Dokumen tersebut membahas berbagai metode pencarian akar persamaan tak linear, meliputi metode tertutup seperti bisection, regula falsi, dan metode terbuka seperti iterasi titik tetap, Newton-Raphson, dan Sekan. Metode-metode tersebut dijelaskan secara rinci beserta contoh penerapannya.

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN
TAK LINEAR
Ada dua macam metode pencarian akar :
1. Metode Tertutup , terdiri dari :
- Metode Bisection(bagi dua)
- Metode Regula false(Posisi Palsu)
- Metode Regula false yang diperbaiki
2. Metode terbuka, terdiri dari :
- Metode iterasi titik tetap
- Metode Newton-Raphson
- Metode Sekan

2. Metode Bisection(Bagi-Dua)
Ilustrasi:
y=f(x)
a c b
Gambar 1(Metode Bagi Dua)

3. Metode Bisection(bagi dua)
 Secara umum, jika f(x) bernilai real dan
kontinu pada selang [a, b] dengan f(a).f(b)
< 0, maka ada peluang paling sedikit
terdapat satu akar real pada interval
tersebut. Ujung-ujung selang, yaitu a dan b
disebut dengan tebakan awal
 Interval [a, b] dibagi dua menjadi interval
[a, c] dan [c, b] dengan
c =
2
ba +

4. Pengujian selang :
• f(a) f(c)> 0  akar berada pada [c, b]
• f(a) f(c)= 0  akar = c
• f(a) f(c)< 0  akar berada pada [a, c]
atau
 f(c) f(b) > 0  akar berada pada [a, c]
 f(c) f(b)= 0  akar = c
 f(c) f(b) < 0  akar berada pada [c, b]

5. Metode Posisi Palsu (Regula
Palsi)
 Metode posisi palsu akan lebih cepat
memberikan hasil dan dasar dari metode ini
adalah teorema harga antara yaitu “bila f
kontinu di [a, b] dan f(a) f(b) < 0, maka
ada x* ∈ [a, b] sehingga f(x*) = 0. Pada
metode ini nilai akar dihampiri oleh fungsi
linear (garis lurus), nilai hampiran akan
berupa perpotongan garis lurus melalui (a,
f(a)) dan (b, f(b)) dengan sumbu X.

6. Metode Posisi Palsu (Regula
Palsi)
Persamaan garis yang melalui titik (a, f(a))
dan (b, f(b)) diberikan oleh
perpotongan degan sumbu X  y = 0 , x = c
c = a – f(a)
ab
ax
afbf
afy
−
−
=
−
−
)()(
)(
)()( afbf
ab
−
−

7. Metode Posisi Palsu (Regula
Palsi)
Atau
diperoleh perpotongan dengan sumbu X
c = b – f(b)
ba
bx
bfaf
bfy
−
−
=
−
−
)()(
)(
)()( bfaf
ba
−
−

8. Metode Posisi Palsu (Regula
Palsi)
atau
c = b – f(b)
Iterasi dihentikan apabila telah dipenuhi
< ε
)()( afbf
ab
−
−
1
1
+
+ −
k
kk
c
cc

9. Perbaikan Metode Regula Falsi
 Untuk Mengatasi kemungkinan titik
mandek, metode regula falsi kemudian
diperbaiki. Caranya, pada akhir iterasi r = 1
kita sudah memperoleh selang baru akan
dipakai pada iterasi r = 2. Berdasarkan
selang baru tersebut, tentukan titik ujung
selang yang tidak berubah (jumlah
perulangan > 1) yang kemudian menjadi
titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu
diganti menjadi setengah kalinya, yang
akan dipakai pada iterasi r =2

10. Metode Iterasi Titik Tetap
Prosedur iterasinya sebagai berikut :
1. Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi
bentuk x = g(x). Lalu bentuklah
menjadi prosedur iterasi :
)(1 rr xgx =+

