0f x  στο 0( , )x  , τότε το 0( )f x είναι τοπικό
μέγιστο της f.
ii) Aν η ( )f x διατηρεί πρόσημο στο 0 0( , ) ( , )x x   , τότε το 0( )f x δεν είναι
τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( , )  .
Απόδεημε

23. i) Δπεηδή ( ) 0 f x γηα θάζε 0(α, )x x θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0x , ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα
ζην 0(α, ]x . Έηζη έρνπκε 0( ) ( )f x f x , γηα θάζε 0(α, ]x x . (1) Δπεηδή ( ) 0 f x γηα θάζε
0( ,β)x x θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην 0x , ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην 0[ ,β)x . Έηζη έρνπκε:
0( ) ( )f x f x , γηα θάζε 0[ ,β)x x . (2)
y
O
f(x0)
f΄<0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄<0f΄>0
βa x0 x
f(x0)
Δπνκέλωο, ιόγω ηωλ (1) θαη (2), ηζρύεη: 0( ) ( )f x f x , γηα θάζε (α,β)x , πνπ ζεκαίλεη όηη ην
0( )f x είλαη κέγηζην ηεο f ζην (α,β) θαη άξα ηνπηθό κέγηζην απηήο.
ii) Έζηω όηη ( ) 0 f x , γηα θάζε 0 0(α, ) ( ,β) x x x .
y
O
f΄>0
f΄>0
βa x0 x
y
O
f΄>0
f΄>0
βa x0 x
Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην 0x ζα είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε θάζε έλα από ηα δηαζηήκαηα
0(α, ]x θαη 0[ ,β)x . Δπνκέλωο, γηα 1 0 2 x x x ηζρύεη 1 0 2( ) ( ) ( ) f x f x f x . Άξα ην 0( )f x δελ
είλαη ηνπηθό αθξόηαην ηεο f. Θα δείμνπκε, ηώξα, όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (α,β) .
Πξάγκαηη, έζηω 1 2, (α,β)x x κε 1 2x x .
— Αλ 1 2 0, (α, ]x x x , επεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 0(α, ]x , ζα ηζρύεη 1 2( ) ( )f x f x .
— Αλ 1 2 0, [ ,β)x x x , επεηδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην 0[ ,β)x , ζα ηζρύεη 1 2( ) ( )f x f x .
— Τέινο, αλ 1 0 2 x x x , ηόηε όπωο είδακε 1 0 2( ) ( ) ( ) f x f x f x .
Δπνκέλωο, ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ηζρύεη 1 2( ) ( )f x f x , νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
(α,β).
Οκνίωο, αλ ( ) 0 f x γηα θάζε 0 0(α, ) ( ,β) x x x .
66. Πόηε κηα ζπλάξηεζε νλνκάδεηαη θπξηή ή θνίιε ;
Έζηω κία ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζ’ έλα δηάζηεκα Γ θαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ.
Θα ιέκε όηη:
 Η ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ ή είλαη θπξηή ζην Γ, αλ ε f  είλαη γλεζίωο
αύμνπζα ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ.
 Η ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ ή είλαη θνίιε ζην Γ, αλ ε f  είλαη γλεζίωο
θζίλνπζα ζην εζωηεξηθό ηνπ Γ.
67. Πσο ζρεηίδεηαη ην πξόζεκν ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ κε ηελ θπξηόηεηα ;
΄Δζηω κηα ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζ’ έλα δηάζηεκα Γ θαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην
εζωηεξηθό ηνπ Γ.

24.  Αλ 0)(  xf γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν x ηνπ Γ, ηόηε ε f είλαη θπξηή ζην Γ.
 Αλ 0)(  xf γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν x ηνπ Γ, ηόηε ε f είλαη θνίιε ζην Γ.
68. Τη νλνκάδνπκε ζεκείν θακπήο ηεο γ.π. κηαο ζπλάξηεζεο ;
Έζηω κηα ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζ’ έλα δηάζηεκα ),( βα , κε εμαίξεζε ίζωο έλα ζεκείν
ηνπ 0x . Αλ ε f είλαη θπξηή ζην ),( 0xα θαη θνίιε ζην ),( 0 βx , ή αληηζηξόθωο, θαη ε fC έρεη
εθαπηνκέλε ζην ζεκείν ))(,( 00 xfxA , ηόηε ην ζεκείν ))(,( 00 xfxA νλνκάδεηαη ζεκείν θακπήο
ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f.
69. Πσο ζρεηίδεηαη ε f΄΄ κε ην ζεκείν θακπήο ;
 Αλ ην ))(,( 00 xfxA είλαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f θαη ε f είλαη δπν
θνξέο παξαγωγίζηκε, ηόηε 0)( 0  xf .
 Έζηω κηα ζπλάξηεζε f oξηζκέλε ζ’ έλα δηάζηεκα ),( βα θαη ),(0 βαx  . Αλ ε f  αιιάδεη
πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ 0x θαη νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ))(,( 00 xfxA ,
ηόηε ην ))(,( 00 xfxA είλαη ζεκείν θακπήο.
Η ζπλζήθε  0 0 f x δελ καο εμαζθαιίδεη θαη΄αλάγθε ,όηη ην ζεκείν   0 0,A x f x ,είλαη Σ.Κ.
Θα πξέπεη ε f  λα αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ 0x .
70. Πνηεο είλαη νη πηζαλέο ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο ;
Οη π ι θ α ν έ ρ θ έ ζ ε ι ρ ζ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ρ κηαο ζπλάξηεζεο f ζ’ έλα δηάζηεκα Γ είλαη:
i)Τα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε f  κεδελίδεηαη .
ii)Τα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία δελ ππάξρεη ε f 
71. Τη νλνκάδνπκε θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο γ.π. ηεο f ;
Αλ έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα όξηα )(lim
0
xf
xx 
, )(lim
0
xf
xx 
είλαη  ή  , ηόηε ε επζεία 0xx 
ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f.
72. Τη νλνκάδνπκε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο γ.π. ηεο f ;
Αλ 

)(lim xf
x
(αληηζηνίρωο ))(lim 

xf
x
, ηόηε ε επζεία y ιέγεηαη νξηδόληηα
αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην  (αληηζηνίρωο ζην  ).
73. Τη νλνκάδνπκε αζύκπησηε (πιάγηα) ηεο γ.π. ηεο f ;
Η επζεία βxλy  ιέγεηαη αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην  , αλ
0)]()([lim 

βxλxf
x
θαη ζην  αλ 0)]()([lim 

βxλxf
x
.
Η ζπλζήθε  0 0 f x δελ καο εμαζθαιίδεη θαη΄αλάγθε ,όηη ην ζεκείν   0 0,A x f x ,είλαη Σ.Κ.
Θα πξέπεη ε f  λα αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ 0x .

