Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan ruang eigen. Silabus mencakup delapan bab yang mendiskusikan topik-topik tersebut beserta contoh-contoh penerapannya.

1. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

2. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 2
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan
– Definisi RHD
– Himpunan Ortonormal
– Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD :
bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least square dalam peminimuman
error dalam berbagai bidang rekayasa.

3. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 3
Definisi RHD
Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan
maka notasi dinamakan
hasil kali dalam
jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1. (Simetris)
2. (Aditivitas)
3. untuk suatu kR,
(Sifat Homogenitas)
4. , untuk setiap
dan
(Sifat Positifitas)
Vvu ,
 vu,  uv,
 wvu ,  wvwu ,,
 vuk ,  vku,  vuk ,
0,  uu
0,  uu 0 u
u
,u v 

4. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 4
Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil
kali dalam disebut Ruang Hasil Kali Dalam
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam,
maka norm (panjang) sebuah vektor
didefinisikan
Contoh 1 :
Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )
Misalkan ,  Rn maka
0, 2
1
 uuu
u v
1
2
,u u u
1
2 2 2 2
1 2( ... )nu u u   

5. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh 2 :
Misalnya W  R3 yang dilengkapi dengan operasi
hasil kali ,
dimana
Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan
2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
(terbukti simetris)
332211 32, vuvuvuvu 
Wvu ,
Wwvu ,,
 vu,
 uv,

6. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 6
<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR,
<(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
(bersifat homogenitas)
 wvu ,)ii(
 wvwu ,,
 vuk ,
 vku, vuk ,

7. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 7
Jelas bahwa
dan
Contoh 3 :
Tunjukan bahwa
bukan merupakan hasil kali dalam
Jawab :
Perhatikan
Pada saat 3u3
2 > u1
2 + 2u2
2
maka
2
3
2
2
2
1 32,)iv( uuuuu 
uuu setiapuntuk0, 2
1

0jikahanya0,  uuu
112211 32, vuvuvuvu 
2
3
2
2
2
1 32, uuuuu 
0,  uu
Tidak memenuhi
Sifat positivitas

8. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 8
cfadvu  ,
),,( cbau  ),,( fedv 
 vu,
Contoh 4 :
Diketahui
dimana dan
Apakah merupakan hasil kali dalam?
 uu, 0
)0,2,0(u 0,  uu
0u
 vu,
Jelas bahwa = ( a2 + c2 )
Misalkan diperoleh
Padahal ada
Aksioma terakhir tidak terpenuhi.
Jadi
ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.
Jawab :

9. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 9
Himpunan Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal
jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam
himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak
lurus).
Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang
setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

10. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 10
Secara Operasional
Misalkan, pada suatuRHD
T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
untuk setiap i ≠ j
Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
 ncccT ,...,, 21
0,  ji cc
1ic

11. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh 5 :
1.
Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
2.
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.
3.
Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.



















0
1-
0
1
,
A




















1-
0
0
1
,
B

























2
1
2
1
2
1
2
1
C

12. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 12
Misalkan
adalah basis ortonormal untuk RHD V
Jika adalah sembarang vektor pada V,
maka
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
 nvvvS ,...,, 21
u
nnvkvkvku  ...2211
 inni vvkvkvkvu ,..., 2211
 inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211
ivv ii setiapuntuk1, jivv ji  setiapuntuk0, dan

13. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 13
Sehingga, untuk setiap i berlaku
ii kvu  ,
nn vvuvvuvvuu  ,...,, 2211
nnvkvkvku  ...2211Kombinasi linear
Ditulis menjadi
Contoh 6 :
Tentukan kombinasi linear dari 






2
1
a
pada RHD Euclides berupa bidang yang
dibangun











2
1
2
1
u












2
1
2
1
vdan

14. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 14
Jawab :
vvauuaa  ,,
vua 


































2
1
2
1
2
1
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
 3 1
2 2
a u v  
Perhatikan …..
u dan v mrp
Basis ortonormal
vkuka 21 

15. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 15
Proses Gramm-Schmidt
 ncccS ,, 21
 nwwwB ,...,, 21
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
1
1
1.1
c
c
w 
Langkah yang dilakukan

16. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 16
2. Langkah kedua
2c
1w 1p
1q
2w
2w2c
121 pcq 
Vektor satuan searah 1q
1122
1122
2
,-
,
wwcc
wwcc
w



11221 ,1
wwccproyp w


17. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 17
3. Langkah ketiga 3w3c
W
3c
1w 2w
2p
2q
3w
22311332 ,, wwcwwccproyp W  232 pcq 
Vektor satuan
Yang tegak lurus
Bidang W2231133
2231133
3
,,
,,
wwcwwcc
wwcwwcc
w




18. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 18
Contoh 7 :
Diketahui :
B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.
Transformasikan basis tersebut menjadi basis
Ortonormal
Jawab :
Langkah 1.











































1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
321 uuuB
1
1
1
u
u
v 
 
3
1,1,1




















3
1
3
1
3
1

19. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 19
Langkah 2
22
22
2
1
1
uproyu
uproyu
v
v
v



 















3
1
,
3
1
,
3
2
3
1
,
3
1
,
3
1
3
2
1,1,0
, 112222 1
vvuuuproyu v
3
6
9
1
9
1
9
4
22 1
 uproyu v




















6
1
6
1
6
2
2v
Sementara itu,
Karena itu,
sehingga :

20. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 20
Langkah 3
Sementara itu,
sehingga :
33
33
3
uproyu
uproyu
v
W
W



 





















2
1
,
2
1
,0
6
1
,
6
1
,
6
2
6
1
3
1
,
3
1
,
3
1
3
1
1,0,0
,, 223113333 vvuvvuuuproyu W











2
1
2
1
3
0
v

21. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 21
Jadi,
 321 ,, vvv
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides









































2
1
2
1
6
1
6
1
6
2
3
1
3
1
3
1
0
,,=

22. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 22
Contoh 8 :






























1
1
0
,
1
0
1











1
1
1
u
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang
dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.

23. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 23
Jawab :






















1
1
0
,
1
0
1
21 vv
Diketahui
Selain membangun subruang pada RHD
Karena
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
himpunan tsb juga saling bebas linear
(terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
 21, vv
Langkah awal :
Basis tersebut  basis ortonormal.

24. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 24
 
     
 











2
1
,0,
2
1
2
1,0,1
101
1,0,1
222
1
1
1
v
v
w
 
2
1
2
1
00
2
1
,0,
2
1
1,1,0, 12








wvPerhatikan bahwa :

25. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 25














2
1
,0,
2
1
2
1
,0,
2
1
2
1
, 112 wwv  














2
1
,1,
2
1
2
1
,0,
2
1
1,1,0, 1122 wwvv
 
6
2
1
4
6
4
1
1
4
1
2
1
1
2
1
,
2
2
2
1122















 wwvv
Sehingga:
Akibatnya :

26. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 26
Akhirnya, diperoleh


















6
1
,
6
2
,
6
1
6
2
1
2
1
,1,
2
1
,
,
1122
1122
2
wwvv
wwvv
w



















































6
1
6
2
6
1
,
2
1
0
2
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb
=

27. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 27











1
1
1
u
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu 
 
2
2
2
2
1
0
2
1
2
1
,0,
2
1
1,1,1, 1









wu
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang tersebut adalah
Perhatikan bahwa :

28. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 28
Sementara itu :
6
2
6
1
6
2
6
1
,
1
1
1
,
6
1
6
2
6
1
2






















 wu

29. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 29
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu 




























3
1
3
2
3
1
1
0
1

















3
4
3
2
3
2
Dengan demikian,
=

30. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 30






























1
1
0
,
1
0
1











1
1
1
u
Contoh 9 :
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
 21, vv
1v 2v
Jelas bahwa
merupakan basis bagi bidang tersebut, karena
dan saling bebas linear
Jawab

31. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 31
Basis tersebut akan ditransformasikan
menjadi basis ortonormal.
 
     
 











2
1
,0,
2
1
2
1,0,1
101
1,0,1
222
1
1
1
v
v
w

32. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 32
Perhatikan bahwa :
 
2
1
2
1
00
2
1
,0,
2
1
1,1,0, 12








wv
Sehingga:













2
1
,0,
2
1
2
1
,0,
2
1
2
1
, 112 wwv
 














2
1
,1,
2
1
2
1
,0,
2
1
1,1,0, 1122 wwvv
akibatnya

33. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 33
u
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu 
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang W adalah:




























3
1
3
2
3
1
1
0
1

















3
4
3
2
3
2
=

34. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 34


















6
1
,
6
2
,
6
1
6
2
1
2
1
,1,
2
1
,
,
1122
1122
2
wwvv
wwvv
w



















































6
1
6
2
6
1
,
2
1
0
2
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :

35. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 35
Latihan Bab VI
 vu,
 vu,
 vu,
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan
hasil kali dalam atau bukan
= u1
2v1 + u2v2
2 di R2
= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
a.
b.
c.
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1)
dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal
dalam ruang Euclides !

36. 12/07/2018 6:58 MA-1223 Aljabar Linear 36










0
1
1










1
0
1










2
1
1
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
dan
Tentukan proyeksi orthogonal vektor
pada W