2020-高二基礎物理2B-CH8-功與能量

8 功與動能 Work and Energy
2020
8.功與能量 Work and Energy
本章學什麼？
中華台北奧運舉重選手許淑凈於 2012
年 7 月 29 日在奧運女子 53 公斤舉重
項目中，抓舉舉起 96 公斤的重量。抓
舉過程，物理上稱做功(施力抵抗重力
使物體移動一段距離)。
這樣的觀念可以應用在動力學中而不
需要牛頓力學的解釋，尤其當作用在
質點上的力量不是定力，用能量描述
物體運動特別有用。
相關版權說明：
 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)

8-2 功 Work
REVIEW AND SUMMARY

8-3功與動能 Work and Energy
8.1 功 Work
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 理解做功是能量轉換過程
2. 理解功是經由力作用於系統而使系統移動的物理
概念。
3. 知道力沿著位移方向的分量才作功。
4. 解釋正功、負功、不作功各自的力與位移方向的關
聯
5. 計算數力作用在系統的總功
6. 應用力與位置關係圖，計算該力對系統所作功
能量(Energy)
1.這世界上有某種與系統狀態有關的物理量，能使系統具有做功
能力-有能量就可以使系統作功或作功可以轉變成「能」
2.能量的形式有很多種，有動能、位能、熱能、光能、
電能 ..等
圖 8-2 目前已知的能量種類 https://reurl.cc/d07O3D
3.能量不能創造，但可以由一種形式轉變成另外一種形式，或是
一處移動某一處。
4.能量的單位：
 巨觀世界：焦耳(Joule)
在古典力學裏，1 焦耳等於施加 1 牛頓作用力經過 1 米距離
所需的能量（或做的機械功）。
在電磁學裏，1 焦耳等於將 1 安培電流通過 1 歐姆電阻 1 秒
時間所需的能量。
 微觀世界：1 電子伏特(eV)=1.6×10-19
(Joule)
圖 8-1 詹姆斯·普雷斯
科特·焦耳（James
Prescott Joule，1818 年
－1889 年），英國物
理學家。在研究熱的本
質時，發現了熱和功之
間的轉換關係，並由此
得到了能量守恆定律，
並在最終推導出熱力學
第一定律。

8-4 功 Work
功(Work)
1.作功是指能量轉換的過程
 能的形式可藉作功而互相轉換。
 [功]的值-被轉移的能量，可以移出系統，也可以移入。
2.定義：力的量值和沿施力方向所經位移的乘積
cosW F d F d θ= ⋅ = ⋅
  
說明：
 正功(W>0)：
 負功(W<0)
 不做功(W=0)
3.SI 單位：焦耳(J)
施 1 牛頓的水平力，使物體水平運動 1 公尺，等於做了 1
焦耳的功
4.功的性質
 功是純量，沒有方向，但有正功、負功的差異
 位移是相對量功會因為參考座標而不同
 功具有累加性
說明：一個系統同時受到數個外力作用，則合力所做的功
等於各力所作之功的代數和
圖 8-3 賈斯帕-古斯塔夫·科里
奧利肖像。(1792－1843 年)是
法國數學家、工程學家、科學
家，以對科里奧利力(科式力)
的研究而聞名。也是首位將力
在一段距離內對物體的效果稱
為「功」的科學家。
向量的內積
幾何定義：
兩向量 A

與 B

內積
cosA B A B θ⋅ = ⋅
  
θ為 A

與 B

的夾角，0° ≤θ ≤180°
解析座標法：
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y x y
x x y y
A B A i A j B i B j
A B A B
⋅ = + ⋅ +
+
 
θ
A

θcosA
B
 θ
A

θcosB
B


例題1：【基礎題】功=力與位移的內積
(1)一質點受一定力𝐹𝐹⃑ = 9𝚤𝚤⃑ + 3𝚥𝚥⃑(牛頓)作用，使其自位置𝑟𝑟⃑ = −3𝚤𝚤̂ +
5𝚥𝚥̂ (米)直線運動至原點，此力作功多少焦耳？
(2) 某人以一與水平夾 37°角，量值為 50 牛頓之力，推動一靜置
於光滑水平地面上的重物，使之前行 20 公尺，問此人對物體作
功______焦耳。
解：
答：(1)12(J) (2)800 J
類題：一質量 5 公斤之質點，受 10 牛頓定力的作用後，從 xy 水
平面上 Ar