25. 74. Να γξάςεηε ηνπο ηύπνπο ,κε ηνπο νπνίνπο βξίζθνπκε ηηο αζύκπησηεο ηεο
κνξθήο    y x
Η επζεία βxλy  είλαη αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην  , αληηζηνίρωο
ζην  , αλ
θαη κόλν αλ
x
f(x)
lim R
x
  θαη
x
lim[f(x) x] R

   ,
αληηζηνίρωο :
x
f(x)
lim R
x
  θαη
x
lim[f(x) x] R

   .
΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΗΝ ΔΤΡΔ΢Η Α΢ΤΜΠΣΩΣΩΝ
1. Απνδεηθλύεηαη όηη:
— Οη πνιπωλπκηθέο ζπλαξηήζεηο βαζκνύ κεγαιύηεξνπ ή ίζνπ ηνπ 2 δελ έρνπλ αζύκπηωηεο.
— Οη ξεηέο ζπλαξηήζεηο
)(
)(
xQ
xP
, κε βαζκό ηνπ αξηζκεηή )(xP κεγαιύηεξν ηνπιάρηζηνλ θαηά
δύν ηνπ βαζκνύ ηνπ παξνλνκαζηή, δελ έρνπλ πιάγηεο αζύκπηωηεο.
2. Σύκθωλα κε ηνπο παξαπάλω νξηζκνύο, αζύκπηωηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο
ζπλάξηεζεο f αλαδεηνύκε:
— Σηα άθξα ηωλ δηαζηεκάηωλ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ζηα νπνία ε f δελ νξίδεηαη.
— Σηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, ζηα νπνία ε f δελ είλαη ζπλερήο.
— Σην  ,  , εθόζνλ ε ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο ),( α ,
αληηζηνίρωο ),( α
75. Πνηνη είλαη νη θαλόλεο De l΄ Hospital ;
1oο Καλόλαο
Αλ 0)(lim
0


xf
xx
, 0)(lim
0


xg
xx
, 0 R { , }x     θαη ππάξρεη ην
)(
)(
lim
0 xg
xf
xx 


(πεπεξαζκέλν
ή άπεηξν), ηόηε:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx 



.
2oο Καλόλαο
Αλ 

)(lim
0
xf
xx
, 

)(lim
0
xg
xx
, 0 R { , }x     θαη ππάξρεη ην
)(
)(
lim
0 xg
xf
xx 


(πεπεξαζκέλν ή άπεηξν), ηόηε:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx 



.

26. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΣΑ
76. Τη νλνκάδνπκε Αξρηθή ζπλάξηεζε ή παξάγνπζα ηεο f ζην δηάζηεκα Γ ;
Έζηω f κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ. Αξρηθή ζπλάξηεζε ή
παξάγνπζα ηεο f ζην δηάζηεκα Γ νλνκάδεηαη θάζε ζπλάξηεζε F πνπ είλαη
παξαγωγίζηκε ζην Γ θαη ηζρύεη
)()( xfxF  , γηα θάζε Γx .
77. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια
παράγουσα της f στο Δ, τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής
( ) ( )G x F x c  , c R είναι παράγουσες της f στο Δ και β) κάθε άλλη
παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή ( ) ( )G x F x c  , c R .
Απόδεημε
α) θάζε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο cxFxG  )()( , όπνπ c R, είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην Γ,
αθνύ )()())(()( xfxFcxFxG  , γηα θάζε Γx .
 Έζηω G είλαη κηα άιιε παξάγνπζα ηεο f ζην Γ. Τόηε γηα θάζε Γx ηζρύνπλ )()( xfxF  θαη
)()( xfxG  , νπόηε )()( xFxG  , γηα θάζε Γx .
Άξα, ζύκθωλα κε ην πόξηζκα ηεο § 2.6, ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα, ώζηε cxFxG  )()( , γηα
θάζε Γx .
78. Τη νλνκάδνπκε νξηζκέλν νινθιήξσκα ηεο f ζην [α,β] ;
Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] ηόηε νξίδνπκε :
1
( ) lim ( )f x dx f x

 




 
  
 
 .
Δπίζεο νξίδνπκε : ( ) ( )f x dx f x dx
 
 
   θαη ( ) 0f x dx



79. Πνηεο είλαη νη ηδηόηεηεο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο ;
Έζηω gf , ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην ],[ βα θαη μλ, R. Τόηε ηζρύνπλ
α)  
β
α
β
α
dxxfλdxxfλ )()( β)   
β
α
β
α
β
α
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
γ)   
β
α
β
α
β
α
dxxgμdxxfλdxxgμxfλ )()()]()([
δ) Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζε δηάζηεκα Γ θαη , ,    , ηόηε ηζρύεη :

27.  
β
γ
γ
α
β
α
dxxfdxxfdxxf )()()(
ε) Έζηω f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα ],[ βα . Αλ 0)( xf γηα θάζε ],[ βαx θαη
ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη παληνύ κεδέλ ζην δηάζηεκα απηό, ηόηε  
β
α
dxxf 0)( .
80. Τη γλσξίδεηε γηα ηε ζπλάξηεζε ( ) ( )
x
F x f t dt

  ; Πνηα είλαη ε
παξάγσγνο ηεο ;
Σηε ζπλέρεηα λα δώζεηε ηελ γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο παξαγώγνπ ηεο.
 Αλ f είλαη κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη α είλαη έλα ζεκείν ηνπ Γ, ηόηε ε
ζπλάξηεζε 
x
α
dttfxF )()( , Γx , είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην Γ. Γειαδή ηζρύεη:
 ( ) ( ) ( )
x
F x f t dt f x


   , γηα θάζε Γx .
 Δπνπηηθά ην ζπκπέξαζκα ηνπ παξαπάλω ζεωξήκαηνο πξνθύπηεη ωο εμήο:



hx
x
dttfxFhxF )()()(  Δκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω.
hxf  )( , γηα κηθξά 0h .Άξα, γηα κηθξά 0h είλαη
)(
)()(
xf
h
xFhxF


,νπόηε )(
)()(
lim)(
0
xf
h
xFhxF
xF
h




81. Έστω ( )f x μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [ , ]  .
Αν G είναι μια παράγουσα της ( )f x στο[ , ]  , τότε
( ) ( ) ( )f t dt G G


   
Απόδεημε
Σύκθωλα κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα, ε ζπλάξηεζε 
x
α
dttfxF )()( είλαη κηα παξάγνπζα ηεο
f ζην ],[ βα . Δπεηδή θαη ε G είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην ],[ βα , ζα ππάξρεη c R ηέηνην,
ώζηε : cxFxG  )()( (1)
Από ηελ (1), γηα αx  , έρνπκε  
α
α
ccdttfcαFαG )()()( , νπόηε )(αGc  .
Δπνκέλωο, )()()( αGxFxG  ,
νπόηε, γηα βx  , έρνπκε  
β
α
αGdttfαGβFβG )()()()()(
θαη άξα  
β
α
αGβGdttf )()()( .
82. Να γξάςεηε ηνπο ηύπνπο ηεο παξαγνληηθήο νινθιήξσζεο θαη ηεο
αληηθαηάζηαζεο γηα ην νξηζκέλν νινθιήξσκα.
α) Ιζρύεη όηη :
βxαO
x
F(x) f(x)
y=f(x)
y

28. f(x)g (x)dx [f(x)g(x)] f (x)g(x)dx
 

 
    ,
όπνπ gf , είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην ],[ βα .
β) Ιζρύεη όηη :
2
1
u
u
f(g(x))g (x)dx f(u)du


   ,
όπνπ gf , είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο, )(xgu  , dxxgdu )( θαη )(1 αgu  , )(2 βgu  .
83. Α. Να γξάςεηε ηνλ ηύπν πνπ δίλεη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ
νξίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f , ηηο επζείεο x  , x   θαη ηνλ
άμνλα x x ,όηαλ ( ) 0f x  γηα θάζε [ , ]x   θαη ε ζπλάξηεζε ( )f x είλαη
ζπλερήο .
Β. Να γξάςεηε ηνλ ηύπν πνπ δίλεη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ
πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ,f g θαη ηηο επζείεο x  , x  
Α. Ιζρύεη : ( ) | ( )| E f x dx



Β. Ιζρύεη : ( ) | ( ) ( )| E f x g x dx



84. Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις ,f g είναι ( ) ( )f x g x για κάθε
[ , ]x   , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες x  , x  δίνεται από τον τύπο :
( ) ( ( ) ( )) E f x g x dx



