1. Vektor di Bidang dan
di Ruang
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG
VEKTOR
TIM DOSEN
4
2. Sub Pokok Bahasan
โข Notasi dan Operasi Vektor
โข Perkalian titik
โข Perkalian silang
Beberapa Aplikasi
โข Proses Grafika Komputer
โข Kuantisasi pada Proses Kompresi
โข Least Square pada Optimisasi
โข dan lain-lain.
2 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Vektor di Bidang dan Ruang
3. โข Vektor adalah besaran yang mempunyai arah
โข Notasi Vektor
๐
เดฑ
=
๐1
๐2
๐3
= ๐1๐ฦธ + ๐2๐ฦธ + ๐
3
๐
เท
โข Notasi Panjang Vektor
๐
เดฑ = ๐2 + ๐2 + ๐2
1 2 3
โข Vektor Satuan adalah vektor dengan panjang atau norm sama
dengan satu
3 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Notasi Vektor
4. โข Operasi Vektor meliputi:
A. Penjumlahan antar
ruang yang sama)
4 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Vektor (Vektor-vektor yang berasal dari
B. Perkalian Vektor
i. Vektor dengan scalar
ii. Vektor dengan vektor
a. Hasil Kali Titik (Dot Product)
b. Hasil Kali Silang (Cross Product)
Operasi Vektor
5. A. Penjumlahan antar Vektor
Misalkan ๐ข dan ๐ฃ
เดฑadalah vektor-vektor yang berada diruang yang
sama. vektor ๐ข+๐ฃ
เดฑ
didefiniskan
Operasi Vektor_Penjumlahan antar Vektor
๐
Contoh:
Misalkan ๐ข = (๐ข1, ๐ข2, ๐ข3) dan ๐ฃ
เดฑ
= (๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ3) maka
๐ข + ๐ฃ
เดฑ
= (๐ข1 + ๐ฃ1, ๐ข2 + ๐ฃ2, ๐ข3 + ๐ฃ3)
5 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
6. i. Vektor dengan scalar
Perkalian vektor ๐ข dengan scalar ๐, (๐ ๐ข) didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya ๐ kali panjang vektor ๐ข dengan arah:
- Searah dengan ๐ข, jika ๐ > 0
- Berlawanan arah dengan ๐ข, jika ๐ < 0
Contoh:
Misalkan ๐ข = (๐ข1, ๐ข2, ๐ข3) dan ๐ฃ
เดฑ= (๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ3) maka
1. ๐ข โ ๐ฃ
เดฑ
= (๐ข1 โ ๐ฃ1, ๐ข2 โ ๐ฃ2, ๐ข3 โ ๐ฃ3)
2. ๐๐ข = (๐๐ข1, ๐๐ข2, ๐๐ข3)
Operasi Vektor_Perkalian Vektor dengan Skalar
๐
๐๐
-๐
6 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
7. ii. Vektor dengan vektor
a. Hasilkali Titik (Dot Product)
Hasilkali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada
ruang yang sama. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah
skalar.
Misalkan ๐ข dan ๐ฃ
เดฑ adalah vektor pada ruang yang sama, Maka
hasil kali titik antara 2 vektor tersebut adalah:
๐ข โ ๐ฃ
เดฑ
= ๐ข ๐ฃ
เดฑ cos ๐ผ
dimana
๐ข : panjang ๐ข
๐ฃ
เดฑ : panjang ๐ฃ
เดฑ
๐ผ : sudut antara keduanya
7 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)
8. Contoh:
T
entukan hasil kali titik dari dua vektor ๐
เดฑ
= 2๐ฦธ dan ๐ = 2๐ฦธ + 2
๐
Jawab:
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_2
๐ฅ
Karena tan ๐ผ = 1 ; artinya ๐ผ = 45
๐
เดฑ
โ ๐ = ๐ ๐ cos๐ผ
1
= 2 8
2
= 4
8 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
๐ฆ
9. Ingat aturan cosinus
๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ผ
Perhatikan
2
๐ โ ๐
เดฑ = ๐
เดฑ 2 +
2
๐ โ 2 ๐
เดฑ ๐ cos ๐ผ
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_3
a
c
b
๏ก
๏ก
๐
๐
เดฑ
๐
เดฑ
๐
๐ โ ๐
เดฑ
โ๐
9 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
14. โ๐
vektor di yang tegak lurus terhadap kedua vektor
lainnya.
