Modul ini membahas konsep bunga majemuk, perbedaan antara bunga nominal dan efektif, serta berbagai perhitungan terkait bunga majemuk seperti persamaan akumulasi, konversi bunga, nilai sekarang, dan cara menentukan tingkat bunga atau jumlah periode yang belum diketahui.

1. 25
Modul 2
BUNGA MAJEMUK
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari Modul 2, mahasiswa diharapkan mampu: (1)
Memahami konsep bunga majemuk, dan perbedaan antara bunga
nominal dan bunga efektif, dan (2) Memahami konsep periode
perhitungan bunga, serta mampu menyelesaikan berbagai perhitungan
berkaitan dengan bunga majemuk.
KULIAH 3: BUNGA MAJEMUK DISKRIT
3.1 Pendahuluan
Jika untuk suatu interval waktu tertentu bunga ditambahkan ke modal
awal pada tiap akhir periode perhitungan bunga, dan kemudian ikut
dipakai sebagai dasar untuk menentukan besarnya bunga periode
berikutnya, maka bunga seperti ini disebut sebagai bunga majemuk
atau dilipatgandakan (compound interest).
Bunga dapat dikonversi (diubah) menjadi modal awal, dan
dimajemukkan secara tahunan, setengah-tahunan, tiga-bualanan,
bulanan, mingguan, harian, atau secara kontinu. Bila dimajemukkan
secara harian, maka jumlah hari menggunakan pendekatan biasa adalah
360 hari, dan jumlah hari menggunakan pendekatan tepat (exact)
adalah 365 hari. Bilamana tidak disebutkan metode pendekatannya,

2. 26
umumnya menggunakan jumlah 365 hari. Tarip tingkat bunga biasanya
dinyatakan sebagai tarip tingkat bunga tahuan dan disebut sebagai
nominal rate of return.
3.2 Persamaan Akumulasi Bunga Majemuk
Misalkan 0M modal awal yang dinvestasikan dengan laju bunga i
p.a. tiap periode bunga, dan jumlah majemuk dari 0M hingga periode
ke n dinyatakan sebagai nM . Karena jumlah majemuk pada akhir
periode bunga dari sebarang modal adalah sama dengan modal awal
dikalikan dengan faktor )1( i . Jadi pada akhir periode adalah sebagai
berikut:
Periode ke-1; )1(01 iMM 
Periode ke-2; 2
002 )1()1)(1( iMiiMM 
Periode ke-3; 3
003 )1()1)(1)(1( iMiiiMM 
Dan seterusnya hingga
Periode ke-n ; n
n iMiiiMM )1()1)...(1)(1( 00 
Jadi persamaan bunga majemuk adalah dinyatakan sebagai berikut:
n
n iMM )1(0  (3.1)
Contoh 3.1 Suatu modal sebesar Rp 10.000.000 dibungakan dengan
sistem bunga majemuk sebesar 10% p.a. selama 5
tahun. Tentukan jumlah akumulasi modal pada akhir
tahun ke-5, dan bunga majemuk yang diperolehnya.

3. 27
Jawab: 0M = Rp 10.000.000; i = 10% 0,10; dan n = 5 tahun.
a. Jumlah akumulasi modal pada akhir tahun ke 5
adalah
n
n iMM )1(0 
5
5 )10,01(000.000.10Rp M = Rp 16.105.100,00
b. Bunga majemuk yang diperoleh adalah nilai
akumulasi modal pada akhir tahun 5 dikurangi
modal awal, jadi
055 MMI 
= Rp 16.105.100,00 – Rp 10.000.000
= Rp 6.105.100,00
3.3 Konversi Bunga
Misalkan 0M modal awal, nM jumlah akumulasi pada akhir tahun ke
n , m banyaknya periode pembayaran bunga dalam setahun, mj
tingkat bunga nominal per tahun yang dimajemukkan m kali dalam
setahun, i tingkat bunga per periode bunga (per tahun), dan n
banyaknya periode pembayaran bunga dalam keseluruhan waktu
(interval waktu transaksi).
Tingkat bunga per periode yaitu i sama dengan tingkat bunga
nominal per tahun yang dimajemukkan m kali dalam setahun, dibagi
dengan m banyaknya periode pembayaran bunga dalam setahun, atau
ditulis sebagai:
m
j
i m


