diagwnisma_prosomoiwshs_mathimatika_prosanatosmou_lykeia_aigalaio_2016

1. Πειίδα 1 από 2
Πειίδα 1 από 2
ΡΑΜΖ Γ
ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΔΞΑΛΑΙΖΨΖΠ
10
– 30
– 40
– 50
– 60
ΓΔΙ ΑΗΓΑΙΔΩ
Θ΢ΟΗΑΘΖ 17 ΑΞΟΗΙΗΝ΢ 2016
ΔΜΔΡΑΕΝΚΔΛΝ ΚΑΘΖΚΑ : ΚΑΘΖΚΑΡΗΘΑ
ΞΟΝΠΑΛΑΡΝΙΗΠΚΝ΢
ΘΔΚΑ Α
Α1 Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ’ έλα δηάζηεκα . Αλ G είλαη κηα
παξάγνπζα ηεο f ζην  , ηόηε f( )d G( ) G( )x x


    ( Κνλάδεο 7 )
Α2 Λα δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο ηζόηεηαο δύν ζπλαξηήζεσλ f,g ( Κνλάδεο 5 )
Α3 Ξόηε ιέκε όηη κηα ζπλάξηεζεf είλαη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο
f
 ( Κνλάδεο 3 )
Α4 Λα αληηγξάςεηε ζηελ θόιια ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη δίπια ην
γξάκκα ( Π ) , αλ ε πξόηαζε είλαη ζσζηή ή ην γξάκκα ( Ι ) αλ ε πξόηαζε
είλαη ιάζνο (Κνλάδεο 10 )
1. Όηαλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην  , ηόηε είλαη θαη
παξαγσγίζηκε ζην 
2. Όηαλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην ,ηόηε ην ζύλνιν
ηηκώλ ηεο είλαη θιεηζηό δηάζηεκα
3. Θάζε ζπλερήο ζπλάξηεζε έρεη αξρηθή ζπλάξηεζε.
4. Γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x ,ηζρύεη όηη : x x 
5. Όηαλ  ,ηόηε
1
)x x
x 
  /
ΘΔΚΑ Β
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην = (0, )  ,γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη
2 2
f ( ) 2 ln 1 f ( ) 4 lnx x x x x x x    
/
, γηα θάζε x   θαη f (1) 0
(β1) Λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f ( Κνλάδεο 5 )
Αλ
2 2
f ( ) 2 ln 1x x x x   , ηόηε
(β2) Λα κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζεf σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ( Κνλάδεο 6 )
(β3) Λα βξείηε
Tα δηαζηήκαηα, ζηα νπνία ε ζπλάξηεζεf ζηξέθεη ηα θνίια άλσ.
Ρα δηαζηήκαηα , ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια θάησ
Ρα ζεκεία θακπήο ( Κνλάδεο 7 )
(β4) Λα απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε fC ηεο ζπλάξηεζεο f εθάπηεηαη
ζηνλ άμνλα x x ( Κνλάδεο 3 )
(β5) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( )  ηνπ ρσξίνπ  πνπ πεξηθιείεηαη από ηε
γξαθηθή παξάζηαζε fC ηεο ζπλάξηεζεο f ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο
x  θαη ex  . ( Κνλάδεο 4 )

2. Πειίδα 2 από 2
Πειίδα 2 από 2
ΘΔΚΑ Γ
Γίλνληαη νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ,f :g  ,γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ:
2
( ) 4 6g x x x  
θαη
3
f ( ) + f( ) g( )x x x , γηα θάζε x  .
Λα απνδείμεηε όηη
(γ1) f( )x  , γηα θάζε x  . ( Κνλάδεο 3)
(γ2) ΢πάξρεη κνλαδηθό 0x  ,ζην νπνίν ε ζπλάξηεζε g παξνπζηάδεη ειάρηζην
θαη ζηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0x ( Κνλάδεο 7 )
(γ3) Ζ ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην 1 ( , 2]   θαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην 2 [ 2, )   ( Κνλάδεο 6 )
(γ4) ( ) f ( )g  , όπνπ ( ),f ( )g ηα ζύλνια ηηκώλ ησλ ζπλαξηήζεσλ
g ,f αληηζηνίρσο ( Κνλάδεο 5 )
(γ5)
0
2
3f ( )d 20x x

