τρία επαναληπτικά θέματα 2017 μπάμπης κωνσταντίνου

1. Μαζεκαηηθά πξνζαλαηνιηζκνύ 1 Δπαλαιεπηηθά
Γ-Λπθείνπ Θέκαηα
Μαζεκαηηθά πξνζαλαηνιηζκνύ 1 Δπαλαιεπηηθά Θέκαηα
Γ-Λπθείνπ Κωλζηαληίλνπ . Κ . Χ
180ν. ΘΔΜΑ
● Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f,g: [0,4]   , γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ
● f fx x    , γηα θάζε x ( 1 ) θαη f παξαγωγίζηκε ζην 
● Η εμίζωζε f 0x  
, έρεη κνλαδηθή ξίδα 
● Η ζπλάξηεζε g είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην 
g x   
, γηα θάζε x θαη g 2 2 
● g 4 f 4 fx x x          , γηα θάζε x( 2 )
Α Να απνδείμεηε όηη
(γα1) Η ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη αθξόηαην γηα 2x  ( Μνλάδεο 05)
(γα2) Η ζπλάξηεζε g ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο
Rolle ζην  ( Μνλάδεο 03)
(γα3) Οη ζπλαξηήζεηοf,g έρνπλ ην ίδην είδνο κνλνηνλίαο ( Μνλάδεο 03)
Β Αλ επηπιένλ ηζρύεη όηη g x  , γηα θάζε xθαη νη
νη ζπλαξηήζεηο f ,g 
έρνπλ ην ίδην είδνο κνλνηνλίαο ηόηε
(γβ1) Να απνδείμεηε όηη f  ( Μνλάδεο 03)
(γβ2) Η κέγηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη f 0  ( Μνλάδεο 05)
(γβ3) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα ηε ζπλάξηεζε f ( Μνλάδεο 05)
181ν. ΘΔΜΑ
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην , κε f x 
, γηα θάζε x
f f 1  
, επηπιένλ δίλεηαη ε ζπλάξηεζε g κε ζπλερή παξάγωγν ζην
θαη g 2  , αθόκα δίλεηαη όηη
f f
g x x
x     
     ( 1 ) ,   , ηόηε
(δ1) Να ππνινγίζεηε ην f ( Μνλάδεο 06)
Αλ
0
f
lim 1
x
x
x
 

(δ2) Να βξείηε ην f 
θαη ην f ( Μνλάδεο 03)
(δ3) Να απνδείμεηε όηη g x x
x 
     ( Μνλάδεο 07)
(δ4) Αλ  ,θαη x   ,ηόηε γηα ηε ζπλάξηεζε  ηζρύεη g    
όπνπ x x
    ( Μνλάδεο 06)
(δ5) Αλ επηπιένλ ηζρύεη όηη 9g 2   , ηόηε λα βξείηε ην  ( Μνλάδεο 03)

2. Μαζεκαηηθά πξνζαλαηνιηζκνύ 2 Δπαλαιεπηηθά
Γ-Λπθείνπ Θέκαηα
Μαζεκαηηθά πξνζαλαηνιηζκνύ 2 Δπαλαιεπηηθά Θέκαηα
Γ-Λπθείνπ Κωλζηαληίλνπ . Κ . Χ
182ν. ΘΔΜΑ
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f,g:  , παξαγωγίζηκεο ζην ,f g 0x x     
γηα θάζε x , g 3  ,f 1   , g
ζπλερήο ζην θαη γηα θάζε x
ηζρύεη όηη :
3
g f f 1x x x      
(β1) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε f 0x   έρεη αθξηβώο κηα ξίδα  ( Μνλάδεο 06)
(β2) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ( Μνλάδεο 06)
(β3) Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ δύν ηνπιάρηζηνλ επζείεο f , g 
νη νπνίεο εθάπηνληαη ζηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο fC , gC ηωλ
ζπλαξηήζεωλ f , g αληίζηνηρα , ζε ζεκεία ηνπο κε ηελ ίδηα
ηεηκεκέλε θαη είλαη κεηαμύ ηνπο παξάιιειεο ( Μνλάδεο 05)
(β4) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ  πνπ νξίδεηαη από ηηο επζείεο
f , g , 0x  θαη 1x  ( Μνλάδεο 05)
(β5) Αλ επηπιένλ ε ζπλάξηεζε f 
είλαη παξαγωγίζηκε , ηόηε θαη ε
ζπλάξηεζε g
είλαη παξαγωγίζηκε θαη γηα ην  ηνπ εξωηήκαηνο (β1)
ηζρύεη όηη f g   
( Μνλάδεο 03)
183ν. ΘΔΜΑ
Γίλεηαη ε πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε f κε αθέξαηνπο ζπληειεζηέο , f 0  ,f 2 
θαη ε γλεζίωο κνλόηνλε ζπλάξηεζε g , ε νπνία έρεη ζεηηθή αθέξαηα ξίδα  θαη γηα
θάζε x ηζρύεη όηη
3
g f 2f 3x x x      
(α) Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηε κνλνηνλία ηηο ζπλαξηήζεηο g ,f ( Μνλάδεο 04)
(β) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο f ζην 0 1x  ( Μνλάδεο 04)
(γ) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f 
δελ είλαη  ( Μνλάδεο 04)
(δ) Αλ γηα ην βαζκό  ηεο ζπλάξηεζεο g
ηζρύεη    ηόηε
(δ1) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο g ( Μνλάδεο 07)
(δ2) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζεg fx x     έρεη κνλαδηθή ξίδα 
θαη ζηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη
0
g f dx x x

       ( Μνλάδεο 06)