Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.. Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan .. semoga Bermanfaat:)

1. INTEGRAL
PERMUKAAN
SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL PERMUKAAN
KELOMPOK 15
1.REFENIA USMAN (16029124)
2.TIARA MORISZKA DWINANDA (16029137)
3.ANGGIE MUTYA FEBRIA SONETA (16029099)
PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA
DOSEN : Dr. YERIZON, M.Si
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2018

2. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 2
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
1. Hitunglah ∬ 𝐴 . 𝑛 𝑑𝑆𝑠
dengan 𝐴 = 𝑥𝑦 𝑖̂ − 𝑥2
𝑗̂ + ( 𝑥 + 𝑧) 𝑘̂ dan S adalah bagian dari
bidang 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6 yang terletak di kuadran pertama dan 𝑛 unit vector tegak lurus 𝑆.
Jawab :
Normal pada 𝑆 mempunyai persamaan :
∇(2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 6) = 2𝑖̂ + 2𝑗̂ + 𝑘̂
𝑛 =
2𝑖̂+2𝑗̂+ 𝑘̂
√22+22+12
=
2𝑖̂+2𝑗̂+ 𝑘̂
3
𝐴. 𝑛 = (𝑥𝑦 𝑖̂ − 𝑥2
𝑗̂ + ( 𝑥 + 𝑧) 𝑘̂) .
2𝑖̂+2𝑗̂+ 𝑘̂
3
=
1
3
(2𝑥𝑦 − 2𝑥2
+ ( 𝑥 + 𝑧))
=
1
3
(2𝑥𝑦 − 2𝑥2
+ ( 𝑥 − 2𝑥 − 2𝑦 + 6))
=
1
3
(2𝑥𝑦 − 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑦 + 6)
∬ 𝐴. 𝑛 𝑑𝑆 =
𝑠
∬ 𝐴. 𝑛
𝑑𝑥𝑑𝑦
| 𝑛. 𝑘|
𝑆
dxdy
y
x0
3
3
x=3-y
y
x
z
6
3
3
n
dS
622  zyx

3. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 3
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
∬ 𝐴. 𝑛 𝑑𝑆 =
𝑠
∬
1
3
(2𝑥𝑦 − 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑦 + 6)
𝑑𝑥𝑑𝑦
| 𝑛. 𝑘|
𝑆
∬ 𝐴. 𝑛 𝑑𝑆 =
𝑠
1
3
∬(2𝑥𝑦 − 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑦 + 6)
𝑑𝑥𝑑𝑦
1
3𝑆
= ∫ ∫ (2𝑥𝑦 − 2𝑥2
− 𝑥 − 2𝑦 + 6)
3−𝑦
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
3
0
= ∫ 𝑥2
𝑦 −
2
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 2𝑥𝑦 +
3
0
6𝑥]0
3−𝑦
𝑑𝑦
= ∫ ((3 − 𝑦)2
𝑦 −
2
3
(3 − 𝑦)3
−
1
2
(3 − 𝑦)2
− 2(3 − 𝑦)𝑦 + 6
3
0
(3 − 𝑦)-0) 𝑑𝑦
= ∫((9 − 6𝑦 + 𝑦2
)𝑦 −
2
3
(27 − 27𝑦 + 9𝑦2
−𝑦3
) −
1
2
(9 − 6𝑦 + 𝑦2
) − 6𝑦
3
0
+ 2𝑦2
+ 18 − 6𝑦 𝑑𝑦
= ∫(9𝑦 − 6𝑦2
+ 𝑦3
− 18 + 18𝑦 − 6𝑦2
+
2
3
𝑦3
−
9
2
+ 3𝑦 −
1
2
𝑦2
− 6𝑦
3
0
+ 2𝑦2
+ 18 − 6𝑦) 𝑑𝑦
= ∫(
5
3
𝑦3
−
21
2
𝑦2
+ 18𝑦 −
9
2
3
0
) 𝑑𝑦
=
5
12
𝑦4
−
21
6
𝑦3
+ 9𝑦2
−
9
2
𝑦]
0
3
= (
5
12
(34
) −
21
6
(33
) + 9(32
) −
9
2
(3) − 0)
=
5
12
(81) −
21
6
(27) + 81 −
27
2
=
135
4
−
189
2
+ 81 −
27
2
=
135
4
−
27
2
−
27
2
=
135
4
−
108
4
=
27
4
2. Hitung ∬ 𝑭. 𝒏 𝑑𝐴𝑠
bila F( x,y,z ) = 18𝑧 𝒊̂ − 12 𝒋̂ + 3𝑦 𝒌̂ dan S merupakan
bagian dari bidang 2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 12 yang terletak di oktan pertama.

4. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 4
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
Jawab :
Dari 2x + 3y + 6z = 12 didapatkan 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 2 −
1
3
𝑥 −
1
2
𝑦 dengan vector
posisi dari sembarang titik pada permukaa S , r( x,y ) = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + (2 −
1
3
𝑥 −
1
2
𝑦 )𝑘.̂
Normal bidang 𝑛 =
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑦
=
1
3
𝑖̂ +
1
2
𝑗̂ + 𝑘̂
Proyrksi dari S pada bidang XOY, D = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 6,0 ≤ 𝑦 ≤
12−2𝑥
3
} atau
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤
12−2𝑥
3
, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4}
Jadi :
∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐀 = ∫ ∫ (18𝑍 (
1
3
) − 12(
1
2
) + 3𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝟏𝟐−𝟐𝒙)
𝟑
𝟎
𝟔
𝟎𝒔
= ∫ ∫ (18(2 −
1
3
𝑥 −
1
2
𝑦) (
1
3
) − 12 (
1
2
) + 3𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝟏𝟐−𝟐𝒙)
𝟑
𝟎
𝟔
𝟎
= ∫ ∫ (6 − 2𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝟏𝟐−𝟐𝒙)
𝟑
𝟎
𝟔
𝟎
= ∫(6𝑦 − 2𝑥𝑦)|0
(𝟏𝟐−𝟐𝒙)
𝟑
𝑑𝑥
6
𝟎
= ∫ (6 (
12 − 2𝑥
3
− 0) − 2𝑥 (
12 − 2𝑥
3
− 0)) 𝑑𝑥
6
𝟎

5. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 5
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
= ∫ (24 − 4𝑥 − 8𝑥 +
4
3
𝑥2
) 𝑑𝑥
6
𝟎
= 24𝑥 − 6𝑥2
+
4
9
𝑥3
|
0
6
= 24(6 − 0) − 6(62
− 0) +
4
9
(63
− 0)
= 144 − 216 + 96
= 24
3. Hitung besar gaya ( fluks ) dari 𝐅( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = −𝑦 𝒊̂ + 𝑥 𝒋̂ yang menembus
permukaan S yang merupakan bagian dari bidang z = 8x - 4y - 5 yang terletak di atas
segitiga dengan titik sudut ( 0,0,0 ), ( 0,1,0 ) dan ( 1,0,0 ).
Jawab :
Proyeksi S pada bidang XOY , D = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ −𝑥 + 1}
Fluks F = ∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐀𝒔
= ∬ (−𝑓 𝑓𝑥𝐷
−𝑓𝑓𝑦 + 𝑔) 𝑑𝐴
∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐀
𝒔
= ∫ ∫ (−(−𝑦)(8) − 𝑥(−4)) 𝑑𝑦𝑑𝑥
−𝒙+𝟏
𝟎
1
𝟎
= ∫ ∫ 8𝑦 + 4𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
−𝑥+1
0
1
𝟎
= ∫ 4𝑦2
+ 4𝑥𝑦| 0
−𝑥+1
𝑑𝑥
1
𝟎
= ∫ 4((−𝑥 + 1)2
− 0)) + 4𝑥(−𝑥 + 1 − 0) 𝑑𝑥
1
𝟎
= ∫ 4𝑥2
− 8𝑥 + 4 − 4𝑥2
+ 4𝑥 𝑑𝑥
1
𝟎
= ∫ −4𝑥 + 4 𝑑𝑥
1
𝟎
= −2𝑥2
+ 4𝑥| 0
1
= 2

6. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 6
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
4. Hitunglah ∬ F. n dS𝑠
, dimana F = (𝑧2
− 𝑥)𝑖̂ − 𝑥𝑦𝑗̂ + 3𝑧𝑘̂ dan 𝑆 adalah permukaan
daerah yang dibatasi oleh 𝑧 = 4 − 𝑦2
, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 dan bidang 𝑥𝑦.
Jawab:
Permukaan : 𝑛 = 𝑖̂, 𝑥 = 3. Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫(𝑧2
− 3)
2
0
𝑑𝑦𝑑𝑧
4
0
= ∫ 𝑦𝑧2
− 3𝑦| 0
2
𝑑𝑧 =
4
0
∫ 2𝑧2
− 6 𝑑𝑧 =
2
3
𝑧3
− 6𝑧| 0
44
0
=
56
3
Permukaan : 𝑛 = −𝑖, 𝑥 = 0. Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫(−𝑧2
)
2
0
𝑑𝑦𝑑𝑧
4
0
= ∫(−𝑧2
𝑦)| 0
2
𝑑𝑧 =
4
0
∫ −2𝑧2
𝑑𝑧 = −
2
3
𝑧3| 0
4
4
0
= −
128
3
Permukaan : 𝑛 = 𝑗̂, 𝑦 = 2 Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫(−2𝑥)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑧
4
0
= ∫(−𝑥2
)| 0
3
𝑑𝑧 =
4
0
∫ −9 𝑑𝑧 = −9𝑧
4
0
| 0
4
= −36
Permukaan : 𝑛 = −𝑗̂, 𝑦 = 0 Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫ (( 𝑧2
− 𝑥) 𝑖̂ + 3𝑧𝑘̂) . −𝑗̂)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0
4
0
Permukaan : 𝑛 = 𝑘̂, 𝑧 = 4 Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫ 12
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
2
0
= ∫ 12𝑥| 0
3
𝑑𝑦 = ∫ 36 𝑑𝑦 =
2
0
=
2
0
36𝑦| 0
2
= 72
Permukaan : 𝑛 = −𝑘̂, 𝑧 = 0 Maka
∬ F. n dS
𝑠
= ∫ ∫(−𝑥𝑖̂ + 𝑥𝑦𝑗̂). −𝑘̂)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0
4
0

7. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 7
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
Maka ∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐒𝒔
=
56
3
−
128
3
− 36 + 0 + 72 + 0 = 36
5. Periksalah belakunya Teorema Divergensi untuk 𝐴 = 2𝑥𝑦 + 𝑧)𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ − (𝑥 + 3𝑦)𝑘̂
untuk daerah yang dibatasi oleh 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0.
Jawab:
Permukaan : 𝑛 = 𝑖̂, 𝑥 = 3. Maka
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫(6𝑦 + 𝑧)
3
0
𝑑𝑦𝑑𝑧
6
0
= ∫ 3𝑦2
+ 𝑦𝑧| 0
3
𝑑𝑧 =
6
0
∫ 27 + 3𝑧 𝑑𝑧 = 27𝑧 +
3
2
𝑧2| 0
66
0
= 216
Permukaan : 𝑛 = −𝑖, 𝑥 = 0. Maka
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫(−𝑧)
3
0
𝑑𝑦𝑑𝑧
6
0
= ∫ −𝑧𝑦| 0
3
𝑑𝑧 =
6
0
∫ −3𝑧 𝑑𝑧 = −
3
2
𝑧2| 0
66
0
= −54
Permukaan : 𝑛 = 𝑗̂, 𝑦 = 3 Maka
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫ 3
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑧
6
0
= ∫ 3𝑥| 0
3
𝑑𝑧 =
6
0
∫ 9 𝑑𝑧 = 9𝑧| 0
66
0
= 54
Permukaan : 𝑛 = −𝑗̂, 𝑦 = 0 Maka
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫(𝑧𝑖̂ − 𝑥𝑘̂). −𝑗̂)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0
6
0
Permukaan : 𝑛 = 𝑘̂, 𝑧 = 6 Maka
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫ −(𝑥 + 3𝑦)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
3
0
= ∫ −
1
2
𝑥2
− 3𝑥𝑦| 0
3
𝑑𝑦 =
3
0
∫ −
9
2
− 9𝑦 𝑑𝑦 = −
9
2
𝑦 −
9
2
𝑦2| 0
3
3
0
= −54
Permukaan : 𝑛 = −𝑘̂, 𝑧 = 0 Maka

8. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 8
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
∬ A. n dS
𝑠
= ∫ ∫(𝑥 + 3𝑦)
3
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
3
0
= ∫
1
2
𝑥2
+ 3𝑥𝑦| 0
3
𝑑𝑦 =
3
0
∫
9
2
+ 9𝑦 𝑑𝑦 =
9
2
𝑦 +
9
2
𝑦2| 0
33
0
= 54
Maka ∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐒𝒔
= 216 − 54 + 54 + 0 + 54 = 216 Karena
∭ 𝛁. 𝑨 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (2𝑦 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 216
3
0
3
0
6
0𝒗
maka berlaku untuk
teorema divergensi
6. Tentukanlah luas permukaan kerucut 𝑧2
= 3(𝑥2
+ 𝑦2
) yang terpotong oleh
paraboloid 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
.
Jawab
𝑧2
= 3( 𝑥2
+ 𝑦2) = 𝑧√3𝑥2 + 3𝑦2 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑥 =
3𝑥
√3𝑥2 + 3𝑦2
𝑓𝑦 =
3𝑦
√3𝑥2 + 3𝑦2
√𝑓𝑥
2
+ 𝑓𝑦
2
+ 1 = √(
3𝑥
√3𝑥2+3𝑦2
)
2
+ (
3𝑦
√3𝑥2+3𝑦2
)
2
+ 1
=√
9𝑥2
3𝑥2+3𝑦2 +
9𝑦2
3𝑥2+3𝑦2 + 1
= √4
= 2
Perpotongan 𝑧2
= 3(𝑥2
+ 𝑦2
) dan 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
adalah ( 𝑥, 𝑦) = (0,0) dan ( 𝑥, 𝑦) =
(√3, √3). Sehingga luas permukaan kerucut 𝑧2
= 3(𝑥2
+ 𝑦2
) yang terpotong oleh
paraboloid 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
adalah
∫ ∫ 1
√3
0
√3
0
(√𝑓𝑥
2
+ 𝑓𝑦
2
+ 1 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ (√𝑓𝑥
2
+ 𝑓𝑦
2
+ 1 )
√3
0
√3
0
𝑑𝑦𝑑𝑥
= ∫ ∫ 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√3
0
√3
0

9. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 9
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
= ∫ 2𝑦
√3
0
| 0
√3
𝑑𝑥
= ∫ 2√3
√3
0
𝑑𝑥
= 2√3 𝑥 | 0
√3
= 6
7. Tentukanlah luas permukaan dari bidang 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 16 yang terpotong oleh
( 𝑎) 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 3
( 𝑏) 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥2
+ 𝑦2
= 64
Jawab :
𝑧 = 8 − 𝑥 −
1
2
𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑥 = −1, 𝑓𝑦 = −
1
2
√𝑓𝑥
2
+ 𝑓𝑦
2
+ 1 = √(−1)2 + (−
1
2
)
2
+ 1 =
3
2
𝑎) 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 3
∫ ∫
3
2
𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫
3
2
𝑦| 0
3
𝑑𝑥
2
0
3
0
2
0
= ∫
9
2
𝑑𝑥
2
0
=
9
2
𝑥| 0
2
= 9
𝑏) 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥2
+ 𝑦2
= 64
∬
3
2
𝑑𝑆𝑠
atau dalam koordinat polar
∫ ∫
3
2
𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫
3
2
𝑟| 0
8
𝑑𝜃
2𝜋
0
8
0
2𝜋
0
= ∫ 12 𝑑𝜃
2𝜋
0

10. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 10
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
= 12 𝜃 | 0
2𝜋
= 24 𝜋
8. Hitunglah Fluks air yang melalui silinder paraboloik 𝑆, dengan vector v .
𝑣 = 𝐹 = (3𝑧2
, 6, 6𝑥𝑧)
𝜌 = 1
𝑔𝑟
𝑐𝑚3
= 1
𝑡𝑜𝑛
𝑚3
𝑆: 𝑦 = 𝑥2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ 3
𝑥 = 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑣
𝑦 = 𝑥2
= 𝑢2
𝑆: 𝑟(𝑢, 𝑢2
, 𝑣) (0 ≤ 𝑢 ≤ 2,0𝑣 ≤ 3
𝑛 = 𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣 = (1,2𝑢, 0) 𝑥 (0,0,1) = (2𝑢, −1,0)
𝐹( 𝑆) = (3𝑣2
, 6,6𝑢𝑣)
𝑭( 𝑺). 𝒏 = 6𝑢𝑣2
− 6
∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐀 =
𝑺
∫ ∫(6𝑢𝑣2
− 6) 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫(3𝑢2
𝑣2
− 6𝑢)| 0
2
𝑑𝑣
3
0
2
0
3
0
= ∫(12𝑣2
− 12) 𝑑𝑣
3
0
= (4𝑣3
− 12𝑣)| 0
3
= 108 − 36 = 72 𝑚3
𝑠𝑒𝑐⁄
= 72000 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑠𝑒𝑐
9. Hitunglah integral pemukaan dari F. Jika 𝑆 adalah bagian dari permukaan 𝑥 + 𝑦 +
𝑧 = 1
F = ( 𝑥2
, 0, 𝑦2)
Jawab :

11. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 11
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
𝑥 = 𝑢, 𝑦 = 𝑣
𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 = 1 − 𝑢 − 𝑣
𝑟( 𝑢, 𝑣) = ( 𝑢, 𝑣, 1 − 𝑢 − 𝑣)
𝑛 = 𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣 = (1,0, −1) 𝒙 (0,1,−1) = (1,1,1)
𝐅( 𝐒). 𝐧 = ( 𝑢2
, 0,3𝑣2) . (1,1,1) = 𝑢2
+ 3𝑣2
∬ 𝐅. 𝐧 𝐝𝐀 =
𝑺
∫ ∫ (𝑢2
+ 3𝑣2
) 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫ (
1
3
𝑢3
+ 3𝑢𝑣2
) | 0
1−𝑣
𝑑𝑣
1
0
1−𝑣
0
1
0
= ∫ (
1
3
(1 − 𝑣)3
+ 3(1 − 𝑣) 𝑣2
) 𝑑𝑣
1
0
=
1
3
10. Tentukan luas permukaan dari belahan bola yaitu dengan jari-jari 𝑎 yang dipotong
oleh sebuah silinder (𝑥 − (
𝑎
2
)
2
+ 𝑦2
=
𝑎2
4
atau 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎𝑥
Jawab :

12. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 12
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
Persamaan untuk belahan bola diketahui sebagai 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑧 = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 dan persamaan untuk silinder dapat dilihat pada gambar adalah
(𝑥 − (
𝑎
2
)
2
+ 𝑦2
=
𝑎2
4
atau 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎𝑥
Karena
𝑧 𝑥 =
−𝑥
√𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2
𝑑𝑎𝑛 𝑧 𝑦 =
−𝑦
√𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2
Maka kita memperoleh :
Luas permukaan yang dicari = 2 ∬ √1 + 𝑧 𝑥
2 𝑧 𝑦
2
𝑠
𝑑𝑆 = 2 ∬
𝑎
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Karena 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎𝑥 dalam koordinat polar adalah 𝜌 = 𝛼 cos 𝜃, maka integral
tersebut menjadi
2 ∫ ∫
𝑎
√𝑎2 − 𝜌2
𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 = 2𝑎 ∫ − √𝑎2 − 𝜌2 |
0
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝜋
2
0
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋
2
0
= 2𝑎2 ∫(1 − sin 𝜃) 𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 2𝑎2
(𝜃 + cos 𝜃) | 0
𝜋
2
=2𝑎2
(
𝜋
2
+ (cos
𝜋
2
− cos 0)
= 𝑎2
(𝜋 − 2)
11. Hitung ∬(xy + z)dS,dengan G adalah bagian bidang 2x – y + z = 3 yang berada
diatas segitiga R dengan titik-titik sudut (0,0), (1,0) dan (1,1) pada bidang XY

13. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 13
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
Dalam kasus ini 𝑧 = 3 + 𝑦 − 2𝑥 = 𝑓( 𝑥, 𝑦), 𝑓𝑥 = −2 , 𝑓𝑦 = 1 , 𝑑𝑎𝑛 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥𝑦 + 3 + 𝑦 − 2𝑥.
Jadi
∬ ( 𝑥𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑆 = ∫ ∫ ( 𝑥𝑦 + 3 + 𝑦 − 2𝑥)√12 + (−2)2 + 1
𝑥
0
1
0𝐺
𝑑𝑦𝑑𝑥
=√6 ∫ [
𝑥𝑦2
2
+ 3𝑦 +
𝑦2
2
− 2𝑥𝑦]
0
𝑥
1
0
𝑑𝑥
=√6 ∫ [
𝑥3
2
+ 3𝑥 −
3𝑥2
2
] 𝑑𝑥
1
0
=
9√6
8
12. Hitung ∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑆 ,𝐺
dengan G adalah bagian dari kerucut 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
diantara
bidang 𝑧 = 1 dan 𝑧 = 4
𝑍 = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2
𝑓𝑥 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
. 𝑓𝑦 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2
√ 𝑓 𝑥2+ 𝑓 𝑦2+ 1 = √2
∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑆𝐺
= ∬ 𝑥𝑦√𝑥2 + 𝑦2
𝑅
√2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Setelah perubahan ke koordinat kutub , persamaan ini menjadi
√2 ∫ ∫ ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)( 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑟24
1
2𝑥
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = √2 ∫ [𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟5
5
]
1
4
2𝜋
0
𝑑𝜃

14. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 14
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
=
1023√2
5
[
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2
]
0
2𝜋
= 0
13. Hitunglah ∬ 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆𝑠
dimana 𝑆 adalah permukaan parabola 𝑧 = 2 − ( 𝑥2
+ 𝑦2)
diatas bidang 𝑥𝑦 dan 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) sama dengan 𝑎) 1, 𝑏)𝑥2
+ 𝑦2
, 𝑐) 3. Berikanlah
interpretasi fisik untuk setiap kasus .
Jawab :
Integral yang dicari adalah
∬ 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧)√1 + 𝑧 𝑥
2 + 𝑧 𝑦
2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅
(1)
Dimana 𝑅 adalah proyeksi dari 𝑆 pada bidang 𝑥𝑦 yang ditentukan oleh 𝑥2
+ 𝑦2
=
2, 𝑧 = 0
Karena 𝑧 𝑥 = −2𝑥, 𝑧 𝑦 = −2𝑦, maka persamaan (1) dapat ditulis sebagai.
∬ 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧)√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅
(2)
a) Jika 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, maka persamaan (2) menjadi
∬ √1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
Untuk menghitung ini , transformasikanlah ke koordinat polar ( 𝜌, 𝜃). Dari sini
integral tersebut menjadi
∫ ∫ √1 + 4𝜌2 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 = ∫
1
12
(1 + 4𝜌2)
3
2|
0
√2
𝑑𝜃
2𝜋
0
√2
0
2𝜋
0

15. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 15
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
= ∫
1
12
((1 + 4(√2)2
)
3
2
− (1 + 0)
3
2))𝑑𝜃
2𝜋
0
= ∫ (
1
12
(9)
3
2 −
1
12
) 𝑑𝜃
2𝜋
0
=
26
12
𝜃| 0
2𝜋
=
26
6
=
13
3
𝜋
Secara fisik hasil ini dapat mempresentasikan luas permukaan 𝑆, atau
massa 𝑆 dengan mengasumsikan densitas satuan.
b) Jika 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
, maka persamaan (2) menjadi
∬ 𝑥2
+ 𝑦2
√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
atau dalam koordinat polar
∫ ∫ 𝜌3√1 + 4𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝜃 =
√2
0
2𝜋
0
149𝜋
30
dimana integritas terhadap 𝜌diperoleh melalui substitusi √1 + 4𝜌2 = 𝑢
secara fisik hasil ini mempresentasikan momen inersia dari 𝑆 terhadap
sumbu 𝑧 dengan mengasumsikan densitas satuan , atau massa dari 𝑆
dengan mengasumsikan densitas = 𝑥2
+ 𝑦2
c) Jika Jika 𝑈( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑧 , maka persamaan (2) menjadi
∬ 3𝑧 √1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑅
∬ 3(2 − ( 𝑥2
+ 𝑦2
))√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
Atau dalam koordinat polar

16. D
Dosen Pembimbing : Dr. YERIZON, M.Si 16
INTEGRAL PERMUKAAN 2018
∫ ∫ 3𝜌(2 − 𝜌2
)√1 + 4𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝜃 =
√2
0
2𝜋
0
110𝜋
30
Secara fisik hasil ini dapat mempresentasikan massa dari 𝑆 dengan
mengasumsikan densitas = 3𝑧, atau tiga kali momen pertama dari
𝑆 terhadap bidang 𝑥𝑦