9. 6-9靜電學 Electrostatics
空間有多重電荷時,單一電荷所受的力為合力,需用向量計算
庫倫靜電力向量 1 2 1 2
2 2
0
1
ˆ ˆ
4
q q q q
F k r r
r r
圖 6-7 電荷 q1 的合力為 F
F
F
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較(侷限高中物理範圍)
1. 相同點:
超距力,力的大小與 距離平方 成反比,均為 保守力
說明:
重力:重力位能
靜電力:電位能
遵守「力學能」守恆電位能+動能=定值
2. 相異點:
庫侖靜電力因為物體 帶電 的特性造成,萬有引力因物體
具有 質量 的特性造成
庫侖力有 吸引力 、 排斥力 ,萬有引力只有 吸引力
庫侖靜電力的量值與帶電體所在的介質(環境)有關,而萬有
引力與物體所在的環境無關。(大學電磁學)
說明:
電容率又稱為介電常數,會隨環境/介質而改變。
r 距離 r
電力
r 距離 r
重力
圖 6-6 當年的實驗設備圖
10. 6-10 靜電學 Electrostatics
例題2.:萬有引力與庫侖靜電力的比較-基本題
已知質子的質量為 1.7×10-27
kg 、電子的質量為 9.1×10-31
kg,則質
子與電子間庫侖力大小為其間萬有引力大小的幾倍?
Hint:請學會使用工程計算機,在大學的日子,你會快樂點^0^
解:
答:2.21039
倍
類題:兩點電荷分別為 q14107
庫侖、q2-2107
庫侖,二者相
距 3 公尺,求受力大小? 答:-810-5
牛頓
例題3.:與靜力平衡的概念的結合
質量各為 m1、m2 電量各為 q1、q2 兩帶電球 A 與 B 分別以長 L 的
輕繩懸起,如右圖所示,球 A 可自由擺動,球 B 則固定不能運動:
求 (l)A 被 B 斥開的距離 x (2)A 所受之靜力 Fe (3)OA 繩之張力 T?
解:
答: 1 2 1 2 1
3 3 1
1 1
(1) (2) (3)
kq q L kq q L m g
m g
m g m g L
類題:如圖兩小球帶電量各為-q 與+q,當靜力平衡時二球相距
r,兩球質量均為 m,繩長 L 與鉛直線夾角為 θ,則 q 等於?答:
tanmg
r
k
範例 演練
B
A
11. 6-11靜電學 Electrostatics
例題4.:庫侖靜電力連結等速率圓週運動
電子以相同的軌道半徑繞 H+
與 He2+
原子核做等速率圓週運
動,求繞 He2+
的電子與繞 H+
的電子之(1)速率比 (2)週期比。
解:
答:(1) 2 :1 (2)1: 2
類題:質量 m 及 2m 的 A、B 兩小球相距 r,各帶有 Q 及Q 的電
量,繞其共同質心轉動,若重力不計,則 A 球的動能為 ?答:
r
kQ
3
2
例題5.:庫侖靜電力連結 SHM
A、B 各為帶電量為 Q 的點電荷,固定不動且相距 2r,另一質量
m,電量 q 的點電荷在 AB 中點 C 沿 AB 線上作振幅 x 的 S.H.M,
且 x << r ,則其振動週期為何?
解:
答:
3
2mr
kQq
類題:圓環半徑為a,在軸線上距環心 3d a 處有電荷Q,,若
環上帶電量為q,則(1)電荷Q受力多大?(2)若 x << a,電荷Q可
做週期運動,求其週期?答:(1) 2 2 3/2
( )
kQqx
F
a x
(2)
3
2
ma
T
kQq
12. 6-12 靜電學 Electrostatics
1. A、B 、C 三帶電體所帶之電量之比為 1:2:3,但電性各
為正、正、負,故當 A、C 相距 10 釐米固定時,若欲 B 受
力為零,則 B 應放在 A、C 連線上距 C 處多遠?
2. 甲、乙、丙三個點電荷受靜電力交互作用,已知甲受的合力
為 2i
牛頓,乙受的合力為 j
3 牛頓,其中 i
與 j
分
別代表沿 +x 軸與 +y 軸的單位向量,則丙所受的合力為何?
3. 正方形之兩對角處各置電荷 Q,餘二角各置電荷 q,若 Q 上
靜電力為零 ,則 Q 與 q 間之關係為何?
4. 如圖所示,在 y 軸上與原點 O 相距 a 之兩點,各置電量均為
+Q 之固定點電荷。今在 x 軸上與 O 點相距 3 a 之 P 點,有
一電量為 –q 的點電荷,其所受的靜電力為何?
5. 帶有相等電量之兩小球,質量都是 m 公斤,以兩長各為 L 公
尺的細線,同懸於一點,兩球因電力作用,彼此相距 x 公尺
後靜止,若 x L,則每一個小球所帶之電量若干?
6. 一力常數為 a 的彈簧兩端各帶有+q 和-q 的小球,兩球與
彈簧為絕緣,彈簧因電力而被壓縮成長度 L,則彈簧原長為
若干?
7. 於邊長 正三角形三頂點各置一電荷,其電量分別為 Q、
2Q、2Q ,則電荷 Q 所受的靜電力量值為何?
8. 假定在每邊邊長為 10-8
(cm)之正方形四角上各置一質子,則
每一質子所受到靜電力的大小為多少牛頓?