= ˆ ˆ3 3i j+ 公尺之 A 點，由靜止開始移向 ˆ ˆ7 6Br i j= +

公尺
之 B 點。該力對質點所做的功為多少? 答：50 焦耳
類題：一物體質量 5 kg，停在一光滑水平面上，施以 50 牛頓之
力，仰角 45o
，經 4 秒，拉力作功若干？答：2000 J
類題：向南 3 N 與向東 4 N 之兩力同時作用於質量 4.0 kg 的靜止
物體上，兩力互成 90°，作用時間 2.0 s，位移為 2.5m。(1)物體所
受淨力為若干？(2)此合力所作之功為若干？(3)兩力作功各為若
干？(4)試將兩力作功之和與(2)之解答比較。答：(1)5 N，東偏南
37°；(2)12.5 J；(3)4.5 J，8.0 J；(4)略
範例演練

8-6 功 Work
例題2：【基礎題】功具有累加性
某人以 5.0 (N)與水平成 37°之拉力，作用於原為靜止之 1.0 (kg)物
體，使其在水平地面上做加速運動 0.50 (m)，若物體與地面的動摩
擦係數為 0.1。求：(1)此力對物體作功若干？(2) 摩擦力作功若干?
(3)則此人對物體做功為多少焦耳？(g=10 m/s2
)
解：
答：(1) 2 J (2)0.35 J (3) 1.65 J
類題：質量 10 公斤的物體靜止於水平面上，以 F 之推力作用，若物體
與地面摩擦係數為 0.2，則等速滑行 10 公尺後，F 對物體做功多少焦
耳？答：196 J
例題3：【基礎題】定滑輪與動滑輪的做功
欲將質量為 5 kg 的物體提升 1 公尺的高度，可利用圖(一)中定滑
輪的裝置，或圖(二)中動滑輪的裝置，不計摩擦力及滑輪和繩子
的重量，在這兩種情況中所需的拉力各為何？所作的功各為何？
解：
情況(a)所需拉力為 F=㎎=5×9.8=49(N)
此力作功 W=49×1=49(J)
情況(b)所需拉力為 F'=
1
2
㎎=24.5N
欲使物體上升 1 公尺，右邊的繩子須向下拉 2 公尺，故此力作功
W '=24.5×2=49(J)
可見動滑輪可以省力，但是不能省功。
答：(1) 49J (2) 49J
類題：不計滑輪、繩子質量及一切摩擦阻力，如圖，若 A 的質
量為 4m，B 的質量為 m，則兩者等高時，重力對 A、B 所作之
功為多少？答：2mgh/3
圖(一) 圖(二)
A
B
h

喝杯茶，休息一下
有一天,冰箱裡箱裡的雞蛋開始竊竊私語的說
起話來
第一顆對第二顆說:「ㄟㄟㄟ,第五顆雞蛋有毛
欸…」
第二顆跟第三顆說:「最後一顆雞蛋有毛…」
第三顆對第四顆說:「第五顆雞蛋有鬍子…」
第四顆告訴第五顆:「大家都說你有毛耶，好
可怕哦…」
第五顆就大聲的說:「我是奇異果啦!!!」
定力作功：
1.功為 F-S 圖形下的面積和
說明：
變力作功 Work done by a variable force
1.變力：物體受力會隨物體的位置改變而有所不同，例如：彈簧
的恢復力、繩子的張力及萬有引力
2.若為規則幾何圖形，以面積之幾何公式求之即可
 彈力做功
3.若力呈現不規格變化，則將位移分割成許多小區間，個別求出
各區間內所作的功，再逐一相加。
0
lim i
x
i
W F x
∆ →
= ⋅∆∑
 
說明：
S
F
W1
W2
W3
圖 8-4 F-S 圖的線下面積就是功
圖 8-5 彈力做功
m
F
x

8-8 功 Work
在數學上，這樣的過程我們稱為積分 cosW F dxθ= ∫
例題4：變力作功-圖形
如附圖，x 是一彈簧的伸長量，F 是對應的彈力，則若將此彈簧伸
長 0.5 公尺
(1)當時彈簧的彈力為______牛頓。
(2)須作功______焦耳。
解：
類題：一物體靜置於一水平面上，受一力 F 後
開始運動，力與距離開係如右圖，則物體移動 4
公尺後物體所獲得功（焦耳）為：(A)3 (B)4
(C)5 (D)6 (E)7。答：A
S
F
S1 S2
範例演練
F(N)
−2
0
2
4
21
3 4
d(m)

