Εκφωνήσεις και Αναλυτικές Λύσεις στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013 Επιμέλεια Λύσεων: Για το Κέντρο μάθησης ΛΑΜΔΑ Λαύκας Δημήτρης, Φωτακοπούλου Γεωργία Κέντρο μάθησης ΛΑΜΔΑ εκπαιδεύουμε...

2. ΕΠΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ
ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

3. ΘΔΜΑ Α
Α1. Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα ζεκείν
x0, λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν απηό.
Μνλάδεο 7
Απάληεζε
Θεωξία ζρνιηθνύ βηβιίνπ, ζει. 217

4. ΘΔΜΑ Α
Α2. Να δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα ηνπ Fermat.
Μνλάδεο 4
Απάληεζε
Θεωξία ζρνιηθνύ βηβιίνπ, ζει. 260

5. ΘΔΜΑ Α
Α3. Έζηω ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ. Πνηα ζεκεία
ιέγνληαη θξίζηκα ζεκεία ηεο f;
Μνλάδεο 4
Απάληεζε
Θεωξία ζρνιηθνύ βηβιίνπ, ζει. 261

6. ΘΔΜΑ Α
Α4. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ,
γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ
αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε ηε ιέμε Σωζηό, αλ ε πξόηαζε
είλαη ζωζηή, ή Λάζνο, αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε.
Μνλάδεο 10
α) Σωζηό
β) Λάζνο
γ) Σωζηό
δ) Λάζνο
ε) Σωζηό

7. ΘΔΜΑ Β
Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z θαη w γηα ηνπο νπνίνπο
ηζρύνπλ ε εμίζωζε
2
2x w 4 3i x 2 z , x      ¡
έρεη κηα δηπιή ξίδα, ηελ x = 1
B1. Να απνδείμεηε όηη ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ z ζην
κηγαδηθό επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη
αθηίλα ξ1= 1, θαζώο επίζεο όηη ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ
ηωλ w ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν Κ(4,3) θαη αθηίλα
ξ2= 4.
Μνλάδεο 8Απάληεζε
Η δνζκέλε ζρέζε γίλεηαη:
2 2 w 4 3i
2x w 4 3i x 2 z x x z 0 (1)
2
 
        
Αθνύ ην ηξηώλπκν έρεη δηπιή ξίδα ηελ x=1 ηζρύεη κε
ρξήζε ηωλ ηύπωλ Vieta:

8. ΘΔΜΑΒ
Β1. Απάληεζε
1 2
w 4 3i
w 4 3iS
2 w 4 3i 4 w (4 3i) 42
2
S x x 2
 
  
         
   
άξα ν
γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ w ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη
θύθινο κε θέληξν Κ(4,3) θαη αθηίλα ξ2= 4
Δπίζεο από ηελ (1) αθνύ ην x=1 είλαη ξίδα έρνπκε κε αληηθαηάζηαζε:
2 4
(1) : 1 1 z 0 1 2 z 0 z 1
2
          , άξα ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ
εηθόλωλ ηωλ z ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ
αμόλωλ θαη αθηίλα ξ1= 1 (ζρήκα 1)

9. ΘΔΜΑ Β
B2. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθόο κηγαδηθόο αξηζκόο, ε
εηθόλα ηνπ νπνίνπ αλήθεη θαη ζηνπο δύν παξαπάλω
γεωκεηξηθνύο ηόπνπο.
Μνλάδεο 5
Απάληεζε
Ιζρύεη γηα ηελ δηάθεληξν ηωλ θύθιωλ :
2 2
1 2(OK) 4 5 5 ξ ξ     άξα νη δύν θύθινη εθάπηνληαη
εμωηεξηθά, άξα ππάξρεη κνλαδηθόο κηγαδηθόο, ηνπ νπνίνπ ε
εηθόλα αλήθεη θαη ζηνπο δύν γεωκεηξηθνύο ηόπνπο.