9. 設大小相同 A、B 二導體球分別帶電量 qA、qB,二者相同 r
時,相互作用排斥力為 2F,今將二球接觸後,將其分開相距
2r 時二者之斥力為
9
16
F,則二球最初所帶電量之比為若干?
10. 有 A、B 兩個點電荷,A 的電量為 +9e,B 的電量為 -4e,兩
電荷相距為 L,今將第三個點電荷 C(電量為 -e)放在 A、
C 電荷的連線上。若 C 所受的靜電力為零,則 A、C 間的距
離為何?(e 表示電子電量)
11. 兩個帶相同電量的質點 A、B,以絕緣細線懸掛後,其平衡
的位置如右圖所示,則 (1)左、右兩線上的張力之比為何?
(2)A、B 兩質點的重量之比為何?
課後 練習題
a3
a
a
x
y
O
P
13. 6-13靜電學 Electrostatics
12. 兩大小相同之氣球各帶有 Q 的同性電,如右圖,物體質量
m,繩子之張角 60,則:(A)兩球互相作用之電力為
3
mg
(B)電力為
2 3
mg
(C)繩子之張力為
3
mg
(D)張力為
2
3
mg
。
13. 承上題,若每一氣球之重量為 mg/4,則每一球所受之浮力為
_____。
14. 承 12.題,若電量改為 3q,則繩之夾角變為_____。
15. 如圖所示,電量各為q1 及q2,質量
各為 m1 及 m2 之 A 和 B 二通草球,若
各以等長之絲線共懸於一點,受靜電
力排斥而分開,平衡時兩線與鉛垂線
之夾角各為 1 及 2,則 m1 及 m2 的大
小關係為何
16. A、B 兩電荷之電量各為+4e、-9e,相距 d,今置另一電荷 C
於 AB 連線上,使整個系統靜電平衡,則應(A)QC =-9e,在
AB 延長線上距 B 為 2d 處 (B)QC =-36e,在 AB 延長線上距
A 為 2d 處(C)Qc=-4e/9,在 AB 延長線上距 B 為 3d 處
(D)QC=9e/4,在 AB 延長線上距 A 為 3d 處 (E)QC=4e/9,
在 AB 線段上距 B 為 d/3 處
17. 電量分別為+q 與-q 的兩點電荷相距 2d,今在兩者連線的延
長線上距連線中點為 r 處( r > d), 置電量為+Q 的點電荷:
求其所受電力若干?
18. 如圖所示,在一直線上有兩個點電荷。電量為
+4Q的點電荷固定於x = 5a,電量為-Q的點電荷
固定於x = 9a。將一點電荷+Q置於直線上何處
時,此+Q電荷所受的靜電力為零?(A) 3a(B) 7a
(C) 11a (D) 13a (E) 15a 【95學測】
練習題答案
1.
13
310
cm 2. ji
32 3. qQ 22 4.
a
kQq
4
3
2
,向-x
軸 5.
13
2
( )
2
mgx
kL
6.
2
2
kq
aL L+
7.
2
2
2 3kQ
8. 4.4×10-8
9. 1:
2 或 2:1 10. 3L 11.(1)
1
3
(2)
1
3
12.BC 13. 3mg/4
14.120 度 15. 16.B 17. 3
4kQqd
r
18.D
60 LL
m
1
2m1
m2
x
10a5a0 15a
+4Q -Q
14. 6-14 靜電學 Electrostatics
6.3 電場與電力線
學習目標
閱讀完這節,你應該能夠…
1. 解釋在電場中的任意位置,放置一個小型測試正電
荷,電場與靜電力之間的關係
2. 計算在環繞帶電粒子周遭空間中的任意位置的電
場大小及方向
3. 瞭解電力線,包含從哪裡開始,到哪裡結束及如何
表示
4. 瞭解電力線疏密程度不同,電場強度就不相同
5. 瞭解靜電平衡的意義
6. 瞭解帶電平行板形成均勻電場
7. 應用帶電平行板的特性,驗證帶電粒子在均勻電場
中的運動模式
電場 Electric Field,符號 E
1.物理意義:
帶電體(可以是帶電粒子,或是帶電金屬板)其靜電力所能到
達的作用範圍成為 電場 。
任何帶電體都會在空間中建立自己的電場,此時該帶電體稱
為 場源
「場」概念提出者: 法拉第
2.電場強度:在某一空間中,放置一單位正電荷(或稱測試電荷),
若此電荷受到電力 F 作用,則該位置的單位正電荷 q 所受到的
靜電力,稱為該位置的電場強度。
F
E
q
單位:牛頓/庫侖
電場是向量場,具有方向性,以 測試電荷(正電荷) 受力方向
為該處電場方向
說明:
空間中某位置的電場強度及性質只和場源有關,與放入的電
荷量值及電性 無關。
舉例:在該處放置 q 或 2q,該處電場E依然是不變。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
F
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
P
P
圖 6-8 電場與電力之間的關係
上圖:帶正電的測試電荷放在帶電
物體附近的 P 點上,可知靜電力 F
作用在測試電荷上
下圖:可視為帶電物體在 P 點上產
生的電場 E
15. 6-15靜電學 Electrostatics
電場線 Electric Field Lines 又稱 電力線 Line of Electric Force
1.1840 年前後,法拉第(Michael Faraday)提出電力線模型以模擬
電場的概念。
說明:將空間中彼此鄰近、而電場方向相同的各點連接起來的
曲線或直線即為電力線
2.性質
電場本身是肉眼無法看到,因為他不是物質,是一種抽象的
物理概念
電力線被用來解釋電場分佈的最佳方法,並非真實存在的線