例題5：變力作功-繩子的張力【建中、嘉女】
長度為 L，質量為 m 的均勻繩子，其 4/5 長度置於一無摩擦力的水平桌
面上，另外 1/5 長度則懸吊於桌邊鉛直下垂，則將此繩子全部拉回桌面
上所需要作的功為？
解：
答：
50
mgL
類題：由 n 張葉片製成的百葉窗（葉片厚度不計），掛下時每張
葉片相距 s，若每片質量為 M，則全部窗簾拉上需做功多少？
答：
1
( 1)
2
n n Mgs+
F
x

8-10 功率
8.2 功率
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解功率是做功快慢的物理量。 2. 應用力、瞬時速度計算物體的瞬間功率
功率 Power
1.物理意義：能量(E)轉換的時率或功花多久的時間來完成
2.定義：
 平均功率 Average power：
W
P
t
=
∆
 瞬時功率：
0
limt
W dW
P F v
t dt∆ →
= = ⋅ →
∆
 
(v 為瞬時速度)
3.SI 單位：瓦特(Watt,以 W 代表之)
 1 馬力(HP)=746 瓦
 一度電=1 千瓦小時
例題6：【基礎題】
將質量 m 的石塊以 v 的初速，自地面與水平成 θ 的方向向上拋
出，(1)開始時重力對石塊的瞬時功率是多少？(重力加速度值為
g ) (2)石塊抵最高點時，重力對石塊的瞬時功率是多少？ (3)石
塊落回地面時，重力對石塊的瞬時功率是多少？(4)整個過程中，
重力對石塊的平均功率是多少？
解：
範例演練
圖 8-6 上圖：詹姆斯·瓦特肖像。下
圖：由英國 Boulton＆Watt 設計的蒸汽
機

類題：設一光滑斜面高 h，長 L，一質量 m 的質點自頂點滑下
L/2 之路程時，重力作功之平均功率及瞬時功率各為何？(重力加
速度值為 g) 答： ,
2
mgh mgh
gh gh
L L
類題：傾斜角 37°之斜面上，重量 10 牛頓的物體以一定速度
2.0m/s 下滑時，重力對物體所做之功率為若干瓦特答：12 瓦
例題7：瞬時功率
小船之發動機，輸出最大功率為 3000 瓦。最大航速為 12 km/h：(1)以最
大速度等速行駛時候，所受水的阻力為若干？(2)若船所受水阻力與航速
成正比，欲使最大航速增為兩倍，其發動機輸出的最大功率應增為幾倍
答：900 牛頓、4 倍
類題：貨車以 72km/h 等速行駛，若其引擎的輸出功率為 15000 瓦，則
貨車所受阻力為多少？答：750N
喝杯茶，休息一下
一位婦人在坐計程車，婦人一直吃蘋果，吃完
了又吃，司機說：「你喜歡吃蘋果喔！」婦人
說：「對阿！我生前很喜歡吃蘋果」司機想：
(啊！見鬼了！)
婦人就說：「但生完小孩後，就不怎麼愛吃
了」
司機…

8-12 動能與功能定理
8.3 動能與功能定理
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 計算一個已知質量、速度或已知動量的質點的動能
2. 能區分動量與動能，並互相轉換
3. 在已知作用於質點的力的條件下，應用功能定理找
到該質點的運動資訊(如速率)，反之亦然。
動能(kinetic energy)
1.物理概念：與質點運動狀態有關的能量形式。移動越快，其動
能越大。
 定義：
21
2
K mv= m：質點質量，v：質點的瞬時速度
 SI 單位：焦耳(J)
2.性質：
 v 是相對速度，與參考座標有關
說明：
 動能為純量，恆為正值，速度方向無關
說明：
圖 8-7 動能與速度方向無關
 僅適用質點，多質點系統需額外考慮其他因素：如轉動
或震動
說明：
圖 8-8 多質點系統的動
能有好多種形式

 僅適用「古典力學」，在相對論力學與量子力學的範疇，動
能數學型態必須進行修正
說明：
動能與動量的關係
1.單一質點的轉換公式
 已知質點動量量值，則質點動能可以為：
2
1
2 2
p
K pv
m
= =
 已知質點動能，質點動量量值可以為：
2p m K= ⋅
說明：
2.多質點系統中，動量與動能的相依關係(補充資料)
 在「多質點系統」中，當動量不為零，一定具有動能
 在「多質點系統」中，當動能不為零，卻不一定具有動量
說明：
 在「多質點系統」中，質心動量代表全體總動量，但質心
動能不代表全體總動能
說明：

