Dokumen ini membahas enam metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dengan fokus pada metode iterasi Jacoby dan Gauss-Seidel. Metode tersebut mencakup penjelasan tentang langkah-langkah iteratif, persamaan iterasi, serta contoh penyelesaian menggunakan kedua metode. Terdapat juga tugas mandiri untuk menerapkan pemahaman tentang metode yang telah dibahas.

1. Sistem Persamaan Linear
Ada 6 Metode yang harus dipelajari:
1. Metode Eliminasi Gauss
2. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
3. Metode Dekomposisi LU
4. Metode Invers
5. Metode Iterasi Jacoby
6. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode 1 Sampai 4 sudah diberikan di aljabar Linear. Jadi
yang akan dibahas di metode Numerik hanya 2 metode
iterasi saja

2. Metode Iterasi Jacoby
Tinjau kembali sistem persamaan linear
nnmnmm
n
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++




2211
22222121
11212111

3. Metode Iterasi Jacoby
Dengan syarat , , k = 1, 2, 3,...,
n, maka persamaan iterasinya dapat
ditulis sebagai
0≠kka
11
)(
12121)1(
1
...
a
xaxab
x
k
nn
k
k −−−
=
+
22
)(
2
)(
323
)(
1212)1(
2
...
a
xaxaxab
x
k
nn
kk
k −−−−
=
+


4. Dan seterusnya,
nn
k
nnn
k
n
k
nnk
n
a
xaxaxab
x
)(
11
)(
22
)(
11)1( ... −−+ −−−−
=
,...3,2,1,0=kdengan

5. iterasi dimulai dengan memberikan
tebakan awal untuk x,
Iterasi dihentikan dengan menggunakan
rumus hampiran galat relatifnya.yaitu














=
)0(
)0(
2
)0(
1
0
nx
x
x
x


6. Metode Iterasi Jacoby
Iterasi dihentikan dengan menggunakan
rumus hampiran galat relatifnya.yaitu
Dengan rumus umum :
ni
x
xx
k
i
k
i
k
i
,....,3,2,1,)1(
)()1(
=∀<
−
+
+
ε
,...3,2,1,0,
,1
)(
)(
=
−
=
∑≠=
k
a
xab
x
ii
n
ijj
k
jiji
k
i

7. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Bentuk Umum SPL:
Dengan syarat , , k = 1, 2, 3,..., n,
maka persamaan iterasinya dapat ditulis
sebagai
nnmnmm
n
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++




2211
22222121
11212111
0≠kka

8. Metode Gauss-Seidel
Persamaan Iterasinya:
Dan Seterusnya , sehingga Rumus Umum :
11
)(
12121)1(
1
...
a
xaxab
x
k
nn
k
k −−−
=
+
22
)(
2
)(
323
)1(
1212)1(
2
...
a
xaxaxab
x
k
nn
kk
k −−−−
=
+
+
,...3,2,1,0,
1 1
)()!(
)(
=
−−
=
∑ ∑= +=
+
k
a
xaxab
x
ii
n
j
n
ij
k
jij
k
jiji
k
i

9. Contoh Penyelesaian Iterasi Jacoby
Tentukan penyelesaian SPL berikut
Dengan metode iterasi Jacoby
Persamaan Iterasi :
1552
2184
74
=++−
−=+−
=+−
zyx
zyx
zyx

10. Contoh iterasi Jacoby
Persamaan iterasinya:
Dengan nilai awal
Solusi sejatinya adalah (2,4,3)
5
215
8
421
4
7
yx
z
zx
y
zy
x
−+
=
−
−−−
=
−+
=
)2,2,1(),,( 0000 == zyxP

11. Penyelesaian :
Iterasi 1:
X = = 1,75
Y = = 3,375
Z = = 3,000
4
227 −+
8
2)1(421 ++−
5
2)1(215 −+

12. Iterasi 2
Iterasi 2 :
X = = 1,84375
Y = = 3,875
Z = = 3,025
Dan seterusnya
4
3375,37 −+
8
000,3)375,3(421 −+−
5
375,3)75,1(215 −+

13. Contoh metode iterasi Jacoby
Sampai pada iterasi ke 19 didapat :
X = 2,000000
Y = 4,000000
Z = 3,.000000

14. Contoh Metode Iterasi Gauss-Seidel
Tentukan penyelesaian dari SPL :
Dengan metode Gauss-Seidel
1552
2184
74
=++−
−=+−
=+−
zyx
zyx
zyx

15. Penyelesaian
Persamaan iterasinya :
Dengan nilai awal
5
215
8
421
4
7
yx
z
zx
y
zy
x
−+
=
−
−−−
=
−+
=
)2,2,1(),,( 0000 == zyxP

16. Penyelesaian Gauss-Seidel
Iterasi 1:
20
59
5
4
15
4
7
215
4
15
8
30
8
2
4
7
421
4
7
4
227
=






−





+
=
==
−
−





−−
=
=
−+
=
z
y
x

17. Contoh Gauss-Seidel
Iterasi 2:
dst 800
2389
5
32
127
20
39
215
32
127
160
635
8
20
59
20
39
421
20
39
4
20
59
4
15
7
=
−





+
=
==
−
−





−−
=
=
−+
=
z
y
x

18. Tugas mandiri 3
Selesaikan SPL berikut:
1.
2.
1142
3252
84
321
321
321
=++
=++
=+−
xxx
xxx
xxx
93
542
924
321
321
321
−=−+
−=−+
=++
xxx
xxx
xxx

19. Tugas Mandiri 3(lanjutan)
3.
4.
432
323
12
43
4321
4321
4321
421
=−++−
−=+−−
=+−+
=++
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
434
2
203322
82
4321
321
4321
4321
=++−
−=++
−=−+−
−=−+−
xxxx
xxx
xxxx
xxxx