條-描述 庫侖靜電力的作用的方向、範圍
電力線由 正 電荷出發,終止於 負 電荷,但屬於 非
封閉曲線
圖 6-11 空間中同時具備正、負電荷的電場(電力線)分佈圖。
在電力線上各點的切線方向為該點的 電場方向 ,
電力線不一定為電荷在電場中的運動軌跡。
電力線不會相交,空間中同一位置的電場方向只能有一個
電荷所發出或終止的電力線數量於其電量成正比關係
說明:電力線越密集代表電荷電量越 大 ,該電荷造成的電
場強度也越大
電力線 垂直 帶電導體表面。
PhET Explorations: Electric Field of Dreams
Charges And Fields_電荷與電場
短網址:https://goo.gl/Su56q9
圖 6-9
圖 6-10 2q 與-q 電荷的之間電力線
16. 6-16 靜電學 Electrostatics
點電荷 Q 建立的電場
1.數學定義:點電荷 Q 在距離 r 處的電場 2
F kQ
E
q r
單位:牛頓/庫侖
3.性質
點電荷的電場強度與點電荷的 電量 成正比並與 距離平
方 成反比
若 Q 為正電荷,產生的電場其方向指向外電場向外 發散
若 Q 為負電荷,產生的電場其方向指向內電場向內 收斂
電場強度是電荷自身所建立的性質,與是否有其他電荷存在
無關 。
例題6.:電場的向量性質
邊長為 d 的正四邊形,其四個頂點各置點電荷 -q、q、2q 及 q(如
圖所示),則四邊形中點 O 處電場之量值為______(以 q,d 及庫
侖定律比例常數 k 表示之)。
解:
類題:如下圖所示,正三角形 ABC 之各邊長為 a,P 為重心。若
在頂點 A、B、C 各置一電量均為 q 之電荷,則 P 點之電場之量值
若干??
r
距離 r
電場
範例 演練
2q
q -q
q
圖 6-12
上圖:正電荷電場呈現發散
下圖:負電荷電場呈現收斂
17. 6-17靜電學 Electrostatics
例題7.:環狀物體的電場計算
半徑為 a 的金屬圓環,均勻分布電荷於環上,其電量為 Q。試求
(1)垂直於環面通過環心的線上,距環心為 r 處之 P 點的電場。
(2)若 r >> a,則結果為何?
(3)在環中心 C 點處的電場。
(4)若 r << a,將電量為-q(與 Q 異號)、質量為 m 的質點由 P 點
釋放,則其作簡諧運動的週期為何?
解:
答:
3
2 2 3/2 2
(1)E= (2) (3)0 (4) 2
( )
kQr kQ ma
E T
r a r kQq
1. 在 y 軸上 y= a 及 y= –a 處各置一電量為 q 及 –q 二點電荷,
則在 y 軸上 y=b ( -a < b < a)處的電場為何 ?
2. 電量分別為 q 以及 nq(n 為一正數)的 A、B 兩電荷,相距 L
處。在 A 和 B 連線上的電場為零處與 A 點的距離為何?
3. 兩個大小相同的水銀球,各帶不同電性之電荷,球表面之電
場大小分別為 E 及 2E。今將兩水銀球合成一大水銀球,則此
大水銀球表面之電場強度大小為何?
4. 兩帶電量均為 +q 庫侖之固定點電荷相距 2L 米,試回答下
列問題:(1)在連線中央垂直線上距中點 x 米處之電場強度為
何?(牛頓/庫侖) (2)承(a)若 x>>L ,則(1)將為何?
5. 如右圖,將點電荷 4Q 固定於原點
O,另一點電荷 –Q 固定於 C 點
(坐標 x=3a),則下列關於電力線
的敘述何者正確? (A)在 A 點(x=
a)及 B 點(x=2a)附近的電力線密度相等 (B)如將一電子靜置
於 x-y 平面上任意一點,則電子會受電場作用沿著通過此點
課後 練習題
18. 6-18 靜電學 Electrostatics
的電力線運動至原點 (C)所有電力線都由原點出發並終止於
C 點 (D)在 D 點( x = 6a)電場為零,故該點不會有電力線通
過 (E)在這兩個點電荷的中垂面上各點的電力線均與 x 軸平
行。
6. 已知當一圓周的四分之一均勻帶有電荷 q 時,圓心的電場量
值為 0.50 V/M。若此圓周的一半均勻帶有電荷 2q,另一半均
勻帶有電荷- 2q,則圓心的電場量值為若干 V/M? (A)1.4
(B)1.6 (C)1.8 (D)2.0 (E)2.2 [91.指定科考]
7. 點電荷Q、Q及 Q (Q 與 Q 均為正)分別位在一個正三角形
的三個頂點上,如右圖所示。若正
三角形中心處的電場為零,則Q與
Q間的關係為下列何者?(A)
2Q Q (B)Q Q (C)
3
2
Q Q
(D) 3Q Q (E) 2Q Q 。[93.指定
科考]
他山之石-大陸高考
8. 關於同一電場的電場線,下列表述正確的是(A)電場線是客觀
存在的 (B)電場線越密,電場強度越小 (C)沿著電場線方
向,電勢越來越低 (D)電荷在沿電場線方向移動時,電勢
能減小
9. 如圖所示,在光滑絕
緣水平面上放置 3 個
電荷量均為 q 0q
的相同小球,小球之
間用彈性係數均為 0k
的輕質彈簧絕緣連接。當 3 個小球處在靜止狀態時,每根彈
簧長度為 l。已知靜電力常量為 k ,若不考慮彈簧的靜電感
應,則每根彈簧的原長為
(A) 2
0
2
2
5
lk
kq
l (B) 2
0
2
lk
kq
l (C) 2
0
2
4
5
lk
kq
l (D) 2
0
2
2
5
lk
kq
l
練習題答案
1. j
ba
bakq
)(
)(2
22 2
22
2.
