38.pptx

RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
⚫ Ruang Vektor Umum
⚫ Subruan
⚫ Basis dan Dimensi
⚫ Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
 Beberapa metode optimasi
 Sistem Kontrol
 Operation Research
 dan lain-lain
12/07/2018 6:56
AljabarLinearElementer
1

Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l  Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
sehingga
u, v, w V
u  v  V
u ,v  V maka
Untuk setiap
2. u v  v  u
3. u  v  w  u  v  w
berlaku u  0  0  u  u
0V
4. Terdapat sehingga untuk setiap u V
5. Untuk setiap u V terdapat u 
u   u   u  u  0
12/07/2018 6:56 AljabarLinearElementer 2

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap
8.
9.
u V dan k  Riil maka ku V
7. k u  v ku  kv
k  l u  ku  lu
k l u l k u  klu
10. 1.u  u

Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

⚫Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
⚫Penjumlahan
u  v  u1  v1 ,u2  v2 ,..., un  vn 
⚫Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku  ku1 ,ku2 ,..., kun 
⚫Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u  v  u1v1  u2v2  ...  un vn
⚫Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u1
2
d u,v u  v
2
2
2
2
2
1 1  v   ... un  vn 
 u  v   u
 u 2
 u 2
 ... u 2
1 2 n

Contoh :
Diketahui
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor
tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
u  1,1, 2, 3 dan v  2, 2, 1, 1
12
12
 22
32
 15
u  u  u1
2 
v  22
 22
12
12
 10
Jarak kedua vektor
 1 22
 1 22
 2 12
 312
12
 12
12
 22
7
d u,v u  v



Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  {}
2. W  V
3. Jika maka
u, v W u v W
4. Jika u W dan k  Riil maka k uW

Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W  M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B  W
Tulis
dan
 
1. O 
0

0
W maka W  

0 0

0
 2 
 0 a1
A  
a

0
 2 
 0 b1
B  
b

Perhatikan bahwa :
dan k  Riil
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.



 2 2
  2 
 2
 
a
0 a1  b1
 b 0
   
0 b 0
 0 a1  0 b1
A  B  
a
Ini menunjukan bahwa A B W
4. Ambil sembarang matriks A  W
maka

kA 
ka
 W
0
 2
 0 ka1
kAW

Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :


0
a b
A  
0



 a
B  
b
 
0 0
Ambil sembarang matriks A, B
 W
Pilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (B) = 0

A  B




b a
a b
Perhatikan bahwa :
=
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadapoperasi penjumlahan

u
vn
u  k1v1  k2v2  ...  knvn
Sebuah vektor
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
v1, v2 , … ,
jika vektor – vektor tersebut
dapatdinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

a
Contoh
Misal
u = (2, 4, 0), dan
= (4, 2, 6)
c.
adalah vektor-vektor di R3.
Apakahvektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektordi atas
v = (1, –1, 3)
b. b = (1, 5, 6)
c = (0, 0, 0)
a.

 
   
     
 2 
 4 
 3   6 
1 
 0 
 2  
 k2  -1  
k1  4 

 3 
 0  2 
 k   6 
 

 2 1 


 k1



 4 

 4 -1      2 
a. Tulis
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapatditulis menjadi:
Jawab :
k1u  k2v  a


 
   0 
2 
6   0
 0
 1 2   1
1
2

1 2 
0
1
 2
 1 - 3 - 6  ~  0
3
a u
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi lineardari vektor
atau
a  u  2v
dan v


k1u  k2v  b
 

   
     
 5 
 1 
 0   3   6 
 2   1 
k1  4   k2 -1 
 
 



 6 
 1 
 0
 2 1 
3   2 
   k1
 4 -1  
k
   5 
b. Tulis

:
ini dapatditulis menjadi:




 
 
     3 
2
6   0
0   1
6   0
 0
1   1
 2 1

 4 -1 5  ~  0
3
1
2
1
2
3  ~  0 1
0
1
2
- 3
3
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhirpada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebutadalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapatdinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis
k1u  k2v  c
artinyavektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektorapapun.

v1
v2
v3
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangundan bebas linear
Himpunan vektor
S  
v1 ,v2 , ... ,vn 
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiapvektorpada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektordi S.
Contoh :
Tentukan apakah
membangun
R3

   

