Interpolasi polinomial Newton menggunakan persamaan rekursif untuk menghitung koefisien polinomial berdasarkan beda terbagi hingga dari data titik. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai fungsi di luar data titik yang diketahui dengan menggunakan polinomial hasil interpolasi.

2. PRAKATA
Interpolasi polinomial adalah pencarian data titik-titik
dalam suatu koordinat kartesius jika diberikan sekumpulan berhingga
pasangan titik-titik (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), … , (𝑥 𝑛, 𝑦𝑛) tanpa
diketahui bentuk aturan fungsinya. Di dunia nyata, interpolasi dapat
digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi
tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan
hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil
percobaan.

3. ii
Ada berbagai macam interpolasi polinomial berdasarkan
fungsinya, diantaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat,
interpolasi newton dan interpolasi lagrange.
Pada buku ini dikemukakan mengenai interpolasi
polinomial newton dimana interpolasi polinomial newton ini
merupakan kelanjutan dari interpolasi polinomial linier dan
interpolasi polinomial kuadratik.
Buku ini disusun dan dikemas secara sistematis guna
memudahkan mahasiswa dalam penguasaan materi interpolasi

4. iii
polinomial Newton pada Mata Kuliah Metode Numerik. Dilengkapi
dengan Contoh soal , Latihan soal dan Pengerjaan menggunakan
program Turbo Pascal.
Penulis menyadari bahwa di dalam buku ini masih jauh
dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik
dan saran dari semua pihak untuk lebih menyempurnakan isi buku
ini. Namun penulis berharap semoga buku ini tetap dapat bermanfaat
bagi mahasiswa khususnya peminat metode numerik pada umumnya.
Penulis,

5. iv
DAFTAR ISI
PRAKATA
DAFTAR ISI
BAGIAN 1. INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON
BAGIAN 2. CONTOH SOAL
BAGIAN.3 RINGKASAN
BAGIAN. 4 LATIHAN SOAL
DAFTAR PUSTAKA

7. 1
Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya
(𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑥1), … , (𝑥2, 𝑦2), dapat dicocokkan dengan
suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯
+𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1).
Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-
koefisien yaitu

8. interpolasi polinomial newton
3
Nilai fungsi berkurung siku dinamakan beda terbagi hingga dan
didefinisikan sebagai
Persamaan-persamaan di atas adalah rekursif, yaitu beda orde lebih
tinggi dihitung dengan mengambil beda dari orde lebih rendah.

9. interpolasi polinomial newton
4
Sebagai contoh, penghitungan koefisien-koefisien dalam polinomial
berderajat tiga dapat diperoleh secara berturut-turut mulai dari baris
kedua dalam tabel 1.1
Tabel 1.1: beda terbagi hingga untuk orde 3
𝑖 𝑥𝑖
𝑦𝑖
= 𝑓(𝑥𝑖)
pertama kedua ketiga
0 𝑥0
𝑦(𝑥0) 𝑦[𝑥1, 𝑥0] 𝑦[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
1 𝑥1
𝑦(𝑥1) 𝑦[𝑥2, 𝑥1] 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1]
2 𝑥2
𝑦(𝑥2) 𝑦[𝑥3, 𝑥2]
3 𝑥3 𝑦(𝑥3)

10. interpolasi polinomial newton
5
Pada tabel di atas dilanjutkan sampai ke-n maka sehingga interpolasi
Newton menjadi

12. interpolasi polinomial newton
7
1. Hitung Taksiran 𝑦 = ln(𝑥) untuk 𝑥 = 2 dengan
menggunakan interpolasi kuadratik untuk data:
(1,0), (4,1.386294), (5,1.609438) dan
(6,1.791759)!
Penyelesaian :
Dik:
𝑥0 = 1, 𝑦0 = 0;
𝑥1 = 4, 𝑦1 = 1.386294 ;
𝑥2 = 6, 𝑦2 = 1.791759 ;
𝑥3 = 5, 𝑦3 = 1.609438 ;
 𝑦[𝑥1, 𝑥0] =
𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0
=
1.386294−0
4−0

13. interpolasi polinomial newton
8
= 0.4620981
 𝑦[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
1.791759−1.386294
6−4
= 0.2027326
 𝑦[𝑥3, 𝑥2] =
𝑦3−𝑦2
𝑥3−𝑥2
=
1.609438−1.791759
5−6
= 0.1823216
Dilanjutkan pada beda terbagi kedua
 𝑦[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] =
𝑦[𝑥2,𝑥1]−𝑦[𝑥1,𝑥0]
𝑥2−𝑥0
=
0.2027326 − 0.4620981
4 − 0
= −0.05187311

14. interpolasi polinomial newton
9
 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1] =
𝑦[𝑥3,𝑥2]−𝑦[𝑥2,𝑥1]
𝑥3−𝑥1
=
0.1823216 − 0.2027326
5 − 4
= −0.02041100
Dilanjutkan pada beda terbagi ketiga
 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] =
𝑦[𝑥3,𝑥2,𝑥1]−𝑦[𝑥2,𝑥1,𝑥0]
𝑥3−𝑥0
=
−0.02041100 − (−0.05187311)
5 − 1
= 0.007865529

