Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης για το lisari

1. Τεύχοσ Α
Συςτήματα
Ιδιότητεσ Συναρτήςεων
Τριγωνομετρία
Θεόδωρος Παγώνης
μαθηματικός
2015-2016
β΄ λυκείου
άλγεβρα γενικής παιδείας

2. Κυκλοφορούν
επίςησ
Μαθηματικά Κατεύθυνςησ
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά Κατεύθυνςησ
Β΄ Λυκείου
Άλγεβρα
Α΄ Λυκείου
Θεόδωροσ Παγώνησ
e-mail: theomath@yahoo.gr
https://www.facebook.com.theodoros.pagones
http://lisari.blogspot.gr/
2015-2016

3. - 1 -
2015-2016
συστήματα
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

4. συστήματα κεφάλαιο 1
- 2 -
§1. γραμμικά
συστήματα
2x2
1) Να εμεηάζεηε πνηα από ηα δεύγε  1, 2 ,
 0 , 3 ,  , 2 3a a είλαη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο
2 3 x y .
2) Να βξείηε ηα a ,  ώζηε ην δεύγνο
 | | , 2 a   λα είλαη ιύζε ηεο εμίζσζεο
2 3 x y .
3) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α. 3 5 x y β. 0 0 2008 x y γ. 0 0 0 x y
4) Να δείμεηε όηη γηα θάζε  ε εμίζσζε
( 2) ( 1) 3 0    x y  παξηζηάλεη επζεία .
5) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε ε εμίζσζε
2
( 4) ( 2) 2012 0    x y  λα παξηζηάλεη
επζεία .
6) Να ιύζεηε γξαθηθά ηα ζπζηήκαηα :
α.
1
2
 


y x
y
β.
2
3


 
y x
x y
γ.
1
3
 

 
x y
x y
7) Να ιύζεηε κε ηελ κέζνδν ηεο αληηθαηάζηαζεο
ηα ζπζηήκαηα :
α.
3 2
2 4 14
 

 
x y
x y
β.
3 2 3
9 4
 

 
x y
x y
γ.
3 2 5
2 3 1
 

  
x y
x y
8) Να ιύζεηε κε ηελ κέζνδν ησλ αληίζεησλ
ζπληειεζηώλ ηα ζπζηήκαηα :
α.
3 2 1
3 5 6
  

   
x y
x y
β.
2 3 7
4 2 2
 

  
x y
x y
γ.
3 5 2
4 7 3
  

  
x y
x y
9) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
1
5
2
 


 
x y
x y
β.
2 7
3 5 4
 

 
x y
x y
γ.
0
2 1
 

  
x y
x y
10) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
1
2 4
1 2 4
2 3 3

 

   

x y
x x y
β.
10
4 3
5
8 6
 
 

   

x y x y
x y y x
11) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2( ) 3 (2 )
(1 2 ) 1 2 ( 1)
    

    
x x y x y
y x y y x
β.
2
3 2 ( 1) 1 2( 1)
2( 3 ) (2 ) 13
     

     
x y y y
xy x y x y x
12) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α. 2 3
10



  
x y
x y
β.
2
3
2 3 10



   
x
y
x y
13) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x θαη y ώζηε λα
ηζρύεη :
α. | 2 1| | 2 5| 0     x y x y
β.    
2012 2014
2 2 3 0    x y x y
14) Αλ ηα ζπζηήκαηα
1
2 5
 

 
x y
x y
θαη
7
5 3
 

 
ax y
x y a


έρνπλ θνηλή ιύζε λα βξείηε ηα a θαη  .
15) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a θαη  ώζηε ε
εμίζσζε ( 3 1) (3 5) 3 0       a x a y   λα
παξηζηάλεη επζεία .
16) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ :
α. 1 : 3 1 0  x y θαη
2 : 2 3 0  x y
β. 1 :3 1 0  x y θαη
2 :5 7 0  x y
17) Αλ νη επζείεο 1 : 2 39  ax y a  θαη
2 : ( ) 2   x a y   ηέκλνληαη ζην ζεκείν
 5 , 3 λα βξείηε ηα a θαη  .
18) Έζησ όηη ε επζεία 1 : 2 0  x y  ηέκλεη ηνλ
άμνλα x x ζην ζεκείν 1 θαη ε επζεία
2 : ( 3) 8  y a x είλαη παξάιιειε ζηελ
δηρνηόκν ησλ γσληώλ ηνπ 1νπ
θαη 3νπ
ηεηαξηεκνξίνπ , ηόηε :
α. λα βξείηε ηα a θαη  ,
β. γηα 4a θαη 2 λα βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ
επζεηώλ 1 θαη 2 .

5. συστήματα κεφάλαιο 1
- 3 -
19) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 4  x y θαη
2 : 2 3 x y .
α. Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Α , ησλ επζεηώλ 1 θαη
2 .
β. Να βξείηε ηελ επζεία  πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή
ησλ αμόλσλ θαη από ην ζεκείν Α .
20) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο  πνπ
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία :
α.  1, 2 θαη  2 , 3  β.  2 ,1 θαη  2 , 3
21) Να βξεζεί ην
θνηλό ζεκείν
ησλ επζεηώλ
ηνπ δηπιαλνύ
ζρήκαηνο .
22) Γπν πινία θηλνύληαη επζύγξακκα ην 1ν
από ην
ιηκάλη  3 , 7 πξνο ην ιηκάλη  1, 1   θαη ην
2ν
από ην ιηκάλη  2 , 5 πξνο ην ιηκάλη
 3 , 0  . Να βξείηε ην θνηλό ζεκείν ηεο
δηαδξνκήο ηνπο .
23) α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  2 , 3  θαη  2 , 5 
β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο 2 πνπ
ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην – 1 θαη είλαη παξάιιειε ζηελ
επζεία 1 .
24) Αλ ζε έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθή
ην Α νη γσλίεο ηνπ Α θαη Β δηαθέξνπλ θαηά 30ν
λα βξείηε ηηο γσλίεο Α θαη Β .
25) Σε ηξίγσλν ΑΒΓ ε εμσηεξηθή ηεο γσλίαο Α είλαη
100ν
θαη ε δηαθνξά ησλ γσληώλ Β θαη Γ είλαη
20ν
. Να βξείηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ .
26) Αλ ε πεξίκεηξνο ελόο νξζνγσλίνπ είλαη 10 θαη
νη δπν πιεπξέο ηνπ δηαθέξνπλ θαηά 1 , λα
βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ νξζνγσλίνπ .
27) Αλ νη καζεηέο ελόο ηκήκαηνο ζειήζνπλ λα
θαζίζνπλ από έλαο ζε θάζε ζξαλίν ζηελ αίζνπζα
ηόηε ζα κείλνπλ 9 όξζηνη , ελώ αλ θαζίζνπλ από
δπν ζε θάζε ζξαλίν ζα κείλνπλ θελά 8 ζξαλία .
Να βξείηε πόζνη είλαη νη καζεηέο θαη πόζα ηα
ζξαλία .
28) Αλ ε εμίζσζε ( 2 1) 2 5    a x a  έρεη
άπεηξεο ιύζεηο λα βξείηε ηα a θαη  .
29) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ησλ x , y ε
παξάζηαζε | 3| | 1|      x y x y παίξλεη
ειάρηζηε ηηκή .
30) Αλ ηζρύεη 2 1 ( ) 0    x y x y γηα θάζε
 λα βξείηε ηα x , y .
31) Έζησ ε εμίζσζε 2
( 2 ) 0    x a x a  (1) .
Αλ ην άζξνηζκα ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο (1) είλαη
3
2
θαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ ηεο
1
2
λα βξείηε ηα
a θαη  .
32) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
3 2
( ) 8 4 2 2 3    f x x ax x a  ηέκλεη ηνλ
άμνλα x x ζην ζεκείν – 1 θαη δηέξρεηαη από ην
ζεκείν
1
, 20
2
 
   
 
, λα βξείηε ηα a θαη  .
33) Έζησ ε ζπλάξηεζε 1
( ) 3 4 2 1
    x x
f x a  κε
πεδίν νξηζκνύ ην . Αλ ε αξρή ησλ αμόλσλ θαη
ην ζεκείν  1, 8 αλήθνπλ ζηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f , λα βξείηε ηα a θαη  .
34) Αλ ε εμίζσζε 2
2 0  x ax  έρεη ξίδεο ηνπο
αξηζκνύο a θαη  , λα βξείηε ηνπο a θαη  .
35) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
3
2
1
( )
2



ax
f x
x
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία
 1, 1   θαη
1
,1
2
 
  
 
, λα βξείηε ηα a , 
θαη ην πεδίν νξηζκνύ Α ηεο f .
36) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 1
7
5 3
12

 


  

x y
x y
β.
2 3
5
1 2
5 7
31
1 2

    

  
  
x y
x y
37) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα
3
2 3
2
2




  

x y
xy
x y
xy
.

6. συστήματα κεφάλαιο 1
- 4 -
38) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
3 1
5 8 12
  

 
x y
x y
β.
1 2 1 1
1 8 4 4
     

    
x y
x y
39) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
(2 ) 0
( 1)( 2) 0
 

  
x x y
x y
β.
( 1)( 1) 0
(2 )( 1) 0
  

  
x y
x y y
40) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 | | 3| | 1
3| | | | 5
 

 
x y
x y
β.
| 2 1| | 3 2 | 2
|1 2 | | 6 4 | 1
   

   
x y
x y
41) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 3
2 3
5 4
2 3 5
  

 
x y
x y
β.
 
 
3 4
3 4
1 2 10
2 1 15 1
    

   
x y
x y
42) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα
   
2
2 2 2 0
1
     

 
x y x y
x y
.
43) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 1
0
3

 

   
x y
x y
β.
2
1
3 3



  
x x
y y
x y
44) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
3 3
1 2
6
5
1

 

 
 
x
y
x
y
β.
1
2
1
3

 

 
 
x
y
x y
x y
45) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 3 9
| 2 | 1
 

 
x y
x y
β. 2 2
| | 2
4 4 1
 

  
x y
x xy y
46) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα 2
| | | 2 1|
2 1 0
   

  
x y x y
x xy
.
47) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 | | 4
1
 

 
x y
x y
β.
2 | | 1
2
  

  
x y
x y
§2. λύση – διερεύνηση
συστήματος





222
111


yxa
yxa
48) Να ππνινγίζεηε ηηο νξίδνπζεο :
α.
3 5
4 2

β.
2
3 2
9 3 2
 
 
a a
a
49) Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α.
1 2
0
1 1
 

  
x
x x
β.
2 1 1 1
1 1 2
 

x x
x
50) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.
2
0
8

x
x
β. 2
2 1 4
4
2 1

 

x
x
x x
51) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 3
3 5 2
 

   
x y
x y
β.
7 3
2 10 4
 

  
x y
x y
52) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
 
 
2 3 1
2 3 2 3
    

    

x y
x y
β.
 
 
2 3 1
2 3 2
   

  

x y
x y
53) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
1
1
 

  
x y
x y


β.
2
2
1
  

  
x y
x y
 
 
54) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ  λα ιύζεηε ηα
ζπζηήκαηα :
α.
2
4 2
  

 
x y
x y
 
β.
( 1) 1
( 1) 2
   

  
x y
x y
 

55) Να ιύζεηε ην ζύζηεκα :
3 2
6 2 4
  

  
x y
x y


7. συστήματα κεφάλαιο 1
- 5 -
56) Αλ D ε νξίδνπζα ηνπ ζπζηήκαηνο
( 2) 3
3 1
  

 
D x Dy
x y
, λα ιύζεηε ην ζύζηεκα .
57) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε ην
ζύζηεκα
2
3 6 2
 

 
x y
x y

, λα έρεη :
α. άπεηξν πιήζνο ιύζεσλ ,
β. θακία ιύζε .
58) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε νη επζείεο
1 : 2 x ay θαη 2 : 9 2 ax y λα ηέκλνληαη .
59) Να δείμεηε όηη νη επζείεο 1 : 2 0  x y  θαη
2 : 1 0  x y  ηέκλνληαη γηα θάζε  .
60) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε νη επζείεο
2
1 : 2 4 x a y θαη 2 : 2  x ay a :
α. λα ηέκλνληαη ,
β. λα είλαη παξάιιειεο .
61) Αλ ην ζύζηεκα
2 2
1
 

 
x y
x y

είλαη αόξηζην , λα
δείμεηε όηη ην ζύζηεκα
4 3
 

 
x y
x y
 

είλαη
αδύλαην .
62) Αλ ην ζύζηεκα
3 2
2 3 1
 

 
x y
x y

είλαη αδύλαην , λα
δείμεηε όηη ην ζύζηεκα
( 1) 2 1
2 2
  

 
x y
x y

 
είλαη
αόξηζην .
63) Να βξείηε ην  ώζηε ην ζύζηεκα
2
7
0
   

 
x y
x y
 

λα έρεη κηα κόλν ιύζε ηελ
   , 1, 2x y .
64) Έζησ όηη ην ζύζηεκα
1 

 
x y
x y


έρεη
κνλαδηθή ιύζε ηελ  0 0,x y .
α. λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ,
β. αλ 0 0| | | | 2 x y λα βξείηε ην  .
65) Να βξείηε ηα a θαη  ώζηε ηα ζπζηήκαηα
2
3 1
  

 
x ay
x y
θαη
0
( 1) 2
 

  
ax y
a x y
λα είλαη
ζπγρξόλσο αδύλαηα .
66) Να βξείηε ηα a θαη  ώζηε ηα ζπζηήκαηα
1
2 2
 

 
ax y
x y
θαη
1
2
 


 
x ay
x y
 λα είλαη ζπγρξόλσο
αόξηζηα .
67) Αλ ην ζύζηεκα 1 1 1
2 2 2
 

 
a x y
a x y
 
 
έρεη κνλαδηθή
ιύζε θαη ηζρύεη
2
2
 

 
x y
x y
D D D
D D D
λα βξείηε ηα x
θαη y .
68) Αλ ην ζύζηεκα 1 1 1
2 2 2
 

 
a x y
a x y
 
 
έρεη κνλαδηθή
ιύζε θαη ηζρύεη
5
 

 
x yD D D
x y
λα βξείηε ηελ
κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο .
69) Αλ ην ζύζηεκα 1 1 1
2 2 2
 

 
a x y
a x y
 
 
έρεη κνλαδηθή
ιύζε θαη ηζρύνπλ 2 2
4 4  x y x yD D D D θαη
2 x y λα βξείηε ηα x θαη y .
70) Αλ γηα ην ζύζηεκα 1 1 1
2 2 2
 

 
a x y
a x y
 
 
ηζρύεη
2 2 2
2 4 5    x y xD D D D D :
α. λα δείμεηε όηη 2 2 2
( 1) ( 2) 0    x yD D D ,
β. λα βξείηε ηα x θαη y .
71) Αλ γηα ην ζύζηεκα 1 1 1
2 2 2
 

 
a x y
a x y
 
 
ηζρύεη
2
1 ( 1) | 2 | 0     x yD D D λα βξείηε ηα x θαη
y .
72) Αλ ζε έλα γξακκηθό ζύζηεκα κε αγλώζηνπο x
θαη y ηζρύεη
 2 2 2
2 2 1      x y x yD D D D D D D λα δείμεηε
όηη ην ζύζηεκα έρεη κηα κόλν ιύζε ηελ νπνία θαη
λα βξείηε .