4. 28
Berkenaan dengan hal tersebut di atas, jika terdapat t tahun, yang tiap
tahunnya terdiri dari m banyaknya periode pembayaran bunga, maka
n banyaknya periode pembayaran bunga dalam keseluruhan waktu
menjadi:
mtn 
Sehingga bunga majemuk persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
mtm
mt
m
j
MM 
  )1(0 . (3.2)
Contoh 3.2 Seseorang memiliki modal sebesar Rp 20.000.000
dipinjamkan kepada seorang pedagang dengan bunga
majemuk 12% per bulan selama 5 tahun.
a. Berapakah jumlah akumulasi modal pada akhir
tahun ke-5 ?
b. Berapa besarnya bunga majemuk yang diperoleh
dari meminjamkan modal tersebut ?
Jawab: 0M = Rp 20.000.000; mj = 12%; t = 5 tahun; dan m =
12 bulan.
m
j
i m
 = 01,0%1
12
%12
 ; dan mtn  = 125 = 60
bulan
a. Jumlah akumulasi modal pada akhir tahun ke-5
adalah
n
n iMM )1(0 
60
60 0,01)(120.000.000Rp M

5. 29
= Rp 36.333.934,00
b. Besarnya bunga majemuk yang diperoleh adalah
06060 MMI  = Rp 36.333.934,00 – Rp
20.000.000,00
= Rp 16.333.934,00
3.4 Bunga Efektif dan Bunga Nominal
Perlu dipahamkan, bahwa tingkat bunga selalu ditentukan per tahun
atau sering dikatakan per annum (p.a.). Baik disebutkan ataupun tidak
disebutkan,tingkat bunga tahunan selalu dianggap per annum (p.a.),
atau disebut sebagai tingkat bunga nominal. Untuk tingkat bunga
nominal tertentu, yakni mj , akan didapatkan bunga efektif yang
ekuivalen, yaitu jika digandakan tahunan 1j akan memberikan besar
bunga yang sama per tahun. Di mana mj diartikan bahwa periode
perhitungan bunga adalah m kali dalam setahun.
Berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.2) diperoleh
ekuivalensi matematis sebagai berikut:
mtmn
m
j
MiM 
 )1()1( 00 ,
atau
mm
m
j
i )1()1( 
Sehingga diperoleh dua persamaan sebagai berikut:
1)1(  mm
m
j
i (3.3)
dan

6. 30
]1)1[(
1
 mimjm . (3.4)
di mana i disebut bunga efektif, dan mj disebut bunga nominal.
Contoh 3.3 Hitunglah bunga efektif yang ekuivalen dengan:
a. Bunga nominal 2j = 12%
b. Bunga nominal 12j = 12%
c. Bunga nominal 365j = 15%
Jawab: a. %36,121)
2
12.0
1( 2
i
b. %68,121)
12
12.0
1( 12
i
c. %18,121)
365
15.0
1( 365
i
Contoh 3.4 Hitung bunga nominal 4j yang ekuivalen dengan:
a. Bunga efektif i = 10%
b. Bunga nominal 6j = 12%
Jawab: a. %65,9]1)10,01[(4 4
1
4 j
b. Pertama, hitung i ekuivalen dengan 6j
%62,121)
6
12,0
1( 6
i
Kedua, hitung 4j ekuivalen dengan i
%06,12]1)1262,01[(4 4
1
4 j

7. 31
3.5 Nilai Sekarang Bunga Majemuk
Bilamana diketahui nilai akumulasi modal nM , periode waktu n , dan
tingkat bunga i . Lalu diminta untuk menghitung besarnya modal awal
0M , atau nilai sekarang (present value). Proses penentuan 0M dari
nM ini sering disebut pendiskontoan (discounting). Berdasarkan
persamaan (3.1), dapat dinyatakan sebagai berikut:
n
nn
n
iM
i
M
M 


