ΕΠΙΣΗΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2020 - ΠΑΛΑΙΟ

1. ΠAΛAΙo
17 loυv[oυ 2020
KENTPlKH ΕΠlTPoΠH EΞETAΣEΩN ΓENlKoY ΛYKEloY 2020
ΠPoΣ ToYΣ ΠPoEΔPoYΣ TΩN B. K. KAI TΩN E. E. K.
ENΔEIKTlKEΣ AΠANTHΣE|Σ ΓlA To MAΘHMA
( MAΘH MATl KA Π PoΣANAToΛlΣMoYD
ΘEMA A
Γ'HMEPHΣIoY ΛYKEloY
A1: Σxoλlκ6 βlβλio oελ. 1 1 1
A2: Σxoλtκo βlβλio oελ. 104
A3: Σ1oλtκ6 βlβλio oελ. 74
A4:α)Ψ e
β) AvτlπαραδεIγμα oτη oελ 61 τoυ oxoλlκo0 βrβλioυ
A5: α) Σ
β) Σ
γ)Λ
ΘEMA B
B1: Γlα καθε Χ,x2 e ]R' _ {3} €xoυμε:
. 3x. +1 3x^ +1
T(Χl) - T(Xz)=;a __ffi 9... Ξ Xl = XzoΠ6τε η oυvαρτηση
αvτroτρ6φεταl στo R-{3}
82: 'Eoτω f(x) = y, x# 3. EivαI:
3x+1
-
= y <) 3x + 1 - )ry -3y e 3x - xy - -3y- 1 <+
X-J
(y-3)x=1+3y<> *=
3Yt1
, y +3
y-J
Αρα: ...f'(*)= Ψ, X * 3
x-3'
ol f,f-16xoυv κolvo πεδio oρloμo0 τo ]R'_{3} Kαl γlα καθε xe]R _{3} loxOεl
f(x) = r'(x). Aρα f = f-1 :
83: Γrα καθε x e ]R. - {3} loxOεlI
r-'(x) = f(x)
=
f(fr(x)) = f(f(x)) + x = f(f(x)) + (f "f)(x) = x
2oζ τρ6πo9: YπoδεlξΠ Ar.t -- ... Ξ R - {3} καr (f" f)(x)=... = χ γlα κdθε
xelR-t3)
84: loxοει
lrιrn*#l= F,,,,l=+ -|r1x! < f(X)ημΞ#< F(*)l
I
και limf(x),,= O, oπoτε
.tiη(-|r(x)|)=
tim |t1x1|= o .
,--i ,-τ ,-*a
Αρα απ6 τo κριτηριo παρεμβoλΠζ, To ζητo0μεVo 6ρro ε[vαι 0

2. ΠAΛAIo
ΘEMA Γ
Γ1: Eivαl (ABΓ1=13η.a1r4 καt oM=σUvθ, BM=ημΘ oπ6τε BΓ=2BM=2ημθ.
2
Aρα,(AB11=(1+oυvΘ)ημΘ, δηλαδη E(θ)Ξ(1 +σUVθ)ημΘ, Θ e (0,π)
Γ2: lox0εl E'(θ)= ... = 2(oυνθ + 1)(oι:vΘ _ 1l2'
ot μεταβoλdg τηg oυvdρτηoη6 φα[vεταl στoV
εμβαδov τoυ τρIγΦVoU μεγlστoπolεiταl 6ταv
Τo πρooημo Tηζ παραγΦγoυ
ακoλoυθo π[vακα, oπoτε τo
θ=1
3
Kαl
Γ3: Av Δ., = (o,;] και Δz=t3,nl τoτε...
f(Δ') = (o,Ψ] και f(Δ,) = (O,f,
o αριθμos
}'.o,dyεταl
oε καΘ6vα απ6 τα δlαoτηματα f(Δ.,) , f (Δr) oπ6τε
υπαρxoυv αKρlβωs 2 γωv1εg θ1,Θrγια τlg oπoiεζ τo εμβαδ6v τoυ τρlγιilvoυ
3
εivαl ioo μ,
τ 'δl6τt...