8. συστήματα κεφάλαιο 1
- 6 -
§3. γραμμικά
συστήματα
3x3
73) Να ιπζεί ην ζύζηεκα
2 3 2 3
4 2 6
2 2
  

 
  
x y z
y z
z
.
74) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα :
α.
0
2 3 5
4 9 18
  

   
    
x y z
x y z
x y z
β.
4
2 8
3 2 1
  

  
   
x y z
x y z
x y z
γ.
5 2 2
2 2 7
3 2 14
   

    
   
x y z
x y z
x y z
δ.
12 6
2 4
3 2 7
   

  
   
x y z
x y z
x y z
75) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 3 2
2 3 3
3 20 23 20
   

    
    
x y z
x y z
x y z
β.
6 0
4 7 0
2 8 13 0
  

  
   
x y z
x y z
x y z
76) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα :
α.
2
1
7
  

 
   
x y
y z
z x
β.
8
2
0
   

  
   
x y z
y z x
z x y
77) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα :
α.
1
2
1
3
1
6

 







x y
y z
z x
β.
1 1
1
1 1
3
1 1
6

 


 


 

x y
y z
z x
78) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα :
α. 2 4 5
3 15

 

   
x y z
x y z
β.
5 4 3
2 3 4
2 4 5
  
 

   
x y z
x y z
79) Η πεξίκεηξνο ελόο ηξηγώλνπ είλαη 18 cm. Η
κεγαιύηεξε πιεπξά ηνπ είλαη δηπιάζηα από ηελ
κηθξόηεξε. Δπίζεο ην άζξνηζκα ηεο κηθξόηεξεο
θαη ηεο κεγαιύηεξεο πιεπξάο είλαη δηπιάζην από
ηελ ηξίηε πιεπξά. Να βξείηε ην κήθνο ηεο θάζε
πιεπξάο.
80) Να βξείηε έλα ηξηςήθην θπζηθό αξηζκό αλ :
 Τν άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ είλαη 21
 Αλ αιιάμνπκε ζέζε ζηα δπν ηειεπηαία ηνπ
ςεθία ν αξηζκόο ειαηηώλεηαη θαηά 19
 Ο αξηζκόο ειαηηώλεηε θαηά 90, ζηελ
πεξίπησζε πνπ αιιάμεη ε ζέζε ησλ δπν
πξώησλ ςεθίσλ ηνπ.
81) Η εμίζσζε  2
0    x x v   έρεη ξίδεο
1x θαη 2x . Αλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 1 2 3  x x ,
1 2 2 x x θαη 2 2
1 2 3    x x v  , λα βξείηε
ηνπο αξηζκνύο  ,  , v .
82) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο , , x y z γηα ηνπο
νπνίνπο ηζρύεη
   2 2 2 2
3
2 3 60
     

  
x y z x y z
x y z
83) Γηα ηηο νξίδνπζεο D , xD , yD ελόο γξακκηθνύ
ζπζηήκαηνο 2x2 ηζρύνπλ νη ζρέζεηο
2
2
8
  

  

  
x
x y
y
D D
D D
D D
. Να βξείηε ηελ ιύζε  ,x y ηνπ
γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο.
§4. μη γραμμικά
συστήματα
84) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α. 2 2
3
2 7
   

 
x y
x y
β. 2 2
3 2
4 5
 

 
x y
x y

9. συστήματα κεφάλαιο 1
- 7 -
85) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 2
2 2
3 1
5
  

 
x y
x y
β.
2 2
2 2
3 3
5 2 2
  

   
x y
x y
86) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 2
13
6
  


x y
xy
β.
2 2
2
5
2
  


x y
xy
87) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2
3
  

 
x y
xy
β.
2 4
6
 


x y
xy
88) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 5
5 0
7 1
12

  


  

x y
y x
β.
2 5
3 8
4 3
1
  
   
  

  

x y
x y
89) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
  2 0
2 3
   

 
x y x y
x y
β.
  3 5 2 3 0
2 2
    

 
y x y x
x y
90) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2 3
4 5 6
  

 
x y
x y
β.
2 2
2 3
   

  
y x x y
x y
91) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
3 2
3 2
2 3 4
2 16
   

  
x y
x y
β.
   
   
3 3
3 3
1 2 1 3
2 1 1 1
    

   
x y
x y
92) Έλα νξζνγώλην ηξίγσλν έρεη ππνηείλνπζα
13 cm θαη πεξίκεηξν 30 cm. Να βξείηε ην κήθνο
ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ηνπ.
93) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 3 2 5 3 9 0     x y x y
β.    
2 2
2 2 2 7 0     x y x y
94) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
 2 2
9
18
   


x y x y
xy
β.
 2 2
2 2
3
10
   

 
x y y x x y
x y
95) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα :
α.
2
2
12
24
  

 
x xy
y xy
β.
7 3 3
7 2 2
 

 
y xy
x xy
96) Γίλεηαη ν θύθινο κε εμίζσζε 2 2
1 x y θαη ε
επζεία 2 y x a , 0a . Να βξείηε :
α. ηηο ηηκέο ηνπ 0a , ώζηε ε επζεία λα έρεη κε ηνλ
θύθιν έλα θνηλό ζεκείν ,
β. ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θνηλνύ ζεκείνπ ,
γ. ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ νξίδεη ε επζεία κε
ηνπο άμνλεο.
δ. ην εκβαδόλ ηεο πεξηνρήο πνπ βξίζθεηαη κεηαμύ ηεο
επζείαο θαη ηνπ θύθινπ.

10. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 8 -
2015-2016
ιδιότητες συναρτήσεων
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

11. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 9 -
§1. άρτια-περιττή
ςυνάρτηςη
1) Να εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο νη
ζπλαξηήζεηο κε ηύπν :
α. 5 3
( ) 2 3 2f x x x x   β. ( ) 2009| | 2f x x 
γ.
2
2
1
( )
1
x
f x
x



δ.
2
( )
1 | 1|
x
f x
x

 
2) Να εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο νη
ζπλαξηήζεηο :
α. 4 2
( ) 2 3 5f x x x  
β. 2
2
( )
1
x
f x
x


γ. ( ) | 1| | 1|f x x x   
3) Να εμεηάζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ
ζπλαξηήζεηο είλαη άξηηεο θαη πνηεο πεξηηηέο :
α. 6 2
( ) 5 2 3f x x x   β. 5 3
( ) 2 3f x x x x  
γ. 3
( ) 3 | | 2f x x x x x   δ. ( ) | 3 2| | 3 2|f x x x   
4) Να εμεηάζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ
ζπλαξηήζεηο είλαη άξηηεο θαη πνηεο πεξηηηέο :
α. 2 2
( ) | | 3f x x x x    β. 3 2
( ) 1f x x x  
γ. 2
| |
( )
1
x x
f x
x


δ.
3
2
2
( )
1
x x
f x
x



5) Να εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο νη
ζπλαξηήζεηο :
α. 4 2
( )f x ax x    β. 3
( )f x ax x 
γ. ( ) | 2 1| | 2 1|f x x x    δ. 4 2
( ) 2009f x x x  
ε. 2
( ) 1f x x x  ζη. 3
( ) 2f x x x  
δ. 2
| |
( )
1
x
f x
x


ε.
2
4
1
( )
1
x
f x
x



6) Να εμεηάζεηε αλ νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο είλαη
άξηηεο ή πεξηηηέο :
α.
2
| |
( )
x x
f x
x

 β.
3
( )
| | 1
x
f x
x


γ. 3
3| | 2
( )
x
f x
x x



δ.
3
2
| |
( )
1
x x x
f x
x



7) Να εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο νη
ζπλαξηήζεηο κε ηύπν :
α. ( ) | |f x x x β. 2
( ) 1f x x 
γ. ( )
1
x
f x
x

 δ.
2
2
2 3 , 0
( )
2 3 , 0
x x x
f x
x x x
   
 
  
8) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
2
2
1 , 0
( )
1 , 0
x x
f x
x x
  
 
  
είλαη άξηηα .
9) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
3
3
, 0
( )
, 0
x x x
f x
x x x
  
 
  
είλαη πεξηηηή .
10) Να δείμεηε όηη fC ηεο ζπλάξηεζεο
2
2
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
 
 
 
έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ
y y .
11) Να εμεηάζεηε αλ είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο νη
παξαθάησ ζπλαξηήζεηο :
α.
2 1 , 0
( )
2 1 , 0
x x
f x
x x
 
 
 
β.
2
2
3 , 0
( )
3 , 0
x x x
f x
x x x
  
 
 
12) Να εμεηάζεηε αλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ
παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ έρνπλ άμνλα
ζπκκεηξίαο ηνλ y y ή θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ
αξρή ησλ αμόλσλ  0 , 0 :
α.
| 2 | | 2 |
( )
| 1| | 1|
x x
f x
x x
  

  
β.  : 2 , 4f   κε
4 2
( ) 3f x x x 
γ.  : 1,1f   κε
3
( ) 1f x x 
13) Πνηεο από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ
παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ έρνπλ θέληξν
ζπκκεηξίαο ην  0 , 0 θαη πνηεο άμνλα
ζπκκεηξίαο ηνλ y y ;
α. 2
( ) 4f x x  β.
3
( )
1 | |
x x
f x
x
 


γ. 3 32 2
( ) 2 1 2 1f x x x x x     

12. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 10 -
14) Να εμεηάζεηε πνηεο από ηηο γξαθηθέο
παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ έρνπλ
θέληξν ζπκκεηξίαο ην  0 , 0 θαη πνηεο άμνλα
ζπκκεηξίαο ηνλ y y ;
α. ( ) 3 | |f x x 
β.
2
3
5
( )
x
f x
x x



γ.
2
1
( )
| | 2
x
f x
x



15) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο
δελ είλαη νύηε άξηηεο νύηε πεξηηηέο.
α.  : 3, 4f   κε
2
( )f x x
β.
2
( )
1
x
f x
x


γ. 2
( )f x x x 
16) Να βξείηε πνηεο από ηηο παξαθάησ θακπύιεο
είλαη γξαθηθέο παξαζηάζεηο άξηηαο θαη πνηεο
πεξηηηήο ζπλάξηεζεο .
α.
( )y f x
β.
( )y g x
γ.
( )y h x
17) Κάζε κηα από ηηο θακπύιεο ζηα παξαθάησ
ζρήκαηα αλήθνπλ ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο
ζπλάξηεζεο γηα 0x  . Να ζπκπιεξώζεηε θάζε
κηα από ηηο θακπύιεο , αλ ε ζπλάξηεζε είλαη :
i. άξηηα ii. πεξηηηή
α.
β.
γ.
18) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
| | 1
( )
1
x
f x
x
x



.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
19) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3| | 2
( )
1
x
f x
x
x



.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
20) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
1 3
( )
x
f x
x
 
 .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε fC έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ην
 0 , 0 .
21) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
4 1
( )
| | 3
x
f x
x
 


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .

13. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 11 -
22) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 4 1 5| |f x x x   .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη
άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ y y .
23) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( ) 2 1f x x x   .
α. Να βξείηε ηα (1)f θαη ( 1)f  .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη άξηηα ή πεξηηηή .
24) Να απνδείμεηε όηη :
α. 2
1 1 0x x    , γηα θάζε x ,
β. ε ζπλάξηεζε f κε
2
2
1 1
( )
1 1
x x
f x
x x
  

  
είλαη
πεξηηηή .
25) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα θαη ηα ζεκεία
 1, 2   ,  1, a αλήθνπλ ζηελ γξαθηθή ηεο
παξάζηαζε , λα βξείηε ην a .
26) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη πεξηηηή θαη ηα ζεκεία
 3 , 2  ,  3 ,   αλήθνπλ ζηελ γξαθηθή
ηεο παξάζηαζε , λα βξείηε ην  .
27) Αλ ε ζπλάξηεζε :f  είλαη πεξηηηή θαη ε
fC δηέξρεηαη από ην ζεκείν  2 , 3  λα δείμεηε
όηη (0) (2) 3f f  .
28) Αλ ε ζπλάξηεζε :f  είλαη πεξηηηή θαη ε
γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα
x x ζην – 2 , λα δείμεηε όηη
17 (2) 11 ( 2) 379 (0) 0f f f    .
29) Αλ ε ζπλάξηεζε  : 2 , 3 1f     είλαη
πεξηηηή , λα βξείηε ην  .
30) Αλ ε ζπλάξηεζε  2
: 2 ,f    είλαη άξηηα ,
λα βξείηε ην  .
31) Αλ ε ζπλάξηεζε  : , 2f a  είλαη άξηηα θαη
2
(1) ( 1)f f a     , λα βξείηε ηα a θαη  .
32) Αλ ε ζπλάξηεζε 2
( ) ( 1) 5f x x a x    είλαη
άξηηα , λα βξείηε ην a .
33) Αλ 2010
( ) 2008| | 2009f x x x   , λα δείμεηε όηη
( 1000) (1000) 0f f   .
34) Αλ ε ζπλάξηεζε  : ,f a a  είλαη πεξηηηή
, λα δείμεηε όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
35) Έζησ κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
. Θεσξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο g , h κε
 
1
( ) ( ) ( )
2
g x f x f x   θαη
 
1
( ) ( ) ( )
2
h x f x f x   . Να απνδείμεηε όηη :
α. ( ) ( ) ( )f x g x h x  ,
β. ε g είλαη άξηηα ,
γ. ε h είλαη πεξηηηή .
36) Έζησ κηα ζπλάξηεζε g κε πεδίν νξηζκνύ ην
. Να απνδεηρζεί όηη :
α. νη ζπλαξηήζεηο ( ) ( ) ( )f x g x g x   θαη
( ) ( ) ( )x g x g x   είλαη άξηηεο ,
β. νη ζπλαξηήζεηο ( ) ( ) ( )h x g x g x   θαη
( ) ( ) ( )w x xg x g x  είλαη πεξηηηέο .
37) Έζησ κηα ζπλάξηεζε :f  . Να
απνδεηρζεί όηη :
α. Η ζπλάξηεζε ( ) (2 ) (2 )g x f x f x    είλαη πεξηηηή.
β. Η ζπλάξηεζε ( ) (3 ) (3 )g x f x f x    είλαη άξηηα.
38) Έζησ , :f g  δπν ζπλαξηήζεηο όπνπ ε
f είλαη πεξηηηή θαη ε g είλαη άξηηα . Να δείμεηε
όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )h x f x g x είλαη πεξηηηή .
39) Έζησ f , g δπν ζπλαξηήζεηο κε πεδίν
νξηζκνύ ην . Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g
είλαη πεξηηηέο , λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
( ) ( ) ( )x f x g x  είλαη άξηηα ελώ ε ζπλάξηεζε
( ) ( ) ( )h x f x g x  είλαη πεξηηηή .
40) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  . Να απνδείμεηε
όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )g x f x f x   , x
είλαη πεξηηηή .
41) Αλ ε ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην Α
είλαη πεξηηηή , λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
( ) | ( ) |g x f x είλαη άξηηα .

14. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 12 -
42) Έζησ , :f g  . Αλ ε f είλαη άξηηα θαη ε
g είλαη πεξηηηή , λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
 ( ) ( )h x f g x , x είλαη άξηηα .
43) Αλ ε ζπλάξηεζε :f  ε νπνία είλαη
πεξηηηή . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
 2 2
( ) | ( ) | 2 1g x f x f x x    είλαη άξηηα .
44) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα ή πεξηηηή , κε
( ) 0f x  γηα θάζε x λα δείμεηε όηη ε
ζπλάξηεζε g κε
 
| ( ) |
( )
| |
f x
g x
f x
 είλαη άξηηα .
45) Αλ ε ζπλάξηεζε :f  είλαη πεξηηηή λα
δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε  ( ) | | | ( ) |g x f x f x 
είλαη άξηηα .
46) Έζησ ε πεξηηηή ζπλάξηεζε :f  . Να
δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
3 3
( ) ( ) 2 | ( ) |g x f x x f x  , x είλαη πεξηηηή .
47) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3
( ) ( ) | | 2f x f x x x x    , γηα θάζε x .
Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
48) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη  2 2 2
( ) 3 2 ( ) 3f x x f x x  , γηα θάζε x .
Να δείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
49) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη  2
( ) 2 ( )f x x f x x  , γηα θάζε x . Να
δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
50) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3 3
( ) 2f x x x  , γηα θάζε x . Να
δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
51) Έζησ f κηα ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία
ππνζέηνπκε όηη ηζρύεη 2 ( ) ( )f x f x x   , γηα
θάζε x .
α. Να βξείηε ην (0)f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
γ. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
52) Έζησ ζπλάξηεζε :f  ε νπνία είλαη
πεξηηηή θαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) ( ) ( ) 2g x f x xf x  
α. Να βξείηε ην (0)g .
β. Να δείμεηε όηη ε g είλαη άξηηα .
53) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη ( ) 2 ( ) 3f x f x x   , γηα θάζε x . Να
απνδείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
54) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3
2 ( ) 3 ( ) 2 3f x f x x x    , γηα θάζε
x . Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
55) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) ( ) ( )f x f x f x  , γηα θάζε x . Να
απνδείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
56) Αλ κηα ζπλάξηεζε :f   είλαη ζπγρξόλσο
άξηηα θαη πεξηηηή , λα δείμεηε όηη ε f είλαη
ζηαζεξή κε ηηκή 0 .
57) Έζησ ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη ( ) ( ) ( )f x y f x f y   , γηα θάζε ,x y .
α. Να βξείηε ην (0)f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
§2. μονοτονία
συνάρτησης
58) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. 3
( ) 2 1f x x  β. 3
( ) 5 3 2f x x x   
59) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( ) 194 1001f x x  β. ( ) 2 3| |f x x 
γ. 2
( ) 2f x x 

15. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 13 -
60) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο
ζπλάξηεζεο ( ) 1 2 3f x x   .
61) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο
ζπλάξηεζεο
2
( )
1
x
f x
x


.
62) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( ) 1f x x  β. ( ) 2| | 3f x x 
γ.
1 3
( )
2 2
f x x 
δ. ( ) | 2|f x x 
63) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ζηα
δηαζηήκαηα  ,1 θαη  1,   ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. 2
1
( )
( 1)
f x
x


β.
1
( ) 1
1
f x x
x
  

64) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ζηα
δηαζηήκαηα  0 , 2 θαη  2 ,   ηελ ζπλάξηεζε
f κε
4
( )f x x
x
  .
65) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( )f x x β. ( ) 2 5f x x  
γ.
1
( )f x x
x
  δ.
1
( ) 1
1
f x x
x
  

66) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( ) 28f x x  β. 2
( ) 1f x x   γ.
7
( )f x
x
 
67) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) 7 11f x x  β. ( ) 5 1f x x  γ. 2
( ) 3f x x 
δ.
2
( )
3
x
f x
x


ε. 2
1
( )f x
x
 ζη. 3
2009
( )f x
x

68) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( ) 2009 1f x x  β. 2
( ) 4f x x 
γ. 2
1
( )
10
f x
x


δ.
1
( )
2
f x
x

69) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. ( ) 2 3f x x  β. ( ) | |f x x x
70) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α. 2
( ) 3f x x β. 2
( ) 1 2f x x 
γ. 35
( ) 5
2
f x x  δ. 3
1
( ) 2f x
x
 
71) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ζην
δηάζηεκα  , 0 ηηο ζπλαξηήζεηο :
α. 2
1
( )f x x
x
  β.
3
1
( )
x
f x
x


72) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε 2 1
( ) 3f x x x
x
   ζην δηάζηεκα
 , 0   .
73) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε 2
( ) 4f x x x  ζην δηάζηεκα
 2 ,    .
74) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε  : , 0f  
κε
2
2
( )
1
x
f x
x


είλαη γλεζίσο θζίλνπζα .
75) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν
2
1
( )
x
f x
x

 είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζηα
δηαζηήκαηα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο .
76) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε 2
1
( )f x
x
 .
77) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε 3
( ) 3 2f x x x   .
78) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε
2
3 1 , 2
( ) 3 , 2 2
4 , 2
x x
f x x x
x x x
   

    

 
.

16. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 14 -
79) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 4f x x  . Να
βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ , ηα δηαζηήκαηα
κνλνηόληαο θαη ηα αθξόηαηα ηεο f .
80) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2| 2| 2f x x x    ,
x .
α. Να βξείηε ην ηύπν ηεο f ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο
απόιπηεο ηηκήο .
β. Να κειεηεζεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη έπεηηα λα
γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .
81) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο
( ) | 2| 2 2009f x x x    θαη έπεηηα λα γίλεη ε
γξαθηθή ηεο παξάζηαζε .
82) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α.
2 3 , 1
( )
6 , 1
x x
f x
x x
 
 
  β.
2
2
, 0
( )
2 , 0
x
f x x
x x


 
  
83) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  ( ) 2| | 1 3f x a x   . Να
βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε f λα είλαη
γλεζίσο θζίλνπζα .
84) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  2
( ) 1 2009f x x   .
Να βξείηε ην  ώζηε ε f λα είλαη γλεζίσο
αύμνπζα .
85) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε  ( ) | | 1f x a x a   , γηα ηηο
δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a .
86) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε ( ) | | 2( 1)f x x x   , γηα ηηο
δηάθνξεο ηηκέο ηνπ  .
87) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
   2 2
( ) 4 2 3f x a x a x     παξηζηάλεη επζεία
θαη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα λα βξείηε ην a .
88) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
Α λα δείμεηε όηη ε ( ) ( )g x f x  είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα ζην Α .
89) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
Α θαη ε g γλεζίσο θζίλνπζα ζην Α , λα δείμεηε
όηη :
α. ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )h x f x g x  είλαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην Α ,
β. ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )x g x f x   είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα ζην Α .
90) Οη ζπλαξηήζεηο f , g έρνπλ πεδίν νξηζκνύ ην
θαη είλαη γλεζίσο αύμνπζεο ζε απηό . Να
απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )h x f x g x 
είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην .
91) Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε ( ) 0f x  , γηα θάζε
x . Αλ ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Α ,
λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
1
( )
( )
g x
f x
 είλαη
γλεζίσο θζίλνπζα ζην Α .
92) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f , g κε πεδίν νξηζκνύ
ην . Αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην ,
ε g γλεζίσο αύμνπζα ζην θαη γηα θάζε x
είλαη ( ) 0f x  , ( ) 0g x  λα δείμεηε όηη ε
ζπλάξηεζε ( ) ( ) ( )h x g x f x  είλαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην .
93) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  ε νπνία είλαη
γλεζίσο αύμνπζα . Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
( ) 2 3 ( )g x x f x  είλαη γλεζίσο αύμνπζα .
94) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f , g κε ( ) , ( ) 0f x g x 
, γηα θάζε πεδίν x . Αλ ε f είλαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην Α θαη ε g γλεζίσο θζίλνπζα ζην Α
ηόηε λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
( )
( )
( )
g x
h x
f x

είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Α .
95) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο , :f g  . Αλ ε f
είλαη γλεζίσο αύμνπζα θαη ε g γλεζίσο
θζίλνπζα λα δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
 ( ) ( )h x f g x είλαη γλεζίσο θζίλνπζα .
96) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο , :f g  . Αλ ε f
είλαη γλεζίσο αύμνπζα , λα κειεηήζεηε σο πξνο
ηελ κνλνηνλία ηελ ( ) ( 2 3)g x f x   .

17. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 15 -
97) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
Α θαη ηζρύεη ( ) 0f x  , γηα θάζε x , λα
εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ζην Α ηηο
ζπλαξηήζεηο :
α.
1
( ) ( )
( )
g x f x
f x
 
β. 2
( ) ( ) 2 ( )g x f x f x 
98) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
λα δείμεηε όηη :
α.
3
3
f f


   
   
   
β.    2
2 1f a f a 
99) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα
ζην λα δείμεηε όηη :
α.    2 1 3 2f f   β.    3
3 2f f
γ.    2
3 2f x f  δ.    2
2f a a f a  
100) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα
ζην λα ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α. ( ) (3)f x f β.    3 1 5f x f x  
γ.    | | 2 0f x f  δ.  2
(1)f x f
101) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε
ζην λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α. ( ) (2)f x f β.  ( ) 2009f x f
γ.    2
2 1f x f x  δ.  | | (2009)f x f
ε.  3
( 1) 0)f x f   ζη.  3
(8)f x f
102) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )
1 | |
x
f x
x


.
α. Να εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία .
β. Να ζπγθξίλεηαη ηνπο αξηζκνύο
2009
2010
θαη
2010
2009
.
103) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1 2f x x   .
α. Να εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία .
β. Να δείμεηε όηη
1
2009 1
2009
f
 
  
 
.
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε ( ) 2f x  .
104) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα
ζην θαη ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην 3 λα
ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α. ( ) 0f x  β. ( ) 0f x 
γ.  | 1| 0f x   δ.  2
2 0f x 
105) Αλ ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην
ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην – 2 θαη ηνλ αξλεηηθό
εκηάμνλα y λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε
 2
2 0f x  .
106) Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε ζην . Αλ
2 3
3 4
f f
   
   
   
θαη ε fC
δηέξρεηαη από ην ζεκείν  1, 3 λα ιύζεηε ηελ
αλίζσζε  | 2 1| 3f x   .
107) Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε ζην θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  1, 2 θαη  1, 4  .
Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε  2
2 7 2f x   .
108) Έζησ όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο :f  ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
ζην 3 θαη ηνλ άμνλα y y ζην 1 . Αλ ε f είλαη
γλεζίσο κνλόηνλε ζην , ηόηε :
α. λα δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην ,
β. λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε 0 ( ) 1f x  .
109) Έζησ όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο :f  ηέκλεη ηνλ άμνλα y y
ζην 2 . Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε  2
1 2f x   :
α. αλ ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην ,
β. αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην .
110) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
:f  δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  1, 2  ,
 3 , 2 θαη ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην
λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε | ( ) | 2f x  .
111) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f  ε νπνία
είλαη γλεζίσο κνλόηνλε θαη πεξηηηή . Αλ ε
γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν
 1, 3  λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε  2
2 3f x  .
112) Έλα κηα ζπλάξηεζε :f  είλαη
γλεζίσο αύμνπζα θαη ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
ζην – 1 , λα δείμεηε όηη ε fC ηέκλεη ηνλ ζεηηθό
εκηάμνλα y .

18. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 16 -
113) Να απνδείμεηε όηη κηα γλεζίσο κνλόηνλε
ζπλάξηεζε δελ κπνξεί λα είλαη άξηηα .
114) Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε , λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε
( ) 0f x  έρεη ην πνιύ κηα ιύζε .
115) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
ε νπνία είλαη άξηηα . Δπίζεο ζην δηάζηεκα
 ,a  κε 0 a   είλαη γλεζίσο αύμνπζα . Να
εμεηαζηεί ε κνλνηνλία ηεο ζην δηάζηεκα
 , a  .
116) Έζησ ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
Α. Αλ ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε θαη
1 2,x x  κε 1 2x x λα δείμεηε όηη
1 2( ) ( )f x f x .
117) Έζησ κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ
Α θαη ιόγν 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x




, όπνπ 1x , 2x
ηπραία ζεκεία ηνπ Α κε 1 2x x . Να απνδείμεηε
όηη :
α. ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα , αλ θαη κόλν εάλ 0  ,
β. ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα , αλ θαη κόλν εάλ
0  .
§3. γραμμικά
ςυςτήματα
118) Να βξείηε ηα αθξόηαηα θαη ηηο ζέζεηο ησλ
ηνπηθώλ αθξνηάησλ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
β.
γ.
δ.
ε.
ζη.
119) Να εμεηάζεηε αλ έρνπλ ειάρηζην ή κέγηζην
νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο :
α. 2
( ) 2 3f x x  β.  
4
( ) 1 5 1f x x  
γ. ( ) 3| 1| 2f x x   δ. 6
( ) 2 5f x x 
ε. ( ) 5| | 13f x x   ζη. 3
( ) 2 4 8f x x  
δ.  
2
( ) 2 2 5f x x   ε. ( ) 1 7 1f x x  
ζ. ( ) 2| 1| 1f x x   η.  
2
( ) 5 2f x x  

19. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 17 -
120) Σην παξαθάησ δίλεηαη ε γξαθηθή
παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 0f x  .
γ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε f είλαη :
i. γλεζίσο αύμνπζα ,
ii. γλεζίσο θζίλνπζα ,
iii. ζηαζεξή .
δ. Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο f θαη ηηο ηηκέο ηνπ x
πνπ ηα παξνπζηάδεη .
121) Να βξείηε ηα αθξόηαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ :
α. 4 2
( ) 2f x x x  β. ( ) 6 9f x x x  
γ. 4
( ) 4 | | 4f x x x  
122) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) 2f x x  ,  1, 3x β. 2
( ) 2 1f x x  , x
123) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
1 2
( )
5
x
f x

 ,  2 , 3x  β. ( ) 4f x x 
γ. ( ) 2| 1| 1f x x x    δ.
2
( ) 2 1f x x 
124) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α. 2
2
( )
5
f x
x


β.
3
( )
| | 2
f x
x
 

125) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) 2 3f x x  ,
 1,x  
β. ( ) 2 1f x x   ,
 ,1x 
γ. ( ) 3 1f x x  ,
 2 , 3x 
δ. ( ) 5 3f x x  
( ) 5 3f x x   ,
 1, 2x 
126) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : 1, 3f   κε
( ) 2 1f x x   . Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο f .
127) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
1 | |
( )
1 | |
x
f x
x



. Να
βξείηε :
α. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Τα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f .
γ. Τα αθξόηαηα ηεο f .
128) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 4f x x  . Να
βξείηε :
α. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Τα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f .
γ. Τα αθξόηαηα ηεο f .
129) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 9f x x  .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε f ζηα δηαζηήκαηα  3 , 0 θαη  0 , 3 .
γ. Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο f θαη ηα ζεκεία πνπ ηα
παξνπζηάδεη .
130) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
1
( )f x x
x
  , 0x  β.
1
( ) 5
5
f x x
x
  

, 5x 
131) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : , 0f   κε
2
2 3 2
( )
x x
f x
x
 
 . Να βξείηε ηελ κέγηζηε ηηκή
ηεο f .
132) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ
ζπλάξηεζε
2 3 , 1
( )
3 2 , 1
x x
f x
x x
  
 
 
θαη λα βξείηε
ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο .
133) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : 0 ,f   κε
2
5 1
( )
x x
f x
x
 
 .
α. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη
1 3 1
10
2008 7 2009
f f
   
    
   
.
134) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( )
1
x
f x
x


.
α. Να δείμεηε όηη
1
( )
2
f x  , γηα θάζε x .
β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο f .
γ. Να δείμεηε όηη (17) (11) (1973) 2f f f   .

20. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 18 -
135) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  ε νπνία έρεη
κέγηζην ην 5 . Να βξείηε ην ειάρηζην ηεο
ζπλάξηεζεο ( ) 2 3 ( )g x f x  .
136) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 1f x x x   .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία .
γ. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο f .
δ. Να βξείηε ην (5)f θαη λα ιύζεηε :
i. ηελ εμίζσζε ( ) 27f x  .
ii. ηελ αλίζσζε ( ) 27f x  .
ε. Να δείμεηε όηη
2010
1 0
2009
f
 
  
 
.
137) Έζησ f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ
ην θαη πεξηηηή . Υπνζέηνπκε όηη ε f
παξνπζηάδεη ζην 0 1x  κέγηζην ην (1) 2009f  .
Να απνδείμεηε όηη ε f παξνπζηάδεη θαη ειάρηζην
ην νπνίν θαη λα πξνζδηνξηζηεί .
138) Αλ ( ) 2 2 3f x x   , λα βξείηε ηνλ αξηζκό
a ώζηε λα ηζρύεη ( ) ( )f x f a , γηα θάζε fx D .
139) Αλ  
2
( ) 2 1 3f x x    , λα βξείηε ηνλ
αξηζκό   ώζηε λα ηζρύεη ( ) ( )f x f  , γηα
θάζε x .
140) Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην θαη
0x  . Αλ ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
δηάζηεκα  0, x θαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην
δηάζηεκα  0 ,x   , λα απνδείμεηε όηη ην 0( )f x
είλαη κέγηζην ηεο f .
141) Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην θαη
0x  . Αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην
δηάζηεκα  0, x θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
δηάζηεκα  0 ,x   , λα απνδείμεηε όηη ην 0( )f x
είλαη ειάρηζην ηεο f .
142) Μηα πεξηηηή ζπλάξηεζε f κε πεδίν
νξηζκνύ ην , παξνπζηάδεη κέγηζην ζε έλα
ζεκείν 0x  . Να απνδείμεηε όηη ε f
παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην 0x .
143) Αλ κηα άξηηα ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη
κέγηζην (ή ειάρηζην) ζε έλα ζεκείν 0x ηνπ
πεδίνπ νξηζκνύ ηεο , λα απνδείμεηε όηη ε
ζπλάξηεζε απηή παξνπζηάδεη αληίζηνηρα κέγηζην
(ή ειάρηζην) θαη ζην 0x .
144) Τν άζξνηζκα δπν ζεηηθώλ αξηζκώλ x θαη y
είλαη 10 . Γηα πνηεο ηηκέο ησλ x , y :
α. ην γηλόκελν ηνπο γίλεηαη κέγηζην ,
β. ην άζξνηζκα ησλ ηεηξάγσλσλ ηνπο γίλεηαη
ειάρηζην.
145) α. Έζησ ε ζπλάξηεζε  : 0 ,f   κε
1
( )f x x
x
  . Να δείμεηε όηη ε f παξνπζηάδεη
ειάρηζην θαη λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ x πνπ ην
παξνπζηάδεη .
β. Σην παξαθάησ ζρήκα λα εθθξάζεηε σο
ζπλάξηεζε ηνπ x ηελ απόζηαζε (ΑΒ) .
γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ x πνπ ε απόζηαζε
(ΑΒ) γίλεηαη ειάρηζηε θαζώο επίζεο θαη ηα
Α θαη Β .
146) α. Σην παξαθάησ ζρήκα λα εθθξάζεηε ην
κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΜΝ σο ζπλάξηεζε ηνπ t .
β. Γηα πνηα ηηκή ηνπ t ην κήθνο ηνπ ηκήκαηνο
ΜΝ γίλεηαη ειάρηζην ;

21. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 19 -
147) α. Σην παξαθάησ ζρήκα λα εθθξάζεηε ην
κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΑΜ σο ζπλάξηεζε ηνπ x .
β. Βξείηε ην ζεκείν  ,x y γηα ην νπνίν ην ηκήκα
ΑΜ έρεη ην ειάρηζην κήθνο .
148) α. Έζησ ε ζπλάξηεζε  : 1,f   κε
1
( ) 1
1
f x x
x
  

. Να δείμεηε όηη ε f
παξνπζηάδεη ειάρηζην θαη λα βξείηε ηελ ηηκή
ηνπ x πνπ ην παξνπζηάδεη .
β. Σην δηπιαλό ζρήκα λα εθθξάζεηε σο ζπλάξηεζε
ηνπ x ην ΑΒ.
γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ x πνπ ε απόζηαζε (ΑΒ)
γίλεηαη ειάρηζηε θαζώο επίζεο θαη ηα
Α θαη Β .
149) Έζησ ε ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ
νπνία ηζρύεη 2
( ) ( ) ( )f x f x f x  , γηα θάζε x .
Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
150) Αλ κηα ζπλάξηεζε :f  είλαη
ζπγρξόλσο άξηηα θαη πεξηηηή , λα δείμεηε όηη ε
f είλαη ζηαζεξή κε ηηκή 0 .
151) Έζησ ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη ( ) ( ) ( )f x y f x f y   , γηα θάζε ,x y  .
α. Να βξείηε ην (0)f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
152) Έζησ ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύεη ( ) ( ) ( )f x y f x f y   , γηα θάζε ,x y
α. Να βξείηε ην (0)f .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή .
§4. μελέτη
ςυνάρτηςησ
153) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  2 2
( ) 4 1f x x  ,
1
2
   . Να βξείηε ην  ώζηε :
α. Η f λα είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  , 0 .
β. Να έρεη ειάρηζην .
154) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  2 2
( ) 5f x x  . Να
βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε ε f λα είλαη :
α. γλεζίσο αύμνπζα ζην  , 0 ,
β. γλεζίσο αύμνπζα ζην  0 ,   .
155) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε   2
( ) 2| | 3f x a x  .
Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε f λα έρεη :
α. κέγηζην ,
β. ειάρηζην .
156) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3| | 1
( )f x
x
 
 . Να
βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε :
α. Η f λα είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην  , 0 .
β. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f λα έρεη άμνλα
ζπκκεηξίαο ηελ επζεία y x  .
157) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
9 1
( )
a
f x
x

 . Να
βξείηε ην a ώζηε :
α. Η f λα είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  0 ,   .
β. Η f λα είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην  , 0 .
158) Να γίλεη ε κειέηε θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε
ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ :
α. 2
2y x  β. 2
0,5y x γ. | |y x x
159) Να θαηαζθεπάζεηε ηηο παξαβνιέο :
α. 2
2y x
β. 21
3
y x γ.
23
2
y x 

22. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 20 -
160) Να θαηαζθεπάζεηε ηηο ππεξβνιέο :
α.
1
y
x
  β.
3
2
y
x
 γ.
| |a
y
x
 , 0a 
161) Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
1
( )
| |
f x
x
 β.
3
( )
2 | |
x
f x
x

γ.
2 2
( )
x x
f x
x
  

162) Να κειεηεζνύλ θαη λα παξαζηαζνύλ
γξαθηθά νη ζπλαξηήζεηο :
α. 2
( ) 2015f x x β.
2
, 0
( )
2 , 0
x x
f x
x x
 
 
 
163) Να κειεηεζνύλ θαη λα παξαζηαζνύλ
γξαθηθά νη ζπλαξηήζεηο :
α.
2014
( )f x
x
 β.
1
( )
2014
f x
x

164) Να κειεηήζεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f κε :
α. 2
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
 
 
 β.
2
, 0
( ) 1
, 0
x x
f x
x
x
 

 


165) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη
λα θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α. 2
2 1 , 1
( )
, 1
x x
f x
x x
  
 
 
β.
, 1
2
( )
2
, 1
x
x
f x
x
x

 
 
 

166) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη
λα θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
1
, | | 1
( )
, | | 1
x
f x x
x x

 
 
  
β.
2
( )
| |
f x
x

167) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ
δηέξρεηαη από ην ζεκείν  1, 2   θαη ζηελ
ζπλέρεηα λα ηελ θαηαζθεπάζεηε .
168) Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο ( )
a
f x
x
 , αλ είλαη γλσζηό όηη
δηέξρεηαη από ην ζεκείν  2 , 3  .
169) Να θαηαζθεπάζεηε ηελ ππεξβνιή
a
y
x
 ,
αλ είλαη γλσζηό όηη δηέξρεηαη από ην ζεκείν
4
,1
3
 
 
 
θαη ηέκλεη ηελ επζεία 3 3y x  ζην
ζεκείν κε ηεηκεκέλε
1
3
.
170) Να θαηαζθεπάζεηε ηελ ππεξβνιή
a
y
x
 ,
0a  ηεο νπνίαο ην ζεκείν κε ηεηκεκέλε 2
απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε 5 .
171) Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ ππεξβνιή
a
y
x
 , 0a  ηεο νπνίαο ην ζεκείν κε
ηεηκεκέλε 1 απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ
απόζηαζε 2 .
172) Έζησ ε ππεξβνιή
1
y
x
 θαη ην ζεκείν
 1,1 . Να απνδείμεηε όηη απ’ όια ηα ζεκεία
ηεο ππεξβνιήο εθείλν πνπ απέρεη ηελ κηθξόηεξε
απόζηαζε από ην  0 , 0 είλαη ην Μ .
173) Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο 2
( )f x ax   , αλ είλαη γλσζηό όηη
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηέκλεη
ηελ ππεξβνιή
3
y
x
  ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε
-3 .
174) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη βάζε  0 , 5x θαη
αληίζηνηρν ύςνο ην κηζό ηεο βάζεο . Να
εθθξάζεηε ην εκβαδόλ ηνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ
x θαη λα παξαζηήζεηε γξαθηθά απηή ηελ
ζπλάξηεζε .
175) Τν ύςνο ελόο ηξαπεδίνπ είλαη x κε
0 3x  θαη ην άζξνηζκα ησλ βάζεσλ ηνπ είλαη
ηξηπιάζην ηνπ ύςνπο ηνπ . Να εθθξάζεηε
ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ x
θαη λα παξαζηήζεηε γξαθηθά απηή ηελ
ζπλάξηεζε .

23. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 21 -
176) Να βξείηε ηα ζεκεία  ,x y ελόο
θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 4xy 
θαη 1 | | 3x  .
177) Να βξείηε ηα ζεκεία ηεο ππεξβνιήο
2
y
x
 
πνπ απέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ
απόζηαζε ίζε κε 5 .
178) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο
3 3y x  θαη ηεο ππεξβνιήο
6
y
x
 .
179) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο
2 1y x  θαη ηεο παξαβνιήο 2
3y x .
180) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο παξαβνιήο
2
2y x θαη ηεο ππεξβνιήο
27
4
y
x
 .
181) Να δείμεηε όηη ε επζεία 3 1y ax  ηέκλεη
ηελ παξαβνιή 2
2y x ζε δπν ζεκεία γηα θάζε
  .
182) Να δείμεηε όηη ε επζεία 3y x    ,  
θαη ε ππεξβνιή
2
y
x
  ηέκλνληαη γηα θάζε
  ζε δπν ζεκεία .
§5. η ςυνάρτηςη
2
( )f x ax x    ,
0a 
183) Να γίλνπλ γηλόκελν παξαγόλησλ όζα από
ηα παξαθάησ ηξηώλπκα κπνξνύλ λα
παξαγνληνπνηεζνύλ :
α. 2
( ) 6 1f x x x  
β. 2 1
( ) 3 2
3
f x x x  
γ. 2
( ) 25 10 1f x x x   δ. 2
( ) 2 5 2f x x x  
ε. 2
( ) 6 9f x x x    ζη. 2
( ) 6 1f x x x   
δ. 2
( ) 6 9f x x x   ε. 2
( ) 6 9f x x x  
ζ. 2
( ) 4 12 9f x x x   
184) Να παξαγνληνπνηεζεί ε παξάζηαζε
2 2
3 5 2x xy y  .
185) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 2 2
3 2x ax a  β. 2 2 2
2x ax a   
γ. 2 2
3 5 2x xy y  δ.  2 2 2
2x ax a   
ε.  2
1 2 2x x   ζη.  2
2 3 6x x  
186) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 2 2
2 3a a   β. 2 2
2x xy y 
187) Να παξαγνληνπνηεζεί ε παξάζηαζε
2
3( ) ( ) 2x y x y    .
188) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 2
( ) 3( ) 2x y x y    β.    
2
2 2 2 1y x x y   
γ.    
2
1 5 1 6x x   
189) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.  2
2 1 2ax a x   ,
0a 
β.   2
1a x x a   ,
1a  
γ.   2
2 2 1a a x x   ,
 2 0a a  
190) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α.  2
2 2x a x a    β.  2 2 2
a x a x a     ,
0a 
γ.  2 2
2x a x a    δ.  2
x a x a   
191) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α. 4 2
5 4x x  β. 6 3
7 8x x 
γ. 4 2
10 9x x  δ. 2
2 | | 1x x 
ε. 4 2
4 37 9x x  ζη. 4 2
6 13 5x x 
δ. 4 2
4 5x x  ε. 4 2 2 4
2 3x x y y 
192) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα :
α.
2
2
3 10 3
4 3
x x
x x
 
 
β.
2
2
25 20 4
5 3 2
x x
x x
 
 
γ.
4 2
4 2
5 4
9 20
x x
x x
 
 
δ.
3 2
2
3 2
2 1
x x x
x x
 
 

24. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 22 -
193) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα :
α.
 
 
2
2
2 2
2 2 1
x a x a
x a x a
   
  
β.
2 2
4 3
2a a
a a
 

 

γ.
   
 
2 2 2
2
2 2x a x a a
x ax a
  
 
    
  
δ.
2 2
2 2
2
2
x ax a
x ax a
 
 
ε.
   
   
2
2
3 2
1 2 1
a a
a a
 
  
   
   
194) Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε
2 2 2 2
2 2 2 2
3 4 2 3
12
x ax a x ax a
x a x ax a
   
  
  
.
195) Να απινπνηήζεηε ην θιάζκα
     
 
2 2
2 2 2
1 1 1
2 1 1
a x a a x a a
ax a a x a
     
 
    
, όπνπ
0a  θαη 1a  . Δπίζεο λα βξεζεί ν x ώζηε λα
είλαη 1  .
196) Να βξείηε ηα πεδία νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ θαη λα απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν
ηνπο :
α.
2
2
9 1
( )
6 1
x
f x
x x


 
β.
2
2
2010 2009
( )
1972 1971
x x
f x
x x
 

 
197) Να γίλνπλ γηλόκελν ηα πνιπώλπκα :
α.  2 2 4 4 4 2 2 2
a x a x a    
β.      
2 22 2 2 2
2a a a        
198) Να βξεζεί ε ζπλζήθε ώζηε λα είλαη ηέιεηα
ηεηξάγσλα ηα πνιπώλπκα :
α.    
2 2
ax x    
β.    
22 2 2 2 2
a x a x a      
199) Να βξείηε ην  ώζηε ην ηξηώλπκν
 2 2
( ) 2 1 1f x x x      :
α. λα αλαιύεηαη ζε γηλόκελν δπν πξσηνβάζκησλ
παξαγόλησλ ,
β. λα είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν ,
γ. λα κελ αλαιύεηαη ζε γηλόκελν πξσηνβάζκησλ
παξαγόλησλ .
200) Να βξεζεί ην a ώζηε ην ηξηώλπκν
   2
2 6 2 8a x a x a     λα γίλεηαη ηέιεην
ηεηξάγσλν .
201) Γίλεηαη ην ηξηώλπκν 2
( ) 2 3 1 4f x x x a    .
Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ην ( )f x :
α. αλαιύεηαη ζε γηλόκελν δπν πξσηνβάζκησλ
παξαγόλησλ ,
β. είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν ,
γ. δελ αλαιύεηαη ζε γηλόκελν πξσηνβάζκησλ
παξαγόλησλ .
202) Να βξείηε ηα  ,  ώζηε γηα θάζε x λα
είλαη
      2 2 2
3 2 1 3 1 2x x x x            .
203) Γίλεηαη ην ηξηώλπκν
 2
( ) 2 1 3f x ax a x a     , 0a  .
α. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ 0a  ην ηξηώλπκν ( )f x :
i. παξαγνληνπνηείηαη
β. Αλ 1a  λα παξαγνληνπνηήζεηε ην ( )f x .
204) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
2 2
( )
3 2
ax x ax
f x
x x
  

 
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να απινπνηήζεηε ηελ f .
γ. Γηα 1a  , λα βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο fC θαη ηεο
επζείαο :
5
x
y   .
205) Γίλεηαη ην ηξηώλπκν
 2 2
( ) 2 1 1f x x x      .
α. Να βξείηε ην  ώζηε ην ηξηώλπκν λα έρεη ξίδα ην
– 1 .
β. Να βξείηε ηελ άιιε ξίδα ηνπ ηξησλύκνπ .
γ. Να παξαγνληνπνηήζεηε ην ηξηώλπκν .
206) Γίλεηαη ην ηξηώλπκν
 2 2
( ) 2 3 7f x x x      .
α. Να βξείηε ην  ώζηε ην ηξηώλπκν λα έρεη ξίδα ην
– 2 .
β. Να βξείηε ηελ άιιε ξίδα ηνπ ηξησλύκνπ .
γ. Να παξαγνληνπνηήζεηε ην ηξηώλπκν .
207) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
| |
( )
| | 2
x x
f x
x x


 
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να απινπνηήζεηε ηελ f .
γ. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη άξηηα ή πεξηηηή .

25. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 23 -
208) Αν 1x , 2x είναι οι πίζερ τος τπιωνύμος
2
( )f x ax x    , 0a  και 1 2S x x  , να
δείξετε ότι :
2 2
S S
f a f a
   
     
   
, a .
§6. κατακόρυφη
&
οριζόντια
μετατόπιςη ςυνάρτηςησ
209) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα παξαζηήζεηε
γξαθηθά ηηο ζπλαξηήζεηο ( ) | |f x x ,
( ) | | 1g x x  θαη ( ) | 1|h x x 
210) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα παξαζηήζεηε
γξαθηθά ηηο ζπλαξηήζεηο
1
( )f x
x
 ,
1
( ) 1g x
x
  ,
1
( )
1
h x
x


211) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή
παξάζηαζε ( )f x x . Να θάλεηε ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ησλ ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) 1x x   β. ( ) 1g x x 
γ. ( ) 2 1h x x  
212) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα παξαζηήζεηε
γξαθηθά ηηο ζπλαξηήζεηο :
α. 2
( ) 2f x x , 2
( ) 2 1f x x  , 2
( ) 2 1h x x 
β. 2
( ) 2f x x  , 2
( ) 2 1f x x   , 2
( ) 2 1h x x  
213) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα παξαζηήζεηε
γξαθηθά ηηο ζπλαξηήζεηο :
α. 2
( ) 2f x x ,  
2
( ) 2 1g x x  ,  
2
( ) 2 1h x x 
β. 2
( ) 2f x x  ,  
2
( ) 2 1g x x   ,  
2
( ) 2 1h x x  
§7. πρόςημο
γινομένου, πηλίκου,
ςυναληθεούςεσ ανιςώςεισ
214) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξόζεκσλ ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α. 4 2
( ) 4f x x x  β. 5
( ) 2f x x x 
γ. 3
( ) 8f x x  δ. 3
( ) 27 1f x x 
215) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
    2 2 2
2 1 2 1 4 4 3 5 3 0x x x x x x x        .
216) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.    1 2 3 0x x x   
β.    3 2 1 5 2 0x x x    
γ.     1 1 2 3 1 0x x x x    
δ.    1 5 3 2 0x x x     
217) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.    2 2
2 3 4 3 0x x x x x     
β.     2 2 2
2 2 5 2 0x x x x x    
218) Να βξείηε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ x
, ην πξόζεκν ηνπ γηλνκέλνπ
   2 2 2
( ) 6 6 9 2 1P x x x x x x x        .
219) Να βξείηε ην πξόζεκν ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ :
α.   
2
( ) 1 2f x x x   β.   
3
( ) 2 1 2f x x x   
γ.   2
( ) 3 1 5f x x x   δ.   2
( ) 3| | 1 9f x x x  
220) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξόζεκσλ ηεο
ζπλάξηεζεο    2 2
( ) 1 2 1P x x x x x x     
θαη λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε ( ) 0P x  .

26. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 24 -
221) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξόζεκσλ ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α. 3
( ) 8f x x  β. 3
( ) 8 27f x x  
222) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξόζεκσλ ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α. 3
( )f x x x  β. 3 2
( ) 5 6f x x x x   
γ. 3 2
( ) 2f x x x x   δ. 3 2
( ) 3 2f x x x x   
223) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.   2 2
1 3 0x x x   β.   2 2
2 1 1 2 3 0x x x x    
γ.   2
1 4 3 1 0x x   δ.    2 2
3 1 5 4 0x x x   
ε.   
3
2 1 3 0x x   ζη.   3 2
5 0x x x x    
δ.   
2
1 3 0x x   ε.   2
3 2 2 1 0x x x   
ζ.   
2
1 1 0x x   η.      5 10 2
1 2 9 0x x x   
ηα.
   
50 112 2
1 0x x x  
ηβ.   
302 2
2 2 3 0x x x x   
224) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :
α.     2 2 2
1 3 5 12 2 1 0x x x x x x      
β.    2 2
3 2 1 2 3 5 0x x x x x     
225) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :
α. 4 2
10 9 0x x   β. 4 2
4 5 1 0x x  
γ. 4 2
3 4x x 
226) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α. 3
8x  β. 3
2 0x   γ. 3
1x 
δ. 3
8 0x   ε. 3
64 125x 
227) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :
α. 3
4x x β. 2 4
x x γ. 4 3
1x x x  
228) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.   2
| | 1 7 4 3 0x x x    β.   2
| | 2 9 0x x  
229) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξόζεκσλ ησλ
ζπλαξηήζεσλ :
α.
2
( )
3
x
f x
x



β.
2
2 1
( )
3 2
x x
f x
x
 


γ.
2
2
2
( )
1
x x
f x
x



δ.
 
2
2
1
( )
1
x x
f x
x
 


ε.
 
2
3
( )
2 1
x x
f x
x



ζη.
2
2
3
( )
7 6
x x
f x
x x


 
230) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.
3 2
0
2 1
x
x



β.
3
0
1
x
x



γ.
2 1
0
1
x
x



δ.
5 2
3
2 1
x
x



ε.
2
1
3 2
x
x



ζη.
1
1
2 1
x
x



231) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α. 2
2 1
1
2 3 2
x
x x


 
β.
2
4 3
0
2 1
x x
x
 


γ.
2
2
3 2
1
7 12
x x
x x
 

 
δ.
2
2
5 6
1
5 4
x x
x x
 

 
232) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.
1
x
x
 β.
4
1
1
x
x
 

γ.
2
1 3
x
x x

 
δ. 2
1 2x
xx


ε.
8 2
2
x
x x



ζη.
3 2
1
1 1x x
 
 
233) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α.
100 201
3 2
( 1) ( 2)
0
( 3) ( 1)
x x
x x x
 

  
β.
2 3 7
2 4
( 2 1) (3 7)
0
( 4)
x x x
x
  


234) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
2 1 2 1
2 2
x x
x x
 

 
β.
3 2 2 3
1 1
x x
x x
 

 
235) Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο :
α. | | 1
0
| | 3
x
x



β.
3| |
1
2| | 1
x
x


γ. 2
| 3| 4x x   δ. 3 2
| | 1x x x  
236) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θαζεκίαο από
ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο :
α. 3
2
1
( )
4
x
f x
x



β. 2
( ) 3 2 1f x x x x    
γ.
2
2010
( )
4
x
f x
x



δ. 2
( ) 1f x x x  
ε. 2
2
1
( ) 3
6
f x x x
x x
  
 
ζη. 2 2
( ) 3 2 4f x x x x x    
237) Να βξείηε ην  ώζηε νη παξαθάησ
εμηζώζεηο λα έρνπλ δπν ξίδεο εηεξόζεκεο :
α.
2 2
( 2) 3 0x x      
, 2  
β.
2 2
( 1) 3 4 0x x     
, 1 

27. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 25 -
238) Αλ ε εμίζσζε 2
(2 1) 3 2 0x x     
έρεη δπν ξίδεο εηεξόζεκεο λα βξείηε ην  .
239) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2 2
( 1) 4 3 4 0x x        , 1  . Να
βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε
έρεη δπν ξίδεο εηεξόζεκεο .
240) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα αληζώζεσλ :
α.
2
2
9
2
x
x x
 

 
β.
2
2
8 15
10 24
x x
x x
   

  
γ.
2
2
8 9 0
4 0
x x
x
   

 
δ.
2
2
5 6 0
1 0
x x
x
   

 
241) Να ιύζεηε ην ζπζηήκαηα αληζώζεσλ
3 2
2
3 0
7 12 0
1
1
3
x x
x x
x
x

  