15. interpolasi polinomial newton
10
Sehingga diperoleh polinomial dengan interpolasi Newton yaitu:
 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0) +
𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)+ 𝑎3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
= 0 + 0.4620981(𝑥 − 1) − 0.05187311(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
+0.007865529(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)
Dengan mengambil 𝑥 = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.628767

16. interpolasi polinomial newton
11
Dengan menggunakan tabel diperoleh
n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga
0 1 0 0.462098 -0.0518731 0.0078654
1 4 1.386294 0.2027325 -0.0204115 −
2 6 1.791759 0.182321 − −
3 5 1.609438 − − −
Tabel 2.1 tabel beda terbagi hingga contoh soal 1

17. interpolasi polinomial newton
12
Sehingga di peroleh polinomial dengan interpolasi Newton diperoleh
𝑓(𝑥) = 0 + 0.4620981(𝑥 − 1) − 0.05187311(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
+0.007865529(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)
𝑓(𝑥) = −0.85836 + 0.9888871𝑥 − 0.1383925𝑥2
+0.0078654𝑥3
Dengan mengambil 𝑥 = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.6287674

18. interpolasi polinomial newton
13
2. Konstruksikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dari titik-titik
𝑥0 = 0.2, 𝑥1 = 0.3, 𝑥2 = 0.4 dengan menggunakan
interpolasi polinomial newton, lalu hitung 𝑓(3)!
Penyelesaian: di susun tabel beda terbagi hingga

19. interpolasi polinomial newton
14
n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga
0 0,2 0,999993 -0,000076 -0,000155 0,000017
1 0,3 0,999986 -0,000107 -0,00015 −
2 0,4 0,999976 -0,000137 − −
3 0,5 0,999962 − − −
Tabel 2.2 tabel beda terbagi hingga contoh soal 2

20. interpolasi polinomial newton
15
Diperoleh polinomial Newton orde ketiga:
𝑦 = 0.999993 − 0.000076(𝑥 − 0,2)
− 0.000155(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.3)
− 0.000017(𝑥 − 0.2)(𝑥
− 0.3)(𝑥 − 0.4)
karena itu, nilai 𝑦 untuk 𝑥 = 3 yaitu
𝑦 = 0.999993 − 0.000076(3 − 0,2)
−0.000155(3 − 0.2)(3 − 0.3)
−0.000017(3 − 0.2)(3 − 0.3)(3 − 0.4)
= 0.998942

21. interpolasi polinomial newton
16
Dengan menggunakan Program Pascal
Uses crt;
Var x,x0,x1,x3,y,y0,y1,y2,y3,a0,a1,a2,a3,b2,b1,b21,b12,b11: real
Begin
Clrscr;
Writeln;
Write (‘ masukkan nilai x0 = ‘);readln(x0);
Write (‘ masukkan nilai x1 = ‘);readln(x1);

22. interpolasi polinomial newton
17
Write (‘ masukkan nilai x2 = ‘);readln(x2);
Write (‘ masukkan nilai x3 = ‘);readln(x3);
Write (‘ masukkan nilai y0 = ‘);readln(y0);
Write (‘ masukkan nilai y1 = ‘);readln(y1);
Write (‘ masukkan nilai y2 = ‘);readln(y2);
Write (‘ masukkan nilai y3 = ‘);readln(y3);
Writeln;
Write(‘masukkan taksiran x = ‘);readln(x);

23. interpolasi polinomial newton
18
a0 :=y0;
a1 :=(y1-y0)/(x1-x0);
a2 :=(((y2-y1)/(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-xo)))/(x2-x0);
b1 :=(y1-y0)/(x1-x0);
b11 := ((y2-y1)/(x2-x1));
b2 :=(b11-b1)/(x2-x0));
b12 :=((y3-y2)/(x3-x2));
b21 :=((b12-b11)/(x3-x1));

24. interpolasi polinomial newton
19
a3 :=((b21-b2)/(x3-x0));
y :=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)*(x-x1))+a*3((x-x0)*(x-x1)*(x-
x2));
writeln;
write (‘hasil taksiran y adalah : ‘,y:0:6);
readln;
end.

25. interpolasi polinomial newton
20
Gambar 2.1 formula turbo interpolasi polinomial newton

26. interpolasi polinomial newton
21
Gambar 2.2 formula turbo interpolasi polinomial newton

27. interpolasi polinomial newton
22

28. interpolasi polinomial newton
23
Gambar 2.3 Contoh soal no.1 menggunakan program turbo pascal

29. interpolasi polinomial newton
24

30. interpolasi polinomial newton
25
Gambar 2.4 Contoh soal no.2 menggunakan program turbo pascal

32. interpolasi polinomial newton
27
Bagian 3. Ringkasan
Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya
(𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑥1), … , (𝑥2, 𝑦2), dapat dicocokkan deengan
suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯
+𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥 𝑛−1).