功能原理(Work-Energy Theorem)
1.意義：合力對系統所做的功=系統動能變化
f iW K K K= − =∆
說明：
利用運動學公式可知系統受力一段距離後的速度變化
由
2 2 2
2 1 12 2
F
v v ad v d
m
= + = +
其中 v2 為系統被力 F 作用 d 距離後末速，d 為作用距離
將上式整理可得： 2 2
2 1
1 1
2 2
Fd mv mv= −
若定義 21
2
mv 為一與運動速度有關的物理量，稱為動能，符號
K，則上式可成為
2 1Fd K K= − 作功 W=動能變化∆K
這就是說對物體所作的功變成物體的動能。此即功能原理
2.結論
 W>0  合力對物體做正功  物體動能增加
 W<0  合力對物體做負功  物體動能減少
 W=0  合力對物體做正功  物體動能不變

例題8：【基礎題】動能的計算
質量各為 1kg 及 2 kg 之甲、乙二質點對地各以 4m/s 向東及 3m/s
向北之速度前進，則：
(1) 兩者動能各為多少? (2) 由乙看甲，則甲的動能變為多少？
答：(1)8J (2)12.5J
類題：將物體以動能 Ek，仰角 60°斜向拋出，則當其運動方向為
俯角 30°時之動能為多少?【中女中】答：
1
3
kE
例題9：【基礎題】功能定理
速度為 200 m/s 的槍彈，恰可射穿 2 cm 厚的固定木板，若欲射穿
厚 18 cm 的木板（設槍彈所受的阻力不變），槍彈的速度最小應為
多少？
解：
答：600 m/s
類題：物體質量為 5 kg，速度為 10 m/s，當他受到 120 牛頓的阻
力而衝過 2 m 之後，問(1)動能減少多少？(2)最後動能為變成多
少？(3)物體最後的速度？答：(1)-240J (2)10 J (3) v=2 m/s
類題：一物體質量 m 在水平面上運動，受一外力作用後，速度由
v 增加至 2v，則這段時間內外力對物體作功多少？答：3mv2
/2
範例演練

類題：小明以 59 牛頓的力，將質量為 5 公斤的物體，使其向上加
速離地升起。經 0.5 秒時，問：(1)舉物之力所作的功 W1 為多少(2)
重力對物體所作的功 W2 為多少(3)淨力對物體所作的功為多少？
(4)物體增加的動能？答：14.75 J、-12.25 J、2.5 J
例題10 功能定理與衝量-動量定理
質量為 m，速度為 v0 之物體，在 v0 方向上施以如右圖之衝量後，
在 T 時距內，外力 F 作功多少？
類題：一物質量 m 由靜止受力而運動，若受力量值 F＝kt，則最初
t 秒此力作功為多少？答：
2 4
8
k t
m
KT
F
t
T

8.4 位能 Potential Energy
學習目標
1. 區分保守力與非保守力。
2. 理解系統受保守力作功，其值與系統移動路徑無關
3. 計算並應用地球表面附近物體的重力位能和彈簧
系統的彈性位能
 位能(Potential Energy)
1.意義：在交互作用力場中，系統因相對位置的改變或形狀
的變化而儲存的能量
2.性質
 位能屬於相互作用系統共有，並非屬於其中之一，若任何一
個消失，則位能亦消失。
 位能為純量，但因零位能位置的選擇，而有正負之分。
 位能與質心運動的狀態無關。
3.種類
 抵抗重力將物體抬到高處，物體具有的能量，稱為重力位
能
 被拉長或壓縮的彈簧，其內部累積的能量稱為彈簧位能
 電荷在靜電場中的能量，稱為電位能 (高三課程)
 化學燃料、食物的化學能(分子間的位能)
 保守力(Conservative Force)
1.常見的保守力：重力、彈簧彈力、庫侖靜電力、
天然磁力 1
2.定義：(一般物理叢書有兩種定義)
 施力在質點上，使質點在兩點之間運動。所作的功，只與兩
點位置有關，與質點經過的路徑無關，此力稱為保守力。
 力沿任意完整封閉路徑所作的功為 0，此力稱為保守力。
說明：
重力作功
1
高三下冊會學到因電流(電荷移動)而產生的磁力(稱為洛仁茲力,音譯)，並不
符合保守力的定義。
圖 8-9 保守力做功，與路徑
無關。

8-18 位能 Potential Energy
彈力作功
 非保守力(NonConservative Force)
1.常見的非保守力：摩擦力、空氣阻力
2.定義：一力對於在兩點運動直點所作的功，與質點經過的路徑
有關，此力稱為非保守力
說明：
S
vi
S
vf
F
x
m
m
x=0
x