10. ΘΔΜΑ Β
B3. Γηα ηνπο παξαπάλω κηγαδηθνύο αξηζκνύο z, w ηνπ εξωηήκαηνο
Β1 λα απνδείμεηε όηη:
z w 10  θαη z w 10 
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έζηω Μ(z), Λ(w) νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ z,w αληίζηνηρα. Η
απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηνπο ηζρύεη 1 20 z w 2(ξ ξ )   
αθνύ εθάπηνληαη εμωηεξηθά ζην ζεκείν Γ. (ζρήκα 2)
σχήμα 2

11. ΘΔΜΑ Β
B3.Απάληεζε
Άξα  1 20 z w 2(ξ ξ ) 2 1 4 10 z w 10          Η ηζόηεηα
(κέγηζηε ηηκή) ιακβάλεηαη γηα ηα αληηδηακεηξηθά ζεκεία Α(z),Β(w).
Γηα ην w ηζρύεη:
2 2(OK) ξ w (OK) ξ 1 w 9       άξα
2 z w 10 z w 10     
Όκωο z w z w   από ηελ ηξηγωληθή αληζόηεηα,
άξα z w 10 

12. ΘΔΜΑ Β
B3.Απάληεζε
Δδώ πξέπεη λα ηνληζηεί εδώ όηη ε ζρέζε z w z ( w)    πνπ
εθθξάδεη ηελ απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηνπ z από ηηο εηθνλεο ηνπ -w
πνύ είλαη ζπκκεηξηθόο ηνπ w ωο πξόο ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ. Άξα
ζα κπνξνύζε λα ιπζεί αθξηβώο όκνηα κε πξηλ
 1 20 z w 2(ξ ξ ) 2 1 4 10 z w 10          (ζρήκα 3)
ζρήκα 3

13. ΘΔΜΑ Β
B4. Από ηνπο παξαπάλω κηγαδηθνύο αξηζκνύο z ηνπ εξωηήκαηνο
Β1 λα βξείηε εθείλνπο, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη:
2
2z 3z 2zz 5  
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έζηω z=x+yi κε x,y∈ℝ , έρνπκε z x yi  θαη z z 2yi  .
2
2z 3z 2zz 5 z(2z 3 2z) 5 z 2z 3 2z 5           
 
22 2
2(z z) 3 5 3 4yi 5 ( 3) 4y 5 9 16y 25             
2
y 1 άξα y=1 ή y= -1
Όκωο 2 2 2
z 1 x y 1 x 1 1 x 0         άξα z i ή z i  .

14. ΘΔΜΑ Γ
Έζηω ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: ℝ ⟶ ℝ γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
  2
2xf(x) x f (x) 3 f (x)     γηα θάζε x∈ℝ

1
f(1)
2

Γ1.Να απνδείμεηε όηη
3
2
x
f(x) , x
x 1
 

¡
θαη ζηε ζπλέρεηα όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ℝ
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έρνπκε  2 2 2
2xf(x) x f (x) 3 f (x) 2xf(x) x f (x) 3x f (x)          
           2 2 3 2 3
x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)
         
άξα ππάξρεη c  ¡ ώζηε 2 3
x f(x) x f(x) c  

15. ΘΔΜΑ Γ
Γ1. Απάληεζε
... όκωο
1
f(1)
2
 άξα γηα x=1 έρνπκε:
2 3 1 1
1 f(1) 1 f(1) c 1 c c 0
2 2
         .
Άξα
3
2 3
2
x
x f(x) x f(x) f(x)
x 1
   

γηα θάζε x  ¡ .
Παξαγωγίδνληαο ηελ f έρνπκε:
   
2 2 3 4 2 4
2 22 2
3x (x 1) x 2x 3x 3x 2x
f (x)
x 1 x 1
    
   
 
   
4 2 2 2
2 22 2
x 3x x (x 3)
f (x) 0
x 1 x 1
 
   
 
γηα θάζε x  ¡ .
Άξα ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ℝ.

16. ΘΔΜΑ Γ
Γ2. Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο
ζπλάξηεζεο f ηνπ εξωηήκαηνο Γ1.
Μνλάδεο 4
Απάληεζε
H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην ¡ άξα ζπλερήο ζην ¡ νπόηε θαηαθόξπθεο
αζύκπηωηεο δελ έρεη.
Τώξα γηα πιάγηεο:
 
3 3 3
3 32x x x x
f(x) x x x
lim lim lim lim 1
x x x xx x 1   
   
 
Οκνίωο
x
f(x)
lim 1
x
 .
3 3
2x x x
x x
lim(f(x) x) lim x lim
x 1  
 
    
 
3
x
2 2x x
x x 1
lim lim 0
x 1 x 1 x 
  
  
 
Οκνίωο
x
lim(f(x) x) 0

  .
Άξα ε (ε):y=x πιάγηα αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην
θαη ζην .(ζρήκα 4)

