Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΣΜΗΜΑ ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ
ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : 
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :
Εισηγητής : ΢αράφης Γιάννης
ΘΕΜΑ Α
Α1. α. Πότε δφο ςυναρτιςεισ f και g λζγονται ίςεσ ;
Μονάδες 5
β. Πότε μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ Α παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο 0x   ;
Μονάδες 5
Α2. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Κάκε ςυνάρτθςθ f :   θ οποία παρουςιάηει ολικό μζγιςτο, ζχει μία μόνο κζςθ ολικοφ
μεγίςτου. »
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το γράμμα Α , αν είναι
αλθκισ, ι το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδισ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερϊτθμα (α).
Μονάδες 4
Α3. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ,δίπλα ςτο γράμμα
που αντιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ,τθ λζξθ ΢ωστό ,αν θ πρόταςθ είναι ςωςτι,ι Λάθος ,αν θ πρόταςθ
είναι λανκαςμζνθ.
α. Αν 1 2 fx ,x D , με    1 2f x f x , τότε 1 2x x .
β. Αν ζνα ςθμείο Μ(α,β) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f, τότε το ςθμείο Μ’(β,α) ανικει ςτθ
γραφικι παράςταςθ τθσ αντίςτροφθσ, εφόςον υπάρχει.
γ. Αν για κάκε ςτοιχείο yτου ςυνόλου τιμϊν τθσ f , θ εξίςωςθ  y f x ζχει τουλάχιςτον μια λφςθ
ωσ προσ x τότε θ f είναι 1-1.
δ. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και –f είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τον άξονα y′y.
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
17.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ε. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν πεδία οριςμοφ Α και Β αντίςτοιχα, τότε το πεδίο οριςμοφ τθσ
ςυνάρτθςθσ
f
g
είναι το A B .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ    f x 2ln x  και   2
g x ln x .
Β1. Να εξετάςετε αν οι ςυναρτιςεισ f,g είναι ίςεσ. ΢τθν περίπτωςθ που είναι f≠g να προςδιορίςετε το
ευρφτερο δυνατό υποςφνολο του  ςτο οποίο ιςχφει    f x g x .
Μονάδες 5
Β2. Να ςχεδιάςετε τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ g. ( Η γραφικι παράςταςθ να ςχεδιαςτεί με
ςτυλό)
Μονάδες 5
Β3. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ h με τφπο  h x x  .
α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θ αντίςτροφθ τθσ h και να βρείτε τθν αντίςτροφθ.
Μονάδες 5
β. Να ςχεδιάςετε ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων
1
h,h
.
( Οι γραφικζσ παραςτάςεισ να ςχεδιαςτοφν με ςτυλό)
Μονάδες 4
γ. Να προςδιορίςετε τθ ςυνάρτθςθ
1
f h
 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράσ 6. Θεωροφμε τα εςωτερικά ςθμεία Κ, Λ, Μ και Ν των πλευρϊν ΑΒ, ΒΓ,
ΓΔ και ΔΑ αντίςτοιχα, ζτςι ϊςτε ΑΚ=ΒΛ=ΓΜ=ΔΝ=x.
Γ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ΚΛΜΝ, ωσ ςυνάρτθςθ του x, είναι    2
x 2 x 6x 18    ,
 x 0,6
Μονάδες 10
Γ2. Να βρείτε τθν τιμι του x, για τθν οποία το εμβαδόν  x γίνεται ελάχιςτο.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
17.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Γ3. Να λφςετε τθν εξίςωςθ    2018 2020
x 2 x 2 36     
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f με τφπο  
x 1
f x ln x
x

  .
Δ1. Να βρείτε το πρόςθμο τθσ ςυνάρτθςθσ f.
Μονάδες 5
Δ2. Να λφςετε τθν εξίςωςθ        7 3 5
f x f x f x f x   , x>0.
Μονάδες 7
Δ3. Να λφςετε τθν ανίςωςθ   1 1 x
f f 0 e 1 
  , x
Μονάδες 5
Δ4. Να λφςετε τθν εξίςωςθ        f x 2 f x 2 f x f x         , x 0,
2
 
 
 
Μονάδες 8
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
17.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3