3. ΠAΛAΙo J
Γ4: Aπo τo ΘMT πρoκ0πτεl 6τt uπαρxoυv ξ., e (Θ.,,{)καr
πrlt-
ξ, - (;,θ,) Φoτε E'(ξ,,='Ψ-'Θ 9 E(*)-E(Θ,)= (;-θ')E'(ξ,) και
Ξ_Θ'
J
E(Θ, )_ E(*)
Ε'(ξ"l =
# :+ E(Θ,)-E(+) = (Θ, -$ε'ιεr) oπoτε
θ, -3
E(Θ,)-E(Θ.,)=(;-Θ,)E'(ξ.,)+(Θ, -ξlr'c,)
="":ξι3-r,)E'(ξ.,)=(; ..Θ,)Ε'(ξ,)
ΘEMA Δ
Δ1: loxιiεi: f'(x)=...= lnx+1_1καl f"(x)=1*
+'O γrα καΘεx> O.
Eπlπλfov f'(1)=0 καl επεlδη η f'εΙvαl γvηofωg α0ξoυoα πρoκ6πτεt τελtκd
6τl η ελdxloτη τlμη τη6 f εivαl ioη με f(1)=-ι ft. To oημεio ακρoτdτoυ
A(1,-l,n}''), καΘΦ6 τoλ μεταβdλλεTαl στo (0,+-) αvηκει σTηV ευθε[α x=1.
Δ2: Eivαl: g(X)Σ λx <+... €> xlnx- lnQ"x)<+ f(x)> 0 πoυ ιoxυει αV Kαl μovo
αν -lnχ>0<+...<)0<λΞ1, oπoτε η ζητo0μεvη τlμη τoυ λ εivαr λ=1.
Δ3: H εφαπτ6μεVη y- Xδ' - Xδ'(/nxo+ 1)(x- Xo)'ηζ Cnoτo Xo ) O δι6ρxεται απo
τo 0 μ6vo oταv:
-xδo = x]'(-xolnXo _ Xo) e... <> xolnxo * Xo -1 = O
πoυ 6xεl μovαδrκη λιioη τηV Xo =1, oπ6τε η y=X ε[vαl η μovαδικη
εφαπτ6μεVη τηζ Cnπoυ δ16ρ1εταl απ6 τo o(o,o).
Δ4: i) η h εivαl ouvεyηg oτo(0,-tο) (πραξειE oυvεxιilr):o,
lim x' = ]im
"x/nx
: eo :1,αφo0
x+0+ x+O+
h ε[vαl oυvεx(g και oτo 0.
ii) Θεωρoιiμε τηv oυvαρτηoη
21
x!'nx=Jφt=#.=1ΨJ *) { Aρα η
X
lim
x-+O+
φ(x) = X'o'o(3 _r!g(t)dt) + (1 - x1Jrηl - t)dt,x e [O,1]
η φ εivαl oυvεxηJ oro
1
φ(O)=Ιn,r-t)dt>o,
0
[0,1] καl
2
φ(1)='-'Ig(t)dt<O
1

4. ΠAΛAIo
1
Ιn,''-
tlο, , j
0
1
+
Jο(t)α ''|_0
ξioωoη 6xεt μ[α τoυλαxιoτov ρ[ζα
oΛoΓIAΣ - Γ' HMΕPHΣΙΩN
.,
Δι6τt:
1
Inι,r - t)αt a. =
Ιh(u)du
>
Juαu
Ξ+ ... +
a,
000
Kαι
g(t) = tt > t *ιttdt >
f.*
+ jοιt)ο',
[*],
Αρα, απo τo ΘεΦρημα Bolzano, η δooμ6vη ε
oτo δldoτημα (0,1)
ANAΛYTIKI-I κATANoM l{ BAΘM
KΛEIΣTOY ΤYΠoY ΠoY ΘA EΛEΓXEI H ΕΦΑPMoΓH
.. BΑΘ M oΛo ΓoΣ" : A5
βαΘ μ/τη c
A1 A2 A3 A4 A5 A
7 4 4 4 6 25
B1 B2 B3 B4 B5 B
κωδικ6ζ 5 8 6 6 25
Γ1 r2 Γ3 τ4 Γ5 Γ
5 8 6 6 25
Δ1
^2
Δ3
^4
Δ5 Δ
υπoγραφη 5 5 6 9 25
ΣYN oΛo
100