1n
L
3.
2
23
E
4. 22 2 3
2 2
(1) (2)
( )
kqx kq
xx L
5.D 6.A 7.B 8.C 9.C
qqq
l
k0
l
k0
19. 6-19靜電學 Electrostatics
均勻帶電的無限大金屬平板
1.無限大均勻帶電的平板在其周圍所產生的電場量值為「定值」
和 位置 無關
說明:電場的量值和平板上 電荷面積密度 成正比:
4
2
2
kQ
E k
A
圖 6-13 左:均勻帶正電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
右:均勻帶負電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
均勻帶電的雙平行金屬板間的電場
1.電場僅存於兩平行電板之間的區域,為 均勻電場 (理論),
平行電版外側無任何電場。
且電場強度: 4E k
說明:
2.帶電質點在均勻電場中的運動
說明:
置入一帶電質點 q,若不考慮其重力,故其必為等加速度運
動,運動軌跡為直線或拋物線,如下圖所示。
加速度: .
F qE
a const
m m
圖 6-14 平行帶電板的實際電
場分佈圖。平行電版邊緣的電
場並非穩定值,而是在平行電
版中央區域才可以視為均勻電
場
+ + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
圖 6-15 帶電質點在均勻電場中
的運動
21. 6-21靜電學 Electrostatics
例題9.:電荷在均勻電場的運動-拋體運動-標準題
如圖所示,一質量為 m、電量為 +q 之質點,以速度 v0 沿 x 軸射
入長度為 L,內部電場為 E 的平行電板中。平行電板所帶的電量
相等但電性相反,若忽略重力的影響,則
(1)質點的加速度為何?
(2)在電場中的運動歷時多少?
(3)當其自平行板射出時的 y 坐標為何?
(4)承上題,質點獲得多少動能?
解:
答:
2 2 2 2
2 2
0 0 0
(1) (2) (3) (4)
2 2
k
qE L qEL q E L
a t y E
m v mv mv
類題:如圖所示,設兩個水平平行金屬板中的電場為 E,兩板距
離為 d,板長為 L。一個質量為 m、電荷為 q(q>0)的粒子,以
水平方向射入兩板之間,且剛進入電場區域時,與兩板等距離。
如果不考慮重力,為了使粒子在運動中不至於撞到金屬板,其初
速率至少需為__________。 答:
qE
L
md
例題10.:均勻電場的靜力平衡-基礎題
如右圖,質量為 m 的帶電小球,以長為 L 的絕緣細線懸吊於均勻
電場 E 內。小球平衡時,細線與鉛垂方向成 37°角,小球所帶電
量為何?
解:
答:
3
4
mg
E
d
L
q
22. 6-22 靜電學 Electrostatics
類題:帶等量異性電的二平行金屬板,板面鉛直而立,在二板間
以絕緣細線懸吊一質量 m,帶電量+q 的小球,發現絲線與鉛直線
之夾角為 θ,則二板間的電場強度大小為何? 答:
q
mg tan
例題11.:均勻電場的力學能守恒
質量為 m 的帶電小球,以長為 的絕緣細線懸吊於垂直水平
面的兩平板之間。平行板內有一均勻電場(垂直板面),強
度為 E。小球平衡時,細線與鉛垂方向成 (如圖),此時細
線的張力為 T。若將小球移至使細線與鉛垂方向成 角,然
後將小球由靜止釋放,小球擺至最低點 O 時,速度恰為零,
則下列敘述何者正確?
(A)小球帶正電
(B)小球所帶電量為 tan
mg
q
E
,g 為重力加速度
(C)張力 sin cosT mg qE 。
(D)若 角為 600
,則 角為 300
(E) 小球擺至最低點 O 時,加速度值為零。
答:ABD
課後 練習題
m
25. 6-25靜電學 Electrostatics
1.一孤立導體帶電後,其最後淨電荷互相排斥而分布於導體表面
稱為 靜電平衡
說明:
當導體處於靜電平衡時,導體內部的電場必定為 零 ,內部
無電力線,不然導體內的自由電子將會繼續受力作用。
電荷在導體表面上的電場(電力線)方向必 垂直表面 ,不然
自由電子在依然沿導體表面移動。
帶電實心導體球或帶電金屬球殼-電量為 Q,半徑為 R 的金屬球
1.球體外側(r > R): 2
Q
E k
r
電荷均勻分佈在球殼表面視為 點電荷
2.球體表面: 2
Q
E k
R
3.球體內部( r < R) 0E
說明:內部無電荷,故無電場
範例 演練
圖 6-16 達成靜電平衡的帶電導體,
電荷分佈在導體表面上,導體內部
電場=0
圖 6-17 實心導體球的電場分佈
26. 6-26 靜電學 Electrostatics
例題12.:同心球殼的電場
電中性的金屬球殼內外半徑各為 R1 和 R2,今在其球心處置一點
電荷+Q,如圖所示,則
(1)在 A、B、C 各點處的電場強度為何?