 地表附近的重力位能(Gravitational Potential Energy)
1. 重力位能(Ug)：物體在重力場中的任意位置而擁有的能量。(簡
易型態)
2. 公式： gU mgh= ，以地面為零位能面
說明：
使物體上升，此時重力對物體作負功，物體以位能儲
存能量
3. 結論：
 物體運動的趨勢是減少其位能，當位能不再有變化的時
後，物體就達到平衡狀態
 兩點的位能差只與高度差有關，與位移或路徑無關。
 彈性位能(Elastic Potential Energy)
1.彈性位能(Us)：型變量的函數
 當彈簧的伸縮量為 x 時，其彈簧恢復力對物體所做的功即
為彈簧的彈性位能
21
2
SU kx= k：彈力常數
說明：彈簧拉長時，恢復力對系統作負功，
2.性質
 不論伸長或壓縮，彈性位能恆為正值。伸長或壓縮量越
大，彈力位能越大
 彈簧處於原長時之彈力位能必為零，但當處於平衡點的
狀態，彈力位能不一定為零。
說明：
圖 8-10
地表附近的重力位能
圖 8-11 彈性位能關係圖
Us
x
原長
受力平衡點

8-20 位能 Potential Energy
例題11：【基礎題】重力位能
如圖所示：有一質量為 2 公克之球，繫於一長為 10 公分之繩索
一端，繩之另一端則掛於天花板上，某人將此球拉高至與天花板
成 30°角時鬆手。試問此球向下擺至最低點時，重力位能減少多
少？（設 g=10m/s2
）
答：2×10-2
J
類題：一砲彈質量 100kg 以 500m/s 的初速，45° 的仰角自地面發
射。在最高點時，砲彈的位能為多少？(g＝10m/s2
)答：6.25×106
J
例題12：【基礎題】彈力位能
一輕彈簧的自然長度為 30 cm。今將此彈簧沿鉛直方向懸掛，上
端固定，下端繫一質量 1 kg 的重物。當彈簧達成平衡時，彈簧的
長度變為 40 cm，試求彈簧的力常數和所儲存的彈性位能。( g =
9.8 m/s2
)
答：98 N/m ， 0.49 J
類題：一垂直懸掛的彈簧，當在底端掛 10 kg 的物體時，其長度
為 1 m，若把物體換成 20kg，則彈簧長度變為 1.25 m，則彈之彈
力常數_____，彈簧增加之位能為_____焦耳。答：392 N/m, 36.75
類題：某輕質彈簧被拉長 x0 時，彈力位能為 U；今將此彈簧壓
縮時，彈力位能為多少？
範例演練
30°
10 ㎝

8.5 力學能守恆定律
學習目標
1. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
2. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
4. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
 力學能守恆 Conservation Law of Mechanical Energy
1.力學能(Mechanical Energy)：只探討動力學的情況，能量僅有兩
種形式位能、動能
2.定義：沒有摩擦力、阻力或其他外力不做功，僅保守力作功，
則系統的動能與位能可以互換，而總值不變
說明：
系統受諸多外力作用，因此產生位移。
合力做功=保守力做功+非保守力做功
ext nc cW K W W K=∆ ⇒ + =∆
保守力對物體做功=物體位能變化的負值
cW U= −∆
 nc ncW U K W U K∴ − ∆ = ∆ ⇒ = ∆ + ∆
因此物體的外力為保守力時候，則
0 0ncW U K= ∴∆ + ∆=  0 0ncW U K= ∴∆ + ∆=
f i f iU U U K K K∆ = − ∆ = − 
( ) ( ) 0f i f iU U K K− + − =
U K∴ + =
圖 8-12 中世紀的投石車。

8-22 力學能守恆定律
 力學能守恆的應用範例（均假設無空氣阻力及無非保守力做
功）
1.均勻重力場下物體的運動
 拋體運動：物體以初速度 v0，仰角 θ 拋出，可達到最大高度
H
 鉛直圓週運動
1.單擺質量 m，擺長 L，自擺角 θ 釋放(詳見範例)
2.雲霄飛車的鉛直圓週軌道(詳見範例)
例題13：【基礎題】力學能守恆定律在拋體運動的應用
將一物自地面以初速 v，53° 仰角斜向拋出，則當物體之速度與
水平方向成 37° 角時，物體距地面之高度為何？(不計阻力)
提示：拋體運動-水平方向維持等速度運動
解：
答：7v2
/32g
類題：自地面以 vo 的速度斜向拋出一物體，當達到最高點時，速
度為 v，則物體上升至最大高度一半時，重力加速度為 g，速度
大小為若干？答：
範例演練
R
Hv0
θ