17. ΘΔΜΑ Γ
Γ2. Απάληεζε

18. ΘΔΜΑ Γ
Γ3. Να ιύζεηε ζην ζύλνιν ηωλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ηελ
αλίζωζε:
   2 3 2 2
f 5(x 1) 8 f 8(x 1)   
Μνλάδεο 7
Απάληεζε
   
(Γ1.)f
2 3 2 2 2 3 2 2
f 5(x 1) 8 f 8(x 1) 5(x 1) 8 8(x 1)        
Z
2 2 2 3(x 1) 1 0
2 3 2 2
2 2
(x 1) 8
5(x 1) 8 (x 1) 1
(x 1) 1 5
  

         
(Γ1.)f
2
f(x 1) f(2)  
Z
2 2
x 1 2 x 1 10 x 1        

19. ΘΔΜΑ Γ
Γ4. Γ4. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, μ∈(0, 1) ηέηνην,
ώζηε:
 
3
μ μ
2 3
0
f(t)dt μ 3μ 1 f(μ μ)

    
Μνλάδεο 8
Απάληεζε
Έζηω ε ζπλάξηεζε      
3
x x
0
F x x· f t dt, x 0, 1

 
Δθαξκόδνπκε Θεώξεκα Rolle ηελ F ζην [0,1]
Η F(x) είλαη ζπλερήο ζην [0,1] άξα παξαγωγίζηκε ζην (0,1) θαη
ηζρύεη:
   
3
0
0
0
F 0 0· f t dt 0

  θαη      
3
1
0
1 0
0
F 1 1· f t dt f t dt 0

    άξα
   F 0 F 1 0  , νπόηε...

20. ΘΔΜΑ Γ
Γ4. Απάληεζε
… νπόηε, από Θ. Rolle, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  μ 0, 1 , ηέηνην ώζηε
         
3
μ μ
3 2
0
F μ 0 μ · f t dt μ· f μ μ · 3μ 1 0


       
     
3
μ μ
2 3
0
f t dt μ· 3μ 1 ·f μ μ

    

21. ΘΔΜΑ Γ
Γίλεηαη ζπλάξηεζε f: [0,+∞)⟶ℝ, δύν θνξέο παξαγωγίζηκε, κε ζπλερή
δεύηεξε παξάγωγν ζην [0,+∞), γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

2
ρ
1 1
u (f (t))
dt
f(t)
duf(x) x
 
   
 
 γηα θάζε x > 0
 f(x)f (x) 0  γηα θάζε x > 0 θαη f (0) = 0
Θεωξνύκε επίζεο ηηο ζπλαξηήζεηο:
f (x)
g(x)
f(x)

 κε x>0 θαη  
3
h(x) f (x) κε x≥0
Γ1. Να απνδείμεηε όηη
 
2
f(x)f (x) 1 f (x)   γηα θάζε x>0
Μνλάδεο 4

22. ΘΔΜΑ Γ
Γ1. Απάληεζε
Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην (0, )  ¡ ωο παξαγωγίζηκε ζην ¡
θαη αθνύ f(x)·f (x) 0  , ζα είλαη f(x) 0 γηα θάζε x>0 .
Δπίζεο ε f'(x) είλαη ζπλερήο ωο παξαγωγίζηκε , άξα  
2
f (x) ζπλερήο ,
επνκέλωο
 
2
f (x) 1
f(x)
 
ζπλερήο ωο πειίθν ζπλερώλ, άξα ε
 
2u
1
f (t) 1
dt
f(t)
 
 ζπλερήο ωο παξαγωγίζηκε , επνκέλωο:
 
2x u
1 1
f (t) 1
dt du
f(t)
  
 
 
 
  , παξαγωγίζηκε .
Καη παξαγωγίδνληαο έρνπκε:
 
2x
1
f (t) 1
f (x) 1 dt
f(t)
 
    θαη
 
 
2
2f (x) 1
f (x) f(x)·f (x) 1 f (x) .
f(x)
 
     

23. ΘΔΜΑ Γ
Γ2.α) Να βξείηε ην πξόζεκν ηωλ ζπλαξηήζεωλ f θαη f′ ζην (0,+∞)
(κνλάδεο 4)
Απάληεζε
Αθνύ f(x) 0 γηα θάζε x>0 θαη f ζπλερήο ζην (0, ) , άξα δηαηεξεί
ζηαζεξό πξόζεκν ζε απηό. Αιιά έρω f(1)=1>0, άξα f(x)>0 γηα θάζε
x (0, )  .
Αθνύ f (x) 0  γηα θάζε x>0 θαη f' ζπλερήο ζην (0, ) , άξα
δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζε απηό. Αιιά έρω f'(1)=1>0, άξα
f'(x)>0 γηα θάζε x (0, )  .