    
3
3
 2   2 
3

2
1
1
1 1 2
0
1 u
k
   
k  u
 k1   u1 
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehinggadapatditulisdalam bentuk :
Ambil sembarang vektordi R3
u  k1v1  k2v2  k3v3
 
 3 
u 
u1 
u  u2 

Syaratagardapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikianvektor – vektor tersebut
tidak membangun R3

S  
u1 ,u2 ,..., un 
Misalkan
adalah himpunanvektordiruang vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
Jika kombinasi linear :
k1u1  k2u1  ...  knun  0
hanya dipenuhi oleh
k1  0 , k2  0 ,..., kn  0

 
 


0
0
1  
 2
 -1 1 
2 

 3 1  
k
  0
  k1 
u  1, 3, 2 dan a  1, 1, 1
Contoh :
Diketahui
Apakah saling bebas lineardi R3
Jawab :
Tulis
k
 
1u  k2 a  0
atau

0 
 2
 
1 1 0
0
   
0
0
0
 -1
 1 0 

1
 1 0

1
 0 0

 3 1 0  ~ 0 4 0 ~ 0 1 0
engan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh :
k1 = 0 dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā saling bebas linear.

 
 
 2 
1
a   3 
1
 1 
b   1 
   
   
 4
 2 
c   6

 2  4 k3
1 1 2   k1

 3 1
1     
0
    
0
0

,
,
 6 k2 =
Apakah ketigavektordiatas saling bebas linear
Jawab :
Tulis :
0  k1a  k2b  k3c
atau
Contoh :
Misalkan

0 
0
 
1 1  2

0 4
1
 
0 
0

1 1  2
 
0  ~ 0 1 0 
0
a, b, c
dengan OBE diperoleh :
adalah vektor-vektoryang bergantung linear.
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 solusi tidak trivial (k1,k2,k3 tdk selalu 0)
Jadi

Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhinggadari vektor – vektordi V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika keduasyarat berikutdipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear

 

     

  2 
12  4 1
0 
 6 1
 3
6 
,
 0 1
,
 0  8
,
 1 0 

M 

 3
    


 
 0  2 c d
1
 k
 0 8
 k
 1 0

a b
6
6 
 k
k
3  0
3 12 4 4 1
2 1
1 3
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau



4  
3
1
4
3
2
 1  4k  2k
  
c d

 6k

3k  k 12k  k
6k1  k2  8k3 a b 
3k1  k4

 c 
   4   
  2    
2
 
k
 
d

1 k3


 3
0  
k
 
b

 6
1   k1   a 
 3 0 0
1  8
1 12

 6 0  4
dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK)  0  SPL memiliki solusi
untuk setiapa,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK)  0 SPL homogen punyasolusi trivial.
Jadi, M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
 

     

  1 0 0 1 0 0
 0 1 
Basis untuk setiapruang vektoradalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektordari M2 x 2, himpunan matriks :

 1 0
,
0 1
,
0 0
,
0 0 

juga merupakan basisnya.







 1 
1 2
1 2 3 1
1
1
2
 1  2
A 
 Vektor baris
Misalkan matriks :
Vektor kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
    
    
 1   2  
 1 , 3  
1 1 
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehinggadiperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
 
 

    
    
 1  1 
 1, 3  

 2
 
2
 
 1  1  
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapatditulisdalam bentuk :



0
0 
 2 1  2  2 0 

1 1 2 1 0

 
 1 2  4 1

3 0 0 3

 

0
0
0
1 0 0 1 0

0 1  2 0 0

 
 0 0 0
0 0 0 0
 
s
     
     
   
1 0
 q   0a  2
 r  0 1b
 p 1 0
engan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebutadalah :
dimana a, b merupakan parameter.

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
 
0
 
2
 
 1 0 
   ,   
 0 1 
     

 1 0 

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitasdari SPL diatasadalah 2.

0 8
6 3
 
 1
 1 2
   
 2
0 1 4  2
Latihan Bab 5
1.Nyatakanlah matriks
 
sebagai kombinasi lineardari matriks berikut :
4 , dan 0
3 , 2
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinomorde 2 !

 
J  
a  bx  cx2 a2  b2  c2

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya

6. Diberikan SPL homogen :


 1
1
 1
 1  2 1 1 
2 3 
2 2 1

p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.
7. Tentukan rank dari matriks :

38.pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 38.pptx

Similar to 38.pptx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

38.pptx