  ( Κνλάδεο 4 )
ΘΔΚΑ Γ
Γίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε f :  ,v θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ,v ζεηηθόο
αθέξαηνο , κε f (0) f (0) f (1) 3  
/ /
θαη f ( ) 0x 
///
, γηα θάζε x  .
(δ1) Λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη άξηηα ( Κνλάδεο 3 )
(δ2) Λα απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε
f
C ηεο ζπλάξηεζεοf έρεη κόλν
έλα ζεκείν θακπήο. ( Κνλάδεο 4 )
(δ3) Λα κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζεf σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηελ θπξηόηεηα ( Κνλάδεο 7 )
(δ4) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ) 12f (x 
/
έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ζην ( Κνλάδεο 5 )
(δ5) Αλ
(4) (5) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )f f f f
v v
x x x x

    , ηόηε λα απνδείμεηε
όηη
3
)f(x x θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε
ηεο ζπλάξηεζεοf ( Κνλάδεο 6 )

3. Δλδεηθηηθέο απαληήζεηο γηα Γηαγώληζκα επαλάιεςεο
ΘΔΜΑ Α
Α1 ΟΔΓΒ Σει. 334 Α2 ΟΔΓΒ Σει 141 . Α3 ΟΔΓΒ Σει 151 Α4 Λ – Σ – Σ – Λ - Λ
ΘΔΜΑ Β
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην = (0, )  ,γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη
2 2
f ( ) 2 ln 1 f ( ) 4 lnx x x x x x x    
/
, γηα θάζε x   θαη f (1) 0
(β1) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f ( Μνλάδεο 5 )
Αλ
2 2
f ( ) 2 ln 1x x x x   , ηόηε
(β2) Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζεf σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ( Μνλάδεο 6 )
(β3) Να βξείηε
Tα δηαζηήκαηα, ζηα νπνία ε ζπλάξηεζεf ζηξέθεη ηα θνίια άλσ.
Τα δηαζηήκαηα , ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια θάησ
Τα ζεκεία θακπήο ( Μνλάδεο 7 )
(β4) Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε fC ηεο ζπλάξηεζεο f εθάπηεηαη
ζηνλ άμνλα x x ( Μνλάδεο 3 )
(β5) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ( )  ηνπ ρσξίνπ  πνπ πεξηθιείεηαη από ηε
γξαθηθή παξάζηαζε fC ηεο ζπλάξηεζεο f ηνλ άμνλα x x θαη ηηο επζείεο
x  θαη ex  . ( Μνλάδεο 4 )
ελδεηθηηθή απάληεζε
(β1) Δίλαη
2 2 2 2
f( ) ln 1 (f( ) ln 1)x x x x x x x x       
/
, νπόηε
2 2
f( ) ln 1 Ce
x
x x x x     , όηαλ x   , έρνπκε C  , επνκέλσο
2 2
f ( ) 2 ln 1x x x x  
(β2) f ( ) 4 lnx x x
/
,είλαη f ( ) 1x x   
/
θαη f ( ) 0 1x x    
/
νπόηε ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην 1 (0,1]  θαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην 2 [1, )  
Γηα 1x  παξνπζηάδεη ειάρηζην κε ηηκή f (1) 0
(β3) f ( ) 4 4lnx x 
//
,είλαη
1
f ( ) 4 4ln 0 ex x x

      
//
θαη
1
f ( ) 0 ex x

    
//
,νπόηε ε γξαθηθή παξάζηαζε fC ηεο
ζπλάξηεζεοf ζηξέθεη ηα θνίια άλσ , όηαλ
1
ex

