Απαντήσεις Μαθηματικών Γενικής 2014

1. ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ΢ ΔΞΔΣΑ΢ΔΗ΢ Γ' ΣΑΞΖ΢
ΖΜΔΡΖ΢ΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β΄)
ΣΔΣΑΡΣΖ 22 ΗΟΤΝΗΟΤ 2013
ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΓΔΝΗΚΖ΢ ΠΑΗΓΔΗΑ΢
ΑΠΑΝΣΖ΢ΔΗ΢
ΘΔΜΑ Α
Α1. Απόδεημε ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει.30
Α2. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 13
Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 59
Α4. α. ΢ωζηό
β. Λάθος
γ. Λάθος
δ. Λάθος
ε. ΢ωζηό
ΘΔΜΑ Β
B1.
Δίλαη 1 2 3 4 6 8 12 14 40            
Β2. Έρνπκε
1
1
12
0,3
40
f


   , 2
2
8
0,2
40
f


   , 3
3
14
0,35
40
f


   , 4
4
6
0,15
40
f


  

2. Κλάζεις Κενηρικές ηιμές ΢στνόηηηα ΢τεηική
ζστνόηηηα
xiνi
[2,4) 3 12 0,3 36
[4,6) 5 8 0,2 40
[6,8) 7 14 0,35 98
[8,10) 9 6 0,15 54
΢ύνολο 40 1 228
B3.
α) Η κέζε ηηκή ηζνύηαη κε
4
1
1 228
5,7
40
i i
i
x x 
 
    ρηιηάδεο επξώ
β) Οη παξαηεξήζεηο θάζε θιάζεο είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλεο. Δπνκέλωο ζηε
θιάζε [4,6) αληηζηνηρνύλ 8 παξαηεξήζεηο θαη έζηω ζηε θιάζε [4,5 , 6) αληηζηνηρνύλ
x παξαηεξήζεηο. Τόηε
2 8
2 12 6
1,5
x x
x
     .
Δπνκέλωο νη πωιεηέο πνπ έθαλαλ πωιήζεηο ηνπιάρηζηνλ 4.5 ρηιηάδωλ επξώ είλαη
6+14+6=26 πωιεηέο.
ΘΔΜΑ Γ
Γ1. Η ζπλάξηεζε   3 27
4 1
2
f x x x x    είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν
  2
12 7 1f x x x    . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε   2
0 12 7 1 0f x x x      (1).
Δίλαη 1 0   . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο
1 2
7 1 1 7 1 1
24 4 24 3
x ή x
 
    ( 1 2x x ).
Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ
αθνινπζεί,
x  1
4
1
3

 f x + - +
 f x   
00

3. Η ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζηε ζέζε 1
1
4
x  θαη ηνπηθό ειάρηζην ζηε
ζέζε 2
1
3
x  .
Δπνκέλωο είλαη   1
1
4
P K x  θαη   2
1
3
P A x 
Γ2. Οη δεηνύκελεο πηζαλόηεηεο είλαη,
Τα ελδερόκελα Α θαη Κ είλαη αζπκβίβαζηα άξα
       
7
12
P P K A P K P A       
     
5
1
12
P P K A P K A       
  
Δπεηδή ην ελδερόκελν Γ είλαη ε κπάια πνπ επηιέγεηαη λα κελ είλαη θόθθηλε νύηε
άζπξε, απηό ζεκαίλεη ζα είλαη πξάζηλε επνκέλωο,    
5
12
P P   
Δίλαη,
                  1P P P P P P P P P                    
       
5 7
1 ( ) 1 1
12 12
P P P P P             
Γ3.
   
   
 
 
   
   
   
 
:
4 4 1 5 4
4 48
3 12
P P
 
   
                    
         
ΘΔΜΑ Γ
Γ1.
Δίλαη x dm ε κία πιεπξά θαη έζηω y dm ε άιιε πιεπξά ηεο βάζεο ηνπ νξζνγωλίνπ.
ηόηε 2 2 20 10 10x y x y y x        (1).
Δπνκέλωο ην εκβαδόλ επηθάλεηαο ηνπ θνπηηνύ ηζνύηαη κε
 
 
  
1
2
10 10 10 10 10 10 10 10 100E x y xy x y x x x x x x             
Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε   2
10 100, 0 10E x x x x     
Η ζπλάξηεζε   2
10 100E x x x    είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν
  2 10E x x    . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε   0 2 10 0 5E x x x        .

4. Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ
αθνινπζεί,
x 0 5 10
 E x + -
 E x  
Δπνκέλωο ην θνπηί έρεη κέγηζηε επηθάλεηα γίλεηαη κέγηζην γηα 5x dm
Γ2.
α) Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 2
5 2 0s s   (2)
Δίλαη 9 0   . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (2) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο
5 3 5 3 1
2
4 4 2
s ή s
 
    .
 Αλ 2s  ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε
2 1 1
8 4 10
s
CV
x
    δεθηή
δηόηη ην δείγκα δελ είλαη νκνηνγελέο.
 Αλ
1
2
s  ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε
1
1 12
8 16 10
s
CV
x
   
απνξξίπηεηαη δηόηη ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο ζε απηή ηε πεξίπηωζε.
β) Ο ηύπνο ηεο δηαθύκαλζεο γίλεηαη,
2 2 2
2 2
1 12 2 2 21 1 1
2
1
1
i ii i i
i ii i i
i
i
t tt t t
s t x x
   

     
   

          
          
                
      
      
         
   

Οπόηε 2 2 2
4 64 68x s x    
Γ3.
Η ζπλάξηεζε E(x) από ην πίλαθα κνλνηνλίαο πξνθύπηεη όηη είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.
Οπόηε αθνύ 1 2 155 ..... 9x x x     ηζρύεη      25 ...... 9E E x E   . Άξα ην εύξνο
ηωλ  i iy E x ηζνύηαη κε    5 9 125 109 16R E E     .
Οπόηε ιύλνπκε ηελ αλίζωζε
  2 2
4 9 1 10 100 4 144 1 14 45 0E x x R x x x x x                . Δπνκέλωο
5 9x  .
Άξα ην ελδερόκελν Β είλαη ην       2 2 3 3 14 14, , , ,......, ,x y x y x y  . Δπνκέλωο ζύκθωλα
κε ηνλ θιαζηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο είλαη  
 
 
13
15
P
 
  
 
0