Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor, subruang, basis dan dimensi, serta beberapa contoh aplikasi ruang vektor seperti metode optimasi, sistem kontrol, dan operation research.
1. RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
Ruang Vektor Umum
Subruan
Basis dan Dimensi
Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
Beberapa metode optimasi
Sistem Kontrol
Operation Research
dan lain-lain
12/07/2018 6:56
Aljabar Linear Elementer
1
2. Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap
2.
3.
4. Terdapat sehingga untuk setiap
berlaku
5. Untuk setiap terdapat sehingga
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 2
V
w
v
u
,
,
V
v
u
maka
, V
v
u
v
u u
v
w
v
u
w
v
u
u
u
u
0
0
V
0 V
u
V
u
u
0
u
u
u
u
3. 6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap dan k Riil maka
7.
8.
9.
10.
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 3
V
u V
u
k
v
k
u
k
v
u
k
u
l
u
k
u
l
k
u
kl
u
k
l
u
l
k
u
u
.
1
4. Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 4
5. Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
Penjumlahan
Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
Perkalian Titik (Euclidean inner product)
Panjang vektor didefinisikan oleh :
Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 5
n
n v
u
v
u
v
u
v
u
...,
,
, 2
2
1
1
n
ku
ku
ku
u
k ,...,
, 2
1
n
nv
u
v
u
v
u
v
u
...
2
2
1
1
2
1
u
u
u
v
u
v
u
d
, 2
2
2
2
2
1
1 ... n
n v
u
v
u
v
u
2
2
2
2
1 ... n
u
u
u
6. Contoh :
Diketahui dan
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor
tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
Jarak kedua vektor
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 6
3
,
2
,
1
,
1
u
1
,
1
,
2
,
2
v
v
u
v
u
d
,
2
1
u
u
u
15
3
2
1
1 2
2
2
2
10
1
1
2
2 2
2
2
2
v
2
2
2
2
1
3
1
2
2
1
2
1
7
2
1
1
1 2
2
2
2
7. Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W { }
2. W V
3. Jika maka
4. Jika dan k Riil maka
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 7
W
v
u
, W
v
u
W
u W
u
k
8. Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B W
Tulis
dan
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 8
maka
0
0
0
0
1. W
O
W
0
0
2
1
a
a
A
0
0
2
1
b
b
B
9. Perhatikan bahwa :
Ini menunjukan bahwa
4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil
maka
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 9
0
0
0
0
0
0
2
2
1
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
B
A
W
B
A
W
ka
ka
kA
0
0
2
1
W
kA
10. Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 10
0
0
b
a
A
a
b
B
0
0
Ambil sembarang matriks A, B
W
Pilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (B) = 0
11. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 11
B
A
a
b
b
a
Perhatikan bahwa :
=
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
12. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 12
u
1
v 2
v n
v
n
nv
k
v
k
v
k
u
...
2
2
1
1
Sebuah vektor
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
, , … ,
jika vektor – vektor tersebut
dapat dinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
13. Contoh
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 13
u v
a
b
c
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)
a.
14. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 14
6
2
4
3
1
-
1
0
4
2
2
1 k
k
6
2
4
3
0
1
-
4
1
2
2
1
k
k
a. Tulis
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :
a
v
k
u
k
2
1
15. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 15
0
0
0
2
1
0
2
1
~
6
3
0
6
-
3
-
1
2
1 2
1
2
1
a u
v
u
a
2
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v
16. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 16
b
v
k
u
k
2
1
6
5
1
3
1
-
1
0
4
2
2
1 k
k
6
5
1
3
0
1
-
4
1
2
2
1
k
k
b. Tulis :
ini dapat ditulis menjadi:
17. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 17
3
0
0
2
1
0
1
~
6
3
0
3
3
-
0
0
1
~
6
3
0
5
1
-
4
1
1
2 2
1
2
1
2
1
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
18. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 18
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis
c
v
k
u
k
2
1
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.
19. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 19
1
v
2
v
3
v
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangun dan bebas linear
n
v
v
v
S ,
...
,
, 2
1
Contoh :
Tentukan apakah
membangun R3
20. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 20
3
2
1
3
2
1
3
1
2
1
0
1
2
1
1
u
u
u
k
k
k
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
Ambil sembarang vektor di R3
3
3
2
2
1
1 v
k
v
k
v
k
u
3
2
1
u
u
u
u
21. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 21
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Agar SPL itu konsisten
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3
22. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 22
n
u
u
u
S ,...,
, 2
1
Misalkan
0
...
1
2
1
1
n
nu
k
u
k
u
k
0
1
k 0
2
k 0
n
k
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
hanya dipenuhi oleh
,...,
adalah himpunan vektor diruang vektor V
Jika kombinasi linear :
,
23. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 23
2
,
3
,
1
u
1
,
1
,
1
a
0
2
1
a
k
u
k
0
0
0
1
2
1
3
1
1
-
2
1
k
k
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh :
Jawab :
24. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 24
~
0
0
0
1
2
1
3
1
1
-
~
0
0
0
1
0
4
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
dengan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh :
k1 = 0 dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā saling bebas linear.
25. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 25
2
3
1
a
1
1
1
b
4
6
2
c
c
k
b
k
a
k 3
2
1
0
4
1
2
6
1
3
2
1
1
3
2
1
k
k
k
0
0
0
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear
Contoh :
Misalkan
26. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 26
~
0
1
0
0
4
0
2
1
1
0
0
0
0
1
0
2
1
1
c
b
a ,
,
dengan OBE diperoleh :
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 solusi tidak trivial (k1,k2,k3 tdk selalu 0)
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi
27. Basis dan Dimensi
12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 27
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
28. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 28
2
1
0
1
,
4
12
8
0
,
0
1
1
0
,
6
3
6
3
M
d
c
b
a
k
k
k
k
2
1
0
1
4
12
8
0
0
1
1
0
6
3
6
3
4
3
2
1
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau
d
c
b
a
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
4
3
1
4
3
2
1
3
2
1
4
1
2
4
6
12
3
8
6
3
29. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 29
d
c
b
a
k
k
k
k
4
3
2
1
2
4
0
6
1
12
1
3
0
8
1
6
1
0
0
3
dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK) 0 SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK) 0 SPL homogen punya solusi trivial.
Jadi, M bebas linear.
30. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 30
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
1
0
0
1
juga merupakan basisnya.
31. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 31
1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
A Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
32. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 32
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
2
3
1
,
1
1
1
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
33. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 33
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
1
3
2
1
,
1
1
2
1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
34. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 34
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :
0
3
0
0
3
0
1
4
2
1
0
1
2
1
1
0
2
2
1
2
35. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 35
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
1
0
0
1
b
a
s
r
q
p
0
1
2
0
1
0
0
1
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
36. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 36
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
0
1
2
0
,
1
0
0
1
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
37. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 37
8
0
3
6
3
1
2
1
4
2
1
0
2
0
2
4
Latihan Bab 5
1.Nyatakanlah matriks
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
dan
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
,
,
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2 !
38. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 38
2
2
2
2
c
b
a
cx
bx
a
J
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
39. 12/07/2018 6:56 Aljabar Linear Elementer 39
6. Diberikan SPL homogen :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.
1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
7. Tentukan rank dari matriks :