例題14：力學能守恆在單擺運動的應用【日大】
一質量為 m 之質點附在一質量可略去之長桿一端。該長桿能以其
另一端為軸在一垂直面上無摩擦地自由旋轉。若長桿最初靜止於
與鉛垂線成 60°角之位置（如圖），則放下後質點落到最低點時
長桿之張力為：
答：4mg
※類題：在牆上 O 點懸掛一單擺，擺長 L，今在 O 點下方處
釘一釘，將擺球引至一側使擺線與鉛直線成 60 度角，開始放
開。當擺球擺至另外一側，所餘的懸線與鉛直線成 60 度角時
其速率為多少？答：
例題15：鉛直圓週運動與力學能守恆
不計摩擦力，質量 m 物體自 A 發射經由半徑 r 圓形內側上滑，若
通過最高點恰巧落回 A 點，重力加速度為 g。
(1)物體自 D 至 A 點共歷時若干？
(2)物體行至 D 點時的速率？
(3)物體自 A 點射出之速率？
(4)物體在 D 點時之正向力？
解：
A B
C
D
r
3r
A
B
C
P

60°
60°
O
m
60°

答：
※類題：質量為 m 之質點沿一軌道滑下並進入軌道的圓形部
分，如右圖所示，設圓形軌道部分半徑為 R，所有摩擦力均可
忽略不計，質點的起始高度為 5R/2，則在質點到達 A 點之瞬
間，軌道對質點的作用力為何？答： mg
例題16：動量守恆與力學能守恆
如右圖所示，在水平地面上有一滑車，質量為 M，滑車上有一弧
形軌道，高度為 H，軌道底端成水平。有一質量為 m 的物體，從
軌道頂端沿著軌道自由下滑。設摩擦力均不計，則當物體 m 滑離
軌道底端之瞬間，滑車的速率最值為_____。
解：
答：
R
A
30R
2
5
H
M
m

2. 物體受彈力作用的運動
將力常數 k 之彈簧水平放置，一端繫在牆上一端繫一質量 m
物體，施力拉長 R 後放手使物體在無摩擦的平面來回滑動
說明：僅保受力(彈力)做功，系統力學能守恆。
各位置上的能量
左端點平衡點右端點任意位置
位移
彈力
量值
動能
彈性
位能
力學
能
例題17：【基礎題】力學能守恆在水平彈簧運動的應用
彈力常數 K，接觸面光滑，連接質量 m 的物體。使物體 m 作振幅
R 的 S.H.M.，當位能與動能之比為 1:2 時 (1) m 的加速度為？ (2)m
的速率為? (3)所受合力為?。
解：
答：、、
類題：力常數為 k 之彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另
一端連結一質量 m 的木塊作簡諧運動。當(1)木塊離平衡點的位
移為最大位移 R 的時，其動能為最大動能的__(1)__倍。(2)木
塊在平衡時之速率 v0＝__(2)__。答案：(1) ；(2)
−R Rxo
範例演練

例題18：力學能守恆與動量守恆
如圖所示，一彈簧槍內有一質量 m 的活塞固定於力常數 k 的輕
彈簧之頂端，子彈質量 M 將彈簧壓縮 d，當子彈裝妥時用板機將
它扣住，若不計摩擦力，則
(1)子彈射出時的速率﹖
(2)從扣板機到子彈離開活塞歷時多久﹖
(3)彈簧將多少位能交給彈丸﹖
(4)子彈射出後活塞做 S.H.M 的振幅為何
(5)活塞做 S.H.M 最大加速度為何?
類題：如圖，彈簧常數 k，A、B 兩物質量皆為 m，A 繫在彈簧上
而 B 緊靠 A，今施力將彈簧壓短 xo 後釋放，求：(1)彈簧恢復至
原長時，A、B 的速率各為何？ (2)彈簧的最大形變為若干？這
時 A、B 的速率各為何？(3) B 物和 A 物的接觸時間為若干？ (4)
彈簧將多少位能交給 B？ (5) B 射出後 A 作 S.H.M 的振幅為何？
答：(1)皆為 xo (2) ，0，xo (3) (4)
(5)
BA
x0

力學能守恒定律的缺陷
1. 限用保守力僅能討論動能與位能之間轉換關係
2. 在實際情況下，能量的轉換
不可能侷限於位能、動能兩種
不可能僅有保守力作用，可能會有非保守力
例題19：能量守恆定律
一物體的質量為 m，沿斜面以速率 v 上滑，當滑回原處時，其速率
變為。已知上滑的最大距離為 d，則物體在斜面上滑動時所受到
的摩擦力為何？
解：
答：
類題：一物質量 m 沿斜面以速率 v 上滑，當滑回原處時速率變
為v/2，上滑最大距離 s ，則摩擦力大小為若干﹖ 答：3mv2
/16s
範例演練