 θαη ζηξέθεη ηα θνίια θάησ, όηαλ
1
0 ex

  .
Σην
1
ex

 , ε f έρεη ζεκείν θακπήο
1 1
,(e f (e ))
 
 , κε
1
1f (e ) e
 
 
(β4) f (1) 0 θαη f (1) 0
/
νπόηε ν άμνλαο x x εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε
fC ηεο ζπλάξηεζεο f
(β5) f ( ) 0x  , γηα θάζε [1,e]x  ,νπόηε
e
3
1
e
1
( ) f( )d [ 9e 4]
9
x x     

4. ΘΔΜΑ Γ
Γίλνληαη νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο :g  θαηf : (0, )  , γηα ηηο νπνίεο
ηζρύνπλ:
2
( ) 4 6g x x x   θαη
3
f ( ) + f( ) = g( )x x x , γηα θάζε x  .
Να απνδείμεηε όηη
(γ1) f( )x  , γηα θάζε x  . ( Μνλάδεο 3)
(γ2) Υπάξρεη κνλαδηθό 0x  ,ζην νπνίν ε ζπλάξηεζε g παξνπζηάδεη ειάρηζην
θαη ζηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0x ( Μνλάδεο 7 )
(γ3) Η ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην 1 ( , 2]   θαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην 2 [ 2, )   ( Μνλάδεο 6 )
(γ4) ( ) f ( )g  , όπνπ ( ),f ( )g ηα ζύλνια ηηκώλ ησλ ζπλαξηήζεσλ
g ,f αληηζηνίρσο ( Μνλάδεο 5 )
(γ5)
0
2
3f ( )d 20x x

  ( Μνλάδεο 4 )
ελδεηθηηθή απάληεζε
(γ1)
2 2
( ) 4 6 ( 2) 2 0g x x x x       , γηα θάζε x  .θαη
2
f ( ) 1 > 0x 
όκσο
2
f( )(f ( ) 1) g( ) > 0x x x  , γηα θάζε x  , άξαf( )x  ,γηα θάζε x 
(γ2) Δίλαη ( ) 2 4g x x 
/
, ( ) 0 2g x x   
/
θαη ( ) 0 2g x x   
/
Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην( , 2]  θαη είλαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην [ 2, ) 
Οπόηε ε ζπλάξηεζε g παξνπζηάδεη ζην 0 2x   ,ειάρηζην κε ηηκή ( 2) 2g  
θαη ην 0 2x   είλαη κνλαδηθό. Δίλαη
3
( 2 2 2f ) f ( ) ( )+ g   ( 2 ) , άξα 2f ( ) 1  .
Αθαηξνύκε ηηο ( 1 ) , ( 2 ) θαηά κέιε θαη έρνπκε
3 3 2 3 2
( ( 2 2 (f ) f ( ) f ) f ( ) 2) f ) f ( ) 1 1 2)x x x x x x             
2 2
(f ( ) 1)[f ( ) f ( ) 2] 2)x x x x      , είλαη
2
f ( ) f ( ) 2 2x x    
Με 2x   ,έρνπκε 2
f ( ) 1 2
22 f ( ) f( ) 2
x x
xx x x
 
    
 
   , γηαηί 2 
Οπόηε
f ( ) 1
2 22
x
x xx

      .Όκσο
2 2
lim 2 ] 0 lim 2
x x
x x
 
       
Καη από θξηηήξην παξεκβνιήο,
2
f ( ) f ( 2)
lim 02x
x
x
 
 , άξαf ( 2) 0 
/
(γ3) Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην 1 ( , 2]   ηόηε
ππάξρνπλ 1 2 1,x x   κε 1 2x x ώζηε
3 3
1 2 1 2f( ) f( ) f ( ) f ( )x x x x  
νπόηε
3 3
1 1 2 2 1 2f ( ) f( ) f ( ) f( ) g( ) g( )x x x x x x     θαη g γλεζίσο
θζίλνπζα ζην 1 , άξα 1 2x x άηνπν. Οπόηε ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα

5. ζην 1 .Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην 2
(γ4) Δίλαη lim ( ) lim ( )
x x
g x g x
 
   επνκέλσο ( ) [2, )g  
ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην 2 ,νπόηε ην 2 )f ( είλαη
2 )f ( [f ( 2), lim f ( ))
x
x

 
Αλ lim f ( )
x
x

   ηόηε
3
lim f ( )
x
x


  , νπόηε
3
lim [f ( ) f ( )]
x
x x


    θαη lim ( )
x
g x

 , άηνπν ιόγσ ( 1 )
Δπνκέλσο lim f ( )
x
x

 , άξα f ( ) [1, )  ,νπόηε ( ) f ( )g 
(γ5) Δίλαη ( ) 0g x  ,
3
f ( ) > 0x θαη f ( ) 0x  ,γηα θάζε x  ,άξα f ( ) ( )x < g x 
0
2
[ ( ) f ( )]d 0( ) f ( ) 0 g x x xg x x

     
0
2
3f( )d 20x x

 

6. ΘΔΜΑ Γ
Γίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε f :  ,v θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ,v ζεηηθόο
αθέξαηνο , κε f (0) f (0) f (1) 3  
/ /
θαη f ( ) 0x 
///
, γηα θάζε x  .
(δ1) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη άξηηα ( Μνλάδεο 3 )
(δ2) Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε
f
C ηεο ζπλάξηεζεοf έρεη κόλν
έλα ζεκείν θακπήο. ( Μνλάδεο 4 )
(δ3) Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζεf σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηελ θπξηόηεηα ( Μνλάδεο 7 )
(δ4) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ) 12f (x 
/
έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ζην ( Μνλάδεο 6 )
(δ5) Αλ
(4) (5) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )f f f f
v v
x x x x

    , ηόηε λα ππνινγίζεηε
ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ  ,πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε fC
ηεο ζπλάξηεζεοf ,ηνλ άμνλα y y ,ηελ επζεία x  θαη ηελ επζεία( ) , ε νπνία
εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε
f
C ζην ζεκείν θακπήο ηεο. ( Μνλάδεο 5 )
ελδεηθηηθή απάληεζε
( δ1 ) Η ζπλάξηεζε f είλαη πεξηηηή νπόηε f( ) f( ) [f( )] [f( )]x x x x      
/ /
,άξα
f ( ) f ( )x x 
/ /
, επνκέλσο ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη άξηηα .
Όηαλ 0 f(0) f(0) f(0) 0x       , άξα f (0) 0 f (0) 
/
θαη f (1) 3
/
( δ2 ) Γίλεηαη f ( ) 0x 
///
θαη f
///
ζπλερήο , άξα ε ζπλάξηεζε f
///
δηαηεξεί ζηαζεξό
πξόζεκν, νπόηε ε ζπλάξηεζε f
//
είλαη ή γλεζίσο αύμνπζα ή γλεζίσο θζίλνπζα. ( 1 )
Η ζπλάξηεζε f
/
είλαη άξηηα ,νπόηε ε ζπλάξηεζεf
//
είλαη πεξηηηή , άξα (0) 0f 
//
.
Καη ιόγσ ηεο ( 1 ), ε 0x  είλαη κνλαδηθή ξίδα ηεο εμίζσζεο ( ) 0f x 
//
θαη ε ζπλάξηεζε
f
//
αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξσζελ ηνπ 0(κεδέλ) , νπόηε ε ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη
γηα 0x  ζεκείν θακπήο ην (0,0) ,ην νπνίν είλαη θαη κνλαδηθό.
(δ3) Η ζπλάξηεζε f
/
ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ ζην[0,1] άξα ππάξρεη έλα
 ώζηε ( )f f ( ) f ( ) 3    
// / /
, όκσο ε ζπλάξηεζε f
//
είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε ,    θαη ( )0 f ( ) f 3    
// //
, άξα ε ζπλάξηεζε f
//
είλαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην .
Όηαλ 0x  ηόηε f ( ) 0x 
//
, νπόηε ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
[0, ) ,άξα ε ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ζην [0, ) θαη f ( ) 0x 
/
ζην(0, ) ,επνκέλσο ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [0, )
Όηαλ 0x  ηόηε f ( ) 0x 
//
, νπόηε ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην
( ,0] ,άξα ε ζπλάξηεζε f είλαη θνίιε ζην ( ,0] θαη f ( ) 0x 
/