Απόδεημε
Έζηω, ηώξα, δπν ζπλαξηήζεηο f θαη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκα ],[ βα κε 0)()(  xgxf γηα θάζε
],[ βαx θαη Ω ην ρωξίν πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ gf , θαη ηηο
επζείεο αx  θαη βx 
Ω
O x
y=g(x)
y=f(x)
y
Παξαηεξνύκε όηη
   
β
α
β
α
β
α
dxxgxfdxxgdxxfΩΔΩΔΩΔ ))()(()()()()()( 21 .
Δπνκέλωο,  
β
α
dxxgxfΩE ))()(()(

29. ΢ΗΜΑΝΣΙΚΔ΢ ΔΠΙ΢ΗΜΑΝ΢ΔΙ΢ ΢ΣΟ ΔΜΒΑΓΟ ΥΩΡΙΟΤ
Α. Φσξίν πνπ νξίδεηαη από ηελ γξ. παξάζηαζε ηεο f , ηνλ άμνλα ρ΄ρ , θαη ηηο επζείεο
x=α θαη x=β
1. Αν f(x)0 , για κάκε  x α,β
τότε    f x dx


   
2. Αν f(x)  0 , για κάκε  x α,β
τότε    f x dx


   
3.Αλ ε f δελ δηαηεξεί πξόζεκν ζην [α , β]
ηόηε ην εκβαδό είλαη ην άζξνηζκα ησλ
εκβαδώλ ησλ ρσξίσλ ζηα δηαζηήκαηα
πνπ ε f είλαη ζεηηθή ή αξλεηηθή.
 
γ βδ
α γ δ
Δ Ω f(x)dx+ -f(x)dx+ f(x)dx   
όπνπ γ ,δ νη ξίδεο ηεο f ζην δηάζηεκα [α ,β]
Β. Φσξίν πνπ νξίδεηαη από ηηο γξ. παξαζηάζεηο ησλ f,g , ηνλ άμνλα ρ΄ρ , θαη ηηο
επζείεο x=α θαη x=β
Όηαλ ε δηαθνξά ( ) ( )f x g x δελ δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην [ , ]  , ηόηε ην εκβαδόλ
ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ,f g θαη ηηο επζείεο
x   θαη x   είλαη ίζν κε ( ) | ( ) ( )|E f x g x dx


  

30. Β Πανελλαδικζς Εξετάσεις 2000 - 2016
Θζματα Θεωρίας
1. Πότε δφο ςυναρτιςεισ 𝑓, 𝑔 λζγονται ίςεσ; (2007, επαναλθπτικζσ 2012,2016)
2. Πότε λζμε ότι μια ςυνάρτθςθ 𝑓 με πεδίο οριςμοφ 𝐴 παρουςιάηει ςτο 𝑥0 ∈ 𝐴 (ολικό) μζγιςτο,
το 𝑓(𝑥0); (Επαναλθπτικζσ 2010).
3. Πότε μια ςυνάρτθςθ 𝑓: 𝐴 → 𝑅 λζγεται “1-1”; (Επαναλθπτικζσ 2005 και 2015)
4. Πότε λζμε ότι μια ςυνάρτθςθ 𝑓 είναι ςυνεχισ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα [𝛼, 𝛽];
(2008, 2012)
5. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝑓, θ οποία είναι οριςμζνθ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα 𝛼, 𝛽 . Αν θ 𝑓 είναι
ςυνεχισ ςτο 𝛼, 𝛽 και 𝑓 𝛼 ≠ 𝑓(𝛽), δείξτε ότι για κάκε αρικμό 𝜂 μεταξφ των 𝑓 𝛼 και 𝑓(𝛽)
υπάρχει τουλάχιςτον ζνα, 𝑥0 𝜖(𝛼, 𝛽) τζτοιο, ϊςτε 𝑓 𝑥0 = 𝜂. (2005-2013-2015)
6. Πότε λζμε ότι μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα [α, β] του πεδίου
οριςμοφ τθσ; (2013)
7. Πότε λζμε ότι μια ςυνάρτθςθ 𝑓 είναι παραγωγίςιμθ ςε ζνα ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ;
(2004, 2009, Επαναλθπτικζσ 2010)
8. Aν θ ςυνάρτθςθ 𝑓 είναι παραγωγίςιμθ ς' ζνα ςθμείο 𝑥0 του πεδίου οριςμοφ τθσ, να γραφεί θ
εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ 𝑓 ςτο ςθμείο 𝐴(𝑥0, 𝑓 𝑥0 ).
(2000)
9. Να αποδείξετε ότι, αν μία ςυνάρτθςθ 𝑓 είναι παραγωγίςιμθ ς’ ζνα ςθμείο 𝑥0, τότε είναι και
ςυνεχισ ςτο ςθμείο αυτό. (2000, 2003, Επαναλθπτικζσ 2007, 2009,2013)
10.Ζςτω θ ςυνάρτθςθ 𝑓 με 𝑓 𝑥 = 𝑥. Να αποδείξετε ότι θ 𝑓 είναι παραγωγίςιμθ ςτο (0, +∞)
και ιςχφει 𝑓′
𝑥 =
1
2 𝑥
(Επαναλθπτικζσ 2005, 2009)
11.Αν οι ςυναρτιςεισ 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίςιμεσ ςτο 𝑥0, να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ 𝑓 + 𝑔
είναι παραγωγίςιμθ ςτο 𝑥0 και ιςχφει (𝑓 + 𝑔)′
𝑥0 = 𝑓′
𝑥0 + 𝑔′
𝑥0 . (δεν ζχει πζςει ωσ
τϊρα)
12.Να αποδειχκεί ότι θ ςυνάρτθςθ 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅∗
είναι παραγωγίςιμθ ςτο 𝑅∗
και ιςχφει
𝑙𝑛 𝑥 ′
=
1
𝑥
, (2008)
13.Να διατυπϊςετε το Θεϊρθμα Rolle. (Επαναλθπτικζσ 2012)
14.Τι ςθμαίνει γεωμετρικά το Θεϊρθμα Rolle του Διαφορικοφ Λογιςμοφ;
(Επαναλθπτικζσ 2007)