33. interpolasi polinomial newton
28
Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-
koefisien yaitu

35. interpolasi polinomial newton
30
1. Titik data 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 4 dan 𝑥2 = 6 digunakan untuk
memperkirakan 𝑙𝑛 2 dengan fungsi parabola. Sekarang dengan
menambah titik ke empat yaitu 𝑥3 = 5 dengan nilai 𝑓(𝑥3 =
5) = 1.6094379, hitung 𝑙𝑛 2 dengan interpolasi
polinomial orde tiga.
2. Kontruksikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dari titik-titik titik
𝑥₀ = 1,5 , 𝑥1 = 2, 𝑥₂ = 2,5 menggunakan interpolasi
newton?
3. Diberikan data.
Year 1891 1901 1911 1921 1931
population 46 66 81 93 101
Populasi di tahun 1895?

36. interpolasi polinomial newton
31
4. Di berikan runtun sebagai berikut:
𝑥 2.00 4.00 5.00 8.00
𝑦
= 𝑓(𝑥)
0.50 0.25 0.2 0.125
5. Find 𝑓(2) 𝑎𝑛𝑑 𝑓(4)
𝑥 0 1 2 3
𝑦
= 𝑓(𝑥)
1 2 1 10

37. interpolasi polinomial newton
32

38. interpolasi polinomial newton
33
DAFTAR PUSTAKA
Triadtmojo, bambang. 2003. Metode numerik dilengkapi dengan
program komputer. Yogyakarta: Bettaofset
https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/interpolasi-
newton/
http://www.slideshare.net/mobile/yuniechan/interpolasi-
lagrange-dan-newton

39. 34
Biografi Penulis
Ratih Vihafsari, Gadis ceriaholic ini dilahirkan di
kota Semarang, Jawa Tengah. Pada hari ke-23 di bulan Agustus
tahun 1995. Dulunya kalem, kemarin polos, percayalah semua
berubah setelah negara api padam. Akrab di sapa teteh,
panggilan yang berakar dari SD Negeri 001 – SMP Negeri 4-

40. 35
SMA Negeri 1 Tarakan – Sekarang . Motto hidup : do or die , cause YOLO !

41. 36
Mailani, lahir pada tanggal 23 Mei 1992, tepatnya di
Lidung Kemenci, Indonesia. Wanita yang kelak akan
jadi guru ini telah menyelesaikan jenjang
pendidikan sekolah di SMP 001 Mentarang dan
SMAN 1 Malinau kota.Hingga kini masih aktif
menjalani pendidikan di perguruan tinggi negeri Universitas Borneo Tarakan
jurusan pendidikan Matematika.

42. 37
Siti Fauziah (24 Agustus 1992) lahir di Tarakan, Kalimantan Timur,
Indonesia. Dilahirkan dari perpaduan seorang ibu yang sangat
menghargai kejujuran dan seorang ayah yang tak kenal batas dalam
hal kesabaran.
Gadis pemuja jus avokad dan penyuka hujan ini selalu bermimpi memiliki rumah
unik dengan taman luas lengkap dengan rumah dan taman khusus untuk kucing-

43. 38
kucing yang akan jadi peliharaannya. Cintanya pada hujan juga menumbuhkan
harapan besar pada dirinya untuk memiliki rumah impian di bawah langit kota
hujan (Bogor).

44. 39
Merry, wanita yang selalu disapa princess laut oleh
sahabat-sahabatnya ini lahir di Berau pada tanggal 20
Mei 1994. Suku Bajau dengan berpegang teguh pada
agama Islam. Merry dengan hoby voly, yoga,
badminton, dan renang memiliki prinsip bahwa
“sehat itu anggun”. Telah menyelesaikan sekolah
dasar di SD 06 Tanjung Batu Kecamatan Pulau Derawan, sekolah menengah di SMPN
3 Pulau Derawan dan SMKN 3 Kabupaten Berau.

45. 40
Anugrah, kerap disapa Nugrah, lahir di Tarakan,
Kalimantan-Indonesia pada 19 Desember 1994. Hobi
futsal, dan sangat menikmati hobi tersebut saat bermain
bersama teman-teman. Menurut Nugrah hidup mewah itu
adalah kesederhanaan, karena sederhanya makanan
favoritnya yaaahhhh makanan yang biasa dimakan aja.
Punya cita-cita yang sama seperti anak-anak lain, tapi
tetap mulia, yaitu ingin membahagiakan kedua orang tua.

46. 41
Dullah, Lahir di Bulungan pada tanggal 21 di bulan
Maret di tahun 1993. Lelaki beragama islam ini merupakan
mahasiswa aktif di perguruan tinggi negeri Universitas
Borneo Tarakan, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di jurusan
Pendidikan Matematika.

47. 42