7. ζην( ,0) ,επνκέλσο ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην ( ,0]
(δ4) Όηαλ    ηόηε f ( ) 0 
//
. Η ζπλάξηεζε f
/
ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο
ηνπ Θ.Μ.Τ ζην[ , ]x , άξα ππάξρεη ( , )x

   ώζηε
f ( ) f ( )
f ( )
x
x
 



/ /
//

  άξα f ( ) f ( )

   
// //
f ( ) ( f ( ) f ( )x x     
///
.
Όκσο im ( f ( ) f ( )l [ ]
x
x

      
//
, νπόηε im f ( )l
x
x

 
/
Δπνκέλσο θαη im ( )l
x
x

  , όπνπ ( ) f ( ) 12x x  
/
.
Οπόηε ππάξρεη πνιύ κεγάινο ζεηηθόο αξηζκόο  ώζηε ( ) 0   ,όκσο ( ) 0  
Η ζπλάξηεζε ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεσξήκαηνο Bolzano ζην 
άξα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζην
0
(x  ώζηε
0
) 0(x  θαη
0
x κνλαδηθό ζην[
γηαηί ε ζπλάξηεζεείλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [ νπόηε
0
) 12f (x 
/
όκσο ε ζπλάξηεζε f
/
είλαη άξηηα άξα
0
) 12f ( x 
/
θαη
0
x κνλαδηθό ζην ( ,0] .
Τειηθά ε εμίζσζε ) 12f (x 
/
έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ζην
(δ5) Δίλαη
(4) (5)
( ) ( )f fx x ,άξα
(4)
( ) ef C
x
x  , όκσο ε ζπλάξηεζε
(4)
f είλαη πεξηηηή
Οπόηε
(4)
(0) 0f  ,άξα C 0 ζπλεπώο
(4)
( ) 0f x  , άξα
(3)
( ) Cf x 
άξα ( ) C C1f x x 
//
θαη (0) 0f 
//
,άξα C1 0 ,νπόηε
2
C
( ) C2f
2
x
x  
/
όκσο (0) 0f 
/
,άξα C2 0 θαη (1) 3f 
/
άξα
2 3
( ) ( ) C3f 3 fx x x x   
/
(0) 0f  ,άξα C3 = 0,ηειηθά
3
( )f x x
Δίλαη
3
y x κε 0x  , ηόηε 3 yx  , όηαλ 0x  
3 3 yy ( )x x      
3 yx   .Τειηθά
3
1
3
, 0
f ( )
, 0
x
x
x
x
x

 






8. 14
12
10
8
6
4
2
-2
-10 -5 5 10 15 20
χ=-2
-2 γβ
Γ(γ,ρ)(β,ρ)Β
Σρόιηα
ΘΔΜΑ Β .Άιιε δηαηύπσζε
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε
1
4tln tdtf ( )
x
x  , (0, )x  
(β1) Να απνδείμεηε όηη :
22 1
f ( ) 2 ln ln e
x
x x x
 
 
ελδεηθηηθή απάληεζε
(β1)
2 2 22
1 1 1
1 1
2(t ) ln tdt 2tdtf ( ) 2t ln t 2t ln t t[ ] [ ] [ ]
x x
x x x
x     /
, άξα
2 2
f ( ) 2 ln 1x x x x   . άξα
22 1
f ( ) 2 ln ln e
x
x x x
 