(2)若將球殼接地,則各點的電場強度又為何?
答:(1) 2 2
( ) 0A B C
A E
kQ kQ
E E
r r
發散 E (2)
2
0A B C
C
kQ
E E
r
E
類題:兩個同心的空心金屬球半徑各為 R1、R2(R1<R2),小球
帶電量-Q,大球帶電量 Q,彼此絕緣,請依下列條件求距球
心 r 處的電場大小?(1) r < R1 (2)R1 < r < R2 (3) r >R2
答:(1)0 (2) 2
kQ
r
(3)0
例題13.:感應電場
一不帶電之中空金屬球殼外徑為 R,中心位於 O 點。今在球殼外
距球心距離為 d 處放置一點電荷Q(Q0),則金屬球上會產生
感應電荷(如右圖所示)。所有感應電荷在球心 O 點處產生之電
場其量值及方向為:(A) 2
R
kQ
,方向向右 (B) 2
R
kQ
,方向向左 (C)
2
d
kQ
,方向向左 (E)0。 【82 日大】 C
課後 練習題
R
O
d
R1
R2
A
B
C
27. 6-27靜電學 Electrostatics
1.達成靜電平衡時,下列哪些區域的電場為零?(A)帶電金屬球的
內部 (B)均勻帶電之絕緣體內部 (C)帶等量異性電之兩平行金
屬板的內側 (D)帶等量同性電之兩平行金屬板的外側 (E)兩等
量同性電之點電荷連線的中點處。
2.如圖,兩同心金屬球殼半徑分別為 r1 與 r2 帶正電荷,電量為 Q1
與 Q2,求下列各點之電場強度:(A)球心 A 點 (B)內球面 B 點
(C)距球心 R1(r1R1r2)之 C 點 (D)外球面 D 點 (E)距球心
R2(R2r2)之 E 點。
答案
ADE 0; ; ; ;
科學小故事:靜電屏蔽electrostatic shielding- How Faraday Cages Work
表演時先請幾位觀眾進入籠體后關閉籠門,
操作員接通電源,用放電杆進行放電演示。
這時即使籠內人員將手貼在籠壁上,使放電
杆向手指放電,籠內人員不僅不會觸電,而
且還可以體驗電子風的清涼感覺。
這就是靜電屏蔽效應(Shielding effect)-導體
內部若有空穴,則在空穴中感覺不到存在於
導體外部的靜電場。
在電子儀器中,為了免受靜電干擾,常利用
接地的儀器金屬外殼作屏蔽裝置。法拉第籠
的演示說明了高壓作業人員帶電工作的原
理。高壓帶電操作員的防護服是用金屬絲製
成的,當接觸高壓線時,形成了等電位,使得作業人員的身體沒有電流通過,起
到了很好的保護作用。如汽車就是一個法拉第籠,由於汽車外殼是個大金屬殼,
形成了一個等位體,當駕駛員在雷雨天行駛時,車裡的人不用擔心遭到雷擊。
A
B
C D EQ1
Q2
28. 6-28 靜電學 Electrostatics
6.4 電位能、電位、電位差
學習目標
閱讀完這節,你應該能夠…
1. 瞭解靜電力是保守力並且靜電力做功會導致位能
產生變化。
2. 瞭解電荷在已知電場中任兩點之間移動,靜電力做
功與路徑無關。
3. 瞭解電位能、電位的定義及相互關係。
4. 轉換焦耳與電子伏特兩種不同的能量單位。
5. 在已知電場中,電荷從最初位置移動到最後位置,
應用兩位置之間的電位差、電荷電量、電位能變化,
及靜電力做功的相互關係
6. 瞭解等位面並能描述它與電力線之間的關係
7. 依據電場方向判斷電位是降低或是升高
8. 從電場-位置關係圖,計算某個位置區間的電位差
電位能 Electric Potential Energy
1.意義:靜電力為保守力,因此電荷在電場中就具有電位能,而移
動電荷位置所產生的能量變化,可視為電場對電荷作功
2.電位能的一般式(點電荷的電位能)
定義:將電荷 q,從無窮遠處(零位能)緩慢並且均速移動至場
源 Q 的距離 r 時,靜電力所做的功的負值就是電位能。同
時,也可稱外力反抗靜電力所需作的功稱為該電荷在該處的
電位能。
e
kQq
U
r
說明:
令無窮遠處的電位能當零
根據功能原理:施外力 F 使電荷 q 從無窮遠處等速移動到距
離 r 處外力抵抗庫侖靜電力作功
r
2
kQq
W r
r
F
r
29. 6-29靜電學 Electrostatics
q
2
q1
q
3
3. 性質
位能是兩物體或兩帶電體是 共同擁有 ,缺一不可
系統的電位能是可以累加的(因為位能是純量)。
2 3 3 11 2 k q q k q qk q q
U
r r r
在無窮遠處時,電位能為 零 ,且都與 距離 成反比
電荷在電場中移動時,其電位能變化與 移動前後的位置
有關,與 路徑 無關
例題14.:點電荷的電位能-基礎題
點電荷 Q 帶電量 2104
庫侖,另一點電荷 q 帶電量 4103
庫
侖,求二者相距 r3 公尺時之互斥力?及電位能?