31. 15. Α.Τι ςθμαίνει γεωμετρικά το Θεϊρθμα Μζςθσ Τιμισ του Διαφορικοφ Λογιςμοφ;
(Επαναλθπτικζσ 2008)
Β. Να διατυπϊςετε το Θεϊρθμα Μζςθσ Τιμισ του Διαφορικοφ Λογιςμοφ(Θ.Μ.Τ.) (2013)
Γ. Να διατυπϊςετε το κεϊρθμα μζςθσ τιμισ του διαφορικοφ λογιςμοφ και να το ερμθνεφςετε
γεωμετρικά. (2016)
16.Ζςτω μία ςυνάρτθςθ 𝑓 οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα 𝛥. Αν θ 𝑓 είναι ςυνεχισ ςτο 𝛥 και
𝑓′
𝑥 = 0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο 𝑥 του 𝛥, τότε να αποδείξετε ότι θ 𝑓 είναι ςτακερι ςε
όλο το διάςτθμα 𝛥. (Επαναλθπτικζσ 2004,2014)
17.Ζςτω 𝑓, 𝑔 ςυναρτιςεισ οριςμζνεσ ςε ζνα διάςτθμα 𝛥. Αν οι 𝑓, 𝑔 είναι ςυνεχείσ ςτο 𝛥 και
   f x g x  για κάκε εςωτερικό ςθμείο 𝑥 του 𝛥, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει ςτακερά 𝑐
τζτοια ϊςτε για κάκε 𝑥 ∈ 𝛥 να ιςχφει 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐.
18. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝑓, θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα 𝛥. Να αποδείξετε ότι αν
𝑓′
𝑥 > 0 ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο 𝑥 του 𝛥, τότε θ 𝑓 είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ.
(2006, 2012, Επαναλθπτικζσ 2000)
19.Ζςτω ςυνάρτθςθ 𝑓 με πεδίο οριςμοφ 𝐴. Πότε λζμε ότι θ 𝑓 παρουςιάηει ςτο 𝑥0 ∈ 𝐴 τοπικό
μζγιςτο; (2012)
20.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝒇 οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα 𝜟 και 𝑥0 ζνα εςωτερικό ςθμείο του
𝜟. Αν θ 𝒇 παρουςιάηει τοπικό ακρότατο ςτο 𝑥0 και είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο
αυτό, να αποδείξετε ότι 𝑓′
𝑥0 = 0. (2004, 2009, 2011)
21.Α)Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝒇 παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα (𝛼, 𝛽), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο
του 𝑥0, ςτο οποίο όμωσ θ 𝒇 είναι ςυνεχισ. Αν 𝑓′
𝑥0 > 0 ςτο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′
𝑥0 < 0 ςτο
(𝑥0, 𝛽), τότε να αποδείξετε ότι το 𝑓 𝑥0 είναι τοπικό μζγιςτο τθσ f.
(Επαναλθπτικζσ 2012)
Β)Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα (α, β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο
x0 ςτο οποίο, όμωσ, θ f είναι ςυνεχισ. Αν θ fϋ(x) διατθρεί πρόςθμο ςτο (α, x0)∪(x0, β), τότε να
αποδείξετε ότι το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο (α,β)
(Επαναλθπτικζσ 2014)
22.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝑓 ςυνεχισ ς’ ζνα διάςτθμα 𝜟 και παραγωγίςιμθ ςτο εςωτερικό του 𝜟.
Πότε λζμε ότι θ 𝑓 ςτρζφει τα κοίλα προσ τα άνω ι είναι κυρτι ςτο 𝜟; (2006)
23.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ 𝑓 ςυνεχισ ς’ ζνα διάςτθμα 𝜟 και παραγωγίςιμθ ςτο εςωτερικό του 𝜟.
Πότε λζμε ότι θ 𝑓 ςτρζφει τα κοίλα προσ τα κάτω ι είναι κοίλθ ςτο 𝜟; (2010)
24.Πότε θ ευκεία 𝑥 = 𝑥0 λζγεται κατακόρυφθ αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ μιασ
ςυνάρτθςθσ 𝑓; (2010)
25.Πότε θ ευκεία 𝑦 = 𝑙 λζγεται οριηόντια αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ 𝑓 ςτο +∞;
(2007)

32. 26.Πότε θ ευκεία 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝛽 λζγεται αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ μιασ ςυνάρτθςθσ 𝑓
ςτο +∞; (2005, 2011)
27.Ζςτω 𝑓 μία ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα 𝜟. Τι ονομάηουμε αρχικι ςυνάρτθςθ ι
παράγουςα τθσ 𝑓 ςτο 𝜟; (Επαναλθπτικζσ 2006, 2011)
28.Ζςτω 𝑓 μια ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα 𝜟. Αν 𝐹 είναι μια παράγουςα τθσ 𝑓 ςτο 𝜟,
να αποδείξετε ότι: α) όλεσ οι ςυναρτιςεισ τθσ μορφισ: 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝜖𝑅 είναι
παράγουςεσ τθσ 𝑓 ςτο 𝜟 και β) κάκε άλλθ παράγουςα 𝐺 τθσ 𝑓 ςτο 𝜟 παίρνει τθ μορφι
𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝜖𝑅. (2010, Επαναλθπτικζσ 2001, 2003,2015)
29.Να ςυμπλθρϊςετε ςτο τετράδιό ςασ τισ παρακάτω ςχζςεισ ϊςτε να προκφψουν γνωςτζσ
ιδιότθτεσ του οριςμζνου ολοκλθρϊματοσ: α) 𝜆𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= ………………………………..……..
β) (𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= …………………… γ) 𝜆𝑓 𝑥 + 𝜇𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= ………………………
όπου 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅 και 𝑓, 𝑔 ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο [𝛼, 𝛽]. (Επαναλθπτικζσ 2001)
30.Ζςτω 𝑓 μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ς' ζνα διάςτθμα [𝛼, 𝛽]. Αν 𝐺 είναι μια παράγουςα τθσ 𝑓 ςτο
[𝛼, 𝛽], τότε να δείξετε ότι 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝛽
𝛼
= 𝐺 𝛽 − 𝐺(𝛼). (2002, Επαναλθπτικζσ 2008,2013)
31.Να αποδείξεηε όηι η ζυνάπηηζη f(x) x  είναι παπαγωγίζιμη ζηο
1 {x | x 0}     και ιζχύει 2
1
( x)
x
 

32.Να διατυπϊςετε το κεϊρθμα του Fermat. (2013-ε)
33.Ζςτω ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Ποια ςθμεία λζγονται κρίςιμα ςθμεία τθσ f;
(2013-ε)
34. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και παραγωγίςιμθ ςτο εςωτερικό του Δ.
Πότε λζμε ότι θ ςυνάρτθςθ f ςτρζφει τα κοίλα προσ τα κάτω ι είναι κοίλθ ςτο Δ; (2014)
35. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ A . Πότε λζμε ότι θ f παρουςιάηει ςτο 0x A (ολικό)
μζγιςτο, το  0f x ; (2014)
36.Να διατυπϊςετε το κεϊρθμα του Bolzano. (2014-ε)
37.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Τι ονομάηουμε αρχικι ςυνάρτθςθ ι
παράγουςα τθσ f ςτο Δ ; (2014-ε)
38.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f και x0 ζνα ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ. Πότε λζμε ότι θ f είναι
ςυνεχισ ςτο x0; (2015)
39.Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ A. Πότε λζμε ότι θ f παρουςιάηει ςτο
xo∈Α τοπικό ελάχιςτο; (2015)

33. 40.Πότε θ ευκεία 0x x λζγεται κατακόρυφθ αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ
μιασ ςυνάρτθςθσ f; (2015-ε)
41.Να διατυπϊςετε το κριτιριο παρεμβολισ. (2016-ε)
42.Πότε λζμε ότι θ ευκεία y=ℓ είναι οριηόντια αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ
ςυνάρτθςθσ f ςτο +∞ ; (2016-ε)

34. Γ Σο ΢-Λ των Πανελλαδικών Εξετάσεων
2000 – 2016
Α. ΑΠΕΙΡΟ΢ΣΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢
1. Αν για δφο ςυναρτιςεισ ,f g ορίηονται οι f g και g f , τότε είναι
υποχρεωτικά  f g g f .
2. Αν ,f g είναι δφο ςυναρτιςεισ με πεδίο οριςμοφ το  και ορίηονται οι
ςυνκζςεισ f g και g f , τότε αυτζσ οι ςυνκζςεισ είναι υποχρεωτικά ίςεσ.
3. Μια ςυνάρτθςθ :   f είναι ςυνάρτθςθ 1-1, αν και μόνον αν για
οποιαδιποτε ,1 2 x x ιςχφει θ ςυνεπαγωγι:
αν 1 2x x , τότε ( ) ( )1 2f x f x .
4. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ C και C των γραφικϊν παραςτάςεων των
ςυναρτιςεων f και 1
f είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τθν ευκεία y x που
διχοτομεί τισ γωνίεσ xOy και ' 'x Oy .
5. Αν μια ςυνάρτθςθ :   f είναι 1-1, τότε για τθν αντίςτροφθ
ςυνάρτθςθ 1
f ιςχφει:
( ( ))1
f f x x , x , και ( ( ))1
f f y y , ( ) y f
6. Αν θ f ζχει αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ 1
f και θ γραφικι παράςταςθ τθσ f
ζχει κοινό ςθμείο Α με τθν ευκεία y x , τότε το ςθμείο Α ανικει και ςτθ
γραφικι παράςταςθ τθσ 1
f .
7. Μια ςυνάρτθςθ :   f είναι 1-1, αν και μόνον αν για κάκε ςτοιχείο
y του ςυνόλου τιμϊν τθσ θ εξίςωςθ ( ) f x y ζχει ακριβϊσ μια λφςθ ωσ
προσ x .
8. Κάκε ςυνάρτθςθ, που είναι 1 1 ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ είναι γνιςια
μονότονθ.
9. Τπάρχουν ςυναρτιςεισ που είναι 1 1 , αλλά δεν είναι γνιςια μονότονεσ.
20. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ς’ ζνα ςφνολο τθσ μορφισ ( , ) ( , )0 0x x 
και l ζνασ πραγματικόσ αρικμόσ. Σότε ιςχφει θ ιςοδυναμία:
lim ( ) lim( ( ) )
0 0
0
 
   
x x x x
f x l f x l .
10. Αν υπάρχει το όριο τθσ ςυνάρτθςθσ f ςτο 0x και lim ( )
0
0


x x
f x , τότε
lim ( )
0
0


x x
f x .