8-28 重力位能的一般形式
8.6重力位能的一般形式
學習目標
1. 理解重力位能改變與移動路徑無關
2. 區分均勻重力與非均勻重力場的重力位能的差異。
3. 計算衛星(等速圓周運動)的力學能
4. 計算一個質點脫離天體所需的能量與速率
5. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
重力位能一般式 The general form of the gravitational potential energy
1.當物體距離地面高達數百公里之後，重力將不再視為定值，重
力位能必須重新考量。
2.定義：當兩物體相距為 r 時的重力位能以符號 U 表示
( )
GMm
U r
r
= − r 為兩球體之間的質心距離
說明：
m 在 rA 位置，有重力位能 UA，在 rB 位置，有重力位能 UB
此時，將 m 從 rA 向外等速移動到 rB 位置，重力與位移方向相
反，此過程重力對 m 做負功。
但物體 m 所受的重力隨距離成平方反比變力做功
線下面積進行等寬切割，共分成 n 個區間
線下總面積 0
A B
GMm GMm GMm GMm
r r n r r r
 
= − ⇒ − > + ∆ 
但此過程中，重力作負功 AB ( ) 0
A B
GMm GMm
W
r r
=− − <
可猜測、
圖 8-14 理想均勻球體的重力分佈圖
M m
O
r R ri ri+1 rB
rBrA
F
分成 n 等分2
R
GMm
r
R
GMm
⋅3
r
( )W F r r∆ =− ⋅
其中
m
M
r
圖 8-13 兩物體之間的重力位能

結論：
 M 與 m 相距 r 時候，所具有的位能 ( )
GMm
U r
r
= −
 兩物體相距無限遠時，其重力位能為零
3.性質：
 兩個物體(含以上)之間有交互作用力，才會有位能只有一
個物體，是毫無位能可言的。
 重力位能一般式的函數圖形
圖 8-15 重力位能曲線圖
 重力位能一般式與 U=mgh 的差別
說明：
1.重力位能一般式的零位能面選定在無窮遠處。
2.U=mgh 的零位能選定在地表，並且 Re >> h
( ) (1 )
( )
e
e e e e e e
RGMm GMm GMm h
U GMm
R h R R R h R R h
∆ =− − − = − = ⋅
+ + +
M m
O
r R rA ri ri+1 rB
rBrA
F
分成 n 等分2
R
GMm
r
R
GMm
⋅3
r
U
GMm
R
−
觀念澄清：為什麼可以假
定在無限遠處時候，重力
位能為零
那現在如果想要把一顆球
拋至離地球無窮遠處那不
是意味著地球與球之間沒
有引力存在(沒有交互作用
的力) 於是就沒有位能，
這個時候位能不就很自然
的是零?

 多個質點系之重力位能：如果一個系統內含有兩個以上的質
點，則整個系統之重力位能等於所有成對質點的重力位能的
代數和。
1 3 2 31 2
3 2 1
( )
Gm m Gm mGm m
r r r
− + +
 重力位能的變化對其物體所作的功與路徑無關，只與其
物體的起點和終點位置到物體 M 中心的徑向距離有關
說明：
高中物理的數學問題-補充資料
1. 由於重力曲線為平方反比曲線，在計算此過程的重力做功，
其實需要數學工具-積分
將 m 從 rA 向外等速移動到 rB 位置，重力與位移方向相反
2
1 1
[ ] ( )
B
B
A
A
r
r r
A B r r
B Ar
GMm GMm
W dr GMm
r r r r
=
→ ==− = =−∫ 此為
數學積分之結果
重力作負功(保守力做功)
M 與 m 相距 rA 時候，所具有的位能
2. 積分在高三數學課程才會教到，講義所列的方式則是使用另
一種數學工具-微積分的前身，才會寫出這麼「多」的數學計
算結果
圖 8-16 B、C 兩點在同一圓
週上，則質點在在 B、C 兩點
的重力位能相等
From:halliday 普物

