Ιωάννης Σαράφης, Διαγώνισμα μιγαδικών 2014-15

1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ Γ' ΛΥΚΔΗΟΥ
ΔΛΛΖΝΟΓΑΛΛΗΚΖΣ ΣΦΟΛΖΣ «ΚΑΛΑΜΑΡΗ»
ΔΞΔΤΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ
ΘΔΤΗΚΖΣ ΚΑΗ ΤΔΦΝΟΛΟΓΗΚΖΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΖΣ
Δπιμέλεια: Σαράφης Γιάννης
Ονοματεπώνσμο:………………………………………………
Ζμερομηνία: ………………………………
ΘΔΜΑ Α
A1. Nα δώζεηε ηον οπιζμό ηος μέηπος ενόρ μιγαδικού z=x+yi.
Μονάδες 5
Α2. Αν 1 2 z ,z  , να αποδείξεηε όηι | z1  z2 || z1 |  | z2 |.
Μονάδες 10
Α3. Να εξεηάζεηε ποιοι από ηοςρ παπακάηω ιζσςπιζμούρ είναι ζωζηοί (Σ)
και ποιοι λανθαζμένοι (Λ).
α. Αν 1 2 z ,z  ηόηε ιζσύει 1 2 1 2 | z || z |z  z .
Μονάδες 2
β. Αν 1 2 z ,z  ηόηε ιζσύει 1 2 1 2 | z |  | z | 0z  z  0.
Μονάδες 2
γ. Αν 1 2 z ,z  ηόηε ηο 1 2 | z  z | δηλώνει ηην απόζηαζη ηηρ εικόναρ ηος
1 2 z  z από ηην απσή ηων αξόνων.
Μονάδες 2
δ. Αν Α η εικόνα ηος μιγαδικού 1 z και Β η εικόνα ηος μιγαδικού 2 z , ηόηε
  1 2  | z  z |.
Μονάδες 2
ε. Αν 1 2 z ,z  ηόηε ιζσύει 1 2 1 2 | z | | z | | z |  | z | .
Μονάδες 2
ΤΔΛΟΣ 1ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ
ΘΔΜΑ Β
Γίνεηαι η ζςνάπηηζη f με  
2 z 4
f z
| z 2i |



.
Β1.Να βπείηε ηο Imf(1+i)
Μονάδες 5
Β2.Να αποδείξεηε όηι | f z || z  2i |
Μονάδες 6
Β3.Να βπείηε ηο γεωμεηπικό ηόπο ηων εικόνων Μ(z) όηαν :
i. f z
Μονάδες 6
ii.| f z 5i |  | f z i |10
Μονάδες 8
ΘΔΜΑ Γ
Θεωπούμε ηοςρ μιγαδικούρ z για ηοςρ οποίοςρ ιζσύει:
1 1
Re
z 1 2
 
  
  
Γ1. Να αποδείξεηε όηι ο γεωμεηπικόρ ηόπορ ηων εικόνων ηων μιγαδικών
z είναι κύκλορ με κένηπο Κ(2,0) και ακηίνα π=1, εκηόρ από ένα ζημείο ηος
Μονάδες 7
Γ2. Αν 1 2 z ,z είναι δύο από ηοςρ μιγαδικούρ ηος επωηήμαηορ Γ1, να αποδείξεηε όηι:
1 2 z  z  4  2
Μονάδες 5
Γ3. Από ηοςρ μιγαδικούρ απιθμούρ ηος επωηήμαηορ Γ1, να πποζδιοπίζεηε αςηούρ για
ηοςρ οποίοςρ ιζσύει: z  5 .
Μονάδες 5
Γ4. Αν z έναρ μιγαδικόρ ηος Γ1 επωηήμαηορ να ςπολογίζεηε ηην μέγιζηη και ηην
ελάσιζηη ηιμή ηηρ παπάζηαζηρ z  z .Σηη ζςνέσεια να βπείηε ηοςρ μιγαδικούρ z
για ηοςρ οποίοςρ η παπάζηαζη z  z παίπνει ηην μέγιζηη και ηην ελάσιζηη ηιμή
ηηρ.
Μονάδες 8
ΤΔΛΟΣ 2ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ
ΘΔΜΑ Γ
Έζηω οι μιγαδικοί απιθμοί z και w ηέηοιοι,ώζηε z 1 και
2z 1
w
z 2



.
Γ1. Να αποδείξεηε όηι οι εικόνερ ηων z και w ζηο μιγαδικό επίπεδο ανήκοςν ζηον
κύκλο με κένηπο ηο ζημείο Ο(0,0) και ακηίνα π=1.
Μονάδες 6
Γ2. Να λύζεηε ωρ ππορ z ηην εξίζωζη w  z
Μονάδες 6
Γ3. Να βπείηε ηη μέγιζηη ηιμή ηος w  z
Μονάδες 6
Γ4. Να αποδείξεηε όηι w  z  2
Μονάδες 7
ΤΔΛΟΣ 3ΗΣ ΣΔΛΙΓΑΣ