24. ΘΔΜΑ Γ
Γ2.β) Να απνδείμεηε όηη f΄(0) = 1 (κνλάδεο 3)
Απάληεζε
Η f' είλαη ζπλερήο ζην [0, ) , άξα αθνύ από (Γ1)
 
2
f(x)f (x) 1 f (x)   γηα θάζε x>0
 
f ζπλερήο
2 2
x 0 x 0
(f (0)) lim(f (x)) lim f(x)·f (x) 1 f(0)·f (0) 1 1 

 
        .
Δπίζεο f (0) 0  γηαηί f'(x)>0 θνληά ζην 0x 0 , άξα
x 0
lim f (x) 0 f (0) 0

    . Άξα  f 0 1  .

25. ΘΔΜΑ Γ
Γ3. Γεδνκέλνπ όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη θπξηή ζην (0, +∞) , λα
απνδείμεηε όηη:
α. g(x) 2 x  γηα θάζε x∈(0, +∞) (κνλάδεο 2)
Απάληεζε
Από (Γ1) θαη ηε ζρέζε  
2
f(x)·f (x) 1 f (x)   γηα x=1 έρνπκε:
   
2 2
1f(1)·f (1) 1 f (1) ·f (1) 1 f ( )1 1 0       
Θα βξνύκε ηελ εθαπηόκελε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο g ζην
A(1,g(1)):
f (1)
g(1) 1
f(1)

  θαη
 
 
2
2
f (x)·f(x) f (x)
g (x)
f(x)
 
  , άξα
 
 
2
2
f (1)·f(1) f (1)
g (1) 1
f(1)
 
    .
Έηζη ε εθαπηόκελε είλαη ε (ε) : y 1 1(x 1) y 2 x       .
H g ωο θπξηή, έρεη γξαθηθή παξάζηαζε πνπ ζα βξίζθεηαη πάλω
από ηελ (ε) (εθηόο από ην ζεκείν επαθήο Α) , άξα g(x) 2 x  γηα
θάζε x>0.

26. ΘΔΜΑ Γ
Γ3. β)
1
0
(2 x)f(x)dx 1  (κνλάδεο 4)
Απάληεζε
Έρνπκε:
g(x) 2 x  από (Γ3.α)
θαη f(x)>0 από (Γ2.α) άξα ζα είλαη:
g(x)f(x) (2 x)·f(x) f(x)·g(x) (2 x)·f(x) 0      δηάθνξν ηνπ κεδέλ
γηα θάζεx [0,1] .
Άξα  
1
0
f(x)·g(x) (2 x)·f(x) dx 0   
1 1
0 0
f(x)·g(x)dx (2 x)·f(x)dx   .
Όκωο γηα ην πξώην νινθιήξωκα έρνπκε:
1 1 1
1
0
0 0 0
f (x)
f(x)·g(x)dx f(x)· dx f (x)dx [f(x)] f(1) f(0) 1 0 1
f(x)

         
Άξα
1 1
0 0
1 (2 x)·f(x)dx (2 x)·f(x)dx 1     

27. ΘΔΜΑ Γ
Γ4. Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο h, ηνλ άμνλα x′x θαη ηηο επζείεο x = 0 θαη
x = 1 Μνλάδεο 8
Απάληεζε
Αθνύ     
3
h x f x , x 0  είλαη ζπλερήο θαη  h x 0 , γηα θάζε x 0
ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη ίζν κε
      
1 1 1
3
0 0 0
E h x dx h x dx f x dx     
   
1 1
3 2
0 0
E f (x) dx f (x)· f (x) dx     θαη θάλνληαο παξαγνληηθή
νινθιήξωζε έρνπκε:  
112
0
0
E f(x)· f (x) 2f(x)·f (x)·f (x)dx    
  
Όκωο  
2
f(x)f (x) 1 f (x)     
2
f(x)·f (x) f (x) 1   , άξα
 
1
2
0
E 1 2· f (x)· f (x) 1 dx     
 
1
0
E 1 2 E 2· f (x)dx    
E 1 2 E 2     E 1