35. 11. Αν υπάρχει το όριο lim ( )
0
0


x x
f x , τότε ( ) 0f x κοντά ςτο 0x .
12. lim ( )
0

x x
f x  , αν και μόνον αν lim ( ) lim ( )
0 0
 
 
 
x x x x
f x f x  .
13. Αν υπάρχει το lim( ( ) ( ))
0

x x
f x g x , τότε κατϋ ανάγκθ υπάρχουν τα lim ( )
0x x
f x
και lim ( )
0x x
g x .
14. Αν υπάρχει το όριο τθσ f ςτο 0x , τότε lim ( ) lim ( )
0 0 

x x x x
f x f x
 , εφ’
όςον ( ) 0f x κοντά ςτο 0x , με  και 2 .
15. Αν lim ( )
0
0


x x
f x και ( ) 0f x κοντά ςτο 0x , τότε lim
( )0
1

 
x x f x
.
16. Αν 1 τότε lim 0

x
x
 .
17. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο 0x και θ ςυνάρτθςθ g είναι ςυνεχισ
ςτο 0x , τότε θ ςφνκεςθ τουσ g f είναι ςυνεχισ ςτο 0x .
18. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο [ , ]  με ( ) 0f  και υπάρχει ( , )  
ϊςτε ( ) 0f  , τότε κατ’ ανάγκθ ( ) 0f  .
19. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα [ , ]  και υπάρχει
( , )0 x   τζτοιο ϊςτε ( )0 0f x , τότε κατ’ ανάγκθ κα ιςχφει
( ) ( ) 0f f  .
20. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δε μθδενίηεται ς’
αυτό, τότε αυτι ι είναι κετικι για κάκε x ι είναι αρνθτικι για κάκε
x , δθλαδι διατθρεί ςτακερό πρόςθμο ςτο διάςτθμα Δ.
21. Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f διατθρεί πρόςθμο ςε κακζνα από τα διαςτιματα
ςτα οποία χωρίηουν οι ρίηεσ τθσ f το πεδίο οριςμοφ τθσ.
22. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι οριςμζνθ ςτο [ , ]  και ςυνεχισ ςτο ( , ]  ,
τότε θ f παίρνει πάντοτε ςτο [ , ]  μια μζγιςτθ τιμι.
23. Η εικόνα ( )f ενόσ διαςτιματοσ Δ μζςω μιασ ςυνεχοφσ και μθ ςτακερισ
ςυνάρτθςθσ f είναι διάςτθμα.
24. Η εικόνα ( )f ενόσ διαςτιματοσ Δ μζςω μιασ ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ f
είναι διάςτθμα.
25. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα και ςυνεχισ ςε ζνα ανοικτό
διάςτθμα ( , )  , τότε το ςφνολο τιμϊν τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το
διάςτθμα ( , )  όπου lim ( )

 
x
f x

και lim ( )

 
x
f x

.

36. 26. Αν lim ( )
ox x
f x

 0 <, τότε f (x) <0 κοντά ςτο xo
27. Ιςχφει ότι: x x  για κάκε xR
28. Ιςχφει ότι: lim
x
x
x




0
1
1
29. Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f διατθρεί πρόςθμο ςε κακζνα από τα διαςτιματα ςτα οποία
οι διαδοχικζσ ρίηεσ τθσ f χωρίηουν το πεδίο οριςμοφ τθσ.
30. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι 1 1 ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ, τότε υπάρχουν ςθμεία τθσ
γραφικισ παράςταςθσ τθσ f με τθν ίδια τεταγμζνθ.
31. Αν lim ( )
x x
f x

 
0
, τότε  lim ( )
x x
f x

  
0
32. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δεν μθδενίηεται ςε αυτό, τότε
θ f διατθρεί πρόςθμο ςτο διάςτθμα Δ.
33. Αν  lim
ox x
f x ή

    τότε
 
lim
ox x f x

1
0
34. Αν μια ςυνάρτθςθ f παρουςιάηει (ολικό) μζγιςτο, τότε αυτό κα είναι το μεγαλφτερο από
τα τοπικά τθσ μζγιςτα.
35. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f που είναι οριςμζνθ ςε ζνα ςφνολο τθσ μορφισ (α,x0)∪(x0,β)
Ιςχφει θ ιςοδυναμία
     lim lim lim
ox x x x x x
f x f x f x   
       
 0 0
36. Αν είναι 0 <α <1 , τότε lim x
x


 0.
37. Αν για δφο ςυναρτιςεισ f, g ορίηονται οι ςυναρτιςεισ fog και gof, τότε ιςχφει
πάντοτε ότι fog=gof.
38. Αν lim ( )
ox x
f x

 0 και f(x)>0 κοντά ςτο xo, τότε lim
( )ox x f x
 
1
.
39. Αν οι ςυναρτιςεισ f, g ζχουν όριο ςτο x0 και ιςχφει ( ) ( )f x g x κοντά ςτο x0,
τότε ( ) ( )
x x x x
im f x img x
 

0 0
 
40. Αν ( )
x x
im f x

 
0
 , τότε f(x) > 0 κοντά ςτο x0.
41.Μια ςυνάρτθςθ f είναι 1 1 αν και μόνον αν , για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμϊν
τθσ, θ εξίςωςθ ( )y f x ζχει ακριβϊσ μία λφςθ ωσ προσ x .
42.Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο [ , ]  , τότε θ f παίρνει ςτο [ , ]  μία μζγιςτθ M και μία
ελάχιςτθ τιμι m.

37. Β. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢
1. Αν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x , τότε θ f είναι πάντα ςυνεχισ ςτο 0x .
2. Αν θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο 0x , τότε θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x .
3. Αν θ f ζχει δεφτερθ παράγωγο ςτο 0x , τότε θ f είναι ςυνεχισ ςτο 0x .
4. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ
τθσ τότε είναι και παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο αυτό.
5. Αν οι ςυναρτιςεισ f , g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο 0x , τότε θ ςυνάρτθςθ
f g είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x και ιςχφει ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
   f g x f x g x .
6.Για δφο οποιεςδιποτε ςυναρτιςεισ f, g παραγωγίςιμεσ ςτο x0 ιςχφει:
(f∙g)ϋ(x0)= fϋ(x0)g(x0) f(x0)gϋ(x0)
7. Αν οι ςυναρτιςεισ ,f g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο 0x και ( )0 0g x , τότε θ
ςυνάρτθςθ
f
g
είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x και ιςχφει:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0 0 0
0 2
0
   