   
 
 

.
242) Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα αληζώζεσλ :
α.
2
1 2 0
11 10
x
x x
 

 
β.
2
2 1
(1 2 ) 1
x
x x
 

  
γ.
2
2
3 0
1
( 3)
2
x
x x
  


 

δ.
2
2
2
16
3
4 4
x
x x
x x
 


  
243) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο
ηζρύεη :
α. 2
3 2 2 1x x x    β. 2
2 1 3x x x  
γ. 2
3 4x x  δ. 2
1 6 9x x x   
ε.
2
2
2 1
1 1
1
x
x

  

ζη.
2
1 1
2
x
x

  

244) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :
α. 2
1 3x   β. 2
2x x  γ. 2
3 2 2x x  
245) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :
α.
2 1
2 1
2
x
x

  

β.
2 1
2
2
x
x



246) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2
2(1 ) 0x x     .
Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε
έρεη δπν ξίδεο ζεηηθέο .
247) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2 2
( 1) 2( 1) 1 0x x      . Να βξείηε ηηο ηηκέο
ηνπ  γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε έρεη δπν ξίδεο
ζεηηθέο θαη άληζεο .
248) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2
( 2) 2 6| | 2 18 0x x x        . Να βξείηε
ηηο ηηκέο ηνπ  γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε έρεη δπν
ξίδεο ζεηηθέο θαη άληζεο .
249) Έζησ ε εμίζσζε 2
( 2) 3 1 0x x     .
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε 2  ε εμίζσζε έρεη δπν
ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .
β. Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο λα βξείηε ην 
ώζηε 1 2x x   .
250) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2 2
( 3 ) 1 0x x       . Να βξείηε ην  ώζηε
ε εμίζσζε λα έρεη δπν ξίδεο εηεξόζεκεο 1x , 2x
θαη λα ηζρύεη
1 2
1 1
1
x x
   .
251) Έζησ ε εμίζσζε 2 2
2( 1) 4 0x x     
κε ξίδεο 1x , 2x ώζηε 1 2x x .
α. Να βξείηε ην  .
β. Αλ 1 2
2 1
2
x x
x x
   , λα βξείηε ην  .
252) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2 2
2( 1) 3 0x x      (1) .
α. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ  ε εμίζσζε έρεη δπν ξίδεο
πξαγκαηηθέο .
β. Αλ 1x , 2x νη πξαγκαηηθέο ξίδεο ηεο (1) λα βξείηε ηηο
ηηκέο ηνπ  γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη
1 2
2 1
1
x x
x x
   .
253) Γίλεηαη ε εμίζσζε
2
( 2) ( 2) 0x x      (1) .
α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) έρεη πξαγκαηηθέο θαη
άληζεο ξίδεο γηα θάζε   .
β. Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο (1) λα ππνινγίζεηε
ζπλαξηήζεη ηνπ  ηηο παξαζηάζεηο 1 2x x , 1 2x x
θαη 3 3
1 2x x .
γ. Αλ 3 3 3
1 2 2020S x x     , λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2000S  .

28. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 26 -
254) Αλ 1x , 2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο
2
( 1) ( 1) ( 2) 0a x a x a      λα βξείηε ηηο ηηκέο
ηνπ a ώζηε ε παξάζηαζε 2 2
1 2 1 2x x x x  λα
παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα  1, 2 .
255) Αλ x λα ζπγθξίλεηαη ηνπο αξηζκνύο
3
1x  θαη 2
x x .
256) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε εμίζσζε
2
3| | 2 1 0x x a    λα έρεη 4 δηαθνξεηηθέο ξίδεο .
257) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ηζρύεη
2
2
2
3 2
1
x ax
x x
 
  
 
, γηα θάζε x ;
258) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε ην θιάζκα
2
2
1
1
x x
x x
 
 
λα παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα  2 , 2
γηα θάζε x ;
§8. γενικέσ αςκήςεισ
259) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
( ) 2008 2010f x x x   .
α. Αλ ε fC ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία Α , Β θαη
 2 , 0 λα απνδείμεηε όηη ( ) ( ) 2000    .
β. Να ιύζεηε ην ζύζηεκα ησλ αληζώζεσλ
3 ( ) 2010f x  .
γ. Να βξείηε ην  ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο ( ) ( )g x f x x  , λα έρεη άμνλα
ζπκκεηξίαο ηνλ y y .
260) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
3
3 5 2
( )
8
x x
f x
x
 


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο f .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
1
( )
4
f x   .
261) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
2
( )
( 1)
x x
f x
x



.
α. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη άξηηα ή πεξηηηή .
β. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f κε ηελ επζεία : 1y  .
γ. Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξνζήκσλ ηεο f .
δ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f δελ βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ x x .
262) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 9f x x  .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .
β. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο f έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ y y .
γ. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f κε ηνπο άμνλεο .
263) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) 2 1f x x x a    .
Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ
ηέκλεη ηνλ άμνλα x x λα απνδείμεηε όηη :
α. 2a  .
β. Να βξείηε ην πιήζνο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο
2
( ) ( 2)( 2)a f x x a    .
264) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
3
4
( )
x
f x
x

 .
α. Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη
θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .
β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην
δηάζηεκα  , 0 .
γ. Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξνζήκσλ ηεο f .
δ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f είλαη θάησ από ηνλ x x .
265) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
3
( )
1
x
f x
x


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο f έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ
αμόλσλ .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε ( ) 2f x  .
266) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
| |
( )
2
x
f x
x


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f έρεη
άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα y y .
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 1f x  .
δ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f είλαη θάησ από ηνλ άμνλα x x .

29. ιδιότητες συναρτήσεων κεφάλαιο 2
- 27 -
267) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
1
( )
1
f x
x


.
α. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο f έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ
αμόλσλ .
β. Να απνδείμεηε όηη
1
( )
2
f x  , γηα θάζε x .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
1
( )
4
f x  .
268) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1 2f x x   .
α. Να εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία .
β. Να δείμεηε όηη
2009 2010
1
2010 209
f
 
  
 
.
γ. Να δείμεηε όηη  3
9 1f  .
269) Μηα βηνκεραλία θαζνξίδεη ηελ ηηκή πώιεζεο
( )x θάζε κνλάδαο ελόο πξντόληνο ζπλαξηήζεη
ηνπ πιήζνπο x κνλάδσλ ηεο εκεξήζηαο
παξαγσγήο ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν ( ) 440 2x x  
. Τν θόζηνο παξαγσγήο κηαο κνλάδαο είλαη 35 € .
Αλ ε βηνκεραλία πιεξώλεη θόξν 5 € γηα θάζε
κνλάδα πξντόληνο ,
α. λα απνδείμεηε όηη ην θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο από
ηελ παξαγσγή x κνλάδσλ δίλεηαη από ηελ
ζπλάξηεζε 2
( ) 2 440f x x x   ,
β. λα βξείηε πόζεο κνλάδεο πξντόληνο πξέπεη λα
παξάγεη ώζηε λα έρεη ην κέγηζην δπλαηό
θέξδνο,
γ. λα βξείηε ην κέγηζην δπλαηό θέξδνο ,
δ. λα βξείηε πόζεο κνλάδεο ην πνιύ πξέπεη λα παξάγεη
ώζηε λα κελ έρεη δεκηά .

30. - 28 -
2015-2016
τριγωνομετρία
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

31. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 29 -
§1. τριγωνομετρικοί
αριθμοί
1) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0
90  ) . Αλ
30  m θαη
3
5
  , λα ππνινγίζεηε ηηο
πιεπξέο ΒΓ θαη ΑΒ ην  ,  ,  θαη ην
ύςνο ΑΓ .
2) Σε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 6  ,  3 1 3   θαη
0
30  . Να ππνινγίζεηε ην ύςνο ΑΓ , ηελ
πιεπξά ΑΒ , ηηο γσλίεο Α θαη Β θαζώο θαη ην
εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
3) Σε νξζνγώλην ζύζηεκα αμόλσλ ηνπνζεηείζηε ηα
ζεκεία  2 , 0 ,  10 , 0 θαη  2 , 4 3  .
α. Υπνινγίζηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ
ΑΒΓ .
β. Υπνινγίζηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
4) Όηαλ βξηζθόκαζηε ζηελ όρζε ελόο πνηακνύ ,
βιέπνπκε ζηελ απέλαληη όρζε έλα δέληξν κε
γσλία ύςνπο 60ν
. Αλ όκσο απνκαθξπλζνύκε
θαηά 20 m , ηόηε βιέπνπκε ην δέληξν κε γσλία
ύςνπο 30ν
. Να ππνινγίζεηε :
α. ην ύςνο ηνπ δέληξνπ ,
β. ην πιάηνο ηνπ πνηακνύ .
5) Μηα επίθεληξε γσλία  βαίλεη ζε ηόμν κήθνπο
15 cm . Να εθθξάζεηε ηελ γσλία  ζε αθηίληα ,
αλ ε αθηίλα ηνπ θύθινπ είλαη 3 cm .
6) Να εθθξάζεηε ζε rad ηηο γσλίεο 0ν
, 135ν
, 210ν
,
780ν
, – 1125ν
.
7) Να κεηαηξέςεηε ζε κνίξεο ηηο γσλίεο :
α.
2
3

rad β.
8

rad γ.
16

rad
δ.
2
5

rad ε.
7
6

rad
ζη. 60 rad
8) Να ππνινγίζεηε ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο
αξηζκνύο ησλ γσληώλ :
α. 1140ν
β. 1200ν
γ. 1440ν
9) Να ππνινγίζεηε ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο
αξηζκνύο ησλ γσληώλ :
α. 4 rad
β.
7
3

rad γ.
49
4

rad
10) Να ππνινγίζεηε ηνπο αξηζκνύο :
α. 0
1125 β. 0
( 660 )  γ. 0
1470
11) Να ππνινγίζεηε ηνπο αξηζκνύο :
α.
25
6

 β.
33
4


γ.
61
3

 δ.
241
6


12) Σε πνην ηεηαξηεκόξην βξίζθεηαη ε ηειηθή
πιεπξά ηεο γσλίαο  αλ :
α. 0  θαη 0  β. 0  θαη 0 
13) Αλ 0
2
a

  θαη 0
4

  λα βξείηε ηα
πξόζεκα ησλ παξαζηάζεσλ:
α. 2a  β. 2  
γ. ( 4 )    δ. ( 2 )a   
14) Αλ 0 0
0 90x  λα βξείηε ην πξόζεκν ηεο
παξάζηαζεο
 0 0 0
180 (90 ) (270 )x x x         .
15) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2 2 2 23
0 2
2

         
β. 2 2 10 2015
6 4 4 2
   
       
16) Να βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 2y x x x x       , όηαλ :
α.
4
x

 rad β.
3
x

 rad γ.
6
x

 rad
17) Αλ 2x x x    , ηόηε λα δείμεηε όηη
2x x x    .
18) Να δείμεηε νη δελ ππάξρεη γσλία  ώζηε :
α. 2
4 9   β. 2
3 2 0    
19) Να δείμεηε όηη :
α. 5 2 7x y   β. 2 3 5x x  
γ. 5 7 12x x   δ. 3 4x x  

32. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 30 -
20) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x έρεη λόεκα ε ζρέζε :
α. 2 1x   β. 2
5 4x x   
γ.
1
1
x
x




21) Να βξείηε ηελ κεγαιύηεξε θαη ηελ κηθξόηεξε
ηηκή ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 3 2y x  β. 2 5y x  
γ. 5 3y x 
22) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2
2 0x x    
έρεη δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο γηα θάζε
γσλία  .
23) Γίλεηαη ε εμίζσζε  2
4 4 1 2 0x x    
(1) .
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε γσλία  ε εμίζσζε (1) έρεη
δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .
β. Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (1) λα δείμεηε όηη
1 21 3x x    .
24) Να δείμεηε όηη ε αλίζσζε 2
3 5 12 0x x   
αιεζεύεη γηα νπνηαδήπνηε γσλία x .
25) Να δείμεηε όηη :
α. Γηα θάζε 0x  :
1
2x x
x
 
β. Γηα θάζε 0x  :
1
2x x
x
 
26) Να απνδείμεηε όηη  ( ) 1
k
    , γηα θάζε
k  .
§2. βασικές
τριγωνομετρικές
ταυτότητες
27) Αλ
5
13
   θαη 0 0
180 270  , λα βξείηε
ηνπο άιινπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο
γσλίαο  .
28) Αλ
4
5
   θαη
2

   , λα βξείηε ηνπο
άιινπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο
 .
29) Αλ
3
5
  θαη 0 0
90 180  , λα βξείηε ηνπο
άιινπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο
 .
30) Αλ 5a  θαη 0
2
a

  , λα βξείηε ηνπο
άιινπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο
a .
31) Αλ
5
12
a   θαη 0 0
270 360a  , λα βξείηε
ηνπο άιινπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο
γσλίαο a .
32) Αλ
4
3
x  θαη
3
2
x

   , λα ππνινγίζεηε
ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 3x x
x x
 
 

 

.
33) Αλ 2  , λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο
παξάζηαζεο
4 2 2 4
4 2 2 4
       
       
  
 
  
.
34) Αλ γηα ηελ γσλία x ηζρύεη
2
6 5 0x x    , λα βξείηε ην x .
35) Αλ 2
10 7 2 0x x    , λα βξείηε ην x .
36) Αλ 3 2x x   , λα βξείηε ηνπο
ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο x .
37) Αλ 3 3x x   3 3x x   , λα
βξείηε ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο
γσλίαο x .
38) Αλ 9x x  θαη
3
2
x

   , λα βξείηε ην
x .
39) Αλ ηζρύεη 3x  θαη 2y  , λα δείμεηε
όηη
2 2
1
9 4
x y
  .

33. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 31 -
40) Αλ
a
x

 θαη y  , λα δείμεηε όηη
2 2
2 2
1
x y
a 
  .
41) Να εμεηάζεηε αλ ππάξρνπλ ηηκέο ηνπ x γηα
ηηο νπνίεο λα ηζρύεη ζπγρξόλσο :
α.
2
3
x  θαη 1
3
x  β. 1
4
x  θαη 3
4
x 
γ. 0x  θαη 0x  δ. 1x  θαη 1x 
42) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ   ππάξρεη γσλία  ,
ώζηε λα ηζρύεη :
α. 3
3






θαη
3
3





β. 2
2






θαη
2
2





γ. 1
3 1






θαη
2
3 1





δ.
2
1
1




θαη
2
1





43) Να απνδείμεηε όηη :
α.  
2
1 2a a a a      
β.  
2
1 2a a a a      
γ.    
2 2
2a a a a      
δ.    
2 2
4a a a a a a         
44) Να απνδείμεηε όηη :
α. 1
1
a a
a a
 
 



β. 1
1
a a
a a
 
 



γ. 1 2
2 1
a a a
a a a
  
  
 

 
δ. 1 2
1
a a
a a a
 
  

 

ε.
2
2 2
2
3 2
3 2
1
a
a a
a

 


 

45) Να απνδείμεηε όηη :
α.
1 1
1 1
x x
x x
 
 
 

 
β.
2 2
2 2
2 2
1
a
a
a
  
  
  

  

γ.
2 2
2 2
2 2
1
a
a
a
  
  
  

  

46) Να απνδείμεηε όηη :
α.
3
3
x x
x
x x
 

 



β.
4 2
4 2
1
x x
x x
 
 



γ. 1
1
x
x
x x


 
 

δ.
1 1
x x
x x
x x
 
 
 
  
 
47) Να απνδείμεηε όηη :
α.
2
1
1
x
x
x



 

β. 1
2
1
x x
x
x x
 

 

 

γ.
2
1
1
x
x
x



 

δ. 2
1 1
x x
x x x
 
  
 
 
48) Αλ 2 2
1 2a    , λα δείμεηε όηη
2 2
2 a   .
49) Αλ x a a       θαη
a a        , λα δείμεηε όηη
2 2
1   .
50) Αλ
2
2
x x   , λα ππνινγίζεηε ηηο
παξαζηάζεηο :
α. x x  β. x x 
γ. 3 3
x x  δ. 4 4
x x 
ε. x x  ζη. x x x x     
51) Αλ 2x x   , λα ππνινγίζεηε ηηο
παξαζηάζεηο :
α. x x  β. 3 3
x x 
γ. 4 4
x x 
52) Αλ
2 2
x
 
   , λα δείμεηε όηη
1 1 2
1 1
x x
x x x
 
  
 
 
 
.
92. Αλ 0 x   , λα δείμεηε όηη :
α.
1 1 2
1 1
x x
x x x
 
  
 
 
 
β.
1 1
2
1 1
x x
x
x x
 

 
 
  
 
53) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο
είλαη ζηαζεξέο .
α.    4 4 6 6
3 2y x x x x      
β. 6 6 2 2
3y x x x x      

34. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 32 -
54) Να δείμεηε όηη :
α. 2
2 1 0x x a   , γηα
θάζε x
β. 2
2 0x x    , γηα
θάζε x
55) Αλ 1x , 2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο
   2 2 2
1 0a x a a x a        , κε
0
2
a

  , λα απνδείμεηε όηη 1 2 1 2 1x x x x   .
56) Γίλεηαη ε εμίζσζε
 2
0x a a x a a        (1) κε
a a  .
α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) έρεη δπν ξίδεο
πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .
β. Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (1) λα δείμεηε όηη
2 2
1 2 1x x  .
57) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2
2 1 0x x a    (1) κε
0
2
a

  .
α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) έρεη δπν ξίδεο
πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .
β. Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (1) λα δείμεηε:
i. 2 2
1 2 2
2
x x
a
  .
ii. 2 2
1 2 2x x  .
§3. αναγωγή γωνιών
στο 1ο τεταρτημόριο
58) Να βξεζνύλ νη ηξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί ησλ
γσληώλ 405ν
θαη
88
3

rad .
59) Να ππνινγίζεηε κε ηελ βνήζεηα ηεο γσλίαο 
ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο :
α. (2 )   β. (13 )  
γ.
2

 
 
 
 
δ.
11
2

 
 
 
 
60) Να δείμεηε όηη :
α.
( ) ( )
( )
2
x x
x
x x
   


  
 

 
  
 
β.
( )
2
1
( ) ( )
x x
x x

  
  
 
  
  
 
61) Να απνδείμεηε όηη
0 0 0 0
0 0 0 0
(180 ) (270 ) (360 ) (90 )
1
(90 ) (360 ) (180 ) (270 )
       
       
   

   
62) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
( ) ( ) ( )
( )
2 2
       
 
      
  
 
   
     
   
0 0 0
0 0 0
(180 ) (90 ) (360 )
(360 ) (180 ) (180 )
     
     
  
 
  
3
(2 )
2 2
5
( )
2 2
 
      
 
     
   
     
    
   
     
   
3
(2 ) (3 )
2
3
( )
2 2

       
 
      
 
   
  
   
     
   
63) Αλ 0
0 90a  , λα απνδείμεηε όηη :
α.
0 0 0
0 0 0
(90 ) (810 ) (270 )
1
(270 ) (540 ) (180 )
a a a a
a a a a
   
   
  
 
  
β.
0 0 0
0 0 0 0
(180 ) (180 ) ( ) (90 )
1
(180 ) (180 ) (90 ) (360 )
a a a a a
a a a a
    
   
   
 
   
64) Να ππνινγηζηνύλ νη ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
α.
3 2 5
4 3 6
5 4 7
4 3 6
  
  
  
  
 
 
 
β.
0 0 0
0 0 0
135 225 120
225 135 240
  
  
 
 
 
65) Να ππνινγηζηνύλ νη ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
2 211 33 3
2
4 4 4
  
    
0 0 0
0 0
( 150 ) ( 210 ) ( 60 )
240 330
  
 
  
 

35. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 33 -
66) α. Αλ
12
( )
15
     θαη 0
2

  , λα
βξείηε ην
3
2

 
 
 
 
.
β. Αλ 0
(270 ) 2    θαη 0
2

  , λα
βξείηε ην 0
(720 )  .
67) Να απνδείμεηε όηη :
α. 2 2 3
1
8 8
x x
 
 
   
      
   
β. 2 2
1
3 6
x x
 
 
   
      
   
γ. 0 0
(35 ) (55 ) 1x x   
ε. 2 0 2 0
(72 ) ( 18 ) 1      
ζη. 1
3 6
x x
 
 
   
     
   
68) Αλ ηζρύεη 5
4 4
x x
 
 
   
      
   
, λα
ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε
2 2 5
4 4
x x
 
 
   
       
   
.
69) α. Να απνδεηρζεί όηη
4 4
x x
 
 
   
     
   
θαη
4 4
x x
 
 
   
     
   
.
β. Αλ ηζρύεη 3
4 4
x x
 
 
   
      
   
, λα
βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 2 5
4 4
x x
 
 
   
       
   
.
70) α. Να απνδεηρζεί όηη
2 2
1
4 4
x x
 
 
   
      
   
.
β. Αλ
3
4 4 2
x x
 
 
   
      
   
, λα βξείηε
ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
4 4
x x
 
 
   
      
   
.
71) Αλ Α , Β , Γ γσλίεο ηξηγώλνπ , λα δείμεηε όηη :
α. ( )    β. ( )    
γ.
2 2
 
   
 δ.
3 3 3
2 2
 
   

ε. 2 2
( ) 1    ζη. ( ) 1    
72) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο :
3
3 3
3 25
(2 )
2 2
3
2 2
 
      
 
   
   
     
    
   
    
   
4 4
2 2
9
( )
2 2
3
(2 )
2 2
 
      
 
      
   
     
    
   
     
   
.
73) Να απνδεηρζεί όηη
2 0 2 0
2 2
2 0 2 0
(90 ) (90 )
(270 ) (90 ) 2
   
   
   
  
 
   
.
74) Να απνδείμεηε όηη :
α. 0 0 0 0
0 1 2 ... 180 0       .
β. 0 0 0
5 10 ... 175 0      .
γ. 0 0 0 0 0 0
1 2 3 ... 87 88 89 1      
δ.
3 5
1
7 7 14 14
   
    
ε. 0 0 0 0
1 2 3 ... 179 0       
75) Να απνδείμεηε όηη :
α. 2 0 0 0 2 0
36 130 40 216 0      .
β. 2 0 2 0 2 0 2 0
26 34 64 56 2       .
76) Αλ 0
2
x

  , λα απνδείμεηε όηη
2 2 ( )
2
x x x

   
 
     
 
.
77) Αλ
2 2
 
   , λα απνδείμεηε όηη
( ) (2 ) 2 1
2

       
  
       
  
.
78) Αλ 0
2

  , λα απνδείμεηε όηη
 
3 5
2 1
2 2
 
      
    
         
    
.
79) Αλ
2 2
 
   , λα απνδείμεηε όηη
| | ( 2 )       ,   .
80) Να απνδείμεηε όηη
(2 1) ( 1)
2
x x
  
 
    
 
,   .

36. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 34 -
§4. τριγωνομετρικές
συναρτήσεις
81) Να εμεηάζεηε αλ νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο
είλαη άξηηεο ή πεξηηηέο :
α. 4
( ) 2 3f x x x   β. 2
( ) 3f x x 
82) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε :
α.  ( )f x x  είλαη
άξηηα
β.  ( )f x x x  είλαη
πεξηηηή
83) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα ζρεδηαζηνύλ νη
γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ :
α. ( )f x x β. ( ) 4f x x γ. ( ) 2f x x 
84) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαθάησ
εκηηνλνεηδήο θακπύιεο .
85) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα θαη ε πεξίνδνο ησλ
παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) 3
3
x
f x  β. ( )
2
x
f x  
γ. ( )f x x 
86) Αλ ε ζπλάξηεζε ( ) (2 )f x a x  , 2a  θαη
0  έρεη πεξίνδν ην
2
 θαη κέγηζηε ηηκή ην 3 ,
λα βξείηε ηα a ,  .
87) Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) 2f x a x   ,
, 0a   . Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , ε f έρεη
πεξίνδν 3  θαη ειάρηζηε ηηκή ην 3a  , λα
βξείηε a ,  ,  .
88) Να ζπγθξίλεηαη ηηο ηηκέο :
α.
4
3
 θαη
8
7
 β. 7
2
 θαη 3
5

89) Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο
2
)23(
1
)(
x
xf

 .
90) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
1
( )
(2 )
f x
x


. Να
βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο .
91) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
2
( ) 3f x a x δηέξρεηαη από ην ζεκείν , 6
2
 
 
 
, ηόηε :
α. λα βξείηε ην a ,
β. λα βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη κέγηζηε ηηκή ηεο f ,
γ. λα δείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
92) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1 2 3
2
f x x


 
    
 
.
α. Να βξείηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο
ζπλάξηεζεο .
β. Να βξείηε ηελ πεξίνδό ηεο .
γ. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .
93) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 (3 )f x x   .
α. Να βξείηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο
ζπλάξηεζεο.
β. Να βξείηε ηελ πεξίνδό ηεο .
γ. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .
94) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2
2
x
f x  .
α. Να βξείηε ηελ πεξίνδό ηεο .
β. Να βξείηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο
ζπλάξηεζεο .
γ. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .
95) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε xxf 2
)(  .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
β. Να ππνινγίζεηε ην )( xf θαη λα βξείηε ηελ
πεξίνδό ηεο .
γ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ f ζην δηάζηεκα
  2,2 .

37. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 35 -
96) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( )f x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη άξηηα .
β. Να ππνινγίζεηε ην )( xf .
γ. Να βξείηε ηελ κνλνηνλία ηεο ζην δηάζηεκα  0 , .
δ. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ f ζην δηάζηεκα
  2,2 .
97) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( )
2 3
x
f x  .
α. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηεο f .
β. Να βξείηε ηελ πεξίνδν ηεο f .
γ. Να θάλεηε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ θαη ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f ζε δηάζηεκα πιάηνπο ίζν κε ηελ
πεξίνδν ηεο f .
δ. Να ιύζεηε γξαθηθά ηελ εμίζσζε ( ) 0f x  ζην
 0 , 6 .
98) Έλα πδξαγσγείν παξέρεη λεξό ζε κηα
θνηλόηεηα . Καηά ηελ δηάξθεηα ησλ θαινθαηξηλώλ
κελώλ , ε θαηαλάισζε )(t λεξνύ ζε
ιίηξα/εκέξα δίλεηαη από ηελ ζπλάξηεζε :
4000
90
2000)(  tt

 όπνπ t ν ρξόλνο ζε
εκέξεο θαη 0t αληηζηνηρεί ζηελ αξρή ηνπ
θαινθαηξηνύ (1ε
Ινπλίνπ) .
α. Να ζρεδηάζεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο )(t γηα
900  t .
β. Πόηε έρνπκε ηελ κέγηζηε θαηαλάισζε λεξνύ ;
99) Η εηήζηα απμνκείσζε ηεο ζεξκνθξαζίαο Τ ζε
βαζκνύο Κειζίνπ ( C0
) ζην Αγξίλην δίλεηαη από
ηελ ζπλάξηεζε ( ) 15 ( 3) 23
6
t t


 
     
,
όπνπ t ν ρξόλνο ζε κήλεο θαη 0t αληηζηνηρεί
ηελ 1ε
Ιαλνπαξίνπ .
α. Να ζρεδηάζεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο )(t
γηα 120  t .
β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε ζεξκνθξαζία θαη ηελ
εκεξνκελία πνπ εκθαλίζηεθε .
100) Η παιίξξνηα ζε κηα ζαιάζζηα πεξηνρή
πεξηγξάθεηαη θαηά πξνζέγγηζε κε ηελ
ζπλάξηεζε 3
6
y t


 
  
 
όπνπ y ην ύςνο ηεο
ζηάζκεο ησλ πδάησλ ζε m θαη t ν ρξόλνο ζε h .
α. Να βξεζεί ε πςνκεηξηθή δηαθνξά αλάκεζα ζηελ
πςειόηεξε πιεκκπξίδα θαη ηελ ρακειόηεξε άκπσηε .
β. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο γηα
120  t .
101) Η ζεξκνθξαζία , ζε βαζκνύο Κειζίνπ , κηαο
εκέξαο ζε έλα ρώξν πεξηγξάθεηαη θαηά
πξνζέγγηζε από ηελ ζπλάξηεζε ( ) 10
12
t
t

