Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΕΞΕΣΑ΢ΕΙ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ Γ' ΣΑΞΗ΢
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ΢ ΢ΧΟΛΗ΢ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΔΕΤΣΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΤ 2019
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ΢ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕ΢΢ΕΡΙ΢ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ.
Να αποδείξετε ότι, αν  f x 0  ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι
γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ.
Μονάδες 5
Α2. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Για κάκε ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ςτο , αν για κάποιο 0x   ιςχφει
 0f x 0  τότε το 0x είναι πάντα κζςθ ακροτάτου τθσ ςυνάρτθςθσ f.
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το
γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδισ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερϊτθμα (α).
Μονάδες 4
Α3. Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ    
x
0
F x f t dt  , όπου f θ ςυνάρτθςθ του παρακάτω
ςχιματοσ.
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Να ςυμπλθρϊςετε τα παρακάτω κενά γράφοντασ τα αποτελζςματα ςτο τετράδιό ςασ.
F(0)= F(2)= F(3)= F(4)= F(6)=
Μονάδες 5
Α4. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ, δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ,τθ λζξθ ΢ωστό ,αν θ
πρόταςθ είναι ςωςτι,ι Λάθος ,αν θ πρόταςθ είναι λανκαςμζνθ.
α. Αν για μια ςυνάρτθςθ f ιςχφει  f x  , για κάκε fx D , τότε θ f ζχει
ελάχιςτθ τιμι ίςθ με κ.
β. Για τισ ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ f,g ςτο *α,β+ ιςχφει
       f x g x dx f x dx g x dx

 
 

     .
γ. Αν μια ςυνάρτθςθ g είναι παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και μια ςυνάρτθςθ f
είναι παραγωγίςιμθ ςτο  g  , τότε
dy dy du
dx du dx
  , όπου  y f u και  u g x .
δ. Αν  
0
0
x x
lim g x u

 ,  
0u u
lim f u

 , όπου  u g x και   0g x u κοντά ςτο 0x ,
τότε   0x x
lim f g x

  .
ε. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςτο *α,β+. Χωρίηουμε το διάςτθμα *α,β+ ςε ν ιςομικθ
υποδιαςτιματα μικουσ x
  
 

. Επιλζγουμε  1x ,x    , για κάκε
 1,2, ,  . ΢χθματίηουμε τα ορκογϊνια που ζχουν βάςθ Δx και φψθ τα  f  .
Σο όριο  
1
lim f x




 
  
 
 ονομάηεται οριςμζνο ολοκλιρωμα τθσ ςυνεχοφσ
ςυνάρτθςθσ f από το α ςτο β και ςυμβολίηεται  f x dx

 .
Moνάδες 10
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται ςυνάρτθςθ f με τφπο  
2
x x , x 1
f x
x 2 , x>1
    
 
   
, ,  θ οποία είναι
παραγωγίςιμθ ςτθν τιμι x=1.
Β1. Να αποδείξετε ότι
3
2
   και 0  .
Μονάδες 7
Β2. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθν κυρτότθτα και να βρείτε τα ςθμεία
καμπισ, αν υπάρχουν.
Μονάδες 6
Β3. Να αποδείξετε ότι για x>1 θ ςυνάρτθςθ f αντιςτρζφεται και να βρείτε τθν
αντίςτροφι τθσ.
Μονάδες 6
Β4. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τθ γραφικι
παράςταςθ τθσ f τον άξονα xϋx και τισ ευκείεσ x=-1 και x=2.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςτο *0,4+ για τθν οποία ιςχφει
 5 f x 2    για κάκε  x 0,4 και  f 0 1 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι  19 f 4 7    .
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει ακριβϊσ ςε ζνα ςθμείο τον
άξονα xϋx ςτο διάςτθμα (0,4).
Μονάδες 5
Γ3. Να λφςετε τθν εξίςωςθ        2 3 10 5
f x f x f x f x   ,  x 0,4 .
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Αν θ f είναι κοίλθ ςτο διάςτθμα *0,4+ και
 
x 1
f x
lim 3
x 1
 

.
Γ4. Να αποδείξετε ότι  f x 3x 3  
Μονάδες 6
Γ5. Να αποδείξετε ότι  
2
1
3
f x dx
2
  .
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται θμικφκλιο ,
2
 
 
 
με διάμετρο ΑΒ και ςθμείο Μ αυτοφ τζτοιο ϊςτε

  
με 0,
2
 
 
 
.
Δ1. Να αποδείξετε ότι    και   .
Μονάδες 3
Ζςτω
0
10
lim

 
 

 .
Δ2. Να υπολογίςετε τθ διάμετρο ΑΒ και τον πραγματικό αρικμό λ.
Μονάδες 6
Δ3. Να αποδείξετε ότι θ περίμετροσ Ρ(κ) του τριγϊνου ΑΜΒ γίνεται μζγιςτθ όταν το
τρίγωνο ΑΜΒ είναι ιςοςκελζσ.
Μονάδες 6
Δ4. Να υπολογίςετε το
 0
( )
lim
1
  
 
Μονάδες 5
Δ5. Να υπολογίςετε το  3
4
d

    , όπου Ε(κ) το εμβαδόν του τριγϊνου ΜΑΒ.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com