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_1
b. Hasilkali silang (Cross Product)
Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor
pada ruang โ3. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah
๐
เดฑ
= ๐
เดฑ
ร ๐ =
๐ฦธ ๐ฦธ ๐
เท
๐1 ๐2 ๐3
๐1 ๐2 ๐3
๐2 ๐3
= ๐2 ๐3 ๐1
๐1 ๐3
๐ฦธ โ ๐3 ๐!
14 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
๐1 ๐2
๐ฦธ + ๐2
๐
เท
17. Luas Jajar Genjang= ๐ข ร ๐ฃ
เดฑ = ๐ข ๐ฃ
เดฑ sin ๐ผ
Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
1
2
๐ข ร ๐ฃ
เดฑ
๐ข ๐ข
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_4
Perhatikan Ilustrasi berikut:
๐ฃ
เดฑ
๐ฃ
เดฑ sin ๐ผ
๐ผ
17 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
18. Diketahui titik-titik diruang adalah
๐ด = 1, โ1, โ2
๐ต = 4,1,0
๐ถ = (2,3,3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC!
Jawab:
Orientasi pada titik A
1. ๐ด๐ต = ๐ต โ ๐ด = 4,1,0 - 1,โ1, โ2 =(3,2,2)
2. ๐ด๐ถ = ๐ถ โ ๐ด = (2,3,3) - 1, โ1, โ2 =(1,4,5)
๐ฦธ ๐ฦธ ๐
เท
3 2 2
1 4 5
๐ด๐ต ร ๐ด๐ถ = = 2๐ฦธ โ 13๐ฦธ + 1
0
๐
เท
Luas segitiga ๐ด๐ต๐ถ yang berimpit di ๐ด adalah
Luas= 1
4 + 169 + 100 = 1
273
2 2
18 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_5
19. Orientasi pada titik B
1. ๐ต๐ด = ๐ด โ ๐ต = 1, โ1, โ2 โ 4,1,0 =(-3,-2,-2)
2. ๐ต๐ถ = ๐ถ โ ๐ต = (2,3,3) - 4,1,0 =(-2,2,3)
๐ฦธ ๐ฦธ ๐
เท
๐ต๐ด ร ๐ต๐ถ = โ 3 โ2 โ2
โ2 2 3
= -2๐ฦธ + 13๐ฦธ โ 1
0
๐
เท
Luas segitiga ๐ด๐ต๐ถ yang berimpit di ๐ด adalah
Luas= 1
4 + 169 + 100 = 1
273
2 2
19 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_6
20. 1. T
entukan cosฮฑ sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut:
a) ๐ข = dan ๐ฃ
เดฑ
=
6
โ8
b) ๐ข =
1
2
1
โ3
7
dan ๐ฃ
เดฑ
=
8
โ2
โ2
2. Tentukan proyeksi orthogonal vektor terhadap vektor dan tentukan
panjang vektor proyeksi tersebut:
a) ๐ข = dan ๐ฃ
เดฑ
=
โ3
2
2
1
2
โ1
3
b) ๐ข = dan ๐ฃ
เดฑ
=
1
2
2
๐ข =
3. Tentukan 2 buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap
3
20 3/1/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
โ2
LATIHAN
21. 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
โ7 2
๐ข = 3 dan ๐ฃ
เดฑ= 0
1 4
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut ๐ 2,0, โ3 , ๐(1,4,5) dan
๐ (7,2,9)
21 3/1/2017
LATIHAN_2