Dokumen tersebut membahas tentang mata kuliah Aljabar Linear Elementer yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor di bidang dan ruang, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear. Dibahas pula konsep-konsep dasar vektor seperti notasi, operasi vektor, hasil kali titik, hasil kali silang, proyeksi ortogonal, serta contoh-contoh penerapannya.

1. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

2. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Klasifikasi sinyal

3. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 3
Notasi dan Operasi
Vektor  besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
 321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcic
c
c
c
c 











Notasi panjang vektor











3
2
1
c
c
c
c
adalah
2
3
2
2
2
1 cccc 
Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu

4. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 4
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)

5. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu 
u v
vu 
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama,
maka vektor

6. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 6
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u  uk
u
u
u
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0  searah dengan
Jika k < 0  berlawanan arah dengan

7. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 7
Scaling
P
P’

8. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 8
 321 ,, aaaa   321 ,, bbbb 
 332211 ,,.1 babababa 
 332211 ,,.2 babababa 
 321 ,,.3 kakakaak 
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan

9. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 9
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
 Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
 Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)

10. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 10
Dot Product
Misalkan
adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
 : sudut antara keduanya
cosbaba 
,a b
a
b
a
b

11. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 11
Ilustrasi dot product vektor A dan B
cosBABA 

12. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 12
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
dan
Jawab :
Karena tan  = 1 , artinya  = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2 
cosbaba 
2
1
82

13. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab 
cos2
222
babaab 
b

14. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba



 
222
2
1
abba
cos1. baba 
22
2
2
1
2
....2 naaaa 
22
2
2
1
2
....3 nbbbb 
     22
22
2
11
2
....4 nn abababab 
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
22
2
2
1
22
2
2
1


nnbabababa  ...2211

15. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada
contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)
= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa 
nnbabababa  ...2211
abba 
     cabacba 
  Rkbkabakbak  dimana,

16. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 16
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproyc b

a
b
w
cwa    bcwba 
bcbw 
2
bk
bbk


bkc 
bahwaterlihat
2
b
ba
k



17. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 17
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor













3
4
2
u












4
3
1
v
b
b
ba
aoyb 2
Pr



18. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 18
Jawab :













































































4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
Pr
222
2
v
v
vw
woyv

19. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 19
Cross Product (hasilkali silang)
Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor
di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak
lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBB
AAA
kji
BxAC 
k
BB
AA
j
BB
AA
i
BB
AA ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32


20. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
BxAC 

21. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 21
Contoh :
Tentukan ,
dimana
Jawab :
vuw 
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w 
 2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ

kji
   iˆ)2(01.2    jˆ1.1)2(3  kˆ2.30.1 
kji ˆ6ˆ7ˆ2 

22. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 22
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c.  2222
vuvuvu 
  0 vxuu
  0 vxuv

23. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
 2222
vuvuvu 
 222
cos vuvu
 22222
cos vuvu
 222
cos1 vu
222
sin vu
sin,  vuvxuJadi

24. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
adalah
u
v

sinv
u
sinGenjangJajaranLuas  vuvxu
vu 
2
1
segitigaLuas

25. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 25
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Jawab :
Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
AB
AC

26. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC
541
223
ˆˆˆ kji

kji ˆ10ˆ13ˆ2 
1001694
2
1
Luas
273
2
1


27. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 27
Orientasi pada titik B
BA ba 
BC bc 
 BCBA
322
223
ˆˆˆ


kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2 
 BCxBA
2
1
1001694
2
1

273
2
1

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=

28. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 28
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :
a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor
dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. dan
b. dan







2
1
u 







8
6
v











7
3
1
u












2
2
8
v







1
2
a







2
3
b











3
1
2
a











2
2
1
b

29. 12/07/2018 6:54 Aljabar Linear Elementer 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang
yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik
sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)








2
3
u











1
3
7
u











4
0
2
v