 
    
f x g x f x g xf
x
g g x
.
8. Για κάκε 0x ιςχφει  ln
1 x
x
.
9. Ιςχφει ο τφποσ ( ) 1
3 3 
  x x
x , για κάκε x .
10. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο  και δεν είναι αντιςτρζψιμθ,
τότε υπάρχει κλειςτό διάςτθμα [ , ]  , ςτο οποίο θ f ικανοποιεί τισ
προχποκζςεισ του κεωριματοσ Rolle.
11. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και
παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ. Αν θ f είναι γνθςίωσ
αφξουςα ςτο Δ τότε ( ) 0 f x ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ.
12. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν
( ) 0 f x ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι γνιςια
φκίνουςα ςε όλο το Δ.
13. Ζςτω δφο ςυναρτιςεισ ,f g οριςμζνεσ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν οι ,f g
είναι ςυνεχείσ ςτο Δ και ( ) ( ) f x g x ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ,
τότε ιςχφει ( ) ( )f x g x για κάκε x Δ.
14. Σα εςωτερικά ςθμεία ενόσ διαςτιματοσ Δ, ςτα οποία θ f δεν παραγωγίηεται
ι θ παράγωγόσ τθσ είναι ίςθ με το 0, λζγονται κρίςιμα ςθμεία τθσ f ςτο
διάςτθμα Δ.

38. 15. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και 0x ζνα εςωτερικό
ςθμείο του Δ. Αν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x και ( )0 0 f x , τότε θ
f παρουςιάηει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο ςτο 0x .
16. Ζςτω ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ και παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα [ , ]  και
ςθμείο [ , ]0 x   ςτο οποίο θ f παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο. Σότε πάντα
ιςχφει ότι ( )0 0 f x .
17. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα ( , )  , με
εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του 0x , ςτο οποίο όμωσ θ f είναι ςυνεχισ. Αν
( ) 0 f x ςτο ( , )0x και ( ) 0 f x ςτο ( , )0x  , τότε το ( )0f x είναι
τοπικό ελάχιςτο.
18. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δφο φορζσ
παραγωγίςιμθ ςτο εςωτερικό του Δ. Αν ( ) 0 f x για κάκε εςωτερικό
ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι κυρτι ςτο Δ.
19. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι δφο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο  και ςτρζφει τα
κοίλα προσ τα άνω, τότε κατ’ ανάγκθ κα ιςχφει ( ) 0 f x για κάκε
πραγματικό αρικμό x .
20. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα ( , )  , με
εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του 0x . Αν θ f είναι κυρτι ςτο ( , )0x και
κοίλθ ςτο ( , )0x  ι αντιςτρόφωσ , τότε το ςθμείο ( , ( ))0 0 x f x είναι
υποχρεωτικά ςθμείο καμπισ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f .
21. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι κυρτι ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε θ εφαπτομζνθ τθσ
γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςε κάκε ςθμείο του Δ, βρίςκεται πάνω από τθ
γραφικι τθσ παράςταςθ.
22. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι κοίλθ ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε θ εφαπτομζνθ τθσ
γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςε κάκε ςθμείο του Δ, βρίςκεται κάτω από τθ
γραφικι τθσ παράςταςθ, με εξαίρεςθ το ςθμείο επαφισ.
23.Ζςτω ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και παραγωγίςιμθ ςε κάκε εςωτερικό
ςθμείο του Δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο Δ, τότε θ παράγωγόσ τθσ είναι
υποχρεωτικά αρνθτικι ςτο εςωτερικό του Δ.
24. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δυο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο
εςωτερικό του Δ . Αν θ f είναι κυρτι ςτο Δ , τότε υποχρεωτικά f ′′(x) >0 για κάκε εςωτερικό
ςθμείο του Δ .
25. Για κάκε x∈ℝ ιςχφει ότι (ςυνx)ϋ= θμx.
26.Τπάρχει πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ βακμοφ μεγαλφτερου ι ίςου του 2, τθσ οποίασ θ
γραφικι παράςταςθ ζχει αςφμπτωτθ.

39. 27. Κάκε ςυνάρτθςθ f , για τθν οποία ιςχφει f ΄(x) 0 για κάκε ( , ) ( , )o ox x x   είναι
ςτακερι ςτο ( , ) ( , )o ox x  .
28. Αν f(x) = ln|x| για κάκε x≠0, τότε  f x΄
x

1
για κάκε x≠0.
29. Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο x0, τότε θ f δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0.
30. Τπάρχει πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ βακμοφ ν≥2, θ οποία ζχει αςφμπτωτθ.
Γ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟ΢ ΛΟΓΙ΢ΜΟ΢
1. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα  και , ,    , τότε ιςχφει:
( ) ( ) ( )   f x dx f x dx f x dx
  
  
.
2. Αν f ςυνάρτθςθ ςυνεχισ ςτο [ , ]  και για κάκε [ , ]x   ιςχφει
( ) 0f x τότε ( ) 0 f x dx


.
3. Αν ( ) 0 f x dx


, τότε κατ’ ανάγκθ κα είναι ( ) 0f x για κάκε
[ , ]x   .
4. Ζςτω f μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα [ , ]  . Αν G είναι μια
παράγουςα τθσ f ςτο [ , ]  , τότε ( ) ( ) ( )  f t dt G G


  .
5. Ζςτω f μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα [ , ]  . Αν G είναι μια
παράγουςα τθσ f ςτο [ , ]  , τότε ( ) ( ) ( )  f t dt G G


  .
6. Ιςχφει θ ςχζςθ  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   f x g x dx f x g x f x g x dx
 
 
, όπου
, f g είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο [ , ]  .
7. Αν , , f g g είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο διάςτθμα [ , ]  , τότε
( ) ( ) ( ) ( )    f x g x dx f x dx g x dx
  
  
.
8. Αν θ f είναι μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α είναι ζνα
ςθμείο του Δ, τότε ιςχφει  ( ) ( ) ( )

 
x
f t dt f x f

 για κάκε x .
9. Αν θ f είναι μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α είναι ζνα
ςθμείο του Δ, τότε ιςχφει  ( ) ( )


x
f t dt f x

για κάκε x .

40. 10. Σο ολοκλιρωμα ( ) f x dx


είναι ίςο με το άκροιςμα των εμβαδϊν των
χωρίων που βρίςκονται πάνω από τον άξονα 'x x μείον το άκροιςμα των
εμβαδϊν των χωρίων που βρίςκονται κάτω από τον άξονα 'x x .
11. Ζςτω f μία ςυνεχι σ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα *α,β+. Αν ιςχφει ότι f(x)≥0 για κάκε
x∈*α,β+ και θ ςυνάρτθςθ f δεν είναι παντοφ μθδζν ςτο διάςτθμα αυτό, τότε ( )f x dx


 0
12. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και α, β, γ ∈ Δ, τότε ιςχφει
     f x dx f x dx f x dx
  
  
   
13. Αν f είναι μία ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα *α, β+ και G είναι μία
παράγουςα τθσ f ςτο *α, β+ τότε πάντοτε ιςχφει: ( ) ( ) ( )f t dt G G


  
14.Για κάκε ςυνάρτθςθ f, ςυνεχι ςτο *α,β+, ιςχφει:
αν
β
α
f(x)dx >0 , τότε f(x)>0 ςτο *α,β+.