  ,
όπνπ t ν ρξόλνο ζε ώξεο .
α. Πόζε είλαη ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία θαηά ηελ
δηάξθεηα ελόο 24ώξνπ .
β. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
γηα 0 24t  .
γ. Πνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο ε ζεξκνθξαζία ήηαλ :
i. 0
0 C ,
ii. θάησ από ηελ 0
0 C .
102) Να βξεζεί ην πξόζεκν ηεο παξάζηαζεο
28



 xxE  .
103) Αλ
2
x

  , λα βξεζεί ην πξόζεκν ηεο
ζπλάξηεζεο 2 2
( ) 1
5 3
x x
f x     .
104) Δάλ
2
,,
2

 zyx θαη zyx   λα
δείμεηε όηη 0
2 2 2
x y y z z x
  
  
 .
105) Δάλ
2
0

  a θαη 

 zyx
2
λα
δείμεηε όηη
α.
zzyx
a
x
a










β.   xya
§5. βασικές
τριγωνομετρικές
εξισώσεις
106) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 0x β. 1x γ. 0x
δ. 3x ε. 0x ζη. 0x
η.
3
3
x ηα.
2
3
x
ηβ. 1x

38. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 36 -
107) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
2
1
2 x β. 3
2

x

108) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 0)32)(12(  xx 
β. 0)32)(22(  xx 
γ. 0)32)(1(  xx 
δ. 0)22)(1(  xx 
ε. 0)1)(3(  xx 
109) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 332 x β. 01
5

x
 γ. 03
7
2
3 
x

110) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 1
3
x


 
   
 
β. 2 3 1
4
x


 
  
 
γ. 5 3
4
x


 
  
 
δ. 2 3 2
6
x


 
  
 
ε. 1
3
x


 
   
 
ζ. 3
3x

 
η.  0 2
30
2
x  
ηα.  0
45 1x  
111) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
2
3
2 x ζην
δηάζηεκα  2,0
β. 1)
5
2(2 

 x ζην
δηάζηεκα  ,0
γ. 1x ζην δηάζηεκα
  4,3
δ. xx  1 ζην
δηάζηεκα  2,0
112) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 0
3
x x

 
 
   
 
β. 2 0
4
x x

 
 
   
 
γ. 2 3 0
3
x x

 
 
   
 
113) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 0572 2
 xx  β. 0232 2
 xx 
γ. xx  3233 2
 δ. xx  512 2

ε. xxx 22
52   ζη. 1332
 xx 
114) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 2
2 3 2x x   β. 2
3 2 7 2 3 0x x   
γ. 4 2
1x x   δ. 2
2 3 0x x   
ε. 2
2 1 5x x   ζη. 2 2
2 5x x x    
115) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
2
31

x
x

 β. 42
1
2
 x
x


γ. 324 22
 xx 
116) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 2 2
2
3
x x

 
 
  
 
β. 2 2
1
3
x x

 
 
   
 
117) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 12  xx  β.
12  xx 
γ.
5 10 1x x  
118) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 196
 xx  β. 2010 2010
1x x  
119) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
x
x
xf





1
1
)( .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 32)( xf .
120) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
x
x
xf




1
)(
2
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 1)( xf .
121) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
12
1
)(



x
x
xf

 .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε
1
( )
4
f x   .
122) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3
1
( )
8 1
f x
x


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 1f x   .
123) α. Να βξείηε ην κέγηζην θαη ην ειάρηζην ηεο
ζπλάξηεζεο ( ) 4
3
f x x


 
   
 
.
β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο ε
( )f x παίξλεη κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή .
``

39. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 37 -
124) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 532  yx  β. 32  yx 
γ. 012  yx  δ.
2
144
 xx 
ε.
2
1
 xx 
125) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε
2 0
2 2
x x
x     δελ έρεη ιύζε ζην
δηάζηεκα 0 ,
2
 
 
 
.
126) Γίλεηαη ε εμίζσζε
02)(22
 xx  . Αλ γλσξίδνπκε όηη
ε εμίζσζε έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο λα βξεζεί ν
  .
127) Γίλεηαη ε εμίζσζε
02)1(22
  xx .
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε   έρεη ξίδεο
πξαγκαηηθέο .
β. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ   έρεη ξίδεο ίζεο ;
γ. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ   ώζηε νη ξίδεο λα είλαη
αληίζεηεο .
128) Οη εηήζηεο πσιήζεηο ελόο βηνκεραληθνύ
πξντόληνο (ζε εθαηνληάδεο θνκκάηηα) δίλεηαη
από ηνλ ηύπν ( ) 50 10
6
t
S t

  , όπνπ t ν
ρξόλνο ζε έηε κε 1t  λα αληηζηνηρεί ζην 2009
θαη 0 20t  .
α. Να βξείηε πνην έηνο νη πσιήζεηο είλαη 5.500
θνκκάηηα .
β. Να βξείηε πνην έηνο έρνπκε ην κεγαιύηεξν αξηζκό
πσιήζεσλ θαη πόζεο είλαη απηέο .
§6. τριγωνομετρικοί
αριθμοί
αθροίσματος γωνιών
129) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:
α.
412412







 
β. 4 4
5 5 5 5
   
     
130) Να γξαθνύλ ζε απινύζηεξε κνξθή νη
παξαζηάζεηο :
α.
7 3 7 3x x x x     
β.
3 3
x x
 
 
   
     
   
γ.
2 2
4 4
x x
 
 
   
     
   
δ.
2 2
3 3a a
a a
 
 
   
  
  
131) Να ππνινγηζηνύλ νη αξηζκνί :
0
15 ,
0
165 .
132) Να απνδείμεηε όηη :
α. 3 2
3

  
 
      
 
β. 2
4

  
 
      
 
γ. 3 2
3

  
 
      
 
δ. 3 2
6

  
 
      
 
133) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ησλ
παξαζηάζεσλ:
α. 0 0 0 0
13 32 77 58     
β. 0 0 0 0
10 20 70 80     
134) Να απνδείμεηε όηη :
α.
2 4
0
3 3
a a a
 
  
   
       
   
.
β. 0)240()120( 00
 xxx  .
135) Αλ
5
3
a ,
2
0

 a θαη
41
9
 ,
2
0

  λα βξεζνύλ ηα : )(  a ,
)(  a , )(  a , )(  a .
136) Αλ
2
1
a ,
2
0

 a θαη
5
3
 ,



2
λα βξεζεί ηα )(  a , )(  a
, )(  a , )(  a .

40. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 38 -
137) Να ππνινγίζεηε ην εκίηνλν θαη ην
ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο x ηνπ παξαθάησ
ζρήκαηνο .
138) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ησλ
παξαζηάζεσλ:
α.
5 5
1
6 3
5 5
6 3
 
 
 
 
 

β.
28
13
7
5
1
28
13
7
5










γ.
0 0
0 0
10 70 1
10 70
 
 
 

δ.
0 0
0 0
40 20
1 40 20
 
 

 
139) Να απνδείμεηε όηη :
γ. aa
aa
aa






3
2
12
22
22
δ.
2 2
2 2
2009
2010 2008
1 2009
a a
a a
a a
 
 
 

 
 
ε.
0
0(1 ) (45 )
(45 )
1
a a
a
a
 


  
 

ζη. 1
4 4
x x
 
 
   
       
   
140) Αλ
3
a

  , λα δείμεηε όηη
2 2
( ) ( ) 3a a       .
141) Αλ νη γσλίεο a ,  ,  ηθαλνπνηνύλ ηελ
ζπλζήθε 0
90 a , λα απνδείμεηε όηη :
α. 1 aa 
β.   aa
142) α. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε
1
3
  θαη
1
2
  . Να δείμεηε όηη 3
4

  .
β. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3  θαη 3  .
Να δείμεηε όηη 0
135

  .
143) Να απνδεηρζεί όηη ζε ηξίγσλν ΑΒΓ πνπ νη
γσλίεο ηνπ είλαη δηαθνξεηηθέο ησλ 450
ηζρύεη
0222222   .
144) α. Σε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ λα απνδεηρζεί όηη
ηζρύεη
22222
 
β. Αλ ζε έλα ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη
2222
  , λα απνδεηρζεί όηη ην
ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην .
145) Να απνδεηρζεί όηη :
α.






a
a
a
)( β.









a
a
a
a
)(
)(
146) Να απνδεηρζεί όηη :
α. 0
)()()(









a
a
a
a






β. 0
)()()(









a
a
a
a






γ. 





a
aa
a
)()(
)(2
147) Αλ ηζρύεη
1
4 3
a


 
  
 
, ππνινγηζηεί ε
a .
148) Αλ
4

 a θαη
3
1
a λα βξεζεί ε
 .
149) Αλ )()( axax   , λα απνδείμεηε
όηη 1x .
150) Αλ   yx θαη   yx ,
ηόηε :
α. λα δείμεηε όηη
2
2
)(
22



 yx .
β. γηα 2 θαη 1 λα βξείηε ηελ δηαθνξά yx  .
151) Να δείμεηε όηη ε παξάζηαζ
)()(2 22
xaxaxax  
είλαη αλεμάξηεηε ηνπ x .
152) Να δείμεηε όηη ε παξάζηαζε
2 2 2 2
3 3
x x x
 
  
   
      
   
είλαη
αλεμάξηεηε ηνπ x .

41. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 39 -
153) Να ιπζνύλ νη παξαθάησ εμηζώζεηο :
α. 2
2
x x

 
 
  
 
β. 2
4
x x

 
 
  
 
β. xxxxx   1)22)(( δ. axaxa   )()(
γ. 2 0
6
x x

 
 
   
 
ζη. 1
4 4
x x
 
 
   
      
   
δ. 023  xxx  ε. xxxx 221  
ε. 2
6
x x

 
 
  
 
η.
6 3
x x x
 
  
   
      
   
154) Αλ 3a , λα ιπζεί ε εμίζσζε
)(2)( axxa   .
155) Αλ 3a   , λα ιπζεί ε εμίζσζε
(2 ) 2x a    .
156) Αλ ε εμίζσζε 0982
 xx , έρεη ξίδεο
ηνπο αξηζκνύο a θαη  , λα απνδείμεηε όηη
1)(   a .
157) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ  ,  είλαη
ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2
6 2 3 1 0x x    .
α. Να δείμεηε όηη ( ) 3   .
β. Να βξείηε ηελ γσλία Γ ηνπ ηξηγώλνπ .
158) Έζησ νμπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη  ,
 ξίδεο ηεο εμίζσζεο
2
2009 2009 3 1 0x x    .
α. Να δείμεηε όηη 3
( )
3
      .
β. Να βξείηε ηελ γσλία Γ ηνπ ηξηγώλνπ .
159) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
( ) 2 3f x x x x     . Να απνδείμεηε όηη :
α. 2 2
( ) ( )a a a           ,
β. 2 2
3 2x x x x      ,
γ. 0 ( ) 1f x  , γηα θάζε x .
§7. τριγωνομετρικοί
αριθμοί
γωνίας 2α
160) Να γξάςεηε ζε απινύζηεξε κνξθή ηηο
παξαζηάζεηο :
α. aa 332   β. 2
1 2
4
a


 
  
 
γ.
a
a
51
52
2



161) Να ππνινγηζζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 00
15152   β. 02
7521  γ. 00
1515  
162) Αλ
5
4
a θαη
2
0

 a , λα βξεζνύλ
a2 , a2 , a2 θαη a2 .
163) Αλ
3
2
 aa  θαη
24

 a , λα
βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a2 , a2 θαη a2 .
164) Αλ
5
1
x ,
4
1
y κε x0
0 , 0
90y
λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ )(2 yx  θαη )(2 yx 
165) Αλ 2a   ,
1
2
  , λα ππνινγίζεηε
ηελ ( 2 )a  .
166) Αλ
5
3
a θαη 

 a
2
, λα
ππνινγηζζνύλ νη ηξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί ησλ
γσληώλ
2
a θαη 4a .
167) Να απνδεηρζνύλ νη ηζόηεηεο :
α.
2
4)()( 222 



a
aa
β.
2
4)()( 222 



a
aa
γ.
2
4)()( 222 



a
aa

42. τριγωνομετρία κεφάλαιο 3
- 40 -
168) Να απνδεηρζνύλ νη ηζόηεηεο :
α.
aa
aa
aa






3
21
2
22
22
β.
aa
a
aa
3
2
2





ε.
a
a
a
a
21
2
1
1







 ζη.
a
aa
aa 2
224
224






δ.
a
aa
aa






21
2
ε.
a
aa
aa






221
221
169) Να απνδεηρζεί όηη
2 2 22 4
1 1 1 8
9 9 9
  
  
     
           
     
.
170) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε a ηζρύεη
4
142
 aa  .
171) Να δείμεηε όηη :
α. 2 4 3 1
8 8 8
 
   β. 4 4 5 7
12 12 8
 
  
172) Αλ ηζρύεη aaa  , λα απνδείμεηε
όηη 22  a .
173) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 2 2 3
3 3 2
x x
 
 
   
      
   
β. 2 3
4 4
x x
 
 
   
      
   
γ.
2
22
x
xx  
174) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
2
1
x
xx   β.
2
1 3
2 2
x x
x  
 
   
 
175) Να ιπζεί ε εμίζσζε
1)122)...(142)(122)(12( 1
 
xxxx v

, v .
176) Να ιπζεί ε εμίζσζε
02)(222
 xaaax  .
177) Να δείμεηε όηη νη αξηζκνί 0
20 , 0
80 ,
0
140 είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο
03333 23
 xxx  .
178) Να δείμεηε όηη νη αξηζκνί 0
10 , 0
70 ,
0
130 είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο
013333 23
 xxx .
179) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
( )
4 4
f x x x
 
 
   
      
   
.
α. Να δεηρζεί όηη ( ) 2 2f x x
β. Να βξεζεί ε πεξίνδνο ηεο ζπλάξηεζεο .
γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε ( ) 2f x  .
180) α. Να δεηρζεί όηη
3
3 4 3      .
β. Αλ
3
3
2
    θαη   , λα
απνδείμεηε όηη 3
8 6 3 0    .
γ. Με ηελ αληηθαηάζηαζε 2 3x  , λα
ιύζεηε ηελ εμίζσζε 3
9 9 0x x   .