解
答:(1) 800 牛頓 (2) 2400 焦耳
類題:在一正方形 ABCD 各角上分別有+q、+q、-q、-q 的點電
荷,而正方形邊長為 a,則(1)四電荷間的總電力位能為何﹖ (2)
將A點的電荷移到無窮遠處至少需作功若干﹖答:
2
2kq
a
,
2
2
kq
a
類題:在 A、B 兩點各固定一個電子,設此兩個電子的電位能為
U1,今引入另一電子至 A、B 中點,而這三個電子的總電位能為
U2,則 2
1
U
U
為若干? 答:5
範例 演練
圖 6-18 系統電位能是可累加的
30. 6-30 靜電學 Electrostatics
例題15.:帶電質點系統的力學能守恆、動量守恆
設原子核質量 M,帶電 Q,在距其極遠處,一帶電質點質量 m,
帶正電 q,以初動能 Ek 向 M 做正向碰撞。(1)假設只有庫侖力作
用,求兩者最近距離,設原子核恆靜止;(2)若原子核原為靜止,
但可自由移動,則又如何?
解:
答:(1) (2)
k k
kQq m M kQq
E M E
類題 15-1:A 和 B 兩質點各帶有電量+2.0×10-6
C 和-5.0 × 10-6
C,
彼此相距 5.0 m。今將 A 質點固定,B 質點由靜止釋放,當兩者相
距 2.0 m 時,則 B 質點的動能為何?
類題 15-2:具有動能 5.01019
J 的 質點自無窮遠處正面射向
一原為靜止的質子,當兩者相距最近時,求(1)總動能(2)電位能
(2)兩者速度(3)相對於質心的總動能 (4)此最小距離為若干?答:
(1) 41019
J (2) 11019
J (3) 均為 9.8103
m/s (4) 0 (5)
4.6109
m
類題 15-3:總電量 Q 均勻分佈
於一半徑為 R 的固定圓環上,
今將一帶有 q 電量的質點 A,
以 v0 的速率由環心 O 垂直於環
面向 E 射出(如圖),q 與 Q 符
號相異,質點 A 沿 OE 軸運動時可達的最遠點為 P,而 OP= 3 R
(a)質點 A 從 O 向 E 射出時,速率最小要若干,才可達無限遠
處?(b)今將質點 A 改為一質量相同,但電量為-q 的另一質點
B。當質點 B 從 O 處,由靜止狀態逐漸加速向 E 運動時,試求它
到達 P 點時的速率。 答:(a) 2 ov ;(b)v0
PR
O E
31. 6-31靜電學 Electrostatics
例題16.:靜電系統的力學能守恆&動量守恆
兩點電荷,荷電量各為 +Q 與 +q,質量各為 M 與 m,兩者原
相距 r,由靜止釋放,當兩者相距 2r 時,兩者的動能各為何?
解:
類題 16-1:質量比為 1:2,荷電量分別為 q1 及 q2 之正負質點 A
與 B,自甚遠處由靜止起動,受電力作用相吸,當它們運動至相
距 r 時,A 質點所具動能為何? 答: 1 22
3
kq q
r
類題 16-2:帶正電荷的甲、乙兩粒子,質量分別為 m1、m2,電
荷分別為 q1、q2,被置於 x 軸上,距離為 d。今若同時讓這兩個
粒子由靜止釋放,重力影響不計,則乙粒子最後的速率為
__________。 答: 1 2 1
1 2 2
2
( )
kq q m
d m m m
例題17.:類原子結構的帶電質點系統的能量關係
在單電子離子中(原子序 Z),設電子繞核以半徑為 r 作等速率圓周
運動,電子電量以 e 表示,求:(1)電子的動能 (2)系統的位能 (3)
系統的力學能 (4)電子的游離能(束縛能)
答:
2 2 2 2
(1) (2) (3) (4)
2 2 2
ke ke ke ke
r r r r
這類型題目和第七章非常類
似,包含束縛能、脫離能等
等的題目都需要大家多練
習;
最大的不同在於電荷有正負
之分,這和重力位能中的題
33. 6-33靜電學 Electrostatics
(1) 求電子打到 D 點瞬間的動能 K。(以 m,e,v0 及 V 表示)
(2) 試問電子的初速 v0 至少必須大於何值,電子才能避開電極
板,逸出電容器外?(以 e,m,L,d 及 V 表示)
7. 點電荷 +Q 及-Q(Q>0)位在同一平面上,+Q 的位置固定,-Q
的質量為 m,且和 +Q 的距離為 b。-Q 電荷以垂直於兩電荷
連線的方向射出。回答下列各問題:
(1).若點電荷-Q 以 v 射出,繞 +Q 作半徑為 b 的等速率圓周運
動,如右圖(a)所示,令
0
1
4
k
為庫侖定律中的比例常數,
求 v。 (2)若-Q 電荷以 v0 射出,則循一橢圓軌跡運動,如右圖
(b)所示。令-Q 距離+Q 的最遠點為 A 點,且令 A 點與 +Q 電
荷間的距離為 a,說明點電荷-Q 相對於點電荷 +Q 的角動量
是守恆的理由,並求出此角動量的量值與方向。 (3).承第 2
小題,若
2
0
3
2
kQ
v
mb
,求-Q 在 A 點的速率(以 v0 及數字表示)
及 a 的大小(以 b 及數字表示)。 [97.指定科考]
答案
v 0.104 焦耳
(1)
(2) (1) (2) (3)
34. 6-34 靜電學 Electrostatics
電位(Electric Potential)
1. 定義:在電場中,將單位正電荷由無窮遠處等速移至電場中某
點,外力抵抗靜電力所作之功,即為該點的的電位:
( ) eU
V r
q
單位:J/C=V(伏特)
說明:
在電位能的式子中,如果我們將 q 視為單位正電荷(+1 庫
侖)
這和前面討論電場時的方法一樣
不論該處是否有電荷 q 存在,都分布了一個純量的物理量
1( ) ( )
( ) ( )q CkQq U r kQ
U r V r
r q r
結論:可看成場源電荷 Q 形成一個純量形式的物理量,因此當
場源變成均勻帶電金屬板時,也會形成電位
2.性質
電位是純量,可為 正 、 負 或 零 也是 相對量 ,
因此必須先定義零電位。
說明:
由點電荷造成的電場,無窮遠處的電位可視為 0
由帶電均勻金屬板造成的電場,負電荷處的電位可視為 0
電荷自然移動方向:朝電位能減少的趨勢移動
說明:
正電荷:由 高 電位移動 低 電位
負電荷:由 低 電位移動 高 電位
電子伏特 electron volt-eV
微觀狀態的電位能單位-
35. 6-35靜電學 Electrostatics
3. 帶電荷 Q 並呈現靜電平衡的金屬球(半徑 R)的電位
球體外:
kQ
r R V
r
球體內: E=0
kQ
r R V
R
定值
說明:
靜電平衡時,電荷不會移動,故導體內部電場為零,因此電荷
均勻分佈在導體表面,代表導體內部不存在電位差,也就是說
導體內部應該是等電位的
等位線/面(Equipotential Line/Surface):
1.定義:將鄰近及相等電位的點連成線或面,非真實存在的線或
面
2.性質:
彼此不相交、不相切
與電力線的切線方向垂直
等位線的分佈與帶電體形狀有關
圖 6-19 點電荷造成的等位線(虛線)、電力線(實線) 右圖:電偶極造成的等位線(虛線)、電力線(實線)
37. 6-37靜電學 Electrostatics
類題:二點電荷q 與q 相距 2d,求:(1)在二電荷連線的中垂線
上,距連線中心點為 r 處的電位?(2)距二者連線中點距離 r 之延
長線之一點較靠近q 之電位? (3)若 r d,則(1)與(2)之答案又
各為何? 答:(1) 0 (2) 22
2
dr
kdq
(3) VA0, VB 2
2
r
kdq
例題20.:特殊形狀物體的電位計算
有一均勻帶電的圓環,半徑為 R,其總電量為 Q。求(1)在此中垂
軸上距環面為 x 處(2)環心處 (3)距環心甚遠處的電位各若干?
答: 2 2 1/2
(1) (2) (3)
( )
kQ kQ kQ
R x R x
例題21.:空心導體球的電位分佈
有一空心導體球,內半徑為 a,外半徑為 2a ,在球心處有一點電
荷+Q,求距離球心(1)a/2 (2)a (3)3a/2 (4)2a (5)3a 位置的電位
答:
3
(1) (2) (3) (4) (5)
2 2 2 2 3
kQ kQ kQ kQ kQ
a a a a a
類題:兩同心導體薄球殼,各帶正電荷q1、q2,半徑分別為 r1,
r1
r2
A
B
C
38. 6-38 靜電學 Electrostatics
r2 ( r1 < r2 ) 求下列各點的電位:(1) r < r1 (2) r1 < r < r2 (3) r >
r2 答: 1 2 1 2 1 2
1 2 2
( )
(1) (2) (3)
kq kq kq kq k q q
r r r r r
電位差(Electric Pontential Difference)
1.定義:在相同電場中,任兩點的電位的差值
2 1V V V
2.物理意義:在相同電場中,將單位正電荷由 A 點等速移至另一
B 點,外力抵抗靜電力所作之功,即為 A、B 兩點間的電位差
ΔV
W
V
q
3.點電荷電場中的電位差:
1 1
A B
A B
V V r V r kQ
r r
說明:
在某處放置一個電荷 Q,則由電位的公式可知
SA 電位為
A
kQ
r
、SB 電位為
B
kQ
r
在 SA 上的任一點與 SB 上的任一點之間存在 電位差
4.均勻電場中(兩平行帶電金屬板)的電位差
說明:
正電荷 q 從高電位落至低電位電位降低 V E d
當電場 E 為定值電壓 V 大小與間距 d 成正比
當電壓 V 為定值電場 E 大小與間距 d 成反比
rA
rB
A
A
Q
V k
r
B
B
Q
V k
r
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
41. 6-41靜電學 Electrostatics
圖 6-22 From Google s
例題22.:靜電平衡概念-標準題
A 與 B 兩荷同性電之金屬球其電位分別為 V、5V,將其接觸後二
者電位皆變為 4V,求此二金屬球 A 與 B 的半徑比。
Hint:導體上的電荷不再移動,代表該導體上電位處處相等
答:1:3
換類題
類題:帶電量 Q 的水銀球,分離成三顆水銀珠,半徑比為 1:2:3,
求(1)各球表面的電位比(2)電荷密度比(3)電場強度比(4)帶電量比
範例 演練
42. 6-42 靜電學 Electrostatics
答:(1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3
例題23.:電位差與靜力平衡
質量 m 的油滴恰在板距 d、電位差 V 的平行金屬板間靜止不
動,則油滴帶電量為?