41. Δ ΕΡΩΣΗ΢ΕΙ΢ ΢-Λ
1. Μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο xo του πεδίου οριςμοφ τθσ, αν
o
o
x x
o
f(x) f(x )
lim α
x x



με R.
2. Αν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο R, τότε ιςχφει    2
f f(x) f (x)

    .
3. Αν για μια ςυνάρτθςθ f ιςχφει
ox x
limf(x)

  τότε θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο xo.
4. Ζςτω f (x) = (x – 2013)2
.Σότε θ f ζχει ςθμείο καμπισ ςτο xo = 2013 .
5. Αν θ f είναι ςυνεχισ και παραγωγιςιμθ ςτο ,  ,τότε ιςχφει
 f(x) xf(x) xf (x)dxdx
 


 
   .
6. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο R και f(α) ≠ f(β) όπου α, β με
α < β, τότε ιςχφει fϋ(x) ≠ 0 για κάκε  x ,   .
7. Αν για μια ςυνάρτθςθ f ιςχφει
o ox x x x
lim f(x) limf(x) 
 
 και το xo ανικει ςτο πεδίο οριςμοφ
τθσ τότε θ f είναι ςυνεχισ ςτο xo.
8. Για τθ ςυνάρτθςθ
1
f(x) , x 0
x
  , ιςχφει 2
1
f (x) 0
x
    για κάκε x *
. Επομζνωσ
θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο R*
.
9. Κάκε πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ τρίτου βακμοφ ζχει οπωςδιποτε ζνα ςθμείο
καμπισ.
10. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g είναι 1 – 1 τότε κατϋανάγκθ και θ ςυνάρτθςθ fog είναι 1-1.
11. Αν ιςχφει
o
o
x x
o
f(x) f(x )
lim
x x

 

, τότε θ f δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο xo.
12. Ζςτω F, G δφο παράγουςεσ τθσ f ςτο διάςτθμα Δ, τότε ιςχφει F(x) = G(x) – c για
κάκε χ Δ ,όπου cR .
13. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι 1 – 1, οι ςυναρτιςεισ g, h ζχουν πεδίο οριςμοφ το R και
ιςχφει f(g(x)) = f(h(x)) για κάκε xR, τότε οι ςυναρτιςεισ g και h είναι ίςεσ.
14. Σο όριο μιασ ςυνάρτθςθσ f ςτο xo εξαρτάται από τθν τιμι τθσ ςυνάρτθςθσ ςτο
ςθμείο αυτό.
15. Aν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο *α, β+, παραγωγίςιμθ ςτο (α, β) και f(α) = f(β)
τότε υπάρχει τουλάχιςτον ζνα ςθμείο xo εςωτερικό του διαςτιματοσ *α, β+, ςτο οποίο θ
εφαπτομζνθ τθσ καμπφλθσ τθσ f είναι παράλλθλθ ςτον άξονα xϋx.

42. 16. Κάκε πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ τετάρτου βακμοφ ζχει τουλάχιςτον ζνα ςθμείο
καμπισ.
17. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο R τότε δεν ζχει κατακόρυφεσ αςφμπτωτεσ.
18. Αν
t
2
α
f(t) x x 2xdx  τότε
t
2 2
α
x x 2xdx xf(t)  .
19. Ζςτω f ςυνεχισ ςτο xo τότε  
o
o
x x
lim θf(x) ι θf(x ) ι

   .
20. Ιςχφει ότι
1 2010
0 0
2010 f(2010x)dx f(x)dx  .
21. Ζνα τοπικό μζγιςτο μιασ ςυνάρτθςθσ f, μπορεί να είναι μικρότερο από ζνα τοπικό
ελάχιςτο τθσ f.
22. Ζςτω f παραγωγίςιμθ ςτο *α, β+ με f(β) < f(α), τότε υπάρχει xo (α, β) τζτοιο ϊςτε
fϋ(xo) < 0 .
23. Μια ςυνάρτθςθ f μπορεί να ζχει τοπικό ακρότατο και ςε ςθμείο xo ςτο οποίο δεν
είναι ςυνεχισ.
24. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο R και xoR τότε για κάκε xR υπάρχει
τουλάχιςτον ζνα ξR τζτοιο ϊςτε f(x) – f(xo) = fϋ(ξ) (x – xo).
25. Αν θ f ςτρζφει τα κοίλα προσ τα άνω, τότε ςε κάκε ςθμείο τθσ Cf θ εφαπτομζνθ
είναι «κάτω» από τθν Cf
26. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι άρτια τότε δεν είναι γνθςίωσ μονότονθ.
27. Ιςχφει
α α
0 0
xf (x)dx αf(α) f(x)dx    .
28. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι 1 – 1 τότε οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και f –1
ζχουν τα
κοινά τουσ ςθμεία πάνω ςτθν ευκεία ψ = x.
29. Aν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο xο τότε ιςχφει
o o o o
0 0
f(x h) f(x ) f(x h) f(x )
lim lim
h hh h 
   
  .
30. Δίνεται ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ ζνα διάςτθμα Δ. Αν ο λόγοσ
f(x ) f(x )
x x


1 2
1 2
είναι κετικόσ για κάκε x1, x2  Δ με x1 ≠ x2, τότε θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο
Δ .
31. Αν θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο xο = 2016 τότε ιςχφει  
 f (2016) f(2016)
32. Ζςτω f παραγωγίςιμθ ςτο *α, β+, τότε υπάρχει xo (α, β) ϊςτε θ εφαπτομζνθ ςτο
 o oA x , f(x ) να ζχει ςυντελεςτι διεφκυνςθσ
f(β) f(α)
ι
β α



.
33. Η ςυνάρτθςθ f(x) = (x – 2016)2
παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο xo = 2016.
34. Ζςτω f ςυνεχισ ςτο *–1, 4+ τότε ιςχφει
2 0 4 4
1 1 0 2
f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
 
      .
35. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f γνθςίωσ αφξουςα τότε οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και f –1
τζμνονται ςε ςθμεία τθσ ευκείασ ψ = x .
36. Ζςτω ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ορίηεται θ εφαπτομζνθ ςτο ςθμείο Μ (xο, f(xο)) τθσ
Cf, τότε θ εφαπτομζνθ δεν τζμνει τθν Cf ςε άλλο ςθμείο.
37. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ μονότονθ και f(2) < f(3) τότε θ f είναι γνθςίωσ
αφξουςα.

43. 38. Αν οι f, g δεν είναι ςυνεχείσ ςτο xo τότε και θ ςυνάρτθςθ f ∙ g δεν είναι ςυνεχισ
ςτο xo
39. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο  τότε υπάρχει διάςτθμα *α, β+
για το οποίο ιςχφει το κεϊρθμα μζςθσ τιμισ.
40. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ς’ ζνα διάςτθμα Δ, τότε θ ςυνάρτθςθ -f
είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο Δ.
41. Ζςτω θ πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ f, τότε μεταξφ δφο διαδοχικϊν ριηϊν τθσ f,
υπάρχει μία τουλάχιςτον ρίηα τθσ fϋ.
42. Ζςτω θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f ςτο  με f (x) > 0 για 2 < x < 7.Αν f(3) = 5, τότε
μπορεί να ιςχφει f(5) = 4.
43. Ζςτω f ςυνεχισ ςτο *α, β+ τότε ιςχφει
β α α
α β β
f(x)dx- f(x)dx 2 f(x)dx    .
44. Αν θ ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το διάςτθμα Δ είναι ςυνεχισ και 1 – 1 ς’ αυτό
τότε και θ ςυνάρτθςθ f –1
είναι ςυνεχισ ςτο f(Δ).
45. Σο ςθμείο Α o ox ,f(x ) είναι ςθμείο καμπισ μιασ ςυνάρτθςθσ f, όταν θ f αλλάηει
πρόςθμο εκατζρωκεν του xo
46. Αν
β
α
f(x)dx 0 και θ f δεν είναι παντοφ μθδζν ςτο *α, β+, τότε θ f παίρνει δφο
τουλάχιςτον ετερόςθμεσ τιμζσ.
47. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο *α, β+, παραγωγίςιμθ ςτο (α, β) με f(α) = f(β) και
fϋϋ(x) > 0 για κάκε x*α, β+ τότε θ εξίςωςθ f (x) = 0 ζχει τουλάχιςτον μία ρίηα ςτο (α, β).
48. Κάκε ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ *α, β+ ζχει
μζγιςτο το f(β) και ελάχιςτο το f(α).
49. Αν μια ςυνάρτθςθ ζχει οριηόντια αςφμπτωτθ όταν x → +∞, τότε δεν ζχει
πλάγια όταν x 
50. Ζςτω ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α, θ οποία είναι 1 – 1. Σότε ιςχφει:
f(f –1
(x)) = x για κάκε x A .
51. Αν
x 0
f(x)
lim
x
  τότε
x 0
f(2008x)
lim 2008 α
x