例題20：【基礎題】重力位能的一般式
設地球半徑為 R，自地面發射質量 m 的人造衛星，使之到達離地
面 3R 的軌道上繞地作等速率圓周運動，若地球質量為 M，則該
人造衛星之重力位能改變多少？
解：
答：
類題：地球質量為 M，如以距地心 r 處物體的重力位能為零
（r>re），則距地心 2r 處質量 m 之物的重力位能為答：
類題：設地球半徑 R，地表之重力場強度為 g，則質量 m 之人造
衛星由地表發射至離地表 3R 處，其重力位能改變多少？−mgR
例題21【基礎題】多質點系統的位能
在邊長為 L 的正方形的四個頂點上各放置一個質量為 m 的質點，
則此系統重力位能是多少？若要將此系統拆散，把四個質點分別
移至無窮遠處，則必須提供多少能量？
解：
答：
類題：三個質點，質量均為 m，分別位於邊長為 a 之正三角形
的三個頂點上，則此系統的總重力位能為何？答：-3Gm2
/a
範例演練

例題22：【基礎題】不均勻重力場下的運動
欲將一靜止砲彈鉛直向上發射，使其達到最大高度距地面 R(地球
半徑)處，所需要的初速度為 v0，如果改以為初速度向上拋射，
則此時可以達到的最大高度為何？
(不考慮地球自轉，忽略空氣阻力)
答：R/17
類題：假設地球半徑為 R，地球表面重力加速度為 g，則欲將物
體自地球表面發射至離地面 R 時，則其初速度應為多少？答：
例題23：【綜合題】不均勻重力場與動量守恆
二質點質量各為 m1, m2 相距 d1，二者因萬有引力作用而互相接
近，當距離為 d2 時二者速率各為何？
解：
答： (1) m1 : , m2 :

類題：兩個質量皆為 m 的小球，相距 d，組成一獨立系統。若兩球
同時朝反方向、同速率分開，則初速多少即可永久分開？(萬有引
力常數 G) 答：
例題24：非規則形狀的星體能量
有一均質圓環半徑為 R，質量為 M，在環的中心軸上，距環心
處有一質量 m 的質點，由靜止射向環心，當質點到達環心處
時，其速率多少？。
解：
答：
類題：太陽系中的木星、土星、天王星外圍都有圓形的環存在，
圓環由許多微小的物質所組成。假設有一圓形環的半徑為 R，其
總質量為 M，如右圖所示。在該環的中心軸上，距離環中心 d 處
有一質量為 m 的質點。受圓環吸引由靜止開始運動，當質點通過
環中心點時，其速率是多少
答：【南一習題】
d

星體運動的軌道與力學能
1.假設一衛星(質量為 m)距離地球(質量為 M)地心 r 處，繞地球運
動速率為 v，則力學能
說明：
2.軌道為圓形並做等速率圓週運動，則
動能：
2
k
GMm
E
r
= 、位能： g
GMm
U
r
= −
總能： 0
2
GMm
E
r
=− <
說明：
束縛能(Binding Energy ,Eb) 使運動中的衛星從運行軌道移到
無窮遠處所需要的最小能量
2
b
GMm
E
r
=
說明：
脫離(動)能(Escape Energy,Ee)：使靜止物體脫離星球引力場所
需要的最小能量
脫離速度：
2
s
GM
v
R
=
說明：
圖 8-17
環繞地球外側的軌道種類
From:Yam 普物課本

例題25：人造衛星的能量
人造衛星質量 m，距地表 r 處作等速率圓周運動，若地球質量
M，萬有引力常數 G，將此衛星改送到距地表 2r 處作等速率圓周
運動，需再供給多少能量？(地球半徑 R)
解：
答：
類題：有一衛星繞地球運轉，軌道半徑為 R 時，動能為 Ek，今該
衛星增加能量為 Ek/4，則軌道半徑為多少？【85 台北區聯合模擬
考】答：4R/3
例題26：【基礎題】
假設地球質量為 M，半徑為 R，欲發射質量為 m 的靜止衛星到距
地面為 R 處做軌道運行，所需要的能量為多少？
答：
答：不考慮地球自轉所需能量
類題：月球表面之重力場強度為 g，月球半徑 R，則由其表面向
外太空發射一物，該物要脫離月球束縳的最小速率為何？答：
範例演練

例題27：橢圓軌道【86 日大-修改版】
質量為 m 的行星在橢圓軌道上繞質量為 M 的太陽運行，若行星
在近日點時與太陽的距離為 r
(1)衛星在離地心最近與離地心最遠處之動能比?
(2)行星由近日點運動至遠日點時，太陽的萬有引力對其作功多
少？
解：
答：(1) 9 : 1 (2)
類題：假設彗星在近日點及遠日點時與太陽距離各為 r 及 3r，通
過遠日點時動能為 Ek，則此彗星繞日時系統之力學能 E 為何？答：
E＝ -3Ek
3r
vp
r
太陽
va

2020-高二基礎物理2B-CH8-功與能量

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