 )1(
)1(
0 , (3.5)
atau dalam keuangan lebih popular sebagai persamaan
n
iFVPV 
 )1( .
Contoh 3.5 Jika diketahui tingkat bunga nominal 2j = 10%, maka
hitunglah nilai diskonto (discounted value) atau nilai
sekarang dari akumulasi modal sebesar Rp 10.000.000
yang akan jatuh tempo:
a. 10 tahun yang akan datang
b. 20 tahun yang akan datang
Jawab: 2j = 10% dan nM = Rp 10.000.000,00
1)1(  mm
m
j
i
1)
2
1( 22

j
i = 1)
2
10,0
1( 2
 = 10,25%

8. 32
a. 210n = 20 semester
20
20
0
)1( i
M
M

 =
20
)1025,01(
10.000.000Rp

= Rp 1.420.456,82
b. 220n = 40 semester
40
40
0
)1( i
M
M

 =
40
)1025,01(
10.000.000Rp

= Rp 201.769,76
3.6 Menentukan Tingkat Bunga yang Belum
Diketahui
Bilamana dalam persoalan bunga majemuk hanya diketahui modal
awal 0M , akumulasi modal nM , dan jumlah periode n , maka tingkat
bunga yang belum diketahui dapat ditentukan. Menggunakan
persamaan (3.1), dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:
n
n
MiM  )1(0
0
)1(
M
M
i nn

n
M
M
i n
1
0
)1( 






1
1
0







n
M
M
i n
(3.6)

9. 33
Contoh 3.6 Misalkan diketahui modal awal sebesar Rp 50.000.000,
diakumulasikan selama 4 tahun menjadi Rp 80.000.000.
Tentukan besarnya tingkat bunga per tahun.
Jawab: 0M = Rp 50.000.000; 4M = Rp 80.000.000; dan n = 4
tahun.
1
1
0







n
M
M
i n
1
4
1
0
4







M
M
i = 1
50.000.000Rp
80.000.000Rp 4
1






= 12,47%
Contoh 3.7 Tentukan tingkat bunga nominal 3j yang dapat
membuat sejumlah modal menjadi empat kali lipat
dalam kurun waktu 5 tahun.
Jawab: Misalkan besarnya modal awal adalah 0M , persoalan
tersebut berarti bahwa:
34n = 12 catur wulan.
0
12
0 4)1( MiM 
12
1
)4()1(  i
1)4( 12
1
i = 12,25%
i
m
jm
 atau imjm 
1225,033 j = 36,74%

10. 34
3.7 Menentukan Jumlah Periode yang Belum
Diketahui
Bilamana dalam persoalan bunga majemuk hanya diketahui modal
awal 0M , akumulasi modal nM , dan tingkat bunga i , maka jumlah
periode yang belum diketahui dapat ditentukan. Menggunakan
persamaan (3.1), dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:
n
n
MiM  )1(0
0
)1(
M
M
i nn








0
log)1log(
M
M
i nn
0loglog)1log( MMin n 
)1log(
loglog 0
i
MM
n n


 . (3.7)
Contoh 3.8 Tentukan jumlah periode yang diperlukan agar dapat
menjadikan uang sebesar Rp 10.000.000 menjadi Rp
18.000.000, jika diberikan tingkat bunga nominal
sebesar %123 j .
Jawab: 0M = Rp 10.000.000; nM = Rp 18.000.000; dan
%123 j =0,12.
3
%12
3
3

j
i = 4%

11. 35
)1log(
loglog 0
i
MM
n n



)04,01log(
)000.000.10log()000.000.15log(


n
= 753,23,74665972
90,01703333
7-57,25527250
 catur wulan.
Soal Latihan dan Penyelesaian
1. Suatu modal awal sebesar Rp 100.000,00 selama 2 tahun
dibungakan dengan tingkat nominal 2j = 10% p.a. Berapakah
besarnya bunga yang diperoleh di akhir tahun ke-2 ?
Jawab :
0M = Rp 100.000,00; 22n = 4 semester; dan i = 10%/2 =
5% =0,05
4
4 )05,01(100.000Rp M = Rp 121.551,00
Bunga I = Rp 121.551,00 – Rp 100.000,00 = Rp 21.551,00
2. Berapakah modal awal yang harus diinvestasikan dengan bunga
majemuk 10% p.a. yang dihitung secara harian, agar setelah 3
tahun menjadi Rp 200.000,00 ?
Jawab :
365
10,0
i ; 3653n = 1.095; dan nM = Rp 200.000,00