解:
答:
mgd
V
類題:如圖,A、B 為兩個水平放置的平行帶金屬板,兩板間距
離為 d。板間有一正電荷質量 m、電量 q,處於平衡狀態,則兩
板間電位差及電位高低為:答:
mgd
q
,VA < VB
例題24.:均勻電板的電位差
如下圖所示,兩片帶電量相等、電性相反的平行金屬板,相距
d。已知兩板中電場為 E,若忽略重力的影響,則(1)兩板間電位
差為何?(2)一電荷 q 由靜止開始自上板向下板運動,到達下板時
的動能為何?
解:
類題:有兩大平行金屬板,相距 10 公分,分別載有等量而電性
相反的電荷,若一電子位於兩板間之中央位置時,受力恰為
3.21016
牛頓,則兩板間之電位差為?答:200V
類題:兩板間電位差 200 伏特,相距 10 ㎝,則(A)板間電場
2.0104
N/C (B)Vab600 伏特 (C)Vac800 伏特 (D)將
q3102
C 之電荷自 a→b→c 需作功 24 焦耳 (E)同(D)由 a→d
a
b
c
d
3㎝
4 ㎝
4㎝
43. 6-43靜電學 Electrostatics
需作功 24 焦耳。答:ACDE
1. 有彼此相距甚遠的甲、乙兩帶電金屬球,甲、乙兩球的半徑
各為 a 及 b。假設在無窮遠處電位為零,甲、乙兩球的電位
分別為 Va 及 Vb。今以一細長導線接觸兩球,使兩球成為等
電位後,再將此導線移開,則此兩球之電位為何?
2. 半徑比為 3:2 的二小銅球,帶電量之比為 6:1,相距為 d
時互吸之力為 F。二球之距離遠大於各球的球半徑,今使二
球接觸後再分開,使二球相距為 2d,則互斥之力為若干?
3. 半徑 a 帶電量 Q 之金屬球,與半徑 b 而不帶電之另一金屬球
連接,則 b 球最後之電量為若干?
4. 在邊長為 之正三角形的兩個頂點上各放置一個點電荷,測
得在第三個頂點上之電位為 0,電場大小為 2
kQ
,則此二點電
荷之乘積為若干?
5. 真空中一半徑為 R 的金屬導體球接
地,在球外與球心相距 2R 處有一
固定的點電荷 Q,靜電平衡時,導
體上全部的感應電荷量值-q 為
(A)0 (B)0<q<Q/4 (C)Q/4<q<Q (D)q=Q (E)q>Q。
6. 半徑為 0.5 公尺的球形金屬體,置於乾燥空氣中,並充靜電
於其上,使電壓(即球與地之電位差)達 60 萬伏特而無放
電現象產生,則此時此球所帶的淨電荷約多少?
7. 在正三角形 ABC 的頂點上,分別
有電量為-e、+e、-2e 的點電
荷,則 (1)三角形重心 O 處的電位
為何? (2)該電荷系統的靜電位能
為何?
8. 三個完全相同的導電球 A、B 及
C,其中 A、B 兩球均帶相等的電量,且位置固定,但 C 球
不帶電。已知 A、B 兩球之距離 d 遠大於球之半徑,其間的
靜電斥力為 F,則(電力常數 k) (1)A、B 兩球帶電量為
何? (2)今將 C 球先與 A 球接觸,移開後再與 B 球接觸,然
課後 練習題
45. 6-45靜電學 Electrostatics
a,若取兩電荷連線上之 s 點處的電位為零,則圖中距 O 點
2 a 之 P 點處的電位為何?(已知庫侖定律為 1 2
2
q q
F k
r
)
(A) 0 (B)
2
kq
a
(C)
2 2
kq
a
(D)
2
kq
a
(E)
2
3
kq
a
。 [92.指定
科考]
17. 如右圖(a)所
示,半徑為 b
且位置固定的
細圓環上,帶
有總電量為
( 0)Q Q 的
均勻電荷,O
點為圓環的圓
心,z 軸通過 O 點且垂直於環面,P 點在 z 軸上,它與 O 點
的距離為 d。令
0
1
4
k
為庫侖定律中的比例常數,距離 O
點無窮遠處的電位為零,則下列敘述哪些正確?
(A)圓心 O 點的電場量值為
kQ
b
(B)P 點的電場量值為
2 2
kQ
d b
(C)P 點的電位等於 2 2 3/2
( )
kQd
d b
(D)O 點的電位等
於
kQ
b
(E)質量為 m 的點電荷 ( 0)q q 從 O 點以初速
0
kQq
v
mb
沿 z 軸射出,如右圖(b)所示,則此點電荷移動
3b 距離後, 其速度減為零。[97.指定科考]
答案
(a) (b)
46. 6-46 靜電學 Electrostatics
F Q -Q2
C 3.3×10-5
庫侖
,在 AB 間作週期性往復運動
1:1 (1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3
30eV 5Ek AD E DE