Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk pengertian vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta contoh soal terkait vektor.
3. Gambar :
Titik P
Titik Q
Tanda panah
Panjang PQ = |PQ|
: Titik pangkal vektor
: Ujung vektor
: Arah vektor
: Besarnya (panjang) vektor
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
A
→
A
A
Huruf tebal
Pakai tanda panah di atas
Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR
4. A B A = B
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B A B
A B
5. a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar
sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama,
besaran beda
a
b
Dua Vektor besar dan arah
berbeda
6. OPERASI MATEMATIK VEKTOR
1. Operasi jumlah dan selisih vektor
2. Operasi kali
1 . JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode :
1. Jajaran Genjang
2. Segitiga
3. Poligon
4. Uraian
1. Jajaran Genjang
R = A + B
+ =
A
A
2 A B c o s
A2
B 2
Besarnya vektor R = | R | =
Besarnya vektor A+B = R = |R| =
Besarnya vektor A-B = S = |S| = - 2 AB cos θ
A 2+ B 2 + 2 AB cos θ
A 2 + B 2
7. 2. Segitiga
3. Poligon (Segi Banyak)
Jika vektor A dan B searah
Jika vektor A dan B berlawanan arah
Jika vektor A dan B Saling tegak lurus
θ = 0o : R = A + B
θ = 180o : R = A - B
θ = 90o : R = 0
Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
+ =
A
A
B
+ + + =
A
D
A+B+C+D
A
B
C
D
8. Ay
By
A
B
Ax Bx X
Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y)
Y
A = Ax.i+ Ay.j ;
Ax = A cos θ ;
Ay = A sin θ ;
B = Bx.i + By.j
Bx = B cos θ
By = B sin θ
Besar vektor A + B = |A+B| = |R|
Rx
2
Ry
2
|R| = |A + B| =
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
x
R
Ry
Uraian
Rx
Ry
θ = arc tg
Ry = Ay + By
Rx = Ax + Bx
9. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor
C = k A k : Skalar
A : Vektor
Vektor C merupakan hasil perkalian antara
skalar k dengan vektor A
Catatan :
Jika k positif arah C searah dengan A
Jika k negatif arah C berlawanan dengan A
k = 3,
A C = 3A
2. PERKALIAN VEKTOR
10. 2. Perkalian Vektor dengan Vektor
Hasilnya skalar
A B= C C = skalar
θ
B
A cos θ
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan B
11. 1. Komutatif : A B = B A
2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
Catatan :
Jika A dan B searah A
Jika A dan B berlawanan arah A
1. Jika A dan B saling tegak lurus A B = 0
2. B = A
3. B = - A
B
B
12. b. Perkalian Silang (Cross Product)
C = A x B
B
θ
A
Hasilnya vektor
B
θ
A
C = B x A
Catatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
Sifat-sifat :
1.Tidak komunikatif A x B = B x A
2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A
3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0
13. VEKTOR SATUAN
Vektor yang besarnya satu satuan
A
A
Â
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak)
Z
Y
X
j
k
i
A Arah sumbu x :
Arah sumbu y :
Arah sumbu z :
Notasi 1
A
A
  Besar Vektor
A Axiˆ Ay ĵ Azk̂
î
ĵ
k̂
14. i
j
k
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan
=
= =
= 1
0
i i
i j
j j =
j k
k k
k i =
Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan
i x i j x j
= 0
i x j
k x i
=
=
= k x k =
k
j
j x k = i
15. Contoh Soal
1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
X
Y
C
D
B
A
Vektor Besar (m) Arah (o)
A 19 0
B 15 45
C 16 135
D 11 207
E 22 270
E
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
Jawab : Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)
A 19 0 19 0
B 15 45 10.6 10.6
C 16 135 -11.3 11.3
D 11 207 -9.8 -5
E 22 270 0 -22
RX = 8.5 RY = -5.1
Besar vektor R :
Arah vektor R terhadap sumbu x positif :
=
= R 2 + R 2 =
X y
8.52+ ( - 5 .1)2 94..01 = 9.67 m
tg = = - 0,6 = 329.030 (terhadapx berlawanan arah jarum jam )
- 5.1
8.5
16. Vektor
2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa
besar vektornya ?
Jawab :
22+ (-
3)
2 + 42
A
A = 2i – 3j + 4k
A = = = 29 satuan
3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :
A = 2i – 2j + 4k
B = i – 3j + 2k
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Perkalian silang :
i j k
A x B = 2 - 2 4
1 - 3 2
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k
= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k
= 8i – 0j – 2j
= 8i – 2k
17. 4. Jika a = 2i + 3j + k
b = 5i -j + 4k
dan
maka hasil kali skalar a.b = ....
Jawab:
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
= 2.5 + 3.(-1) + 1.4
= 10 – 3 + 4
= 11
= |a|² + |a|. |b| cos 60
= 16 + 12.½
= 16 + 6 = 22
, |a| = 4, dan |b| = 3,
5. Jika vektor a dan b membentuk sudut 60
maka a.(a + b) = ….
Jawab:
a.(a + b) = a.a + a.b
18. Latihan Soal
WAKTU 10 MENIT !
1. Tentukan nilai R dan S pada vektor berbentuk jajaran genjang berikut ini jika :
panjang A = 3 cm, B = 4 cm, dan sudut yang terbentuk adalah 30° !
+ =
A
A
2. Tentukan hasil perkalian silang antara titik A (4, -2, 2) dengan titik B (-1, 2, -3) !