 
ΘΔΜΑ Γ .ζπκπιεξσκαηηθό εξώηεκα.
Η επζεία 2x   είλαη άμνλαο ζπκκεηξίαο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο fC
ηεο ζπλάξηεζεο f
ελδεηθηηθή απάληεζε
Η επζεία 2x   είλαη άμνλαο ζπκκεηξίαο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο fC
ηεο ζπλάξηεζεο f ( Μνλάδεο 3 )
Τα ζεκεία (

  θαη (

  είλαη ζπκκεηξηθά σο
πξνο ηελ επζεία 2x   , όηαλ 2
2

  
4     θαη f( ) f( )   
f( ) f( )      . Από ηε ζρέζε ( 1 )
3 3
( (f ) f ( ) f ) f ( )+ = +       
Μεηά από πξάμεηο θαηαιήγνπκε f( ) f( )    
Οπόηε ε επζεία 2x   είλαη άμνλαο ζπκκεηξίαο ηεο
γξαθηθήο παξάζηαζεο fC ηεο ζπλάξηεζεο f
ΘΔΜΑ Γ .εξώηεκα ( γ3 )
(γ3) Η ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην 1 ( , 2]   θαη γλεζίσο
αύμνπζα ζην 2 [ 2, )  
2νο
ηξόπνο
Έζησ 21 1, ( , 2]x x     κε 21x x , ηόηε 21) )( (g x g x , νπόηε
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1) ) ) ) ) ) ) )f ( f( f ( f( f ( f( f ( f( 0x x x x x x x x       , νπόηε
2 2
2 2
1 1 1 2[ ) ) ) ) ) ) ]f( f( ][f ( f( f( f ( 1 0x x x x x x   
Η παξαγνληνπνίεζε είηε κε δηαθνξά θύβσλ είηε κε ζρήκα Horner

9. Όκσο 2
2 2
1 1 2) ) ) )f ( f( f( f ( 1 1x x x x     είηε κε ηξηώλπκν είηε κε ζπκπιήξσκα
ηεηξαγώλνπ, νπόηε 2 21 1) ) ) )f( f( 0 f( f(x x x x   , άξα ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα ζην 1 ( , 2]   . Δξγαδόκαζηε όκνηα θαη ζην 2 [ 2, )   θαη
απνδεηθλύνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην 2 [ 2, )  
3νο
ηξόπνο
Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε  κε
3
( )x x x   , ε νπνία είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην
αθνύ
2
( ) 3 1 0x x   

θαη έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην
Έζησ 21 1, ( , 2]x x     ,κε 21x x , ηόηε 21) )( (g x g x , νπόηε
2 21 1)) )) ) )(f( (f( f( f(x x x x    , νπόηε ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα
ζην 1 ( , 2]  
4νο
ηξόπνο
Απνδεηθλύνπκε από ηελ αξρή όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην
Οπόηε
2
f ( )[3f ( ) +1] = 2 4x x x 
/
…………………………
ΘΔΜΑ Γ . ην εξώηεκα ( γ4 ) κπνξνύζε λα δηαηππσζεί σο εμήο
(γ4) Να απνδείμεηε όηη f ( ) [1, ) 
Η απόδεημε έρεη ελδηαθέξνλ ρσξίο ρξήζε ηεο ζπλέρεηαο.
Η g είλαη  ζην 2 [ 2, )   όπσο θαη ε f θαη 1g
[2, )  
νπόηε
1 3
[g f ( ) + f( )]x x x


Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε κε
1 3
(g )x x x

    ,  θαη   
Έζησ 0y   θαη 0 0yx     ,άξα
1 3
0 0 0 0[g f ( ) + f( )] f( )x x x x

   
νπόηε 0 0 0 0)y f( ) f( yx x      ,νπόηε f ( ) [1, ) 
όκνηα γηα ην 1 ( , 2]  