52. Αν θ ςυνάρτθςθ f ∙ g είναι παραγωγίςιμθ ςτο xο τότε και οι ςυναρτιςεισ f, g είναι
παραγωγίςιμεσ ςτο xο
53. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ μονότονθ τότε είναι και 1 – 1.
54. Ζςτω ςυνάρτθςθ f για τθν οποία δεν ιςχφουν όλεσ οι προχποκζςεισ του
κεωριματοσ Rolle.Σότε μπορεί να υπάρχει xο του πεδίου οριςμοφ τθσ f ϊςτε fϋ(xο) = 0.
55. Η ςυνάρτθςθ f(x)
x


2008
2
είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο ςφνολο A ( , ) ( , )   2 2
56. Αν οι ςυναρτιςεισ f, g είναι γνθςίωσ φκίνουςεσ ςτο R τότε θ ςυνάρτθςθ fog είναι
γνθςίωσ φκίνουςα ςτο R.
57. Αν f(x) ≥ g(x) κοντά το xo τότε
o ox x x x
limf(x) limg(x)
 
 .
58. Αν
o ox x x x
limf(x) , limg(x)
 
    τότε  
ox x
lim f(x) g(x)

  

44. 59. Ζςτω οι παραγωγίςιμεσ ςυναρτιςεισ f, g ςτο *α, β+ για τισ οποίεσ ιςχφει f(α)=g(α)
και f(β) = g(β), τότε υπάρχει xο (α, β) ϊςτε ςτα ςθμεία  o oA x ,f(x ) και  o oB x ,g(x ) οι
εφαπτόμενεσ να είναι παράλλθλεσ.
60. Ζςτω f ςυνεχισ ςτο *α, β+ και f(x) ≠ 0 για κάκε x(α, β). Αν υπάρχει ξ (α, β) τζτοιο
ϊςτε f(ξ) < 0 , τότε f(x) < 0 για κάκε x(α, β).
61. Αν θ f ζχει πεδίο οριςμοφ το R τότε δεν ζχει κατακόρυφθ αςφμπτωτθ.
62. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο xo με f(xo) ≠ 0 τότε κοντά ςτο xo οι τιμζσ τθσ f
είναι ομόςθμεσ του f(xo).
63. Η ςυνάρτθςθ f(x) = εφx δεν ζχει όριο ςτο o
π
x
2

64. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςτο διάςτθμα Δ τότε και θ
αντίςτροφι τθσ είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςτο διάςτθμα Δ.
65. Αν για μια ςυνάρτθςθ f ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ Fermat, τότε
υπάρχει xο ςτο οποίο θ εφαπτομζνθ τθσ Cf είναι οριηόντια.
66. Αν θ f ςυνεχισ και γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (0, +∞) τότε το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το
ςφνολο  x 0 x
limf(x), lim f(x),
 
67. Αν f(x) > 0 για κάκε x R και f ςυνεχισ, τότε ιςχφει
ln2
1
f(x)dx 0
68. Αν θ f ςυνεχισ ςτο R και α < β < γ και είναι f(α) = f(γ) = -1 f(β) = 1, τότε υπάρχουν
δφο τουλάχιςτον x1, x2 (α, γ) ϊςτε f(x1) = f(x2).
69. Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο xο, τότε δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο xο
70. Τπάρχει ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ Rolle
ςε ζνα *α, β+ και δεν ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ μζςθσ τιμισ.
71. Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο xο, τότε δεν είναι ςυνεχισ ςτο xο
72. Σο μεγαλφτερο από τα τοπικά μζγιςτα μιασ ςυνάρτθςθσ είναι μζγιςτο αυτισ.
73. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ox (α, β) με of (x ) = 0 τότε το of(x )
είναι τοπικό ακρότατο τθσ f.
74. Αν θ ευκεία ψ = 2000x + 2008 είναι πλάγια αςφμπτωτθ ςτο +∞ τθσ Cf τότε ιςχφει
 x
lim f(x) x 2008

 2000 .
75. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο (α, β) και θ εφαπτόμενθ τθσ fC ςτο
ox (α, β) είναι παράλλθλθ ςτον άξονα χϋχ , τότε το x0 είναι κατ’ ανάγκθ κζςθ
τοπικοφ ακροτάτου.
76. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι κυρτι ςε διάςτθμα Δ τότε θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ τθσ
παράςταςθσ ςε κάκε ςθμείο του διαςτιματοσ Δ δεν βρίςκεται πάνω από τθν fC .
77. Ζςτω ςτακερά c τότε ιςχφει c dx c dx 
2 2012
0 2010
78. Αν θ f ,g είναι ςυνεχείσ και παραγωγιςιμεσ ςτο ,  ,τότε ιςχφει
     f (x)g f(x)g f(x)g dxx dx x x
 


 
      .

45. 79. Αν f ςυνεχισ ςτο *α, β+ με f(t)dt


 0 , τότε αναγκαςτικά α=β ι f(x)=0 για κάκε
x *α, β+.
80. Αν οι ςυναρτιςεισ f, g είναι δυό φορζσ παραγωγίςιμεσ τότε θ παράγουςα τθσ
ςυνάρτθςθσ f''(x)g''(x) είναι θ f(x)g(x) c , c IR.
81. Αν f(x) 0 για κάκε x IR, τότε
ln
f(x)dx 
2
1
0
82. Αν f(x)dx 
5
0
10 , το ελάχιςτο τθσ f ςτο διάςτθμα *0, 5+ δεν μπορεί να είναι το 3.
83. Η ςυνάρτθςθ f(x)=
lnx
x

2
1
1
δεν ζχει παράγουςα ςτο διάςτθμα *1, + ).
84. Η ςυνάρτθςθ f(x)=
x
1
είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ.
85. Δίνεται μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f με f ϋ(x)>0 για 2<x<7. Αν f(3)=5, τότε μπορεί να
ιςχφει f(5)=4.
86. Αν f (x) , x R   0 , τότε θ f(x) είναι 1-1
87. Ιςχφει θ ιςοδυναμία : f(x) g(x) c , x R f (x) g (x), x R        
88. Αν f : [a,b] R και f (x) , x [a,b]   0 , τότε ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το
διάςτθμα [ f(a),f(b)] Αν f (x) g (x), x R    τότε f(x) g(x), x R  
89.Αν f , g παραγωγίςιμεσ ςτο R και
x x
f (x)
im
g (x)
 
  0
 δεν υπάρχει, τότε επίςθσ και
το
x x
f(x)
im
g(x)
 
 
 0
 δεν υπάρχει
90. Αν f,g ςυνεχείσ ςτο Δ , a, ,  , τότε :
a a
f(t)dt g(t)dt ( f(t) g(t))dt
  

    
91.Μία ςυνάρτθςθ f : Α  ΙR είναι 1 1 ςυνάρτθςθ , αν και μόνο αν για
οποιαδιποτε x1, x2  A ιςχφει θ ςυνεπαγωγι: αν x1 = x2, τότε f(x1) = f(x2) .