12. 36
095.1
365
0,100
)(1
200.000Rp

M = Rp 148.170,00
3. Dalam waktu berapakah uang sebesar Rp 2.500.000,00 akan
menjadi Rp 3.500.000,00 bilamana diberikan tingkat bunga
nominal 4j = 6% ?
Jawab :
0M = Rp 2.500.000,00; nM = Rp 3.500.000,00; dan i =
4
06,0
=
0,015
)015,01log(
)000.500.2log()000.500.3log(


n
= 22,59 tiga bulanan atau 5,65 tahun.
4. Sule menginvestasikan Rp 120.000,00 dengan bunga majemuk
selama 180 hari dan memperoleh bunga Rp 6.510,00. Berapa
tingkat bunga efektif yang diberikan ?
Jawab :
0M = Rp 120.000,00; IMMn  0 = Rp 120.000,00 + Rp
6.510,00 = Rp 126.510,00; dan t = 180 hari
1
120.000Rp
126.510,00Rp
365
180
1
365







j
= 0,000294
000294,0365365 j = 0,107142 atau 10,71% p.a.

13. 37
5. Pada tingkat bunga sederahan berapakah akan menghasilkan
jumlah bunga yang sama dari modal awal sebesar Rp
1.000.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk 10% p.a.
selama 5 tahun ?
Jawab :
0M = Rp 1.000.000,00; i = 0,10; dan n = 5 tahun
5
5 0,10)11.000.000(Rp M = Rp 1.610.510,00
I = Rp 1.610.510,00 – Rp 1.000.000,00 Rp 610.510,00
Misalakan r tingkat bunga sederhana, sehngga :
trMI  0 atau diperoleh
51.000.000Rp
610.510,00Rp

r = 0,1221 atau
12,21% p.a.
Soal Latihan dan Kunci Jawaban
1. Hitung nM apabila diketahui 0M = Rp 1.000.000,00 dan tingkat
bunga 2j =18% selama 5 tahun.
Kunci jawaban : Rp 3.367.363,68
2. Berapakah modal awal yang harus diinvestasi secara bunga
majemuk dengan tingkat bunga 4j = 12% selama 6 tahun, agar
diakhir tahun ke-6 modalnya menjadi Rp 100.000.000,00 ?

14. 38
Kunci jawabab : 0M = Rp 49.193.373,65
3. Pada awal periode, seseorang menyimpan uang sebesar Rp
2.500.000,00 di suatu koperasi dengan sistem bunga majemuk
untuk jangka waktu 10 tahun. Untuk periode 6 tahun pertama
koperasi memberikan tingkat bunga nominal 2j = 2,5% p.a. dan
untuk periode berikutnya diberikan tingkat bunga nominal 2j =
3% p.a. Berapakah jumlah uang yang akan diterima oleh
seseorang tersebut setelah 10 tahun ?
Kunci Jawaban : Rp 3.908.420,00
4. Sule di awal periode menyimpan uang di suatu bank sebesar Rp
5.000.000,00 dengan memperoleh tingkat bunga 12% p.a. yang
dihitung bulanan. Berapa lama agar simpanannya tersebut
menjadi Rp 20.000.000,00 ?
Kunci jawaban : n = 139,32 bulan atau dibulatkan menjadi 11
tahun 8 bulan.
5. Suatu investasi berupa deposito pada suatu bank di awal periode
sebesar Rp 10.000.000,00. Jangka waktu deposito 4 tahun dengan
tingkat bunga nominal 4j per tahun. Hitunglah besarnya nilai
4j tersebut.
Kunci jawaban : 28,43% p.a.

15. 39
Daftar Pustaka
Badrudin, R. & Algifari. (1997). Matematika Bisnis. Edisi Pertama.
Penerbit : BPFE, Yogyakarta.
Capinski, M. & Zastawniak, T. (2004). Mathematics for Finance : An
Introduction to FinanciL Engineering. Springer-Verlag London
Limited.
Frensidy, B. (2010). Matematika Keuangan. Edisi 3. Penerbit: Salemba
Empat, Jakarta.
Kellison, S.G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc.,
Homewood, Illinois 60430.
Kellison, S.G. (1991). The Theory of Interest. Second Edition. IRWIN,
Burr Ridge, Illinois.
Sembiring, L., Wirasasmita, R., Yogia, S.M. & Yance, L.M. (1997).
Matematika Keuangan. Penerbit : M2S, Bandung.
Van Horne, J.C. (1992). Financial Management and Policy. Ninth
Edition. Prentice-Hall International Editions. London.

16. 40