11. Metode Iterasi Titik Tetap
2. dan tentukan sebuah nilai awal , lalu
hitung nilai yang mudah-
mudahan konvergen ke akar sejati s,
Sedemikian sehingga
3. Iterasi berhenti bila :
0x
,....,, 321 xxx
)(0)( sgsdansf ==
ε<
−
+
+
1
1
r
rr
x
xx

12. Metode Newton-Raphson
 Dasar dari metode Newton-Raphson
adalah fungsi f(x) dihampiri oleh garis
lurus, yakni garis singgung. Hampiran
akar berupa perpotongan garis
singgung dengan sumbu X
 Rumus umum :
,....2,1,
)(
)(
'1 =−=+ k
xf
xf
xx
k
k
kk

13. Metode Sekan
 Metode sekan hampir sama dengan
metode posisi palsu, bedanya pada
metode sekan tebakan awal tidak
perlu mengapit akar yang akan
dihampiri, atau f(a) × f(b) tidak harus
negatif.
 Rumus Umum :
3,2,1;
)()(
)(
1
1
1 =
−
−
−=
−
−
+ k
xfxf
xx
xfxx
kk
kk
kkk

14. Contoh Soal:
Diberikan fungsi : ,
lakukan dua iterasi untuk menghampiri
akar persamaan di atas!
Penyelesaian :
akar fungsi di atas berada pada interval
.
iterasi 1:

15. Jika
Sehingga
maka berlaku

16. Dan
Sehingga
Jadi akar berada pada interval
iterasi 2 :

17. Sehingga
maka akar ada pada interval
Jadi sampai iterasi kedua diperoleh
hampiran akar
Dan galat hampirannya

18. Latihan Soal
1. Carilah banyaknya akar positif dan
akar negatif dari fungsi polinom :
Kemudian cari akar positifnya dengan
menggunakan metode terbuka dan
tertutup.

19. 2. Diketahui fungsi
a. Uraikan berdasarkan uraian Mac-
Laurin
b. Cari nilai pendekatan dari f(1,8)
dimulai dari yang paling sederhana
sampai 3 iterasi dan hitung galatnya
masing-masing, bandingkan pula
dengan nilai eksaknya.

20. Pencarian akar Polinom
Bentuk Umum Polinom:
Di mana koefisien-koefisien
semuanya real dengan
Metode Horner adalah metode penulisan
polinom dalam bentuk :

21. Contoh:
Tuliskan polinom-polinom berikut dalam
bentuk lain berdasarkan metode
Horner
a.
b. 652
6 9634)( xxxxxP +−+=
32
3 5243)( xxxxP +++−=

22. Teorema:
Misalkan
dengan
Jika barisan didefinisikan
sebagai
n
nn xaxaxaaxP ++++= ...)( 2
210
0≠na
nbbbb ,...,,, 210
nn ab =
xbab nnn += −− 11

11,1 −≤≤+= + nkxbab kkk

xbab 100 +=
0)( bxPmaka =

23. Contoh:
Diketahui polinom
hitung harga P(-2)
,56423)( 432
xxxxxP +−++−=

24. Teorema:
Misalkan
Dengan
Jika barisan
didefinisikan oleh :
maka
Dimana
n
nn xaxaxaaxP ++++= ...)( 2
210
0≠na
nbbbb ,...,,, 210
nn ab =
11,01 −≤≤+= + nkxbab kkk
)()()( 00 xQxxbxP −+=
)(. 00 xPbi =
12
321 ...)(. −
++++= n
n xbxbxbbxQii

25. Contoh:
Diketahui polinom
Tentukan dan
Sehingga
Penyelesaian:
Ambil
,56423)( 432
xxxxxP +−++−=
0b )(xQ
)()2()( 0 xQxbxP ++=
20 −=x

26. Tugas mandiri 2
1. Cari akar positif dari persamaan tak linear
a. Metode bisection pada interval sampai
iterasi 3 dan tentukan galat masing-masing
iterasi.
b. Metode Newton- Raphson dengan nilai awal
, sampai 4 angka bena. Dan
tentukan galat hampirannya.
c. Metode Iterasi titik tetap dengan nilai awal
dengan toleransi 0,01